第四讲
质点动力学
动量定理
本讲导读
? 牛顿三定律、惯性、力
? 惯性系、非惯性系、惯性力
? 力学相对性原理、伽利略变换
? 动量、冲量
? 动量守恒定理适用范围
? 质心、质心运动定理
? 质点动力学问题分析方法
惯性, 物体保持其运动状态不变的性质
力,物体间相互作用
1 牛顿第一定律
2 牛顿第二定律
动量,vmP ?? ?
注意,质点 惯性系 瞬时性 矢量性
dt
pdF ?? ?
??
i
iFF
??
3 牛顿第三定律
注意,二力同时存在,分别作用于两个物体上，属同一性质的力
baab FF
?? ??
一、质点运动定律
mg
F
T
惯性系 牛顿定律成立的参考系
非惯性系 相对于惯性系作加速运动的参考系
a??
y′
x′
二、惯性系与非惯性系
(i) 力学相对性原理 力学定律在一切惯性系中数学形式不变
对于描述
力学规律而
言，一切惯
性系都是平
权 的、等价
的。
在一个惯
性系中所做
的任何力学
实验，都不
能判断该惯
性系相对于
其它惯性系
的运动 。
,关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话, 伽利略 1632
舟行而不觉
1 力学相对性原理和伽利略变换
(ii) 牛顿的绝对时空观
绝对的空间，就其本性而言，是与任何外界
事物无关而永远相同和不动的。
绝对的、真正的和数学的时间自身在流逝着，
而且由于其本性而均匀地与任何外界事物无
关地流逝着。
—— 牛顿
长度的量度和时间的量度 都与参考系无关 ！？
(iii) 伽利略变换
y
xx?o
z?z
y?
vt
o?
s?s P
在两个惯性系中考察
同一物理事件
两个惯性系,ss ?
一物理事件,质点到达 P 点
两个惯性系的描述分别为,),,,( tzyx
),,,( tzyx ????
y
xx?o
z?z
y?
vt
o?
s?s P
两个描述的关系称为 变换
,0??? tt 坐标原点重合
tt
zz
yy
vtxx
??
??
??
???
tt
zz
yy
vtxx
??
??
??
???
逆变换正变换
伽利略变换中默认了绝对时空
速度变换,)()( vtx
dt
dvtx
td
d
td
xd ???
???
?
zz
yy
xx
uu
uu
vuu
??
??
???
vuu ??? ???
x轴方向有相
对匀速运动
空间 有相对
匀速运动
加速度变换,aa ?? ??
经典力学规律具有伽利略变换不变性：
amFS ?? ?：
amFS ???? ??,
惯性力, 为了使牛顿第二定律在非惯性系内
成立而引入的一个虚构的力。
a??
amQ ??? ??
mg
T
amQ ?? ???
在非惯性系中，牛顿运动定律表示为：
amQF ??? ??
2 惯性力
牛顿运动定律,amF ?? ?
dt
pd
dt
vmdF ??? ?? )(
dtFpd ?? ??
如果力的作用时间从,质点动量从tt ?
0 pp
?? ?
0
?? ?? ttpp oo dtFpd ??
?
?
1 质点动量定理,质点在运动过程中，所受合外力的
冲量等于质点动量的增量
00 vmvmppdtFI
t
t o
?????? ?????? ?
三、动量定理
平均冲力：
? ???
t
t o
dtF
tt
F
??
0
1
F
F(t)
F
t
冲量：
o
t
t
ppdtFtFI
o
????? ?????? ?
2 质点系的动量定理
设 有 n个质点构成一个系统
第 i个质点：
外力
iF
?内力
if
?
初速度
iov
?
末速度
iv
?
质量
im
i
由质点动量定理,? ?
ioiii
t
t ii
vmvmdtfF
o
???? ????
? ? ? ?? ? ? ??? ioiiit
t ii
vmvmdtfF
o
????
? ? 0if?其中：
1f
?
2f
?系统总末动量,?
? iivmP ??
系统总初动量,?
? ioivmP ??0
合外力的冲量,? ?t
t i
dtF
0
?
m2
m1外力
质点系的动量定理：
质点系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。
PPPdtFt
t i
???? ????? ?
0
0
微分式：
dt
PdF
i
??
??
系统所受合外力为零时,系统的总动量保持不变
常矢量?? ? ii vmP ?? 条件,? ? 0iF?
动量守恒定律
1 系统的总动量守恒并不意味着系统内各个质点
的动量不变，而是指系统动量总和不变
2 当外力作用远小于内力作用时，可近似认为系
统的总动量守恒 (如：碰撞，打击等 )
动量守恒定律是物理学中最重要、最普遍的定律
之一，它不仅适合宏观物体，同样也适合微观领域
四、动量守恒定律
1 质心
质点系质量分布的平均位置，
称为质点系的 质量中心 简称
,质心,
n个质点，质量,m1,m2,?, mn
质心位置：
M
rm
mmm
rmrmrmr ii
n
nn
c
??
???
???? ?
?
?????
21
2211
位置矢量：
1r
?
2r
?
nr
??
1r
?
2r
?
z
y
x
C
cr
?
五,质心 质心运动定理
质心位置的分量式：
?
??
i
ii
c m
xmx
?
??
i
ii
c m
ymy
?
??
i
ii
c m
zmz
连续体的质心位置：
?
??
dm
x d m
x c
?
??
dm
y d m
y c
?
??
dm
zd m
z c
对于密度均匀，形状对称的物体，其
质心都在它的几何中心,
说明：
2 质心运动定理
?? iic vmvM ??
由质点系动量定理,? ?
dt
vdM
dt
vdmvm
dt
d
dt
PdF ci
iiii
?????
???? ???
显然
? ? ci aMF ??质心运动定理：
质心的运动等同于一个质点的运动，这个质
点具有质点系的总质量 M，它受到的外力为质点
系所受所有外力的矢量和,系统受合外力为零，质
心的速度为恒量,
（ 1） 确定研究对象,对于物体系，画出隔离图,
（ 2） 进行受力分析，画出示力图,建立坐标系,
（ 3） 建立运动微分方程 (分量式 ),找出有关的几何关系,
（ 4） 解方程,
（ 5） 思考、分析结论,
六、质点动力学问题的求解
例 1,一质量为 m的小立方块置于
旋转漏斗内壁,漏斗以转速 v旋转, 设
漏斗与水平方向夹角为 ?,立方块与
漏斗表面间的摩擦系数为 ?,求使得
立方块不滑动的最大转速 vmax和最
小转速 vmin.
解, 受力分析发现立方块受到 4个
力的作用
fN FrvmmgF,)2(,,2?
不滑向漏斗口的条件 0s i n)2(c o s 2 ??? ??? rvmmgF
N
0s i nc o s)2( 2 ??? fFmgrvm ???
Nf FF ??合并上述式子,得
? ? ? ???????? c o ss i ns i nc o s)2( 2 ??? grv (1)
考虑不等号,乘除运算要注意因子的正负,当
0s inc o s ?? ??? 即 ?? c o t?
?
??????
s i n
1c o tc o ss i nc o ss i n ????则
对于 0<?<?/2,不管 v取什么值,上述不滑出条件 (1)都满足
? ?
? ?
2
m a x
2 )2(
s i nc o s
c o ss i n)2( v
r
gv ?
???
???? ?
?
??
?? c o t?当 由 (1)式得
对于 0>?>-?/2,则总有 cos?－ ?sin?>0,还需要满足
?? ta n??
否则立方块将肯定滑出,对于 ?,?作图,得
不滑向中心的条件 0s i n)2(c o s 2 ??? ??? rvmmgF
N
0c o s)2(s i n 2 ??? fFrvmmg ???
Nf FF ??
显然对 -?/2<??0,总满足不滑进条件, 对 ?/2>?> 0时,条件为
? ? ? ???????? c o ss i ns i nc o s)2( 2 ??? grv
0c o ss in ?? ??? 即 ?? ta n?当
永远不会滑进中心
永不出条件不出
肯定出
?? ta n?当 则可能滑向中心
? ?
? ?
2
m i n
2 )2(
s i nc o s
c o ss i n)2( v
r
gv ?
???
???? ?
?
??
永远不进
条件不进
把从漏斗出去和滑进中心的条件结合在一起讨
论,得到一个完整相图
肯定出
永不进
条件出
永不进
永不出
永不进
条件出
条件进
永不出
条件进
通常的结果区
例 2,单摆是由一质量为 m的质点用长为
L的弦或者轻杆悬挂在点 O构成的, 假定
弦不能伸长,且质量可以忽略,研究单摆的
运动规律,
O
L
FT
mg
?
解, 分析受力,得到运动方程为
径向,
横向,
)(c o s 2?? ?LmFmg T ??? (1)
?? ??mLmg ?? s in (2)
改写方程 (2)
对于小角度,sin?~?,方程简化为
0?? ?? Lg??
通解为 ? ?
0c o s ??? ?? tA
考虑初始条件 0)0(,)0(
0 ???? tt ??? ?
0s in ?? ?? Lg?? (3)
? ? Lgt ?? 20 ????,c o s 00得到解
对于一般情况,方程 (3)可积分一次得到
? ?02 c osc os2 ??? ?? Lg?
完整的解需要特殊函数,我们作图可以看出,角度越
大,频率越低,不是固定频率的形式,
其实只要我们简单考虑 (3) 0s in ??
?
??
?
?? ?
?
??
L
g??
就可以看出频率随角度的变化
例 3,质量为 m的小环套在半径
为 R的光滑大圆环上,后者绕竖
直直径以匀角速度 ?转动, 试求
小环的平衡位置随 ?的变化,
解,如图用 ?来标志小环的位置,在随
大环转动的参照系内,相对大环静止
的小环在切线方向受力平衡
A
B
CD
R
O
? ?
mg
mr?2
? ? 0c o ss in 2 ?? gR ???
2c o s,0s i n ??? R
g?? o r 即
第一组平衡位置 ?=0和 ?,即最高和最低点,
第二组平衡位置为
?
?
??
?
??
20 a r c c os ?? R
g
这有对称分布在转轴两侧的两个平衡位置,显然必须
?大于临界值
R
g
c ??
进一步分析表明, 若从静
止缓慢地增加大环的角
速度,在未出现平衡位置 C、
D前,最低点 A是稳定的,最
高点 B是不稳定的, 当角
速度大于临界值以后,新
的平衡位置 C,D都是稳
定的,而 A失去稳定性,
?0
?/2
0 1 ?/?
c
失稳
例 4,当质量为 m的人在质量为 M的车上行走时,如车与
地的摩擦可以忽略,已知人对地速度为 v1,或已知人对车
的速度为 v’,试计算车对地的速度 v2.设开始时人和车相
对地是静止的,
v1 m
v2
M解, 由于重力和地面支持力抵消,各种阻力忽略,故系统动量
守恒,如已知人对地速度为 v1,
而开始时人和车相对地是静止
021 ??? Mvmv 得
12 vv Mm??
如已知人对车速度为 v’,则应用动量守恒时要写成同
一惯性系中的速度,所以
? ? 0' 22 ???? Mvvvm 得 '2 vv Mm m???
例 5、鸵鸟是当今世界上最大的鸟，有人说它不会飞
是翅膀的退化, 但是如果它长一副和身体成比例的翅
膀,它能飞起来吗?
解：飞翔的条件是空气的上举力至少等于体重,空气
上举力 (与空气阻力一样的公式 )为, 2CS vf ?
式中 C为比例常数,S为翅膀的面积,飞翔的条件
mgf ?,即
CS
mgv ?
我们做简单的几何相似性假设,设鸟的几何线度为 l,质
量 m?l3,S ~l2,于是起飞的临界速度 lv
c ?
燕子最小滑翔速度大约 20km/h,鸵鸟体长是燕子的大约
25倍,显然它要飞翔的速度最少是燕子的 5倍,这是飞机
的起飞速度,鸵鸟奔跑的速度实际上只有 40km/h.
思考问题：
?拔河比赛胜负的关键是什么？
摩擦力的大小，大者赢
?马德堡半球是用两队各 8匹马向相反方向
拉开的，如果一端拴在固定物上，另一端
需要几匹马，采用拉开半球？
还是 8匹
?大人国是否能够存在,利用几何相似性分析之,
不可能,重力就会压坏他
七、作 业
? 1.19 1.24 1.31
? 2.4
质点动力学
动量定理
本讲导读
? 牛顿三定律、惯性、力
? 惯性系、非惯性系、惯性力
? 力学相对性原理、伽利略变换
? 动量、冲量
? 动量守恒定理适用范围
? 质心、质心运动定理
? 质点动力学问题分析方法
惯性, 物体保持其运动状态不变的性质
力,物体间相互作用
1 牛顿第一定律
2 牛顿第二定律
动量,vmP ?? ?
注意,质点 惯性系 瞬时性 矢量性
dt
pdF ?? ?
??
i
iFF
??
3 牛顿第三定律
注意,二力同时存在,分别作用于两个物体上，属同一性质的力
baab FF
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一、质点运动定律
mg
F
T
惯性系 牛顿定律成立的参考系
非惯性系 相对于惯性系作加速运动的参考系
a??
y′
x′
二、惯性系与非惯性系
(i) 力学相对性原理 力学定律在一切惯性系中数学形式不变
对于描述
力学规律而
言，一切惯
性系都是平
权 的、等价
的。
在一个惯
性系中所做
的任何力学
实验，都不
能判断该惯
性系相对于
其它惯性系
的运动 。
,关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话, 伽利略 1632
舟行而不觉
1 力学相对性原理和伽利略变换
(ii) 牛顿的绝对时空观
绝对的空间，就其本性而言，是与任何外界
事物无关而永远相同和不动的。
绝对的、真正的和数学的时间自身在流逝着，
而且由于其本性而均匀地与任何外界事物无
关地流逝着。
—— 牛顿
长度的量度和时间的量度 都与参考系无关 ！？
(iii) 伽利略变换
y
xx?o
z?z
y?
vt
o?
s?s P
在两个惯性系中考察
同一物理事件
两个惯性系,ss ?
一物理事件,质点到达 P 点
两个惯性系的描述分别为,),,,( tzyx
),,,( tzyx ????
y
xx?o
z?z
y?
vt
o?
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两个描述的关系称为 变换
,0??? tt 坐标原点重合
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伽利略变换中默认了绝对时空
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yy
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vuu
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vuu ??? ???
x轴方向有相
对匀速运动
空间 有相对
匀速运动
加速度变换,aa ?? ??
经典力学规律具有伽利略变换不变性：
amFS ?? ?：
amFS ???? ??,
惯性力, 为了使牛顿第二定律在非惯性系内
成立而引入的一个虚构的力。
a??
amQ ??? ??
mg
T
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在非惯性系中，牛顿运动定律表示为：
amQF ??? ??
2 惯性力
牛顿运动定律,amF ?? ?
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如果力的作用时间从,质点动量从tt ?
0 pp
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1 质点动量定理,质点在运动过程中，所受合外力的
冲量等于质点动量的增量
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三、动量定理
平均冲力：
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冲量：
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2 质点系的动量定理
设 有 n个质点构成一个系统
第 i个质点：
外力
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初速度
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末速度
iv
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质量
im
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由质点动量定理,? ?
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系统总初动量,?
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质点系的动量定理：
质点系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。
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系统所受合外力为零时,系统的总动量保持不变
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动量守恒定律
1 系统的总动量守恒并不意味着系统内各个质点
的动量不变，而是指系统动量总和不变
2 当外力作用远小于内力作用时，可近似认为系
统的总动量守恒 (如：碰撞，打击等 )
动量守恒定律是物理学中最重要、最普遍的定律
之一，它不仅适合宏观物体，同样也适合微观领域
四、动量守恒定律
1 质心
质点系质量分布的平均位置，
称为质点系的 质量中心 简称
,质心,
n个质点，质量,m1,m2,?, mn
质心位置：
M
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五,质心 质心运动定理
质心位置的分量式：
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对于密度均匀，形状对称的物体，其
质心都在它的几何中心,
说明：
2 质心运动定理
?? iic vmvM ??
由质点系动量定理,? ?
dt
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iiii
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显然
? ? ci aMF ??质心运动定理：
质心的运动等同于一个质点的运动，这个质
点具有质点系的总质量 M，它受到的外力为质点
系所受所有外力的矢量和,系统受合外力为零，质
心的速度为恒量,
（ 1） 确定研究对象,对于物体系，画出隔离图,
（ 2） 进行受力分析，画出示力图,建立坐标系,
（ 3） 建立运动微分方程 (分量式 ),找出有关的几何关系,
（ 4） 解方程,
（ 5） 思考、分析结论,
六、质点动力学问题的求解
例 1,一质量为 m的小立方块置于
旋转漏斗内壁,漏斗以转速 v旋转, 设
漏斗与水平方向夹角为 ?,立方块与
漏斗表面间的摩擦系数为 ?,求使得
立方块不滑动的最大转速 vmax和最
小转速 vmin.
解, 受力分析发现立方块受到 4个
力的作用
fN FrvmmgF,)2(,,2?
不滑向漏斗口的条件 0s i n)2(c o s 2 ??? ??? rvmmgF
N
0s i nc o s)2( 2 ??? fFmgrvm ???
Nf FF ??合并上述式子,得
? ? ? ???????? c o ss i ns i nc o s)2( 2 ??? grv (1)
考虑不等号,乘除运算要注意因子的正负,当
0s inc o s ?? ??? 即 ?? c o t?
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??????
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对于 0<?<?/2,不管 v取什么值,上述不滑出条件 (1)都满足
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对于 0>?>-?/2,则总有 cos?－ ?sin?>0,还需要满足
?? ta n??
否则立方块将肯定滑出,对于 ?,?作图,得
不滑向中心的条件 0s i n)2(c o s 2 ??? ??? rvmmgF
N
0c o s)2(s i n 2 ??? fFrvmmg ???
Nf FF ??
显然对 -?/2<??0,总满足不滑进条件, 对 ?/2>?> 0时,条件为
? ? ? ???????? c o ss i ns i nc o s)2( 2 ??? grv
0c o ss in ?? ??? 即 ?? ta n?当
永远不会滑进中心
永不出条件不出
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论,得到一个完整相图
肯定出
永不进
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永不进
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永不进
条件出
条件进
永不出
条件进
通常的结果区
例 2,单摆是由一质量为 m的质点用长为
L的弦或者轻杆悬挂在点 O构成的, 假定
弦不能伸长,且质量可以忽略,研究单摆的
运动规律,
O
L
FT
mg
?
解, 分析受力,得到运动方程为
径向,
横向,
)(c o s 2?? ?LmFmg T ??? (1)
?? ??mLmg ?? s in (2)
改写方程 (2)
对于小角度,sin?~?,方程简化为
0?? ?? Lg??
通解为 ? ?
0c o s ??? ?? tA
考虑初始条件 0)0(,)0(
0 ???? tt ??? ?
0s in ?? ?? Lg?? (3)
? ? Lgt ?? 20 ????,c o s 00得到解
对于一般情况,方程 (3)可积分一次得到
? ?02 c osc os2 ??? ?? Lg?
完整的解需要特殊函数,我们作图可以看出,角度越
大,频率越低,不是固定频率的形式,
其实只要我们简单考虑 (3) 0s in ??
?
??
?
?? ?
?
??
L
g??
就可以看出频率随角度的变化
例 3,质量为 m的小环套在半径
为 R的光滑大圆环上,后者绕竖
直直径以匀角速度 ?转动, 试求
小环的平衡位置随 ?的变化,
解,如图用 ?来标志小环的位置,在随
大环转动的参照系内,相对大环静止
的小环在切线方向受力平衡
A
B
CD
R
O
? ?
mg
mr?2
? ? 0c o ss in 2 ?? gR ???
2c o s,0s i n ??? R
g?? o r 即
第一组平衡位置 ?=0和 ?,即最高和最低点,
第二组平衡位置为
?
?
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20 a r c c os ?? R
g
这有对称分布在转轴两侧的两个平衡位置,显然必须
?大于临界值
R
g
c ??
进一步分析表明, 若从静
止缓慢地增加大环的角
速度,在未出现平衡位置 C、
D前,最低点 A是稳定的,最
高点 B是不稳定的, 当角
速度大于临界值以后,新
的平衡位置 C,D都是稳
定的,而 A失去稳定性,
?0
?/2
0 1 ?/?
c
失稳
例 4,当质量为 m的人在质量为 M的车上行走时,如车与
地的摩擦可以忽略,已知人对地速度为 v1,或已知人对车
的速度为 v’,试计算车对地的速度 v2.设开始时人和车相
对地是静止的,
v1 m
v2
M解, 由于重力和地面支持力抵消,各种阻力忽略,故系统动量
守恒,如已知人对地速度为 v1,
而开始时人和车相对地是静止
021 ??? Mvmv 得
12 vv Mm??
如已知人对车速度为 v’,则应用动量守恒时要写成同
一惯性系中的速度,所以
? ? 0' 22 ???? Mvvvm 得 '2 vv Mm m???
例 5、鸵鸟是当今世界上最大的鸟，有人说它不会飞
是翅膀的退化, 但是如果它长一副和身体成比例的翅
膀,它能飞起来吗?
解：飞翔的条件是空气的上举力至少等于体重,空气
上举力 (与空气阻力一样的公式 )为, 2CS vf ?
式中 C为比例常数,S为翅膀的面积,飞翔的条件
mgf ?,即
CS
mgv ?
我们做简单的几何相似性假设,设鸟的几何线度为 l,质
量 m?l3,S ~l2,于是起飞的临界速度 lv
c ?
燕子最小滑翔速度大约 20km/h,鸵鸟体长是燕子的大约
25倍,显然它要飞翔的速度最少是燕子的 5倍,这是飞机
的起飞速度,鸵鸟奔跑的速度实际上只有 40km/h.
思考问题：
?拔河比赛胜负的关键是什么？
摩擦力的大小，大者赢
?马德堡半球是用两队各 8匹马向相反方向
拉开的，如果一端拴在固定物上，另一端
需要几匹马，采用拉开半球？
还是 8匹
?大人国是否能够存在,利用几何相似性分析之,
不可能,重力就会压坏他
七、作 业
? 1.19 1.24 1.31
? 2.4
