第七讲
机械能（二）
—— 一维势能曲线
和碰撞再研究
本讲导读
? 一维情况下存在势能函数的条件
? 总能量、动能和势能的图示
? 平衡点的稳定性 相图
? 碰撞中的能量转化
一、一维势能曲线
)( xVV ?
物体一维运动的势能曲线
x0
A’ A’’
A
B’ B’’
C B
E1
E2
V(x)
x
对一维运动,只要力是坐标
的单值函数,一定是保守力,
（ i）保守力
x
xVf
d
)(d??
指向势能下降的方向，大小正比于势能曲线的斜率
x0
A’ A’’
A
B’ B’’
C B
E1
E2
V(x)
x
（ ii）总能量 E水平线在各点
相距下边势能曲线的高度，
代表质点在该处的动能, 由
于经典动能为正,所以水平
线低于势能曲线的区间,是
具有该能量的质点不能达到
的地段,
（ iii）势能曲线在局部的最低 (极小 )点,都是稳定平衡
点, 总能量略高于它们的质点,只能在它们附近一定范
围内活动, 势能曲线在局部的最高 (极大 )点,都是不稳
定平衡点, 总能量略高于它们的质点,都会远离而去,
（ iv）在势能曲线任何极小点附近,质点可能围绕着
它做小振动, 可以如下计算振动周期
（ v）以 A点 (x0)为例,计算小振动的振动周期
显然势能在这里一阶导数为零,二阶导数大于零, 在
?x=x-x0不大的范围内,把势能函数展开成泰勒级数,
? ?
? ? ?
?
????
??????
2
02
1
0
2
02
1
00
)('')(
)('')(')()(
xxVxV
xxVxxVxVxV
对于小振动,我们忽略三阶及以上的小量, 由于坐标原
点选择具有任意性,我们设 x0=0,?x=x,V(x0)=0,上式简
化为,,这代表一根抛物线, 将机
械能守恒定律改写为
221 )0('')( xVxV ?
221221 )0('')( xVExVEmv ????
由此得方程,
t
m
E
x
E
V
x d2
2
)0(''1
d
2
?
? ??
??
?
? ??? 2
2
)0(''12
d
d x
E
V
m
Ev
t
x 或者
为了积分方便,换元令 ?s in
2
)0('' 2 ?x
E
V 从而
???? c o ss i n12 )0(''1,dc o s)0(''/2d 22 ????? xEVVEx
这样,上述方程化为,
tmV d)0(''d ??
两边积分
)0('' t h e n,d)0(''d 0
00
???
?
?
??? ?? t
m
Vt
m
V t
???
?
???
? ???
0
)0(''s i n
)0(''
2s i n
)0(''
2 ?? t
m
V
V
E
V
Ex
还原到 x,有
周期 T的意思是,当 t 变化到 t + T,?变化到 ? +2?,x
回到原来的数值, 所以
)0(''2 V
mT ??
例 1,单摆是由一质量为 m的质点用长为
l的轻杆悬挂在某点构成的, 假定弦不能
伸长,且质量可以忽略,(1)以角度 ?为参数
做势能曲线,说明图上哪个 ?范围是小球
能够达到的 ; (2)对于 H = E/mgl =0.1,1,2,
3.5,试做角速度与角位移曲线,并讨论它
们各自对应的单摆运动情况 ; (3) 求小振
幅时的周期,
l
mg
?
解, (1)单摆的重力势能为 ? ??? c o s1)( ?? m g lV
曲线如图所示,它在 ? = 0处有极小值,即这里是稳定平衡点,
表示总能量 E的水平线与势能曲线之间相差的高度代表
动能 Ek,因为动能恒正,所以运动只能在势能曲线低于水
平线的范围内才能实现,则虚线的位置标示着振幅,
?
?
??
V/mgl
当 H = 0.1时振幅很
小,曲线是一个椭圆 ;
H = 2对应于振幅为 ?
的情况,曲线仍闭合,
但两端凸出略呈尖
角状 ; H = 3.5时曲线
分裂成上下两支,分
别对应于摆锤顺时
针和逆时针的旋转 ;
H = 2是介于往复摆
动与单向旋转之间
的临界状态,它在两
端交叉成尖角,此处
对应于摆锤在正上
方的不稳定位置,这
条把两种运动形式
分开的曲线称为
“相分界线”,
(2) 摆锤的速度 ??lv ?,故动能为 22
21 ??mlE k ?
,从而
C)c o s1(2221 ?????? ?? m g lmlVEE k ?
?? c o s12
2
???? glm g lEH
?或者 所以 ? ??? c o s12 ???? H
l
g?
分别把给定的 H值带入,则由每个 ?值就可以画出角速度与它的
关系,(见上图 )
(3) 线位移 x=l?,计算势能在平衡点的二阶导数,
l
mgV
lx
xVV ???
?? 0
2
2
2
0
2
2
d
)(d1
d
)(d)0(''
?? ?
?
g
l
V
mT ?? 2
)0(''2 ??
周期为,
例 2,弹簧振子一质量为 m的质点连接一个轻质弹簧,弹
簧振子的弹性系数为 k.(1)做 V(x)-x曲线,说明图上哪个 范
围是振子能够达到的 ; (2)对于 E,2E,3E,试做速度与位移
曲线,并讨论其对应的运动情况 ; (3) 求弹簧振子的周期,
x0
m x
k
mf解, (1)振子的势能为,
? ? 2021)( xxkxV ??
曲线是一条抛物线, 在 x=x0 = 0处有极小值,即这里是稳定
平衡点, 表示总能量 E的水平线与势能曲线之间相差的高
度代表动能 Ek,因为动能恒正,所以运动只能在势能曲线
低于水平线的范围内才能实现,虚线的位置为其振幅,
(2) 振子的总能量为 C2
21221 ????? kxmvVEE k
显然,无论能量 (或者振幅 )大小,轨迹总是椭圆,
(3) 计算势能在平
衡点的二阶导数,
k
x
xVV
x
??
? 0
2
2
d
)(d)0(''
k
m
V
mT ?? 2
)0(''2 ??
弹簧振子的周期为,
例 3,如图为一倒摆装置,螺旋弹簧把它支撑
在 ?=0的平衡位置上,摆锤在重力和弹性力
的共同下运动,试从它的势能曲线讨论其运
动的稳定性,
解, 弹簧服从胡克定律,即其弹
性势能为 2
0
1 2
1d)( ???? ? kkV ?? ?
1
? ?1c o s)(2 ?? ?? m g lV倒摆的重力势能为
平衡位置对应于势能的极值
0s ind )(d ??? ???? m g lkV
上述方程可以用作图法来
求解 (如图 ),即找到两条曲
线的交点,显然 ?=0总是解 ;
但是还可能存在解,
(1) 当 k/mgl>1时 (弹簧硬,或者
摆短 )不再有交点 ;
(2) 当 k/mgl<1时 (弹簧软,或者
摆长 )左右对称的交点 ;
(3) 当 k/mgl=1时是 临界状态,
为了分析平衡位置的稳定性,需要考虑势能的二阶导数
证明, ?
?
??
?
? ???????? ?42
!5
1
!3
11 s i n0s i n ??
?
??? m g lm g lkm g lk
?????? ??????? ???????? ??????? ?? 262286422
2
9
16
!7
1
5
12
!3
1)
!9
8
!7
6
!5
4
!3
2(
d
)(d ????????
?
? m g lm g lV
?? ? c o sd )(d 2
2
m g lkV ??
在中央平衡点 ?=0处,当 k/mgl>1时二阶导数为正,是
稳定点, 当 k/mgl<1时二阶导数为负,是不稳定平衡点,
即中央失稳, 可以证明这时另外两个平衡点二阶导数
为负,是稳定平衡点,
??,02512!31512!31,22/|| 22 ??????? ???????? ???? ???
0d )(d 2
2
?? ? ?V
从相图知, (i) k/mgl>1时,相轨都是围绕中央唯一平衡点的闭合
曲线,(ii) k/mgl<1时,中央为极大值,势能 V=0,若 E>0,相轨是一条闭
合曲线,摆锤作大幅度摆动,左右仍是对称的, 当 E<0时,相轨分裂
为两个较小的闭合曲线,它们各自围绕左右两个稳定的平衡点运动,
对应于 E=0的相轨是分界线,它呈,8”字形，在中央自我交叉,
倒摆的势能曲
线和相图
左 (i) k/mgl>1
右 (ii) k/mgl<1
例 4,质量为 m的小环套在半径为 R的光
滑大圆环上,后者绕竖直轴以匀角速度
?转动, 试用势能曲线讨论小环的运动,
解,在随大环转动的参照系内 只有 ?
一个坐标参量,是一维运动,惯性离
心力
A
B
CD
R
O
? ?
mg
mr?2
??? s in)( 2mRf ?惯离
它所做的功等于对应的势能的减少
?????? d2s i ndc o s)(d 2221 mRRfV ??? 惯离惯离
? ???? 2c o s1)( 2241 ???? mRV 惯离
同样以 ?= 0处为零点,重力势能为
? ??? c o s1)( ?? mg RV 重
总机械能为,
R
g
c ??
在 ?<?c时势能在 ?0 = 0处有一个极小值 ; ?>?c时势能
在 ?0 = 0处势能变成了极大值 ;而在其两侧各出现一个
极小值, 显然和上例相似,在 ?=?c处有因对称性自发破
缺而产生的分叉现象, 从上式可以画出相应的相图,
? ????? 2c o s1)c o s1( 22412221 ????? mRm g RmRE ?
用 mgR约化,得无量纲的能量
? ??
?
??
?
? 2c o s1
4
1)c o s1(
2
1
22
???
?
?
???
????
???
?
???
???
ccm g R
EH ?
其中,
?<?c时的 势能
曲线和相图
?>?c时的 势能
曲线和相图
天体、宏观物体、分子、原子、原子核以及基本粒子,
散射, 如果两个物体之间有斥力作用 (如电磁力 )则两个
物体相互作用而不会接触的现象,
分析碰撞与散射问题,由于相互作用时间都很短,外
力可以忽略,所以都存在动量守恒, 同样能量守恒,不
仅仅局限在机械能守恒,所以能量守恒写为,
fkfiki UEUE ???
Uf中包含了碰撞对象间的势能和各对象的内能
二、碰撞再研究
定义 反应能
fikikf UUEEQ ????
宏观上是热能,微观上可能是粒子的动能,也可能是
其他形式的内能
Q = 0,相当于弹性碰撞,机械能守恒,
Q > 0,相应于放热反应,原子核裂变、聚变、爆炸,
实际上是其他来源提供了能量而使得动能增加,
Q < 0,相当于非弹性碰撞,相应于吸热反应,是动能
转变为其他能量,
一般物理问题研究中,我们关心的不是碰撞或者散
射过程的细节,而是 Q值, 碰撞过程可以看作黑箱,
下面仍讨论简单的正碰问题
m1v1 m2v2 m1v1’ m2v2’
碰撞前 碰撞后
'',1221 vvvvvv s e papp ????
动量和能量守恒分别为,
'' 22112211 vmvmvmvm ???
222
21
211
21
222
21
211
21 '' vmvmvmvmQ ????
(1) Q = 0时,上式可以化为
? ? ? ?222111 '' vvmvvm ???
? ? ? ?2222221211 '' vvmvvm ???
对于 '
11 vv ? (否则不碰撞 ),有
2211 '' vvvv ???这导致
s epapp vv ?
简单计算得到
? ? ? ?
21
11212
2
21
22121
1
2',2'
mm
vmvmmv
mm
vmvmmv
?
???
?
???
为了讨论简单,我们取 v2 = 0,于是,
? ?
21
11
2
21
121
1
2','
mm
vmv
mm
vmmv
?
?
?
??
(i) 反冲 如果 21 mm ??,则
11
2
1
211
2
1
1
2
',
2
1' vv
m
m
vvv
m
m
v ???????
?
?
??
?
?
???
质点 2获得动能,但是很小,
(ii) 转移 如果 21 mm ?,则 121 ',0' vvv ??
速度和能量都发生了转移,这就解释了在反应堆中,单
就质量而言氢是最有效的中子减速剂, 可是由于质子
俘获中子而产生氘, 通常采用重水而直接利用其中的
氘来做减速剂,
(iii) 如果 21 mm ??,则
11
1
2
211
1
2
1 2212',21' vvm
mvvv
m
mv ?
???
?
???
?
?????
?
?
???
?
??
(2) Q < 0时,则
sepapp vv ?
非弹性碰撞,定义恢复系数
? ? '' 1221 vvvve ???
例 5,一束能量为 1.85MeV的质子轰击氟核,一些质子以
反应的形式与氟核作用, Q???? ?OpF 1619 在垂直于
入射束的方向上观察到有 ?粒子出现,它们的速度是
1.95?107m/s.求该过程的反应能,
已知,mF=19.0u,mp=1.01u,mO=16.0u,m?=4.00u,u为原
子质量单位,1u=1.6605402?10-27kg.
p
?
x
?
O
解, 动量守恒
???
?
vmvmy
vmvmx
OO
OOpp
??
?
s in0,
c o s,
能量守恒为, 221221221 ?? vmvmpvmQ OOpp ???
反应能为 ? ? ? ? ? ?
pk
O
p
k
O
pp
p
OO
O
E
m
m
E
m
m
vm
m
vm
m
vm
m
Q
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
???
11
111
2
1 222
?
?
??
?
代入有关数据得到最后的结果
Q = 8.10 MeV
例 6,求冲击摆的反应能,
m,v m’
? L解, 如图,动量守恒为 ? ? '' vmmmv ??
子弹嵌入以后能量守恒,起摆到
最大高度时,
? ? ? ? )c o s1(''' 221 ????? gLmmvmm
所以较难测量的子弹速度可以利用起摆角表示为
)c o s1(2' ???? gLm mmv
反应能为 ? ? )c o s1('''' 2
2
12
2
1 ???????? gLm
m
mmmvvmmQ
这意味着系统丧失了部分动能而获得热能,
作 业
1.38 1.40 2.13 2.16
机械能（二）
—— 一维势能曲线
和碰撞再研究
本讲导读
? 一维情况下存在势能函数的条件
? 总能量、动能和势能的图示
? 平衡点的稳定性 相图
? 碰撞中的能量转化
一、一维势能曲线
)( xVV ?
物体一维运动的势能曲线
x0
A’ A’’
A
B’ B’’
C B
E1
E2
V(x)
x
对一维运动,只要力是坐标
的单值函数,一定是保守力,
（ i）保守力
x
xVf
d
)(d??
指向势能下降的方向，大小正比于势能曲线的斜率
x0
A’ A’’
A
B’ B’’
C B
E1
E2
V(x)
x
（ ii）总能量 E水平线在各点
相距下边势能曲线的高度，
代表质点在该处的动能, 由
于经典动能为正,所以水平
线低于势能曲线的区间,是
具有该能量的质点不能达到
的地段,
（ iii）势能曲线在局部的最低 (极小 )点,都是稳定平衡
点, 总能量略高于它们的质点,只能在它们附近一定范
围内活动, 势能曲线在局部的最高 (极大 )点,都是不稳
定平衡点, 总能量略高于它们的质点,都会远离而去,
（ iv）在势能曲线任何极小点附近,质点可能围绕着
它做小振动, 可以如下计算振动周期
（ v）以 A点 (x0)为例,计算小振动的振动周期
显然势能在这里一阶导数为零,二阶导数大于零, 在
?x=x-x0不大的范围内,把势能函数展开成泰勒级数,
? ?
? ? ?
?
????
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2
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xxVxxVxVxV
对于小振动,我们忽略三阶及以上的小量, 由于坐标原
点选择具有任意性,我们设 x0=0,?x=x,V(x0)=0,上式简
化为,,这代表一根抛物线, 将机
械能守恒定律改写为
221 )0('')( xVxV ?
221221 )0('')( xVExVEmv ????
由此得方程,
t
m
E
x
E
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为了积分方便,换元令 ?s in
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???? c o ss i n12 )0(''1,dc o s)0(''/2d 22 ????? xEVVEx
这样,上述方程化为,
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两边积分
)0('' t h e n,d)0(''d 0
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???
?
?
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V
E
V
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还原到 x,有
周期 T的意思是,当 t 变化到 t + T,?变化到 ? +2?,x
回到原来的数值, 所以
)0(''2 V
mT ??
例 1,单摆是由一质量为 m的质点用长为
l的轻杆悬挂在某点构成的, 假定弦不能
伸长,且质量可以忽略,(1)以角度 ?为参数
做势能曲线,说明图上哪个 ?范围是小球
能够达到的 ; (2)对于 H = E/mgl =0.1,1,2,
3.5,试做角速度与角位移曲线,并讨论它
们各自对应的单摆运动情况 ; (3) 求小振
幅时的周期,
l
mg
?
解, (1)单摆的重力势能为 ? ??? c o s1)( ?? m g lV
曲线如图所示,它在 ? = 0处有极小值,即这里是稳定平衡点,
表示总能量 E的水平线与势能曲线之间相差的高度代表
动能 Ek,因为动能恒正,所以运动只能在势能曲线低于水
平线的范围内才能实现,则虚线的位置标示着振幅,
?
?
??
V/mgl
当 H = 0.1时振幅很
小,曲线是一个椭圆 ;
H = 2对应于振幅为 ?
的情况,曲线仍闭合,
但两端凸出略呈尖
角状 ; H = 3.5时曲线
分裂成上下两支,分
别对应于摆锤顺时
针和逆时针的旋转 ;
H = 2是介于往复摆
动与单向旋转之间
的临界状态,它在两
端交叉成尖角,此处
对应于摆锤在正上
方的不稳定位置,这
条把两种运动形式
分开的曲线称为
“相分界线”,
(2) 摆锤的速度 ??lv ?,故动能为 22
21 ??mlE k ?
,从而
C)c o s1(2221 ?????? ?? m g lmlVEE k ?
?? c o s12
2
???? glm g lEH
?或者 所以 ? ??? c o s12 ???? H
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分别把给定的 H值带入,则由每个 ?值就可以画出角速度与它的
关系,(见上图 )
(3) 线位移 x=l?,计算势能在平衡点的二阶导数,
l
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)(d)0(''
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V
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周期为,
例 2,弹簧振子一质量为 m的质点连接一个轻质弹簧,弹
簧振子的弹性系数为 k.(1)做 V(x)-x曲线,说明图上哪个 范
围是振子能够达到的 ; (2)对于 E,2E,3E,试做速度与位移
曲线,并讨论其对应的运动情况 ; (3) 求弹簧振子的周期,
x0
m x
k
mf解, (1)振子的势能为,
? ? 2021)( xxkxV ??
曲线是一条抛物线, 在 x=x0 = 0处有极小值,即这里是稳定
平衡点, 表示总能量 E的水平线与势能曲线之间相差的高
度代表动能 Ek,因为动能恒正,所以运动只能在势能曲线
低于水平线的范围内才能实现,虚线的位置为其振幅,
(2) 振子的总能量为 C2
21221 ????? kxmvVEE k
显然,无论能量 (或者振幅 )大小,轨迹总是椭圆,
(3) 计算势能在平
衡点的二阶导数,
k
x
xVV
x
??
? 0
2
2
d
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k
m
V
mT ?? 2
)0(''2 ??
弹簧振子的周期为,
例 3,如图为一倒摆装置,螺旋弹簧把它支撑
在 ?=0的平衡位置上,摆锤在重力和弹性力
的共同下运动,试从它的势能曲线讨论其运
动的稳定性,
解, 弹簧服从胡克定律,即其弹
性势能为 2
0
1 2
1d)( ???? ? kkV ?? ?
1
? ?1c o s)(2 ?? ?? m g lV倒摆的重力势能为
平衡位置对应于势能的极值
0s ind )(d ??? ???? m g lkV
上述方程可以用作图法来
求解 (如图 ),即找到两条曲
线的交点,显然 ?=0总是解 ;
但是还可能存在解,
(1) 当 k/mgl>1时 (弹簧硬,或者
摆短 )不再有交点 ;
(2) 当 k/mgl<1时 (弹簧软,或者
摆长 )左右对称的交点 ;
(3) 当 k/mgl=1时是 临界状态,
为了分析平衡位置的稳定性,需要考虑势能的二阶导数
证明, ?
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?? ? c o sd )(d 2
2
m g lkV ??
在中央平衡点 ?=0处,当 k/mgl>1时二阶导数为正,是
稳定点, 当 k/mgl<1时二阶导数为负,是不稳定平衡点,
即中央失稳, 可以证明这时另外两个平衡点二阶导数
为负,是稳定平衡点,
??,02512!31512!31,22/|| 22 ??????? ???????? ???? ???
0d )(d 2
2
?? ? ?V
从相图知, (i) k/mgl>1时,相轨都是围绕中央唯一平衡点的闭合
曲线,(ii) k/mgl<1时,中央为极大值,势能 V=0,若 E>0,相轨是一条闭
合曲线,摆锤作大幅度摆动,左右仍是对称的, 当 E<0时,相轨分裂
为两个较小的闭合曲线,它们各自围绕左右两个稳定的平衡点运动,
对应于 E=0的相轨是分界线,它呈,8”字形，在中央自我交叉,
倒摆的势能曲
线和相图
左 (i) k/mgl>1
右 (ii) k/mgl<1
例 4,质量为 m的小环套在半径为 R的光
滑大圆环上,后者绕竖直轴以匀角速度
?转动, 试用势能曲线讨论小环的运动,
解,在随大环转动的参照系内 只有 ?
一个坐标参量,是一维运动,惯性离
心力
A
B
CD
R
O
? ?
mg
mr?2
??? s in)( 2mRf ?惯离
它所做的功等于对应的势能的减少
?????? d2s i ndc o s)(d 2221 mRRfV ??? 惯离惯离
? ???? 2c o s1)( 2241 ???? mRV 惯离
同样以 ?= 0处为零点,重力势能为
? ??? c o s1)( ?? mg RV 重
总机械能为,
R
g
c ??
在 ?<?c时势能在 ?0 = 0处有一个极小值 ; ?>?c时势能
在 ?0 = 0处势能变成了极大值 ;而在其两侧各出现一个
极小值, 显然和上例相似,在 ?=?c处有因对称性自发破
缺而产生的分叉现象, 从上式可以画出相应的相图,
? ????? 2c o s1)c o s1( 22412221 ????? mRm g RmRE ?
用 mgR约化,得无量纲的能量
? ??
?
??
?
? 2c o s1
4
1)c o s1(
2
1
22
???
?
?
???
????
???
?
???
???
ccm g R
EH ?
其中,
?<?c时的 势能
曲线和相图
?>?c时的 势能
曲线和相图
天体、宏观物体、分子、原子、原子核以及基本粒子,
散射, 如果两个物体之间有斥力作用 (如电磁力 )则两个
物体相互作用而不会接触的现象,
分析碰撞与散射问题,由于相互作用时间都很短,外
力可以忽略,所以都存在动量守恒, 同样能量守恒,不
仅仅局限在机械能守恒,所以能量守恒写为,
fkfiki UEUE ???
Uf中包含了碰撞对象间的势能和各对象的内能
二、碰撞再研究
定义 反应能
fikikf UUEEQ ????
宏观上是热能,微观上可能是粒子的动能,也可能是
其他形式的内能
Q = 0,相当于弹性碰撞,机械能守恒,
Q > 0,相应于放热反应,原子核裂变、聚变、爆炸,
实际上是其他来源提供了能量而使得动能增加,
Q < 0,相当于非弹性碰撞,相应于吸热反应,是动能
转变为其他能量,
一般物理问题研究中,我们关心的不是碰撞或者散
射过程的细节,而是 Q值, 碰撞过程可以看作黑箱,
下面仍讨论简单的正碰问题
m1v1 m2v2 m1v1’ m2v2’
碰撞前 碰撞后
'',1221 vvvvvv s e papp ????
动量和能量守恒分别为,
'' 22112211 vmvmvmvm ???
222
21
211
21
222
21
211
21 '' vmvmvmvmQ ????
(1) Q = 0时,上式可以化为
? ? ? ?222111 '' vvmvvm ???
? ? ? ?2222221211 '' vvmvvm ???
对于 '
11 vv ? (否则不碰撞 ),有
2211 '' vvvv ???这导致
s epapp vv ?
简单计算得到
? ? ? ?
21
11212
2
21
22121
1
2',2'
mm
vmvmmv
mm
vmvmmv
?
???
?
???
为了讨论简单,我们取 v2 = 0,于是,
? ?
21
11
2
21
121
1
2','
mm
vmv
mm
vmmv
?
?
?
??
(i) 反冲 如果 21 mm ??,则
11
2
1
211
2
1
1
2
',
2
1' vv
m
m
vvv
m
m
v ???????
?
?
??
?
?
???
质点 2获得动能,但是很小,
(ii) 转移 如果 21 mm ?,则 121 ',0' vvv ??
速度和能量都发生了转移,这就解释了在反应堆中,单
就质量而言氢是最有效的中子减速剂, 可是由于质子
俘获中子而产生氘, 通常采用重水而直接利用其中的
氘来做减速剂,
(iii) 如果 21 mm ??,则
11
1
2
211
1
2
1 2212',21' vvm
mvvv
m
mv ?
???
?
???
?
?????
?
?
???
?
??
(2) Q < 0时,则
sepapp vv ?
非弹性碰撞,定义恢复系数
? ? '' 1221 vvvve ???
例 5,一束能量为 1.85MeV的质子轰击氟核,一些质子以
反应的形式与氟核作用, Q???? ?OpF 1619 在垂直于
入射束的方向上观察到有 ?粒子出现,它们的速度是
1.95?107m/s.求该过程的反应能,
已知,mF=19.0u,mp=1.01u,mO=16.0u,m?=4.00u,u为原
子质量单位,1u=1.6605402?10-27kg.
p
?
x
?
O
解, 动量守恒
???
?
vmvmy
vmvmx
OO
OOpp
??
?
s in0,
c o s,
能量守恒为, 221221221 ?? vmvmpvmQ OOpp ???
反应能为 ? ? ? ? ? ?
pk
O
p
k
O
pp
p
OO
O
E
m
m
E
m
m
vm
m
vm
m
vm
m
Q
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
???
11
111
2
1 222
?
?
??
?
代入有关数据得到最后的结果
Q = 8.10 MeV
例 6,求冲击摆的反应能,
m,v m’
? L解, 如图,动量守恒为 ? ? '' vmmmv ??
子弹嵌入以后能量守恒,起摆到
最大高度时,
? ? ? ? )c o s1(''' 221 ????? gLmmvmm
所以较难测量的子弹速度可以利用起摆角表示为
)c o s1(2' ???? gLm mmv
反应能为 ? ? )c o s1('''' 2
2
12
2
1 ???????? gLm
m
mmmvvmmQ
这意味着系统丧失了部分动能而获得热能,
作 业
1.38 1.40 2.13 2.16
