第五讲
变质量物体
及角动量守恒定律
本 讲 导 读
?变质量物体的运动
?力矩、冲量矩、角动量
?类比法
?质点对固定点、固定轴的角动量定理
?角动量守恒定律
?对质心的角动量定理
Lp
MF
??
??
?
?
t
LM
t
pF
d
d
d
d
????
???
物体质量不为常数的情况，火箭、传送带、雨滴等．
设一物体在 t时质量为 m，速度是 v，同时一微小质
量 ?m以速度 u运动，并在 ?t时间内与 m相合并，合并后
共同速度是 v+?v,如果作用在 m及 ?m上的合外力为 F，
则由动量定理，得
? ? tFumvmvvmm ????????? ?????)(
一、变质量物体的运动方程
只保留一阶小量,得
Futmvmt
???
?? dd)(dd
u是代表微质量 ?m末与 m合并以前或自 m分出后一刹
那的速度, 如 u = 0,则可以简化为
Fvmt
??
?)(dd
如果 u = v,则简化为牛顿运动方程的形式,
例 1、已知火箭从静止开始发射，质量为 kg1072.2 60 ??m
火箭以 k g / s1029.1
d
d 3???
t
m 速率喷射气体, 气体喷出
速度为 m / s1050.5 4??
r e lv
求火箭在发射 155秒的速度,
解, 受力只有重力,所以
gmvtmvmt r e l ??? ?? dd)(dd
选取向上为正向
gtmmvtv r e l ??? dddd ??? ???
tm
m
r e l
v
v
tg
m
mvv ff
0
ddd
00
gt
m
mvvv
f
r e lf ??
?
?
?
?
?
?
?
?? 00 ln
从题已知,
? ?
kg102,5 2
kg1551029.11072.2
d
d
6
46
0
??
?????
?? t
t
m
mm
f
m / s1068.2 3??fv所以
1,对定点的力矩
设作用力 作用于矢
径为 的某一点上
F?
r?
FrM ??? ?? 单位,N·m
作用力 对参考原点 O 的力矩定义为：F?
F?
r?O ?
d
M?
二、力矩与角动量
FrM ??? ??
力矩的大小,?s inFrM ?
力矩的方向,位矢 与作用力 的矢积方向F?r?
力臂,作用力线到参考点 O 的垂直距离 (d =rsin?)
F?
r?O ?
d
M?
z
?F
?
r?
?F
?
?
d
对转轴力矩的定义：
在垂直于转轴的平面
内，外力 与力线到转
轴的距离 d 的乘积定义为
对转轴的力矩,
?F
?
??? FrM
???
对于定轴转动，规定：
力矩逆时针方向 为正,M?
力矩顺时针方向 为负,M?
M?
F?
2,对定轴的力矩
求作用力 对空间某轴的力矩,
考虑分量,力对原点的力矩为
F?
r? F
x
y
z(L)
Fy
Fz
O
? ? ? ? ? ?kyFxFjxFzFizFyF
FFF
zyx
kji
FrM
xyzxyz
zyx
???
???
???
??????
???
上式中三个分量是力矩在三个坐标轴的分量,也就是
力分别对三坐标轴的力矩, 所以求力对轴的力矩,可
以先求对轴上一点的力矩,再投影到轴的方向,
3 力偶
如果两个平行力 F2=－ F1=F,但不作用在同一直线
上，此时二者合力为零，但是对空间任何一点的
力矩不为零,
F1
F2
O1 O2
A
Br?
P为力偶面内的任何一
点,则二力对 P的总力矩
值为
FABFPAFPB ????? 12
力偶矩是力偶唯一的力学效果,是矢量, 但这个矢
量可以用垂直力偶面的任一直线表示,方向用右手
螺旋法则确定, 由于力偶矩可作用于力偶面上任何
一点,这种矢量是自由矢量, 像力等不能改变作用线
的矢量叫滑移矢量,
力偶的任一力和两力作用
线间垂直距离的乘积,等于
两力对垂直于力偶面的任
意轴线的力矩的代数和,
O1O2称为力偶臂,力与力偶
臂乘积为力偶矩,
-F F
M
4,质点的角动量
定义, 动量对空间某点或某轴的矩,叫做动量矩,
也叫角动量
o? r?
vm?
L?质点对 O点的 角动量,
kg ·m2·s -1 ?? s i ns i n m v rrpL ??
vmrprL ????? ????
质点对轴的 角动量, ? ?
? ?
? ?xyyxmL
zxxzmL
yzzymL
x
y
x
??
??
??
??
??
??
,
,
按角动量的定义,vmrL ??? ??
两边对时间求导：
dt
vmdrvm
dt
rd
dt
Ld )( ????
?
????
其中,v
dt
rd ??? 所以：
0?? vm
dt
rd ?? 又 F
dt
vmd ?? ?)(
dt
LdFrM
??
?? ???
质点所受的合外力矩就等于角动量对
时间的变化率,
角动量定理：
三、质点的角动量定理
质点的角动量守恒定律, 若质点不受力的作用,
或者虽然受力但是合外力矩为零，则质点的
角动量守恒。
c o n s t,,0,0 ??? L
dt
LdM ?
??
合外力矩的冲量矩等于质点系
角动量的增量。
? ??21 12tt LLdtM ???
角动量守恒现象举例
dt
LdM
??
?
1 质点系对定点的角动量定理,
? ? ? ? ? ????
???
??????
n
i
ii
n
i
iii
n
i
e
ii prvmrLFrM
111
)(,????????
? ? 0
1
)( ???
?
n
i
i
ii Fr
??因为,
所以仍有,
质点系对任一固定点的角动量对时间的微商,等于
诸外力对同一点的力矩的矢量和,
四、质点系的角动量定理
如果所有作用在质点系的外力对某一固定点的合
力矩为零,则质点系的角动量守恒,
质点系的角动量守恒定律,
2 对质心的角动量定理,
n个质点,Pi是任一质点,质量为 mi,
C是质心, 坐标系 O-xyz是固定系,
另有 C-x’y’z’系,原点在质心 C,随 C
相对于 O-xyz平动, 对运动参考系
x
y
z
ri
rC
ri’
Pi
C
O
)(d 'd )()(2
2
Ci
i
i
e
i
i
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rm ?????? ????
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11
''
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dt
LdM ''
??
?对质心的角动量定理,
虽然质心是动点,但是角动量定理和对固定点形
式一样,但是对其他任意动点由于不满足
则不能得出这样的角动量定理形式,
0'
1
??
?
n
i
iirm
?
例 2、质点所受的力,如通过某一个定点,则质点必
在一平面上运动,试证明之,
解, 力所通过的那个定点叫做力心．如取这个定点为坐
标系的原点,则质点的位矢 r 与 F 共线，二者的矢量乘
积为零,故 L 为一恒矢量．所以,
3
2
1
)(
)(
)(
Cxyyxm
Czxxzm
Cyzzym
??
??
??
??
??
?? (1)
(2)
(3)
用 x乘 (1),y乘 (2)，,z乘 (3)，并相加得
0321 ??? zCyCxC
由解析几何,知上式代表一个平面方程，故质点只能在
这个平面上运动．
例 3、质量为 m 的两个质点 A,B，由一个不可伸长的
轻绳相连接，静止放在光滑的水平桌面上，线长为 a,
质点 B突然受到一个与 AB连线正交的水平冲击力, 已
知此冲击力的冲量为 K,求此后两质点的运动情况,
解, 取坐标如图，设质点 B受冲力为 F，作用时间 ?t很
短，则
从质心运动定理，有
KtF
t
??
?
0
d
Fvm C ??2
当 t ＝ 0时 vc ＝ 0，对上式积分，则 Kmv
C ?2
由此得 ? ?mKv
C 2/?
由于桌面光滑，冲击后质心沿 x方向作匀速运动, 因 B
受冲击时 A几乎还没动，可以认为开始瞬间 B绕 A作圆
周运动，因此
CB vv 2?
vB’为 B相对质心 C的速度, 从质心坐标系中的动量矩
定理，有
从相对运动关系 '
BCB vvv ?? CB vv ?',
FaMtL 2'd 'd ?? 2/' KaL ??
故 tFvm
C dd2 ?
从右图可得出
2/'2/'' amvamvL BA ??
显然 2/''
0 avv BA ???
? ? 20 2/2' amL ??? )/(0 maK?? ?
冲击后,A,B两质点绕质心以角速度 ?0 作匀速圆周
运动, 所以 2/
0 av C ??
则任意时刻质心位置为
?
?
?
?
??
2/
2/0
ay
tatvx
C
CC ?
由右图并考虑上式，任意时
刻 B点坐标为
? ?
? ? ??
?
????
?????
tayyy
ttatvxxx
BCB
CBCB
0
00
c o s12/'
s i n2/'
?
??
同理，任意时刻 A点坐标为
? ?
? ? ??
?
????
?????
tayyy
ttatvxxx
ACA
CACA
0
00
c o s12/'
s i n2/'
?
??
可见 A,B两点皆作圆滚线运动
例 4、在具有水平轴的滑轮上悬有一根绳
子，绳子的两端距通过该轴水平面的距离
为 s与 s’．两个质量分别为 m与 m’的人抓着
绳子的两端，他们同时开始以匀加速度向
上爬并同时到达滑轮轴所在的水平面．假
定滑轮的质量可忽略，且所有的阻力均可
忽略不计，问需多久时间，两人可以同时
到达?
解,令滑轮的半径为 r,A爬绳的速度为 v,B为 v‘，则
他们对通过滑轮中心的水平轴的角动量为
rvmm v rL ''??
而外力 m’g和 mg对同轴的力矩则为
m g rgrm ?'
由角动量定理，得
? ? ? ? grmmrvmmv
t
??? '''
d
d
即 ? ?gmmamma ??? '''
若 t 为共同需要的时间，则
22
'2',2
t
sa
t
sa ??
联立上述方程，得
? ?
? ?gmm
smms
t
?
?
?
'
''2
0' a n d,0'' ???? mmsmms
显然只有在
0' a n d,0'' ???? mmsmms
或者
二者才会同时达到定点,
作 业
2.13 2.14 2.15 2.18
变质量物体
及角动量守恒定律
本 讲 导 读
?变质量物体的运动
?力矩、冲量矩、角动量
?类比法
?质点对固定点、固定轴的角动量定理
?角动量守恒定律
?对质心的角动量定理
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物体质量不为常数的情况，火箭、传送带、雨滴等．
设一物体在 t时质量为 m，速度是 v，同时一微小质
量 ?m以速度 u运动，并在 ?t时间内与 m相合并，合并后
共同速度是 v+?v,如果作用在 m及 ?m上的合外力为 F，
则由动量定理，得
? ? tFumvmvvmm ????????? ?????)(
一、变质量物体的运动方程
只保留一阶小量,得
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u是代表微质量 ?m末与 m合并以前或自 m分出后一刹
那的速度, 如 u = 0,则可以简化为
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如果 u = v,则简化为牛顿运动方程的形式,
例 1、已知火箭从静止开始发射，质量为 kg1072.2 60 ??m
火箭以 k g / s1029.1
d
d 3???
t
m 速率喷射气体, 气体喷出
速度为 m / s1050.5 4??
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求火箭在发射 155秒的速度,
解, 受力只有重力,所以
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选取向上为正向
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1,对定点的力矩
设作用力 作用于矢
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二、力矩与角动量
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力矩的大小,?s inFrM ?
力矩的方向,位矢 与作用力 的矢积方向F?r?
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对于定轴转动，规定：
力矩逆时针方向 为正,M?
力矩顺时针方向 为负,M?
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2,对定轴的力矩
求作用力 对空间某轴的力矩,
考虑分量,力对原点的力矩为
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力分别对三坐标轴的力矩, 所以求力对轴的力矩,可
以先求对轴上一点的力矩,再投影到轴的方向,
3 力偶
如果两个平行力 F2=－ F1=F,但不作用在同一直线
上，此时二者合力为零，但是对空间任何一点的
力矩不为零,
F1
F2
O1 O2
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Br?
P为力偶面内的任何一
点,则二力对 P的总力矩
值为
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力偶矩是力偶唯一的力学效果,是矢量, 但这个矢
量可以用垂直力偶面的任一直线表示,方向用右手
螺旋法则确定, 由于力偶矩可作用于力偶面上任何
一点,这种矢量是自由矢量, 像力等不能改变作用线
的矢量叫滑移矢量,
力偶的任一力和两力作用
线间垂直距离的乘积,等于
两力对垂直于力偶面的任
意轴线的力矩的代数和,
O1O2称为力偶臂,力与力偶
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4,质点的角动量
定义, 动量对空间某点或某轴的矩,叫做动量矩,
也叫角动量
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质点所受的合外力矩就等于角动量对
时间的变化率,
角动量定理：
三、质点的角动量定理
质点的角动量守恒定律, 若质点不受力的作用,
或者虽然受力但是合外力矩为零，则质点的
角动量守恒。
c o n s t,,0,0 ??? L
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合外力矩的冲量矩等于质点系
角动量的增量。
? ??21 12tt LLdtM ???
角动量守恒现象举例
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1 质点系对定点的角动量定理,
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所以仍有,
质点系对任一固定点的角动量对时间的微商,等于
诸外力对同一点的力矩的矢量和,
四、质点系的角动量定理
如果所有作用在质点系的外力对某一固定点的合
力矩为零,则质点系的角动量守恒,
质点系的角动量守恒定律,
2 对质心的角动量定理,
n个质点,Pi是任一质点,质量为 mi,
C是质心, 坐标系 O-xyz是固定系,
另有 C-x’y’z’系,原点在质心 C,随 C
相对于 O-xyz平动, 对运动参考系
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?对质心的角动量定理,
虽然质心是动点,但是角动量定理和对固定点形
式一样,但是对其他任意动点由于不满足
则不能得出这样的角动量定理形式,
0'
1
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n
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例 2、质点所受的力,如通过某一个定点,则质点必
在一平面上运动,试证明之,
解, 力所通过的那个定点叫做力心．如取这个定点为坐
标系的原点,则质点的位矢 r 与 F 共线，二者的矢量乘
积为零,故 L 为一恒矢量．所以,
3
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用 x乘 (1),y乘 (2)，,z乘 (3)，并相加得
0321 ??? zCyCxC
由解析几何,知上式代表一个平面方程，故质点只能在
这个平面上运动．
例 3、质量为 m 的两个质点 A,B，由一个不可伸长的
轻绳相连接，静止放在光滑的水平桌面上，线长为 a,
质点 B突然受到一个与 AB连线正交的水平冲击力, 已
知此冲击力的冲量为 K,求此后两质点的运动情况,
解, 取坐标如图，设质点 B受冲力为 F，作用时间 ?t很
短，则
从质心运动定理，有
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当 t ＝ 0时 vc ＝ 0，对上式积分，则 Kmv
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由此得 ? ?mKv
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由于桌面光滑，冲击后质心沿 x方向作匀速运动, 因 B
受冲击时 A几乎还没动，可以认为开始瞬间 B绕 A作圆
周运动，因此
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vB’为 B相对质心 C的速度, 从质心坐标系中的动量矩
定理，有
从相对运动关系 '
BCB vvv ?? CB vv ?',
FaMtL 2'd 'd ?? 2/' KaL ??
故 tFvm
C dd2 ?
从右图可得出
2/'2/'' amvamvL BA ??
显然 2/''
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冲击后,A,B两质点绕质心以角速度 ?0 作匀速圆周
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则任意时刻质心位置为
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由右图并考虑上式，任意时
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可见 A,B两点皆作圆滚线运动
例 4、在具有水平轴的滑轮上悬有一根绳
子，绳子的两端距通过该轴水平面的距离
为 s与 s’．两个质量分别为 m与 m’的人抓着
绳子的两端，他们同时开始以匀加速度向
上爬并同时到达滑轮轴所在的水平面．假
定滑轮的质量可忽略，且所有的阻力均可
忽略不计，问需多久时间，两人可以同时
到达?
解,令滑轮的半径为 r,A爬绳的速度为 v,B为 v‘，则
他们对通过滑轮中心的水平轴的角动量为
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而外力 m’g和 mg对同轴的力矩则为
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由角动量定理，得
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