第十三讲
虚 功 原 理
本讲导读
? 约束的概念
? 自由度和广义坐标
? 实功,虚功和虚功 (虚位移 )原理
? 拉格朗日乘子与约束力
一、为什么要学习分析力学?
前面是按, 牛顿方式, 研究力学问题,它着重分析力, 动量,
速度, 加速度, 角动量, 力矩等矢量,称作, 矢量力学,, 它运
用牛顿运动定律处理力学问题,称作, 牛顿力学,,
实际力学系统往往存在限制 (约束 ),而约束力又取决于运动情
况,它们作为未知量出现于运动方程中,牛顿方式对于受约束的
力学系统并不方便,
建立了运动方程,并不意味大功告成,因为还没有一般方法求得
运动微分方程的解, 如何寻找方程的积分以及利用这些积分,如何
定性研究解的结构和定量地进行计算,这些都是力学中极为重要的
课题,牛顿方式在这些问题上会遇到困难．
研究光、电磁场、微观粒子等物理现象时,整个牛顿力学的基本
观念都受到了挑战,在人们不得不承认新的物理事实 —— 相对论效
应,波粒二象性等之后,就需要在古典力学理论中寻找这样一种理论,
它能较顺利地超越古典概念的束缚,自然地跳向非古典力学 —— 相
对论力学、量子力学等．
分析力学
analytical mechanics
一般力学 的一个分支。以 广义坐标 为描述质点系的变量，以
虚位移原理 和 达朗贝尔原理 为基础，运用数学分析方法研究宏
观现象中的力学问题。 1788年出版的 J.-L.拉格朗日 的, 分析力
学, 为这门学科奠定了基础。 1834年和 1843年 W.R.哈密顿 建立
了 哈密顿原理 和 正则方程,把分析力学推进一步。 1894年 H.R.
赫兹提出将 约束 和系统分成完整的和非完整的两大类，从此开
始非完整系统分析力学的研究。分析力学的基本内容是阐述 力
学 的普遍原理，由这些原理出发导出质点系的基本运动微分方
程，并研究这些方程本身以及它们的积分方法。近 20年来，又
发展出用近代微分几何的观点来研究分析力学的原理和方法。
分析力学是经典物理学的基础之一，也是整个力学的基础之一。
它广泛用于结构分析、机器动力学与 振动,航天力学,多刚体
系统 和 机器人 动力学以及各种工程技术领域，也可推广应用于
连续介质力学和相对论力学。
分析力学的发源
1788年 拉格朗日 出版的, 分析力学, 是世界上最早的一本分析
力学的著作。分析力学是建立在虚功原理和 达朗贝尔 原理的基础
上。两者结合，可得到动力学普遍方程，从而导出分析力学各种
系统的动力方程。 1760～ 1761年，拉格朗日用这两个原理和理想
约束结合，得到了动力学的普遍方程，几乎所有的分析力学的动
力学方程都是从这个方程直接或间接导出的。
1834年，汉密尔顿推得用广义坐标和广义动量联合表示的动力
学方程，称为正则方程。汉密尔顿体系在多维空间中，可用代表
一个系统的点的路径积分的变分原理研究完整系统的力学问题。
从 1861年有人导出球在水平面上作无滑动的滚动方程开始，到
1899年阿佩尔在, 理性力学, 中提出阿佩尔方程为止，基本上已
完成了线性非完整约束的理论。
20世纪分析力学对非线性、不定常、变质量等力学系统作了进
一步研究，对于运动的稳定性问题作了广泛的研究。
分析力学的主要内容,导出各种力学系统的动力方程，如完整系统的拉格朗日
方程、正则方程，非完整系统的阿佩尔方程等；探求力学的普适原理，如汉密
尔顿原理、最小作用量原理等；探讨力学系统的特性；研究求解运动微分方程
的方法，例如，研究正则变换以求解正则方程；研究相空间代表点的轨迹，以
判别系统的稳定性等。
分析力学解题法和牛顿力学的经典解题法不同，牛顿法把物体系拆开成分离
体，按反作用定律附以约束反力，然后列出运动方程。
分析力学中也可用变分原理 (如汉密尔顿原理 )导出运动微分方程。它的优点
是可以推广到新领域 (如电动力学 )和应用变分学中的近似法来解题。从 20世纪
60年代开始，为了设计复杂的航天器和机器人的需要，发展多刚体系统，并且
跳出了使用动力学函数求导的传统方法来建立动力学方程，所建立的方程能方
便地应用电子计算机进行计算。
在量子力学未建立以前，物理学家曾用分析力学研究微观现象的力学问题。
从 1923年起，量子力学开始建立并逐步完善，才在微观现象的研究领域中取代
了分析力学。但是，掌握分析力学的一些基本知识有助于学好量子力学。例如
用分析力学知识求出汉密尔顿函数，再化成汉密尔顿算符，又自汉密尔顿 -雅可
比方程化成波动力学的基本方程 —— 薛定谔方程等。
爱因斯坦 提出相对论时，也曾把分析力学的一些方法应用于研究速度接近光
速的相对论力学。
分析力学是数学, 力学研究者为克服上述困难所取
得的成果的一部分,在一定程度上解决了上述问题 (并末
全部解决,有关的研究现在还在继续 ),它 给出了力学系统
在完全一般性的 广义坐标 下具有 不 变形式的动力学方程
组, 并突出了 能量函数 的意义,
分析力学概括了比牛顿力学广泛得多的系统,分析力
学的数学形式有着极好的性质,它不仅提供了解决天体力
学及一系列动力学问题的较佳途径,同时给 量子力学的发
展提供了启示,最适于成为引向现代物理的跳板, 其 最小
作用量原理提供了建立相对论力学和量子力学最简练而
富有概括性的出发点,
直到最近,分析力学在非线性非完整系统中的研究,
非保守系统中奇异吸引子的发现以及有关, 浑 沌, 现象
的研究等等,正在丰富分 析 力学的内容,且大大开阔它的
应用范围,
二、约束的概念
机械运动是物体空间位置随着时间的推移而变动,对
机械运动所加的强制性的限制条件叫作 约束,
一个质点可用矢径 r或三个坐标表示,n个质点组成的
系统,则由 n个矢径或 3n个坐标描述,它们确定每一时刻
各质点的 位置 以及质点组的 形状 —— 确定系统的 位形,
约束条件对运动的限制由一些力来体现,这些力一般
不是给定的,而是与运动状况有关的未知力, 因此,对于动
力学问题,约束也应作为一个基本因素加以考虑,
位形不能决定系统的“力学状态”,仅由某时刻的位
形不能预言在下一个时刻系统的位形, 对于 n个质点的系
统，还需知道 n个速度矢量才能确定系统的状态．
给定了某一时刻的 坐标和速度,由动力学方程原则上
单值地确定该时刻的加速度,因而能够唯一地确定下一
个时刻 (或前一个时刻 )的坐标和速度,以此类推,当知道
某一时刻的 状态,就知道了系统在任一时刻的状态,
几乎所有的力学系统都存在着约束 。 例如,刚体内
任意两质点间距 离 不变,两个刚体用铰链连接,轮子无滑
动地滚动,两个质点用不可伸长的绳连接等等, 对状态的
限制也就是对力学系统内各质点的位置和速度加以限制,
其数学表示式是
? ? ( 5, 1 ) 0,,,,,;,,,,321321 ?trrrrrrrrf nn ??????????????
—— 约束方程,坐标和速度必需满足的条件称为 约束条件,
某些约束仅对力学系统的几何位置加以限制,而对各质点的
速度没有限制,这种约束称为 几何约束,其数学表示式是
? ? ( 5, 2 ) 0;,,,,321 ?trrrrf n?????
例如, 刚体内任意两点间的距离保持不变就是一种几何约束,
对于涉及力学系统运动情况的约束,即对速度也有限制的,则
称为 运动约束,其中显 含 速度, 例如半径为 R的圆柱在地面 上 沿着
直线作无滑动地滚动, 这意味着着地点的速度为零,
00 ?? ??? Rx
运动约束亦称为 微分约束 或 速度约束,
几何约束的约束方程虽然不显含速度
项,但实际上它在对位置限制的同时也
对系统的速度给予了限制,事实上,由式
(5.1)对时间求全导数,得
? ? 022 ??? ijji rrr ??
( 5, 3 ) 0
d
d
d
d
d
d3
1
?
?
??
?
??
?
??
?
??
? t
f
t
z
z
f
t
y
y
f
t
x
x
f i
i
i
i
n
i
i
i
有些运动约束又可以通过积分成为几何约束，例如圆柱无滑
动地 滚 动的约束方程很容易积分为
CRx ?? ?0 化成几何约束的约束方程,
可积分的运动约束与几何约束在物理实质上没有区别,合称为 完
整约束, 不可积的运动约束,即 不能化为几何约束的运动约束,它
们在物理实质 上 不同于几何约束,称为 非完整约束,
几何约束 和 运动约束 的分类是按数学表达形式来分类,完 整 约
束 和 非完整约束 的分类是按物理实质 来 分类,
对非完整约束举例
具有尖锐边缘的 薄 圆盘在 粗糙 面 上 无
滑 动地滚动,则 圆 盘的着地点的速度为零,
薄圆盘的盘面是可以转动的,但如盘面始
终保持竖直,着地点的速度为零,可表为
00 ?? ??Rv
把上式投影到 x轴和 y轴上,得
0s in
0c o s
0
0
??
??
??
??
??
??
Ry
Rx
式中 x0和 y0是盘心的坐标, 这两个微分关系是不能积分的,
因为 当薄 圆 盘沿着长度各不 相 同的不同闭合曲线循行一 周 回到原
处时，盘心坐标 (x0,y0)和角 ?都可以回复到原来的值，但 ?却未
必也恰好回复原值, 这就是说，在 x0,y0,?和 ?之间并不存在一种确
定不 变 的关系,这种运动约束是不可能积分的,
再考虑一个冰面上滑行的冰刀的简化模型, 假定将冰刀抽象为以
刚性轻 杆 相连的两个质点,并设 两 质点质 量 相等,杆长为 l,当冰刀
在冰面上运动时,质心 (杆的 中 点 )的速度只能沿杆的方向, 选两质
点在冰面上的坐标为 (x1,y1)和 (x2,y2)，则约束条件为
? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
21
21
21
21
22
21
2
21
yy
xx
yy
xx
lyyxx
??
??
前一个约束条件反映杆长不变,是几何约束,即完整约束, 后一个约
束条件反映质心速度沿杆的方向,是运动约束 ; 由于它是不可积的,
即不能化为几何约束,因而是非完整约束, 后一个约束也可表为
21
21
21
21
dd
dd
yy
xx
yy
xx
?
??
?
?
这意味 着它 是对无限 小 变化的 限制,
约束还分为 稳定约束 和 不稳定约束, 稳定约束不直接依赖于
时间,其数学表达式不显含时间 ; 不稳定约束则明显依赖于时间,
其数学表达式显含时间,
此外，约束还可分为单侧约束 (可解约束 )和双侧约束 (不可解 ).
单侧约束只在某一侧限制系统的运动,至于向另一侧的运动则是
完全自由的, 例如单摆的不可伸长的悬绳限制摆球不得向绳伸长
的方向运动，但向绳缩短的方向运动却是自由的, 单侧约束的数
学表示式是不等式,一般可写为
? ? ( 5, 3 ) 0,,,,,;,,,,321321 ?trrrrrrrrf nn ??????????????
称为约束不等式, 单侧约束是有可能解除的, 约束是否解除或者何
时解除,需要从运动方程解出约束力,再从约束力的指向是否正确
来判断, 双侧约束限制着不论哪一侧的运动,其数学表示式是 (5.1)
或 (5.2)所示的约束方程,
三、约束力
根据牛顿定律,一切影响质点机械运动 的 因素 都 归
结为力, 因 此约束作用 也 可以归结为力, 约束力的大小
随力学系统违背约束的趋势的不同而 自 动调节,使约束
条件总 是 得以满足, 因此出 现在运动方程 中 的约束力 不
可能预先给定,它只能从运动 方程 并结合约束 方 程解出
来,
一般将作 用于第 i个质点的约束力 记作 Ri,而 把作用
于 同 一质点的其余的力称为主动力，记作 Fi,有的资料
把约束力称为约束反力，因为这种力是体现约束条件的
实体跟违背约束趋势对抗的反作用力,
阻碍物体运动的 周围物体 —— 约束
约束与约束反力的概念
约束对物体的作用力
称为 约束反力
简 称 反力
约束反力的方向总是与约束所能阻止物
体的运动方向相反
几类平面 约束
绳索、链条、皮带
1、柔性体约束
绳索的约束反力
沿绳索中心线，离
开物体，为拉力。
2、光滑面约束
光滑接触的约束反力
通过接触点，沿接触面
在该点的公法线方向，
为压力。
3、圆柱铰链约束
上摆
销钉
下摆
固定铰支座
受力分析
固定铰支座的约束反力
通过销钉中心，在垂直销
钉轴线的平面内，方向不
定。
销钉
中间铰
滚动铰支座 上摆
销钉
底板
滚轮
滚动铰支座的约束反力
通过销钉中心，垂直于支
承面，指向物体。
简化表示：
约束力表示：
4、连杆支座
连杆支座的约束力
沿连杆中心线，指向不
定。
二力构件：受两力作用平衡的构件
F
F
连杆
5、固定端约束
烟筒，电线杆，悬臂粱，机床的卡盘
固定端约束 的约束反力
作用在固定端的一个力，和一个
力偶，力的方向不定
?
活动铰支座
固定铰支座
物体的受力分析
确定构件受几个力，每个力的作用
位置和力的作用方向，这种分析过程
称为物体的受力分析。
主动力：已知的力
被动力：约束反力
取分离体 -----将所要研究的物体从周围的物
体中分离出来，单独画出它的
简图。
画受力图 -----将施力物体对研究对象的作用
力全部画出来。
受力分析的步骤：
F
F
F
F
F
F
F
F
例, 画各构件的受力图
二力构件
P
F
F
P
F F
F
F
F
F
F
F
F FF F F
画受力图必须注意以下几点：
1.明确研究对象
2.正确确定研究对象受力数目
3.正确画出约束反力
4.注意物体间相互作用力的方向
无论是静力学问题还是动力
学问题，在求解时，都需首先分
析物体的受力情况。故而，物体
的受力分析是力学的基础，也是
力学的重点。
四、自由度和广义坐标
n个质点系统由 n个位矢 rl,r 2,…,rn确定,或 由 N＝ 3n个
直角坐标,(x1,yl,z1),…,(xn,yn,zn)表示, 如果该系
统存在 m个完整约束
那么，在 N个坐标之中，有 m个坐标 可 以从方程组 (5.4)
“解出”,即有 m个坐标可用其余 N-m个坐标表出，因此
只剩下 s=N-m个独立坐标,
? ? ( 5, 4 ) ),1,2,( 0;,,,,321 mitrrrrf ni ?????? ??
系统的独 立 坐标的个数 s叫作 系统在有限 运动中的 自
由度 —— 单值地确定一个系统的位形所必需的独立量的
数目,
每一个完整约束方程使力学系统减少一个独立坐标,
也就是说,使有限运动的自由度降低一,
独立坐标并不一定在原来的 N个坐标中挑选,完全可
以自由地选定, 这一组独立参数叫作力学系统的 广义坐标,
既然广义坐标描写的力学系统的几何形象一定满足
系统的完整约束条件,在引用广义坐标之后,就不必再把
完整约束方程另外提出来,
一般来说,广义坐标不再三个一组地组成矢量,其量纲也不
一定是长度量纲, 例如被约束在球面上的质点可用经度和纬度这
两个角度作为广义坐标, 凡 可以确定力学系统几何形象的任何物
理量,都可造作广义坐标,
广义坐标表征系统的位形，
),1,2,( )(i si tqq i ???
其随时间的变化率称为广义速度, 显然,广义速度的量纲也不一
定是速度量纲, 对于只有完整约束的力学系统来说不仅 s个广义
坐标全是独立 的,而且 s个广义速度也全是独立的,
系统的运动可表达为广义坐标 q1,q2,…,qs随时间的变化,即有
? ? ( 5, 5 ) ),1,2,(,,,21ii ni qqqrr s ???? ??
如果力学系统除了 m个完整约束外, 还存在 k个非完整约束,则
这时并不能解出 k个坐标, 所以 非完整约束不能减少独立坐标的个
数,但非完整约束却会减少独立速度分 量 的个数, 这意味着减少独
立 的坐标 无 限小变化的个数, 我们称 独 立 速度分 量 的个数为力学系
统在 无 限 小 运动中的自由 度, 不 论是完整约束还是非完整约束,都
能使力学系 统得 无限小运动中的 自由度 降低一,
总之,n个质点的力学系统,若存在着 m个完整约束
和 k个非完整约束,那么,质点的直角坐标数 N＝ 3n,广义
坐标个数等于 N-m,运动 自由度等于 N-m-k,对于只存在
完整约束的系统 (k＝ 0),广义坐标的个数就是 运动 自由
度, 如果存在非完整约束 (k>0),广义坐标的个数大于 运
动 自由度, 运用广义坐标后,不再需要考虑完整约束,但
非完整约束仍需考虑,并应将它用相应的广义速度表示,
五、虚功原理
1 实位移和虚位移
质点由于运动实际发生的位移,叫做实位移, 用 dr表示,
想象的质点在约束许可情况下发生的位移,叫做 虚位移, 用 ?r表
示, 虚位移只决定于质点在此时的位置和加在它上面的约束,而
不是由于时间变化所引起的,
虚位移和实位移的区别是实位移要满足运动方程,而虚位
移只需要满足约束, 在稳定约束下,实位移是无限多虚位移中的
一个, 而在不稳定约束时,可能二者不一致,
设有 n个质点的系统,存在 m个完整约束,其约束方程
),1,2,( 0),,,,( 21 mi trrrf ni ????? ??
设 是满足约束条件的虚位移,则
nrrr
???? ???,,,
21
),1,2,( 0),,,,( 2211 mi trrrrrrf nni ???????? ????? ???
对 ?ri 作多元函数的泰勒展开 (t 被“冻结” ),略去二次以上的
项,
),1,2,( 0),,,,(
1
21 mj rtrrrf i
n
i
nji ?
????? ?????
?
?
满足上式的一组 ?ri就是虚位移,
而真实位移 dri是一个在时间 dt间隔中完成的位移,为使其
满足约束条件,必须
),1,2,( 0)d,d,,d,d( 2211 mi ttrrrrrrf nni ???????? ??????
于是得
),1,2,( 0d/d
1
mj ttfrf ji
n
i
ji ?
? ?????????
?
是约束对真实位移的限制条件,即时间不被“冻结”的可能位
移应满足的条件, 如约束是稳定的,虚实 位移 相同,
虚位移与实位移比较表
虚位移 实位移
共同点 为约束所允许 为约束所允许
不同点
1）与主动力、作用时间、初始条件无关；
2）是可能位移，可有多个或无穷多个；
3）无限微量。
与左边三个因素有关唯一的，方向
确定有限量
表示方
法
用变分符号表示。
如 等
用微分符号表示。
如 等
相互关
系
在定常约束情况下，实位移是虚位移中的一
个。
虚位移的计算
虚位移的计算主要指求质点系中各质点的虚位移之间
的关系。有几何法和解析法两种。
几何法 —— 直接利用约束条件求各点虚位移之间关系
的一种方法。约束条件是指几何关系、运动关系。
解析法 —— 用坐标变分的方法来求各点虚位移之间关
系的一种方法。
2 虚功
作用在质点上的力在任意虚位移 ?r中所作得功,叫做
虚功,
如果作用在一个力学系统上所有作用反力在任意
虚位移中所作得虚功之和为零,即
( 5,6 ) 0
1
???
?
n
i
ii rR
?? ?
那么系统受到得约束叫做 理想约束, 一切光滑接触以及
刚体等都是理想约束,
例 1:质点沿 固定 的光滑曲面运动,约束方程为 0),,( ?zyxf
质点的虚位移应满足
0),,(),,(),,( ????????? zz zyxfyy zyxfxx zyxf ???
???
?
???
?
?
?
?
?
?
??
z
zyxf
y
zyxf
x
zyxfR ),,(,),,(,),,(??
即虚位移垂直于曲面的法向 ( ),由于约束面是光滑的,
约束力沿曲面的法向,即 z
f
y
f
x
f
?
?
?
?
?
?,,
因此虚功为
0),,(),,(),,( ???
?
?
???
?
?
??
?
??
?
???? z
z
zyxfy
y
zyxfx
x
zyxfrRW ?????? ??
例 2,质点沿运动的光滑曲面运动,约束方程为 0),,,( ?tzyxf
质点的虚位移应满足
0????????? zzfyyfxxf ???
即虚位移 仍 垂直于曲面的法向, 而 约束力沿曲面的法向,所以虚功
也仍为零,
注意,这里约束力所作的真实的功并不为零,因为真实位移 dr满足
0dddd ???????????? ttfzzfyyfxxf
它并不垂直于曲面的法向,约束力的虚功为零,这完全是因为虚位
移在“冻结”了的 (?t＝ 0)曲面的切平面上,
例 3:质点约束在光 滑 曲线上运动, 这种情形可以看成质点约束在两
个光滑曲面上的运动,其约束方程为
?
?
?
?
?
0),,,(
0),,,(
2
1
tzyxf
tzyxf
质点的虚位移应满足
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
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?
0
0
222
111
z
z
f
y
y
f
x
x
f
z
z
f
y
y
f
x
x
f
???
???
质点的虚位移应满足
?
?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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0
0
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111
z
z
f
y
y
f
x
x
f
z
z
f
y
y
f
x
x
f
???
???
这也是约束力和虚位移垂直的情况, 故虚功为零,
例 4,刚性约束, 刚体中两质点的径矢分别为 ri和 rj,则约束方程为
? ? 022 ??? ijji lrr ??
因 约束力是一对内力,大小相等方向相反,即 Ri＝ － Rj＝ ?(ri－ rj).
由约束方程可知虚位移满足
? ? ? ? 02 ???? jiji rrrr ???? ??
因此约束力的虚功
? ? ? ? 0????????? jijijjii rrrrrRrRW ???????? ??????
3 虚功原理
当系 统处于平衡 时,系统每一质点都是处于平衡,
这样,作用于第 i个质点的主动力 Fi和约束力 Ri的合力应
为零,即
( 5, 7 ) 0?? ii RF ??
于是,作用于第 i质点所有各力的虚功之和为零
0???? iiii rRrF ???? ??
( 5, 8 ) 0
11
????? ??
??
n
i
ii
n
i
ii rRrF
???? ??
在理想约束条件 下,如果系统处于平衡状态,则其平衡
条件为
( 5,9 ) 0
1
??? ?
?
n
i
ii rFW
?? ??
这称为 虚功原理, 显然, 当一个只有理想约束的系统处
于平衡状态时,作 用 于该系统的所有主动力的虚功之
总和为零,
? ? ( 5, 9 ) 0
1
?
?
???
n
i
iiziiyiix zFyFxF ???
其实,即使 是 非理想的约束,仍然 可 以 使 用 虚 功原理, 只
要把 F理解为既包括主动力又 包括非 理想约束反力即可,
4 广义坐标下的虚功原理
由于 虚位移不独立,因而 上述虚功原理 不能 消除虚位
移来 得出平衡时 系统的 受力, 为解 决 这个困难,采 用广义
坐标, 任何一个质点的矢径 ri都可用 s个广义坐标表示,
? ? ( 5, 1 0 ) ;,,,21 tqqqrr sii ??? ?
质点虚位移也可用广义坐 标 的虚位移 (广义 虚 位移 )表示,
( 5, 1 1 )
1
?
? ?
?? qqrr
s
i
i ?
? ?
?? ??
这样在广义坐标中得到平衡方程为,
( 5.1 2) Q
111
1 11
?
?
??
??
?
? ?
??
???
qq
q
r
F
q
q
r
FrFW
sn
i
i
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?
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??
?
?
?
?
?
?
?
?
????
??
??
??
Q?是 q?的函数, 由于广义虚位移是相互独立的,所以
( 5, 1 3 ) ),,2,1( 0
11
sqzFqyFqxFq rFQ
n
i
i
iz
i
iy
i
ix
i
n
i
i ?
??
????
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???
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?
??
?
??
?
??
?
??? ??
??
?
????
?
Q?叫做广义力, 它的数目和力学体系的自由度数相等,
5 主动力为保守力的情况
在主动力是保守力的情况下,广义力 Q?的表达式
很容易求得,
?
?
? ??? qVW
s?
?
???
1
Q?
?
? q
V
?
???? Q
并且此时平衡方程为 0?
?
?
?q
V
上式具有鲜明的物理意义, 保守力作用下的力学系统,如处于平
衡,则势能取极值,
虚 功 原 理
本讲导读
? 约束的概念
? 自由度和广义坐标
? 实功,虚功和虚功 (虚位移 )原理
? 拉格朗日乘子与约束力
一、为什么要学习分析力学?
前面是按, 牛顿方式, 研究力学问题,它着重分析力, 动量,
速度, 加速度, 角动量, 力矩等矢量,称作, 矢量力学,, 它运
用牛顿运动定律处理力学问题,称作, 牛顿力学,,
实际力学系统往往存在限制 (约束 ),而约束力又取决于运动情
况,它们作为未知量出现于运动方程中,牛顿方式对于受约束的
力学系统并不方便,
建立了运动方程,并不意味大功告成,因为还没有一般方法求得
运动微分方程的解, 如何寻找方程的积分以及利用这些积分,如何
定性研究解的结构和定量地进行计算,这些都是力学中极为重要的
课题,牛顿方式在这些问题上会遇到困难．
研究光、电磁场、微观粒子等物理现象时,整个牛顿力学的基本
观念都受到了挑战,在人们不得不承认新的物理事实 —— 相对论效
应,波粒二象性等之后,就需要在古典力学理论中寻找这样一种理论,
它能较顺利地超越古典概念的束缚,自然地跳向非古典力学 —— 相
对论力学、量子力学等．
分析力学
analytical mechanics
一般力学 的一个分支。以 广义坐标 为描述质点系的变量，以
虚位移原理 和 达朗贝尔原理 为基础，运用数学分析方法研究宏
观现象中的力学问题。 1788年出版的 J.-L.拉格朗日 的, 分析力
学, 为这门学科奠定了基础。 1834年和 1843年 W.R.哈密顿 建立
了 哈密顿原理 和 正则方程,把分析力学推进一步。 1894年 H.R.
赫兹提出将 约束 和系统分成完整的和非完整的两大类，从此开
始非完整系统分析力学的研究。分析力学的基本内容是阐述 力
学 的普遍原理，由这些原理出发导出质点系的基本运动微分方
程，并研究这些方程本身以及它们的积分方法。近 20年来，又
发展出用近代微分几何的观点来研究分析力学的原理和方法。
分析力学是经典物理学的基础之一，也是整个力学的基础之一。
它广泛用于结构分析、机器动力学与 振动,航天力学,多刚体
系统 和 机器人 动力学以及各种工程技术领域，也可推广应用于
连续介质力学和相对论力学。
分析力学的发源
1788年 拉格朗日 出版的, 分析力学, 是世界上最早的一本分析
力学的著作。分析力学是建立在虚功原理和 达朗贝尔 原理的基础
上。两者结合，可得到动力学普遍方程，从而导出分析力学各种
系统的动力方程。 1760～ 1761年，拉格朗日用这两个原理和理想
约束结合，得到了动力学的普遍方程，几乎所有的分析力学的动
力学方程都是从这个方程直接或间接导出的。
1834年，汉密尔顿推得用广义坐标和广义动量联合表示的动力
学方程，称为正则方程。汉密尔顿体系在多维空间中，可用代表
一个系统的点的路径积分的变分原理研究完整系统的力学问题。
从 1861年有人导出球在水平面上作无滑动的滚动方程开始，到
1899年阿佩尔在, 理性力学, 中提出阿佩尔方程为止，基本上已
完成了线性非完整约束的理论。
20世纪分析力学对非线性、不定常、变质量等力学系统作了进
一步研究，对于运动的稳定性问题作了广泛的研究。
分析力学的主要内容,导出各种力学系统的动力方程，如完整系统的拉格朗日
方程、正则方程，非完整系统的阿佩尔方程等；探求力学的普适原理，如汉密
尔顿原理、最小作用量原理等；探讨力学系统的特性；研究求解运动微分方程
的方法，例如，研究正则变换以求解正则方程；研究相空间代表点的轨迹，以
判别系统的稳定性等。
分析力学解题法和牛顿力学的经典解题法不同，牛顿法把物体系拆开成分离
体，按反作用定律附以约束反力，然后列出运动方程。
分析力学中也可用变分原理 (如汉密尔顿原理 )导出运动微分方程。它的优点
是可以推广到新领域 (如电动力学 )和应用变分学中的近似法来解题。从 20世纪
60年代开始，为了设计复杂的航天器和机器人的需要，发展多刚体系统，并且
跳出了使用动力学函数求导的传统方法来建立动力学方程，所建立的方程能方
便地应用电子计算机进行计算。
在量子力学未建立以前，物理学家曾用分析力学研究微观现象的力学问题。
从 1923年起，量子力学开始建立并逐步完善，才在微观现象的研究领域中取代
了分析力学。但是，掌握分析力学的一些基本知识有助于学好量子力学。例如
用分析力学知识求出汉密尔顿函数，再化成汉密尔顿算符，又自汉密尔顿 -雅可
比方程化成波动力学的基本方程 —— 薛定谔方程等。
爱因斯坦 提出相对论时，也曾把分析力学的一些方法应用于研究速度接近光
速的相对论力学。
分析力学是数学, 力学研究者为克服上述困难所取
得的成果的一部分,在一定程度上解决了上述问题 (并末
全部解决,有关的研究现在还在继续 ),它 给出了力学系统
在完全一般性的 广义坐标 下具有 不 变形式的动力学方程
组, 并突出了 能量函数 的意义,
分析力学概括了比牛顿力学广泛得多的系统,分析力
学的数学形式有着极好的性质,它不仅提供了解决天体力
学及一系列动力学问题的较佳途径,同时给 量子力学的发
展提供了启示,最适于成为引向现代物理的跳板, 其 最小
作用量原理提供了建立相对论力学和量子力学最简练而
富有概括性的出发点,
直到最近,分析力学在非线性非完整系统中的研究,
非保守系统中奇异吸引子的发现以及有关, 浑 沌, 现象
的研究等等,正在丰富分 析 力学的内容,且大大开阔它的
应用范围,
二、约束的概念
机械运动是物体空间位置随着时间的推移而变动,对
机械运动所加的强制性的限制条件叫作 约束,
一个质点可用矢径 r或三个坐标表示,n个质点组成的
系统,则由 n个矢径或 3n个坐标描述,它们确定每一时刻
各质点的 位置 以及质点组的 形状 —— 确定系统的 位形,
约束条件对运动的限制由一些力来体现,这些力一般
不是给定的,而是与运动状况有关的未知力, 因此,对于动
力学问题,约束也应作为一个基本因素加以考虑,
位形不能决定系统的“力学状态”,仅由某时刻的位
形不能预言在下一个时刻系统的位形, 对于 n个质点的系
统，还需知道 n个速度矢量才能确定系统的状态．
给定了某一时刻的 坐标和速度,由动力学方程原则上
单值地确定该时刻的加速度,因而能够唯一地确定下一
个时刻 (或前一个时刻 )的坐标和速度,以此类推,当知道
某一时刻的 状态,就知道了系统在任一时刻的状态,
几乎所有的力学系统都存在着约束 。 例如,刚体内
任意两质点间距 离 不变,两个刚体用铰链连接,轮子无滑
动地滚动,两个质点用不可伸长的绳连接等等, 对状态的
限制也就是对力学系统内各质点的位置和速度加以限制,
其数学表示式是
? ? ( 5, 1 ) 0,,,,,;,,,,321321 ?trrrrrrrrf nn ??????????????
—— 约束方程,坐标和速度必需满足的条件称为 约束条件,
某些约束仅对力学系统的几何位置加以限制,而对各质点的
速度没有限制,这种约束称为 几何约束,其数学表示式是
? ? ( 5, 2 ) 0;,,,,321 ?trrrrf n?????
例如, 刚体内任意两点间的距离保持不变就是一种几何约束,
对于涉及力学系统运动情况的约束,即对速度也有限制的,则
称为 运动约束,其中显 含 速度, 例如半径为 R的圆柱在地面 上 沿着
直线作无滑动地滚动, 这意味着着地点的速度为零,
00 ?? ??? Rx
运动约束亦称为 微分约束 或 速度约束,
几何约束的约束方程虽然不显含速度
项,但实际上它在对位置限制的同时也
对系统的速度给予了限制,事实上,由式
(5.1)对时间求全导数,得
? ? 022 ??? ijji rrr ??
( 5, 3 ) 0
d
d
d
d
d
d3
1
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? t
f
t
z
z
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t
y
y
f
t
x
x
f i
i
i
i
n
i
i
i
有些运动约束又可以通过积分成为几何约束，例如圆柱无滑
动地 滚 动的约束方程很容易积分为
CRx ?? ?0 化成几何约束的约束方程,
可积分的运动约束与几何约束在物理实质上没有区别,合称为 完
整约束, 不可积的运动约束,即 不能化为几何约束的运动约束,它
们在物理实质 上 不同于几何约束,称为 非完整约束,
几何约束 和 运动约束 的分类是按数学表达形式来分类,完 整 约
束 和 非完整约束 的分类是按物理实质 来 分类,
对非完整约束举例
具有尖锐边缘的 薄 圆盘在 粗糙 面 上 无
滑 动地滚动,则 圆 盘的着地点的速度为零,
薄圆盘的盘面是可以转动的,但如盘面始
终保持竖直,着地点的速度为零,可表为
00 ?? ??Rv
把上式投影到 x轴和 y轴上,得
0s in
0c o s
0
0
??
??
??
??
??
??
Ry
Rx
式中 x0和 y0是盘心的坐标, 这两个微分关系是不能积分的,
因为 当薄 圆 盘沿着长度各不 相 同的不同闭合曲线循行一 周 回到原
处时，盘心坐标 (x0,y0)和角 ?都可以回复到原来的值，但 ?却未
必也恰好回复原值, 这就是说，在 x0,y0,?和 ?之间并不存在一种确
定不 变 的关系,这种运动约束是不可能积分的,
再考虑一个冰面上滑行的冰刀的简化模型, 假定将冰刀抽象为以
刚性轻 杆 相连的两个质点,并设 两 质点质 量 相等,杆长为 l,当冰刀
在冰面上运动时,质心 (杆的 中 点 )的速度只能沿杆的方向, 选两质
点在冰面上的坐标为 (x1,y1)和 (x2,y2)，则约束条件为
? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
21
21
21
21
22
21
2
21
yy
xx
yy
xx
lyyxx
??
??
前一个约束条件反映杆长不变,是几何约束,即完整约束, 后一个约
束条件反映质心速度沿杆的方向,是运动约束 ; 由于它是不可积的,
即不能化为几何约束,因而是非完整约束, 后一个约束也可表为
21
21
21
21
dd
dd
yy
xx
yy
xx
?
??
?
?
这意味 着它 是对无限 小 变化的 限制,
约束还分为 稳定约束 和 不稳定约束, 稳定约束不直接依赖于
时间,其数学表达式不显含时间 ; 不稳定约束则明显依赖于时间,
其数学表达式显含时间,
此外，约束还可分为单侧约束 (可解约束 )和双侧约束 (不可解 ).
单侧约束只在某一侧限制系统的运动,至于向另一侧的运动则是
完全自由的, 例如单摆的不可伸长的悬绳限制摆球不得向绳伸长
的方向运动，但向绳缩短的方向运动却是自由的, 单侧约束的数
学表示式是不等式,一般可写为
? ? ( 5, 3 ) 0,,,,,;,,,,321321 ?trrrrrrrrf nn ??????????????
称为约束不等式, 单侧约束是有可能解除的, 约束是否解除或者何
时解除,需要从运动方程解出约束力,再从约束力的指向是否正确
来判断, 双侧约束限制着不论哪一侧的运动,其数学表示式是 (5.1)
或 (5.2)所示的约束方程,
三、约束力
根据牛顿定律,一切影响质点机械运动 的 因素 都 归
结为力, 因 此约束作用 也 可以归结为力, 约束力的大小
随力学系统违背约束的趋势的不同而 自 动调节,使约束
条件总 是 得以满足, 因此出 现在运动方程 中 的约束力 不
可能预先给定,它只能从运动 方程 并结合约束 方 程解出
来,
一般将作 用于第 i个质点的约束力 记作 Ri,而 把作用
于 同 一质点的其余的力称为主动力，记作 Fi,有的资料
把约束力称为约束反力，因为这种力是体现约束条件的
实体跟违背约束趋势对抗的反作用力,
阻碍物体运动的 周围物体 —— 约束
约束与约束反力的概念
约束对物体的作用力
称为 约束反力
简 称 反力
约束反力的方向总是与约束所能阻止物
体的运动方向相反
几类平面 约束
绳索、链条、皮带
1、柔性体约束
绳索的约束反力
沿绳索中心线，离
开物体，为拉力。
2、光滑面约束
光滑接触的约束反力
通过接触点，沿接触面
在该点的公法线方向，
为压力。
3、圆柱铰链约束
上摆
销钉
下摆
固定铰支座
受力分析
固定铰支座的约束反力
通过销钉中心，在垂直销
钉轴线的平面内，方向不
定。
销钉
中间铰
滚动铰支座 上摆
销钉
底板
滚轮
滚动铰支座的约束反力
通过销钉中心，垂直于支
承面，指向物体。
简化表示：
约束力表示：
4、连杆支座
连杆支座的约束力
沿连杆中心线，指向不
定。
二力构件：受两力作用平衡的构件
F
F
连杆
5、固定端约束
烟筒，电线杆，悬臂粱，机床的卡盘
固定端约束 的约束反力
作用在固定端的一个力，和一个
力偶，力的方向不定
?
活动铰支座
固定铰支座
物体的受力分析
确定构件受几个力，每个力的作用
位置和力的作用方向，这种分析过程
称为物体的受力分析。
主动力：已知的力
被动力：约束反力
取分离体 -----将所要研究的物体从周围的物
体中分离出来，单独画出它的
简图。
画受力图 -----将施力物体对研究对象的作用
力全部画出来。
受力分析的步骤：
F
F
F
F
F
F
F
F
例, 画各构件的受力图
二力构件
P
F
F
P
F F
F
F
F
F
F
F
F FF F F
画受力图必须注意以下几点：
1.明确研究对象
2.正确确定研究对象受力数目
3.正确画出约束反力
4.注意物体间相互作用力的方向
无论是静力学问题还是动力
学问题，在求解时，都需首先分
析物体的受力情况。故而，物体
的受力分析是力学的基础，也是
力学的重点。
四、自由度和广义坐标
n个质点系统由 n个位矢 rl,r 2,…,rn确定,或 由 N＝ 3n个
直角坐标,(x1,yl,z1),…,(xn,yn,zn)表示, 如果该系
统存在 m个完整约束
那么，在 N个坐标之中，有 m个坐标 可 以从方程组 (5.4)
“解出”,即有 m个坐标可用其余 N-m个坐标表出，因此
只剩下 s=N-m个独立坐标,
? ? ( 5, 4 ) ),1,2,( 0;,,,,321 mitrrrrf ni ?????? ??
系统的独 立 坐标的个数 s叫作 系统在有限 运动中的 自
由度 —— 单值地确定一个系统的位形所必需的独立量的
数目,
每一个完整约束方程使力学系统减少一个独立坐标,
也就是说,使有限运动的自由度降低一,
独立坐标并不一定在原来的 N个坐标中挑选,完全可
以自由地选定, 这一组独立参数叫作力学系统的 广义坐标,
既然广义坐标描写的力学系统的几何形象一定满足
系统的完整约束条件,在引用广义坐标之后,就不必再把
完整约束方程另外提出来,
一般来说,广义坐标不再三个一组地组成矢量,其量纲也不
一定是长度量纲, 例如被约束在球面上的质点可用经度和纬度这
两个角度作为广义坐标, 凡 可以确定力学系统几何形象的任何物
理量,都可造作广义坐标,
广义坐标表征系统的位形，
),1,2,( )(i si tqq i ???
其随时间的变化率称为广义速度, 显然,广义速度的量纲也不一
定是速度量纲, 对于只有完整约束的力学系统来说不仅 s个广义
坐标全是独立 的,而且 s个广义速度也全是独立的,
系统的运动可表达为广义坐标 q1,q2,…,qs随时间的变化,即有
? ? ( 5, 5 ) ),1,2,(,,,21ii ni qqqrr s ???? ??
如果力学系统除了 m个完整约束外, 还存在 k个非完整约束,则
这时并不能解出 k个坐标, 所以 非完整约束不能减少独立坐标的个
数,但非完整约束却会减少独立速度分 量 的个数, 这意味着减少独
立 的坐标 无 限小变化的个数, 我们称 独 立 速度分 量 的个数为力学系
统在 无 限 小 运动中的自由 度, 不 论是完整约束还是非完整约束,都
能使力学系 统得 无限小运动中的 自由度 降低一,
总之,n个质点的力学系统,若存在着 m个完整约束
和 k个非完整约束,那么,质点的直角坐标数 N＝ 3n,广义
坐标个数等于 N-m,运动 自由度等于 N-m-k,对于只存在
完整约束的系统 (k＝ 0),广义坐标的个数就是 运动 自由
度, 如果存在非完整约束 (k>0),广义坐标的个数大于 运
动 自由度, 运用广义坐标后,不再需要考虑完整约束,但
非完整约束仍需考虑,并应将它用相应的广义速度表示,
五、虚功原理
1 实位移和虚位移
质点由于运动实际发生的位移,叫做实位移, 用 dr表示,
想象的质点在约束许可情况下发生的位移,叫做 虚位移, 用 ?r表
示, 虚位移只决定于质点在此时的位置和加在它上面的约束,而
不是由于时间变化所引起的,
虚位移和实位移的区别是实位移要满足运动方程,而虚位
移只需要满足约束, 在稳定约束下,实位移是无限多虚位移中的
一个, 而在不稳定约束时,可能二者不一致,
设有 n个质点的系统,存在 m个完整约束,其约束方程
),1,2,( 0),,,,( 21 mi trrrf ni ????? ??
设 是满足约束条件的虚位移,则
nrrr
???? ???,,,
21
),1,2,( 0),,,,( 2211 mi trrrrrrf nni ???????? ????? ???
对 ?ri 作多元函数的泰勒展开 (t 被“冻结” ),略去二次以上的
项,
),1,2,( 0),,,,(
1
21 mj rtrrrf i
n
i
nji ?
????? ?????
?
?
满足上式的一组 ?ri就是虚位移,
而真实位移 dri是一个在时间 dt间隔中完成的位移,为使其
满足约束条件,必须
),1,2,( 0)d,d,,d,d( 2211 mi ttrrrrrrf nni ???????? ??????
于是得
),1,2,( 0d/d
1
mj ttfrf ji
n
i
ji ?
? ?????????
?
是约束对真实位移的限制条件,即时间不被“冻结”的可能位
移应满足的条件, 如约束是稳定的,虚实 位移 相同,
虚位移与实位移比较表
虚位移 实位移
共同点 为约束所允许 为约束所允许
不同点
1）与主动力、作用时间、初始条件无关；
2）是可能位移，可有多个或无穷多个；
3）无限微量。
与左边三个因素有关唯一的，方向
确定有限量
表示方
法
用变分符号表示。
如 等
用微分符号表示。
如 等
相互关
系
在定常约束情况下，实位移是虚位移中的一
个。
虚位移的计算
虚位移的计算主要指求质点系中各质点的虚位移之间
的关系。有几何法和解析法两种。
几何法 —— 直接利用约束条件求各点虚位移之间关系
的一种方法。约束条件是指几何关系、运动关系。
解析法 —— 用坐标变分的方法来求各点虚位移之间关
系的一种方法。
2 虚功
作用在质点上的力在任意虚位移 ?r中所作得功,叫做
虚功,
如果作用在一个力学系统上所有作用反力在任意
虚位移中所作得虚功之和为零,即
( 5,6 ) 0
1
???
?
n
i
ii rR
?? ?
那么系统受到得约束叫做 理想约束, 一切光滑接触以及
刚体等都是理想约束,
例 1:质点沿 固定 的光滑曲面运动,约束方程为 0),,( ?zyxf
质点的虚位移应满足
0),,(),,(),,( ????????? zz zyxfyy zyxfxx zyxf ???
???
?
???
?
?
?
?
?
?
??
z
zyxf
y
zyxf
x
zyxfR ),,(,),,(,),,(??
即虚位移垂直于曲面的法向 ( ),由于约束面是光滑的,
约束力沿曲面的法向,即 z
f
y
f
x
f
?
?
?
?
?
?,,
因此虚功为
0),,(),,(),,( ???
?
?
???
?
?
??
?
??
?
???? z
z
zyxfy
y
zyxfx
x
zyxfrRW ?????? ??
例 2,质点沿运动的光滑曲面运动,约束方程为 0),,,( ?tzyxf
质点的虚位移应满足
0????????? zzfyyfxxf ???
即虚位移 仍 垂直于曲面的法向, 而 约束力沿曲面的法向,所以虚功
也仍为零,
注意,这里约束力所作的真实的功并不为零,因为真实位移 dr满足
0dddd ???????????? ttfzzfyyfxxf
它并不垂直于曲面的法向,约束力的虚功为零,这完全是因为虚位
移在“冻结”了的 (?t＝ 0)曲面的切平面上,
例 3:质点约束在光 滑 曲线上运动, 这种情形可以看成质点约束在两
个光滑曲面上的运动,其约束方程为
?
?
?
?
?
0),,,(
0),,,(
2
1
tzyxf
tzyxf
质点的虚位移应满足
?
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0
0
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z
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y
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z
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y
y
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x
x
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质点的虚位移应满足
?
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0
0
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111
z
z
f
y
y
f
x
x
f
z
z
f
y
y
f
x
x
f
???
???
这也是约束力和虚位移垂直的情况, 故虚功为零,
例 4,刚性约束, 刚体中两质点的径矢分别为 ri和 rj,则约束方程为
? ? 022 ??? ijji lrr ??
因 约束力是一对内力,大小相等方向相反,即 Ri＝ － Rj＝ ?(ri－ rj).
由约束方程可知虚位移满足
? ? ? ? 02 ???? jiji rrrr ???? ??
因此约束力的虚功
? ? ? ? 0????????? jijijjii rrrrrRrRW ???????? ??????
3 虚功原理
当系 统处于平衡 时,系统每一质点都是处于平衡,
这样,作用于第 i个质点的主动力 Fi和约束力 Ri的合力应
为零,即
( 5, 7 ) 0?? ii RF ??
于是,作用于第 i质点所有各力的虚功之和为零
0???? iiii rRrF ???? ??
( 5, 8 ) 0
11
????? ??
??
n
i
ii
n
i
ii rRrF
???? ??
在理想约束条件 下,如果系统处于平衡状态,则其平衡
条件为
( 5,9 ) 0
1
??? ?
?
n
i
ii rFW
?? ??
这称为 虚功原理, 显然, 当一个只有理想约束的系统处
于平衡状态时,作 用 于该系统的所有主动力的虚功之
总和为零,
? ? ( 5, 9 ) 0
1
?
?
???
n
i
iiziiyiix zFyFxF ???
其实,即使 是 非理想的约束,仍然 可 以 使 用 虚 功原理, 只
要把 F理解为既包括主动力又 包括非 理想约束反力即可,
4 广义坐标下的虚功原理
由于 虚位移不独立,因而 上述虚功原理 不能 消除虚位
移来 得出平衡时 系统的 受力, 为解 决 这个困难,采 用广义
坐标, 任何一个质点的矢径 ri都可用 s个广义坐标表示,
? ? ( 5, 1 0 ) ;,,,21 tqqqrr sii ??? ?
质点虚位移也可用广义坐 标 的虚位移 (广义 虚 位移 )表示,
( 5, 1 1 )
1
?
? ?
?? qqrr
s
i
i ?
? ?
?? ??
这样在广义坐标中得到平衡方程为,
( 5.1 2) Q
111
1 11
?
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??
?
? ?
??
???
q
r
F
q
q
r
FrFW
sn
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i
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?
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??
??
Q?是 q?的函数, 由于广义虚位移是相互独立的,所以
( 5, 1 3 ) ),,2,1( 0
11
sqzFqyFqxFq rFQ
n
i
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iz
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Q?叫做广义力, 它的数目和力学体系的自由度数相等,
5 主动力为保守力的情况
在主动力是保守力的情况下,广义力 Q?的表达式
很容易求得,
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1
Q?
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V
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并且此时平衡方程为 0?
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V
上式具有鲜明的物理意义, 保守力作用下的力学系统,如处于平
衡,则势能取极值,
