1.3) 曲柄 OA以匀角速 ?绕定点 O转动, 此曲柄借连杆 AB使滑块
B沿直线 Ox运动, 求连杆上 C点的轨道方程及速度, 设 AC=CB=a,
?AOB=?,?ABO=?,
解,研究对象为 C,建立直角坐标系如
图,则 C点的坐标从图中可以得出
)2(c os
c os s i n c e
)1(
2
s i n,s i n2s i n
s i n,c osc os
22
22
r
yax
yaa
r
y
ar
ayarx
??
??
??
???
???
?
?
???
???
?
2222222222 )3()(4,)2()1( rayxyax ??????
轨道方程
c os
2
,c ost a n
2
s i nt h e n
c os
c os
2
,t i t l e,f r om
c os,s i ns i n a n d
?
?
??
?
??
?
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????
??????
r
y
r
rx
a
r
t
ayarx
????
??
??
????
??
?
?
?????
? ???????? ???? s i nc o ss i n4c o sc o s2 2a rv
1,24)质量为 m与 2m的两质点,为一不可伸长的轻绳所联结,绳挂
在 一 光滑的滑轮上, 在 m的下 端 又用固有长度为 a倔强系数 k为
mg/a的弹性绳挂上另外一个质量为 m的质点, 在开始时,全体保持
竖立,原来的非弹性绳拉紧,而 有 弹性 的 绳则处在固有长 度 上, 由
此静止状态释放后,求证这运动是简谐的,并求出 其 振动周期 ?及
任何时刻两段绳中 的 张力 T及 T’,
x2 x1证, 取坐标轴向下为正, 对应三点表示如图
x3
'''
',a n d
'
22
'
1312
3
2
1
x
a
mg
kxT
xxxxx
Tmgxm
Tmgxm
TmgTxm
??
????
?
?
?
?
?
??
??
???
??????????
??
??
??
x’
? ?
3
4
'
3
4
't h e n
''
22
'
1
1
1
g
x
a
g
x
x
a
mg
mgxxm
Tmgxm
Tmgx
a
mg
xm
??
?
?
?
?
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?
?
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???
???
??
????
??
??
???
?
???
?
?????? t
a
gmgTtax
g
a
2
2c o s
3
112),c o s1(',
4
322 ??
?
??
1.31)假定单摆在有阻力的媒质中振动,并假定振幅很小,故阻力
与 ?成正比,且可写为 R=－ 2mkl?,式中 m是摆锤的质量,l为摆长,
k为比例常数, 试证当 k2＜ g/l时．单摆的振动周期为
lkg
l
22 ?? ??
?
R v
mg
解,
?? ?m k lmgtvm 2s indd ???
???? ltv ?dd
022s i n ~s i n ????? ?????? ?????? ?? lgkklgl ??????
设 g/l=?02为固有频率,在 k2< g/l情况,即阻力较小时,上述方程解为
2200 ),c o s ( kteA t ???? ? ????? ?
lkg
l
k
222
0
222
?
?
?
??? ?
?
?
?
??
2.14)一条柔软、无弹性、质量均匀的绳索,竖直地自高处下坠至
地板上, 如绳索的长度等于 l,每单位长度的质量等于 ?,求当绳索
剩在空中的长度等于 x时, 绳索的速度及它对地板的压力, 设开始
时绳索的速度为零,它的下端离地板的高度为 h.
h
l
O
x
N
解, 绳索剩 x时,其质量 m＝ ?x,受力
F=－ ?xg
),()(dd tFmvt ?
)(2,dddd)(dd 2
0
xlhgvxgvvgvxvxgxvt
x
lh
v
???????????? ??
?
??
再求对地板压力 N gxlNvgxlN
t
mv )()(
d
d 2 ??????? ???
? ?gxlhN )(32 ???? ?
2.15)机枪质量为 M,放任水平地面上,装有质量为 M’的子弹, 机
枪在单位时间内射出子弹的质量为 m,其相对于地面的速度为 u,
如机枪与地面的摩擦系数为 ?试证当 M’全部射出后，机枪后退
的速度为 ? ?
gmM MMMuMM ?2 '' 2
2 ??
?
解, 坐标系选取水平 x时向机枪后退方向为正,任意时刻机枪总
质量为 M(t),后退速度为 v,显然
mtMMtMmtM ???? ')(,d 'd
摩擦力 ? ? gmtMMtN ?? ??? ')(
),(d )(d))((dd tFut tMvtMt ??由
? ? ? ? gmtMMmuvmtMMt xx ???????? ')'(dd
两边积分,且 t=0,vx=0,ux=0,得
? ? ? ? gmttMMtmuvmtMM xx ??
?
??
?
? ??????? 2
2
1''
而子弹全部射完需要的时间为
m
Mt '?
gm MMMuMMv xx ?2 ''2'
2?
???
? ?
g
Mm
MMM
u
M
M
g
Mm
MMM
u
M
M
v
x
xx
?
?
2
''
2
''2'
22
2
??
??
?
???
2.18) 原始总质量为 M0的火箭,发射时单位时间内消耗的燃材与
M0正比,比例常数为 ?,并 以相对速度 v喷射,已知火箭本身的质量
为 M,求证只有当 ?v＞ g时,火箭才能上升 ; 并证能达到的最大速
度为
能达到的最大高度为
???
?
???
? ??
0
0 1ln
M
Mg
M
Mv
?
???
?
???
? ????
?
??
?
?
M
M
M
Mv
M
M
g
v 0
0
2
0
2
ln1ln2 ?
证明,要使火箭上升,必须发动机推力 >火箭重量,
gvgMMvMvtMv ???? ??? 000,dd
由于 v是常量,所以火箭飞行速度可从公式得
gtMMvvv ??? 00 ln火火箭质量变化是常数,v
0=0
gttvv ??? )1ln ( ?火
而燃料燃烧时间,
0
0
M
MMt
?
?? ?
?
??
?
? ????
M
Mg
M
Mvv 00
m a x 1ln ?火
从而火箭燃烧结束的高度为
? ? 221)1l n ()1()1l n (dd gttttvhgttvvth ?????????? ?????火
2
0
0
0
m a x1 2
1ln1
???
?
???
? ??
?
?
?
?
?
? ??
M
MMg
M
Mvh
??
然后火箭以初速度 vmax竖直上抛,高度为
2
0
2
00
2
0
22
m a x
m a x2 12ln1ln22 ??
?
?
???
? ??
???
?
???
? ??
???
?
???
???
M
Mg
M
M
M
Mv
M
M
g
v
g
vh
??
???
?
???
? ???
???
?
???
????
00
2
0
2
m a x2m a x1m a x ln1ln2 M
M
M
Mv
M
M
g
vhhH
?
第八讲
有心力
两体问题
质心坐标系
本讲导读
? 有心力的性质
? 比耐公式
? 开普勒定律
? 两体问题
? 质心系和实验室系
? 引力场
1,有心力的性质
定义, 如果运动质点所受的力的作用线始终通过某一个
定点,这个质点所受的力是有心力, 而这个定点则叫做
力心, 凡力趋向定点的是引力，离开定点的是斥力．
在有心力的作用下，质点始终在一平面内运动, 因
力 F与位矢 r 共线 r ? F＝ 0,L＝恒矢量．
r
rrFF ?? )(?
一、有心力
在直角坐标系中,如以力心为原点,质点的运动平面
为 xy平面，则质点的运动微分方程为
r
yrFym
r
xrFxm )(,)( ?? ????
i) 质点的动力学方程 (极坐标 )为,
(3)就是角动量守恒定律在极坐标中的表示,
0)2(
)()( 2
???
???
???
?
Frrm
rFFrrm r
????
??? (1)
(2)
(2)式又可写为 ? ? mhmrr
dt
d
rm ??? ??
?? 22,01 (3)
ii) 极坐标 系中,力做功表达式 ?
? rdFdrFA
B
A
r? ??
有心力时 ?? ?? 2
1
dd
r
r
r
B
A
r rFrFA
? ? ErVrrm ??? )(22221 ???
有心力是保守力,必定有势能 V(r)存在
iii) 极坐标 系中,机械能守恒表达式,
r
u
m
Fuuuh 1,
d
d
2
2
22 ???
???
?
???
?
?
? ? ?
2
2
22
2
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d1
d
d
d
/1d
d
d
d
d
d
d
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
u
uh
u
h
u
h
tt
r
r
u
h
u
ut
u
t
r
t
r
r
???
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
???
???????
?
?
??
???
从动力学方程中消去时间变量，得
iv) 轨道方程 —— 比耐公式,
万有引力、电磁力 (有引力、斥力 ),以引力为例：
22
2
2
2 umkr
mk
r
G M mF ??????
2
2
2
2
d
d
h
kuu ??
?
代入轨道方程，得
2 平方反比引力
则方程变为
2
2
h
ku ?? ?令
0
d
d
2
2
?? ?
?
?
这个微分方程和简谐振子方程一样，所以它的解
? ?0c o s ??? ?? A
而 ? ?
2
2
02
2
c o s
h
kA
h
ku ????? ???
? ? 220
22
/c o s1
/1
khA
kh
u
r
?? ??
??
式中 A和 ?0是两个积分常数，令 ?0 ＝ 0，轨道简化为
? ? ?c o s/1
/
22
22
kAh
khr
?
?
与标准圆锥方程
?c os1 e
pr
??
相比较，知轨道是原点
在焦点上的圆锥曲线，力心位于焦点上,
三种圆锥曲线,
(1) 椭圆 在 B点,r= a-c = a(1-e),? = 0,即 p=a(1-e2),e<1.
(2) 抛物线 在 B点,r = q,? = 0,即 p=2q,e=1.
(3) 双曲线 在 B点,r=a-c=a(e-1),?=0,即 p=a(e2-1),e>1.
F B x
y
?
FF’ BB’ C
y
?
x
F B x
y
?
F’
在上述轨道方程中有一个不定参量 A,如果我们用能
量守恒来推导轨道,可以得到
E<0,则 e<1,轨道为椭圆
? ? ? ?
42
42
22
/21 t h e n,
c o s/211
/ mkEhe
mkEh
khr ??
??
?
?
E=0,则 e=1,轨道为抛物线
E>0,则 e>1,轨道为双曲线
?行星绕太阳做椭圆运动,太阳位于一个焦点
?行星和太阳之间的连线,在相等时间扫过相等的面积
?行星公转的周期的平方和轨道半长轴的立方成正比
3 开普勒定律,
开普勒发表于 1609,1619年, 牛顿万有引力发表于 1687,
从三定律推导万有引力,
设 A是矢径扫过的面积,则由开普勒第二定律
? ? Cr
trt
A ??? ?? ?22
2
1
d
d
2
1
d
d
o
? r
x
从而 ??2mr 也是常数,即动量矩守恒,行星所受的理对
太阳的力矩为零,因行星具有加速度,所以受力不为零,
故行星所受力必定是有心力,太阳是力心,
第一定律说轨道是椭圆,利用比耐公式可得
2
2
2
2
22
d
d,c o s11
r
m
p
huuumhF
p
e
pr
u ????
?
?
???
? ??????
?
? 得
这表明行星所受的力是引力,且与距离平方成反比,
第三定律可以给出行星的公转周期并确定 p的大小,
? ?02 2,2 tthAhrA ????? ????
当矢径扫过一周,A =?ab,而所需时间就是周期 ?
?? hab ?? 2
考虑 ? ? ? ? peaca
aa
b ????? 2222 11
得到
2
22
2
22
3
2 44
h
p
ah
b
a
??? ??
虽然 p,h 都和行星有关,但是上式与行星无关,
一个带正电荷 2e的 ?质点射入一原于中，如果原子
有一集中在很小区域的核心，而且此核心的电荷也是
正的,并且等于 ze，则由库仑定律
22
2
0
'2
4
1
r
k
r
zeF ??
??
力的方向沿着二者的连线,是排斥力, 原子核质量大,可
以近似看做不动,这样认为 ?粒子受到有心力的作用,
系统能量方程, ? ? E
r
krrm ??? '222
2
1 ???
因为能量总是大于零,所以轨道是双曲线的一支
4 平方反比斥力 —— ?质点的散射
?
?
o
?
?
??0?0
rc
右图为 ?粒子散射图, O
为原子核 (力心 ),质点轨
道的对称轴是通过力心
及其最近距离点 c的直
线 oc,因此轨道的两条
渐近线和 oc相交的角度
是一样的, 可看出质点
通过质心附近的偏转角
02??? ??
通过利用比耐公式可以导出 ?
?? s in
1)c o s1('1
2 ???? mh
k
r
?称为瞄准距离, 偏转角是 ?粒子远离力心后的 ?的值,
如果设无限远处,? 粒子的速度为 v?,则 h = ? v?
2c o t
'o r,
'2c o t 2
2 ?
???
?
? ??
mv
k
k
vm
前面讨论问题都是假定大的物体不动,另外一个物
体受到有心力的作用,但是这种处理肯定是近似的,
采用质点组质心系就可以准确求解这个问题,
S:太阳,P:行星,对一个惯性坐标系,
因为引力是内力，所以太阳和行星
组成的系统动量守恒，其质心是相
对惯性系匀速运动的, 我们在质心
系中研究太阳和行星的运动,
x
y
z
P
S C
rs
rp
rC
r2
r1
o
行星对质心 C,? ?
1
1
2
21
1 r
r
rr
G M mrm ????
???
因 C是质心,21 rMrm ?? ?
二、两体问题
力仍与距离平方成反比,从而行星绕质心作圆
锥曲线运动,同理,太阳也是这样,
? ? 31
1
2
3
1 r
r
mM
mGMrm ????
?
???
在惯性坐标系太阳的运动,
r
r
r
G M mrM
s
????
2?
行星的运动,
r
r
r
G M mrm
P
????
2??
两式加权合并,考虑 rrr
sP
??? ??
? ?
r
rm
r
mMGrm ????
2
???得到,
这是行星相对太阳的动力学方程, 如认为太阳不动,但
质量增大到了 M+m,这时 k2 =G(M+m)对不同行星不一
样,所以开普勒定律需要修正,
对行星 P1 ? ?
12
1
3
1
24
mMGa ????
对行星 P2 ? ?22
2
3
2
24
mMGa ????
? ? ? ?212
2
3
2
2
1
3
1,,mMmMaa ????
??
开普勒给出的等式右边是 1,所以开普勒是近似的,
? ?
r
rm
r
mMGrm ????
2
???如果我们改写 为
r
rm
r
GMrr
mM
Mm ???????
2???? ?
其中 ? =Mm/(M+m)叫做折合质量, 这时可以看作行星
的质量改变而还是围绕不动的太阳运行,
虽然质心系和实验室系中物体运行的轨道都是一样
的,但是分析发现散射角不一样,
?r ?C
r
?r是实验室系观察的散射角,?c是质心系计算出来的,
1 散射角
三、质心坐标系和实验室坐标系
散射前
设质量为 m1的质点 1以速度 v1被一质量为 m2的质点散射,
散射前后质心都以 V运动
相对质心
? ? ? ?21111121 / mmvmVvmVmm ????? ????
? ? ? ?21112211211 /,/ mmvmVVmmvmVvV ???????? ???????
02211 ??? VmVm ??
在质心系散射后,两质点必沿相反方向运动,而质点 1
散射后的速度和散射前速度之间的夹角就是 ?C
m1
V1’
m2
v2
m1
V2’
C
?C
从实验室系看,
m1
v1’
m2
m1
v2’
C
?rm
2v
1
V
下面研究两个散射角的关系 V
1’ v
1’
V
?C ?r
?r
'' 11 vVV ??? ??
rC
rC
vV
vVV
??
??
s in's in'
c o s'c o s'
11
11
?
??
分量形式
2
11
1
c os
s i n
c os'
s i n'
t a n
m
mVV
V
C
C
C
C
r
?
?
?
??
?
?
?
?
?
2 能量转移
?c o s'2'' 122121 VvVvV ???
从图得
0c o s''
21
12
1
1
21
1
2
1
1 ?
?
??
???
?
???
?
?
???
?
?
???
?
mm
mm
v
v
mm
m
v
v
r?
利用 V和 V1’是 v1的函数,上式可以化为
V1’
v1’
V
?C ?r
?r
当 m1=m2,并 ?r =1/2? (相当于反向反射 ?C =?)时能量
转移最大,反射质点获得全部的入射能量, 这就是采
用中子作为反应堆减速剂的原因,
对于大数目质点组，如 n个质点，某一个质点质量
是 mi,位矢 ri，受力 Fi，则
研究下列物理量
ii Fp
??? ?
?
?
??
n
i
ii rpG
1
??
对时间求导
???
???
???????
n
i
iik
n
i
ii
n
i
ii rFErprpG
111
2 ?
????????
四、维里定理
上式对时间求平均
? ?)0()(
1
2or
,2d
1
1
10
GGrFE
rFEGtG
n
i
iik
n
i
iik
????
????
?
??
?
?
?
?
?
?
??
????
如果是周期运动，或者只要动量和位矢是有限值,
如取时间足够长,则上式右边为零,
?
?
???
n
i
iik rFE
12
1 ??
克劳修斯把右边项叫维里,上式叫维里定理,
如为保守力系,则
? ??
?
???
n
i
iik rVE
12
1 ?
单个质点受有心力作用时
rrVE k ???? 21
如 V可以表达为 1narV ??
维里定理为 VnE
k )1(2
1 ??
对平方反比引力,n =－ 2,VE
k 2
1 ??
牛顿的万有引力用现代科学语言来描述，质点和
连续体周围存在一个引力场，位于场中的任何其他质
点将受到引力作用,m’质点周围引力场强定义为
rrGmmFg ?
??
3f
' ???
引力场强满足矢量叠加原理, 再考虑引力场是保守力场,
Vg ???f ?
CrGmV ??? ' 称为引力势,
五、引力场（补充）
例, 分析潮汐生成,
解, 潮汐是地球和月亮的影响,首先考虑月亮的影响,
月亮 m在地面 r处的引力场强和引力势是
m
a
r ?
? ? ar GmrVar
ar
Gmrg ????
??
?
??????? )(,)( 3f
利用泰勒展开 ???????? ????????? )()()()()()( 2!21 afdafdafdaf
得到
? ? ?
?
?
??
? ?
?
??
?
?????
??? ea
re
a
rk
a
Gmrg
r
???? 2s i n
2
31c o s3)( 2
2f
第一项是主导项,加速整个地球,在非惯性系被惯性
力抵消,而后两项是潮汐的主要因素, 与地球的引力
场比较
8
3
24
223
1060.5
3.60
1
1098.5
1036.7~ ?
??
???
?
??
?
?
?
???
?
??
?
?
a
r
m
m
g
g m
太阳的影响更小
8
3
11
6
24
303
1057.2
10496.1
1037.6
1098.5
1099.1~ ?
??
????
?
?
???
?
?
?
?
??
???
?
???
?
se
ss
a
r
m
m
g
g
太阳
地球
月亮
太阳
地球
月亮
新月时的大潮 满月时的小潮
1.43 1.46 1.47 2.19
六、作 业
B沿直线 Ox运动, 求连杆上 C点的轨道方程及速度, 设 AC=CB=a,
?AOB=?,?ABO=?,
解,研究对象为 C,建立直角坐标系如
图,则 C点的坐标从图中可以得出
)2(c os
c os s i n c e
)1(
2
s i n,s i n2s i n
s i n,c osc os
22
22
r
yax
yaa
r
y
ar
ayarx
??
??
??
???
???
?
?
???
???
?
2222222222 )3()(4,)2()1( rayxyax ??????
轨道方程
c os
2
,c ost a n
2
s i nt h e n
c os
c os
2
,t i t l e,f r om
c os,s i ns i n a n d
?
?
??
?
??
?
??
?
????
??????
r
y
r
rx
a
r
t
ayarx
????
??
??
????
??
?
?
?????
? ???????? ???? s i nc o ss i n4c o sc o s2 2a rv
1,24)质量为 m与 2m的两质点,为一不可伸长的轻绳所联结,绳挂
在 一 光滑的滑轮上, 在 m的下 端 又用固有长度为 a倔强系数 k为
mg/a的弹性绳挂上另外一个质量为 m的质点, 在开始时,全体保持
竖立,原来的非弹性绳拉紧,而 有 弹性 的 绳则处在固有长 度 上, 由
此静止状态释放后,求证这运动是简谐的,并求出 其 振动周期 ?及
任何时刻两段绳中 的 张力 T及 T’,
x2 x1证, 取坐标轴向下为正, 对应三点表示如图
x3
'''
',a n d
'
22
'
1312
3
2
1
x
a
mg
kxT
xxxxx
Tmgxm
Tmgxm
TmgTxm
??
????
?
?
?
?
?
??
??
???
??????????
??
??
??
x’
? ?
3
4
'
3
4
't h e n
''
22
'
1
1
1
g
x
a
g
x
x
a
mg
mgxxm
Tmgxm
Tmgx
a
mg
xm
??
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
??
????
??
??
???
?
???
?
?????? t
a
gmgTtax
g
a
2
2c o s
3
112),c o s1(',
4
322 ??
?
??
1.31)假定单摆在有阻力的媒质中振动,并假定振幅很小,故阻力
与 ?成正比,且可写为 R=－ 2mkl?,式中 m是摆锤的质量,l为摆长,
k为比例常数, 试证当 k2＜ g/l时．单摆的振动周期为
lkg
l
22 ?? ??
?
R v
mg
解,
?? ?m k lmgtvm 2s indd ???
???? ltv ?dd
022s i n ~s i n ????? ?????? ?????? ?? lgkklgl ??????
设 g/l=?02为固有频率,在 k2< g/l情况,即阻力较小时,上述方程解为
2200 ),c o s ( kteA t ???? ? ????? ?
lkg
l
k
222
0
222
?
?
?
??? ?
?
?
?
??
2.14)一条柔软、无弹性、质量均匀的绳索,竖直地自高处下坠至
地板上, 如绳索的长度等于 l,每单位长度的质量等于 ?,求当绳索
剩在空中的长度等于 x时, 绳索的速度及它对地板的压力, 设开始
时绳索的速度为零,它的下端离地板的高度为 h.
h
l
O
x
N
解, 绳索剩 x时,其质量 m＝ ?x,受力
F=－ ?xg
),()(dd tFmvt ?
)(2,dddd)(dd 2
0
xlhgvxgvvgvxvxgxvt
x
lh
v
???????????? ??
?
??
再求对地板压力 N gxlNvgxlN
t
mv )()(
d
d 2 ??????? ???
? ?gxlhN )(32 ???? ?
2.15)机枪质量为 M,放任水平地面上,装有质量为 M’的子弹, 机
枪在单位时间内射出子弹的质量为 m,其相对于地面的速度为 u,
如机枪与地面的摩擦系数为 ?试证当 M’全部射出后，机枪后退
的速度为 ? ?
gmM MMMuMM ?2 '' 2
2 ??
?
解, 坐标系选取水平 x时向机枪后退方向为正,任意时刻机枪总
质量为 M(t),后退速度为 v,显然
mtMMtMmtM ???? ')(,d 'd
摩擦力 ? ? gmtMMtN ?? ??? ')(
),(d )(d))((dd tFut tMvtMt ??由
? ? ? ? gmtMMmuvmtMMt xx ???????? ')'(dd
两边积分,且 t=0,vx=0,ux=0,得
? ? ? ? gmttMMtmuvmtMM xx ??
?
??
?
? ??????? 2
2
1''
而子弹全部射完需要的时间为
m
Mt '?
gm MMMuMMv xx ?2 ''2'
2?
???
? ?
g
Mm
MMM
u
M
M
g
Mm
MMM
u
M
M
v
x
xx
?
?
2
''
2
''2'
22
2
??
??
?
???
2.18) 原始总质量为 M0的火箭,发射时单位时间内消耗的燃材与
M0正比,比例常数为 ?,并 以相对速度 v喷射,已知火箭本身的质量
为 M,求证只有当 ?v＞ g时,火箭才能上升 ; 并证能达到的最大速
度为
能达到的最大高度为
???
?
???
? ??
0
0 1ln
M
Mg
M
Mv
?
???
?
???
? ????
?
??
?
?
M
M
M
Mv
M
M
g
v 0
0
2
0
2
ln1ln2 ?
证明,要使火箭上升,必须发动机推力 >火箭重量,
gvgMMvMvtMv ???? ??? 000,dd
由于 v是常量,所以火箭飞行速度可从公式得
gtMMvvv ??? 00 ln火火箭质量变化是常数,v
0=0
gttvv ??? )1ln ( ?火
而燃料燃烧时间,
0
0
M
MMt
?
?? ?
?
??
?
? ????
M
Mg
M
Mvv 00
m a x 1ln ?火
从而火箭燃烧结束的高度为
? ? 221)1l n ()1()1l n (dd gttttvhgttvvth ?????????? ?????火
2
0
0
0
m a x1 2
1ln1
???
?
???
? ??
?
?
?
?
?
? ??
M
MMg
M
Mvh
??
然后火箭以初速度 vmax竖直上抛,高度为
2
0
2
00
2
0
22
m a x
m a x2 12ln1ln22 ??
?
?
???
? ??
???
?
???
? ??
???
?
???
???
M
Mg
M
M
M
Mv
M
M
g
v
g
vh
??
???
?
???
? ???
???
?
???
????
00
2
0
2
m a x2m a x1m a x ln1ln2 M
M
M
Mv
M
M
g
vhhH
?
第八讲
有心力
两体问题
质心坐标系
本讲导读
? 有心力的性质
? 比耐公式
? 开普勒定律
? 两体问题
? 质心系和实验室系
? 引力场
1,有心力的性质
定义, 如果运动质点所受的力的作用线始终通过某一个
定点,这个质点所受的力是有心力, 而这个定点则叫做
力心, 凡力趋向定点的是引力，离开定点的是斥力．
在有心力的作用下，质点始终在一平面内运动, 因
力 F与位矢 r 共线 r ? F＝ 0,L＝恒矢量．
r
rrFF ?? )(?
一、有心力
在直角坐标系中,如以力心为原点,质点的运动平面
为 xy平面，则质点的运动微分方程为
r
yrFym
r
xrFxm )(,)( ?? ????
i) 质点的动力学方程 (极坐标 )为,
(3)就是角动量守恒定律在极坐标中的表示,
0)2(
)()( 2
???
???
???
?
Frrm
rFFrrm r
????
??? (1)
(2)
(2)式又可写为 ? ? mhmrr
dt
d
rm ??? ??
?? 22,01 (3)
ii) 极坐标 系中,力做功表达式 ?
? rdFdrFA
B
A
r? ??
有心力时 ?? ?? 2
1
dd
r
r
r
B
A
r rFrFA
? ? ErVrrm ??? )(22221 ???
有心力是保守力,必定有势能 V(r)存在
iii) 极坐标 系中,机械能守恒表达式,
r
u
m
Fuuuh 1,
d
d
2
2
22 ???
???
?
???
?
?
? ? ?
2
2
22
2
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d1
d
d
d
/1d
d
d
d
d
d
d
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
u
uh
u
h
u
h
tt
r
r
u
h
u
ut
u
t
r
t
r
r
???
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
???
???????
?
?
??
???
从动力学方程中消去时间变量，得
iv) 轨道方程 —— 比耐公式,
万有引力、电磁力 (有引力、斥力 ),以引力为例：
22
2
2
2 umkr
mk
r
G M mF ??????
2
2
2
2
d
d
h
kuu ??
?
代入轨道方程，得
2 平方反比引力
则方程变为
2
2
h
ku ?? ?令
0
d
d
2
2
?? ?
?
?
这个微分方程和简谐振子方程一样，所以它的解
? ?0c o s ??? ?? A
而 ? ?
2
2
02
2
c o s
h
kA
h
ku ????? ???
? ? 220
22
/c o s1
/1
khA
kh
u
r
?? ??
??
式中 A和 ?0是两个积分常数，令 ?0 ＝ 0，轨道简化为
? ? ?c o s/1
/
22
22
kAh
khr
?
?
与标准圆锥方程
?c os1 e
pr
??
相比较，知轨道是原点
在焦点上的圆锥曲线，力心位于焦点上,
三种圆锥曲线,
(1) 椭圆 在 B点,r= a-c = a(1-e),? = 0,即 p=a(1-e2),e<1.
(2) 抛物线 在 B点,r = q,? = 0,即 p=2q,e=1.
(3) 双曲线 在 B点,r=a-c=a(e-1),?=0,即 p=a(e2-1),e>1.
F B x
y
?
FF’ BB’ C
y
?
x
F B x
y
?
F’
在上述轨道方程中有一个不定参量 A,如果我们用能
量守恒来推导轨道,可以得到
E<0,则 e<1,轨道为椭圆
? ? ? ?
42
42
22
/21 t h e n,
c o s/211
/ mkEhe
mkEh
khr ??
??
?
?
E=0,则 e=1,轨道为抛物线
E>0,则 e>1,轨道为双曲线
?行星绕太阳做椭圆运动,太阳位于一个焦点
?行星和太阳之间的连线,在相等时间扫过相等的面积
?行星公转的周期的平方和轨道半长轴的立方成正比
3 开普勒定律,
开普勒发表于 1609,1619年, 牛顿万有引力发表于 1687,
从三定律推导万有引力,
设 A是矢径扫过的面积,则由开普勒第二定律
? ? Cr
trt
A ??? ?? ?22
2
1
d
d
2
1
d
d
o
? r
x
从而 ??2mr 也是常数,即动量矩守恒,行星所受的理对
太阳的力矩为零,因行星具有加速度,所以受力不为零,
故行星所受力必定是有心力,太阳是力心,
第一定律说轨道是椭圆,利用比耐公式可得
2
2
2
2
22
d
d,c o s11
r
m
p
huuumhF
p
e
pr
u ????
?
?
???
? ??????
?
? 得
这表明行星所受的力是引力,且与距离平方成反比,
第三定律可以给出行星的公转周期并确定 p的大小,
? ?02 2,2 tthAhrA ????? ????
当矢径扫过一周,A =?ab,而所需时间就是周期 ?
?? hab ?? 2
考虑 ? ? ? ? peaca
aa
b ????? 2222 11
得到
2
22
2
22
3
2 44
h
p
ah
b
a
??? ??
虽然 p,h 都和行星有关,但是上式与行星无关,
一个带正电荷 2e的 ?质点射入一原于中，如果原子
有一集中在很小区域的核心，而且此核心的电荷也是
正的,并且等于 ze，则由库仑定律
22
2
0
'2
4
1
r
k
r
zeF ??
??
力的方向沿着二者的连线,是排斥力, 原子核质量大,可
以近似看做不动,这样认为 ?粒子受到有心力的作用,
系统能量方程, ? ? E
r
krrm ??? '222
2
1 ???
因为能量总是大于零,所以轨道是双曲线的一支
4 平方反比斥力 —— ?质点的散射
?
?
o
?
?
??0?0
rc
右图为 ?粒子散射图, O
为原子核 (力心 ),质点轨
道的对称轴是通过力心
及其最近距离点 c的直
线 oc,因此轨道的两条
渐近线和 oc相交的角度
是一样的, 可看出质点
通过质心附近的偏转角
02??? ??
通过利用比耐公式可以导出 ?
?? s in
1)c o s1('1
2 ???? mh
k
r
?称为瞄准距离, 偏转角是 ?粒子远离力心后的 ?的值,
如果设无限远处,? 粒子的速度为 v?,则 h = ? v?
2c o t
'o r,
'2c o t 2
2 ?
???
?
? ??
mv
k
k
vm
前面讨论问题都是假定大的物体不动,另外一个物
体受到有心力的作用,但是这种处理肯定是近似的,
采用质点组质心系就可以准确求解这个问题,
S:太阳,P:行星,对一个惯性坐标系,
因为引力是内力，所以太阳和行星
组成的系统动量守恒，其质心是相
对惯性系匀速运动的, 我们在质心
系中研究太阳和行星的运动,
x
y
z
P
S C
rs
rp
rC
r2
r1
o
行星对质心 C,? ?
1
1
2
21
1 r
r
rr
G M mrm ????
???
因 C是质心,21 rMrm ?? ?
二、两体问题
力仍与距离平方成反比,从而行星绕质心作圆
锥曲线运动,同理,太阳也是这样,
? ? 31
1
2
3
1 r
r
mM
mGMrm ????
?
???
在惯性坐标系太阳的运动,
r
r
r
G M mrM
s
????
2?
行星的运动,
r
r
r
G M mrm
P
????
2??
两式加权合并,考虑 rrr
sP
??? ??
? ?
r
rm
r
mMGrm ????
2
???得到,
这是行星相对太阳的动力学方程, 如认为太阳不动,但
质量增大到了 M+m,这时 k2 =G(M+m)对不同行星不一
样,所以开普勒定律需要修正,
对行星 P1 ? ?
12
1
3
1
24
mMGa ????
对行星 P2 ? ?22
2
3
2
24
mMGa ????
? ? ? ?212
2
3
2
2
1
3
1,,mMmMaa ????
??
开普勒给出的等式右边是 1,所以开普勒是近似的,
? ?
r
rm
r
mMGrm ????
2
???如果我们改写 为
r
rm
r
GMrr
mM
Mm ???????
2???? ?
其中 ? =Mm/(M+m)叫做折合质量, 这时可以看作行星
的质量改变而还是围绕不动的太阳运行,
虽然质心系和实验室系中物体运行的轨道都是一样
的,但是分析发现散射角不一样,
?r ?C
r
?r是实验室系观察的散射角,?c是质心系计算出来的,
1 散射角
三、质心坐标系和实验室坐标系
散射前
设质量为 m1的质点 1以速度 v1被一质量为 m2的质点散射,
散射前后质心都以 V运动
相对质心
? ? ? ?21111121 / mmvmVvmVmm ????? ????
? ? ? ?21112211211 /,/ mmvmVVmmvmVvV ???????? ???????
02211 ??? VmVm ??
在质心系散射后,两质点必沿相反方向运动,而质点 1
散射后的速度和散射前速度之间的夹角就是 ?C
m1
V1’
m2
v2
m1
V2’
C
?C
从实验室系看,
m1
v1’
m2
m1
v2’
C
?rm
2v
1
V
下面研究两个散射角的关系 V
1’ v
1’
V
?C ?r
?r
'' 11 vVV ??? ??
rC
rC
vV
vVV
??
??
s in's in'
c o s'c o s'
11
11
?
??
分量形式
2
11
1
c os
s i n
c os'
s i n'
t a n
m
mVV
V
C
C
C
C
r
?
?
?
??
?
?
?
?
?
2 能量转移
?c o s'2'' 122121 VvVvV ???
从图得
0c o s''
21
12
1
1
21
1
2
1
1 ?
?
??
???
?
???
?
?
???
?
?
???
?
mm
mm
v
v
mm
m
v
v
r?
利用 V和 V1’是 v1的函数,上式可以化为
V1’
v1’
V
?C ?r
?r
当 m1=m2,并 ?r =1/2? (相当于反向反射 ?C =?)时能量
转移最大,反射质点获得全部的入射能量, 这就是采
用中子作为反应堆减速剂的原因,
对于大数目质点组，如 n个质点，某一个质点质量
是 mi,位矢 ri，受力 Fi，则
研究下列物理量
ii Fp
??? ?
?
?
??
n
i
ii rpG
1
??
对时间求导
???
???
???????
n
i
iik
n
i
ii
n
i
ii rFErprpG
111
2 ?
????????
四、维里定理
上式对时间求平均
? ?)0()(
1
2or
,2d
1
1
10
GGrFE
rFEGtG
n
i
iik
n
i
iik
????
????
?
??
?
?
?
?
?
?
??
????
如果是周期运动，或者只要动量和位矢是有限值,
如取时间足够长,则上式右边为零,
?
?
???
n
i
iik rFE
12
1 ??
克劳修斯把右边项叫维里,上式叫维里定理,
如为保守力系,则
? ??
?
???
n
i
iik rVE
12
1 ?
单个质点受有心力作用时
rrVE k ???? 21
如 V可以表达为 1narV ??
维里定理为 VnE
k )1(2
1 ??
对平方反比引力,n =－ 2,VE
k 2
1 ??
牛顿的万有引力用现代科学语言来描述，质点和
连续体周围存在一个引力场，位于场中的任何其他质
点将受到引力作用,m’质点周围引力场强定义为
rrGmmFg ?
??
3f
' ???
引力场强满足矢量叠加原理, 再考虑引力场是保守力场,
Vg ???f ?
CrGmV ??? ' 称为引力势,
五、引力场（补充）
例, 分析潮汐生成,
解, 潮汐是地球和月亮的影响,首先考虑月亮的影响,
月亮 m在地面 r处的引力场强和引力势是
m
a
r ?
? ? ar GmrVar
ar
Gmrg ????
??
?
??????? )(,)( 3f
利用泰勒展开 ???????? ????????? )()()()()()( 2!21 afdafdafdaf
得到
? ? ?
?
?
??
? ?
?
??
?
?????
??? ea
re
a
rk
a
Gmrg
r
???? 2s i n
2
31c o s3)( 2
2f
第一项是主导项,加速整个地球,在非惯性系被惯性
力抵消,而后两项是潮汐的主要因素, 与地球的引力
场比较
8
3
24
223
1060.5
3.60
1
1098.5
1036.7~ ?
??
???
?
??
?
?
?
???
?
??
?
?
a
r
m
m
g
g m
太阳的影响更小
8
3
11
6
24
303
1057.2
10496.1
1037.6
1098.5
1099.1~ ?
??
????
?
?
???
?
?
?
?
??
???
?
???
?
se
ss
a
r
m
m
g
g
太阳
地球
月亮
太阳
地球
月亮
新月时的大潮 满月时的小潮
1.43 1.46 1.47 2.19
六、作 业
