第三讲
质点运动学
本讲导读
? 质点、参照系、坐标系、质点位矢
? 运动学方程、轨道
? 位移、速度、加速度
? 自然坐标系，切向、法向加速度
? 相对运动,绝对 (加 )速度、相对 (加 )速
度、牵连 (加 )速度,
1 质点 具有一定质量的几何点
自由质点, 可以在空间自由移动的质点, 确
定它在空间的位置需要三个独立变量,
2 参考系 坐标系
参考系,为描述物体的运动而选取的参考物体
用以标定物体的空间位置而设置的
坐标系统
坐标系：
一、质点运动的描述
3 位置矢量与运动方程
?
?
?
P(x,y,z)
r?
z
y
x
o
位置矢量（位矢）
从坐标原点 o出发，指向质点
所在位置 P的一有向线段
位矢用坐标值表示为,
kzjyixr ???? ???
位矢的大小为：
222 zyxr ???
位矢的方向：
r
z
r
y
r
X ??? ??? c o sc o sc o s
ktzjtyitxr ???? )()()( ???
运动方程
参数形式
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
?
?
?
轨道方程
0),,( ?zyxF
4 位移
设质点作曲线运动
t时刻位于 A点，位矢
t+?t时刻位于 B点，位矢
Ar
?
Br
?
在 ?t时间内，位矢的变化量（即 A到 B
的有向线段）称为 位移 。
r??
z
y
x
o Br
?
B
Ar
?
A
ABrrr AB ???? ???
5 速度
速度是反映质点运动的快慢和方向的物理量
定义,单位时间内质点所发生的位移
(1)平均速度 ? ?
smtrv ???
?? B
A
o
z
y
x
Ar
?
Br
?
r??
(2) 瞬时速度
? ?1
0
lim ?
??
????? smdt rdtrv
t
???
速度的方向为轨道上质点所在处的切线方向。
kvjvivv zyx ???? ???
222
zyx vvvvv ????
?
(3) 速率 dtdstsv
t
????
??
l i m
0
一般情况,vvsr ???? ?? 因此
当 ?t?0时,vvdsrdr ???? ??? 则
?s
r??
B
A
6 加速度
加速度是反映速度变化的物理量
平均加速度 ? ?2????? smtva ??
x
o
z
y
1v
?
2v
?
1v
?
2v
?
v??
瞬时加速度：
k
dt
dvj
dt
dv
i
dt
dv
dt
vda zyx ????? ????
kajaia zyx ??? ???
k
dt
zdj
dt
ydi
dt
xd ???
2
2
2
2
2
2
???
222
zyx aaaa ???
?
1、已知运动方程，求质点任意时刻的位置、速
度以及加速度
? ? 2
2
dt
rd
dt
vda
dt
rdvtrr ??????? ????
2、已知运动质点的速度函数（或加速度函数）
以及初始条件求质点的运动方程、轨道方程
?? ?? ttvv dtavddtavd 00,????
?
?
?? ?? ttrr dtvrddtvrd 00,????
?
?
二、运动学的两类问题
例 1 已知质点的运动方程 ? ? jtitr ??? 22192 ???
求,1）轨道方程；（ 2） t=2秒时质点的位置、速度以
及加速度；（ 3）什么时候位矢恰好与速度矢垂直？
解,2219,2 tytx ???（ 1）
消去时间参数 2
2
119 xy ??
（ 2） ? ? jijir
t
????? 114221922 2
2 ????????
jtidtrdv ??
??
42 ??? ? ?m / s822 jiv t ??? ???
? ? m / s 25.882 222 ????v 85752 81 ?????? ?tg?
jtidtrdv ??
??
42 ??? jdtvda
???
4???
-2sm 4 ??a 方向沿 y轴的负方向
（ 3） ? ?? ? ? ?jtijtitvr ?????? 422192 2 ??????
)182(4)219(44 22 ????? ttttt
0)3)(3(8 ???? ttt
)(3,)(0 21 stst ?? 两矢量垂直
例 2,设椭圆规尺 AB的端点 A和 B沿直线导槽 Ox及 Oy滑
动，而 B以匀速度 c运动。求尺规上 M点的轨道方程，速
度及加速度。 MA＝ a,MB＝ b，角 OBA为 ?
解：
O A
x
B
y
y
M
x
b
a
?
由图知,M点的坐标为
?? c o s,s in aybx ??
消去 ?，得轨道方程
12
2
2
2
??
a
y
b
x
速度分量为
???? s i n,c o s ??? aybx ???
因 B点坐标为 ?c o s)(,0
11 bayx ???
cbayv B ??????? ?? s i n)(1 ??
?? s in
1
ba
c
???
?
故 M点速度分量
ba
acy
ba
bcx
?????
??,c t g ?
故 M点加速度分量
? ? ? ?
0
c s cc s c
2
24
3
2
2
2
?
?
?
?
?
?
??
y
xba
cb
ba
bc
ba
bc
x
??
??? 1- -
3
???
例 3,当上抛的飞碟到达最高点时，射手
瞄准射击，问能否击中目标？
分析：飞碟和子弹都有重力加速度, 可
以用二维空间描述位置,
解, 取枪口作参照点,飞碟初始位置 r0,子弹初速度为 v0,则时刻 t飞
碟和子的位置为
d
h0
r0
v0
o
2
210
2
210,ttt bc gg ???? vrrr
碰撞的条件
? ?? ?
2
00
22
0
0
2
0
2
20 1,vh
dhg
v
hd hht ?? ???
c
tbc 00 vr,rr ???
这说明只要开始瞄准就可以打上飞碟, 但是有没有限制条件?
分析碰撞需要的时间
和撞击的竖直位置
显然只有 ? ?
0
220
2
2
0 h
dhgv ?? 时碰撞才可能发生
三、极坐标系
极坐标系：空间 p的位置（ r,?）
ir r?
o
?
cr
p
ij
v
极轴
当 p沿着曲线运动，速度沿轨道
的切线,
沿矢径方向
? ? iiirv ?? rrrtt ???? dddd
当 d?趋向 0时,i,i’,di组成的等腰
三角形两个底角接近直角,所以
jji,i ?? dd
?? dddd ?? j,i
从而
i
jj
j
ii
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
tt
tt
d
d
d
d
d
d
d
d
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d
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o
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c
r1
p
ij
极轴
r2
Q
i
i’
j
j’
didj
d?
d?d?
jiv ??? rr ???
ir? j??r为径向速度,为横向速度
? ? ? ?jiva ??? rtrtt dddddd ???
? ?
? ?
ijj
j
jjj
ji
i
ii
2
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
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rrr
t
r
t
r
t
r
r
t
rr
t
r
t
r
r
t
???
???
??
??
加速度
jiv ??? rr ???
ir? j??r为径向速度,为横向速度
? ? ? ?jiva ??? rtrtt dddddd ???加速度
? ? ? ?
? ? ? ? ji
jia
??
???
????
???????
2
r
tr
rr
rrrr
d
d1
2
2
2
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????
jiv ??? rr ???
ir? j??r为径向速度,为横向速度
? ? ? ?jiva ??? rtrtt dddddd ???加速度
2???? rra
r ??
? ????? ????? 2r
tr
rr
d
d12 ???a
在质点的运动轨迹上，任
取一点 o作为坐标的原点。从
原点 o到轨迹曲线上任意一点 P
的弧长定义为 P点的坐标 s 。
切向坐标轴沿质点前进方向的切向为正，单位矢量为 ??
法向坐标轴沿轨迹的法向凹侧为正，单位矢量为
规定,
n?
n?
??
s
o
P
??
n?
Q
?s
坐标轴的方向分别取切线
和法线两正交方向。
路程, 自然坐标之差
QP sss ???
四、自然坐标中的速度和加速度
速度,
sdd ?r?
?
t
s
t d
d
d
d ?? rv
速率,
t
sv
d
d?
加速度：
1P 2P
v??
v?
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?s
v?
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nv
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nvvv
??? ?????
?
t
v
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l i ml i m
00
?
全加速度：
?aaa n
??? ??
全加速度的大小：
22
?aa n ?
全加速度的方向
?
? aaa rc tg n?
?? ?? tva dd? n
va
n
??
?
2
?
例 4,一质点沿半径为 R的圆周运动，其路程 s随时
间 t的变化规律为,式中 b,c为大于零的
常数，且 。求（ 1）质点的切向加速度和法向
加速度。（ 2）经过多长时间，切向加速度等于法向加
速度。
221 ctbts ???
Rcb ?2
解：
ctb
dt
dsv ???
c
dt
dva ???
? R
ctb
R
va
n
22 )( ?
??
naa ?? c
R
c
b
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（ 1）
（ 2）
x
y y′
S′
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PS
x′
O
O′
r?
r??
0r
?
rrr ??? ??? 0
五、相对运动
dt
rd
dt
rd
dt
rd ??? ??? 0
vuv ??? ???
dt
vd
dt
ud
dt
vd ??? ???
aaa ??? ??? 0
xbaxab vvv
??? ??
例 5,某人骑自行车以速率 v向东行驶。今有风以
同样的速率由北偏西 30° 方向吹来。问：人感到风是
从那个方向吹来？
解：
0vvv
??? ???
0v
?
v??v?
北偏西 30°
例 6,求抛体轨道顶点的曲率半径
gn ?a
解, 在抛物线的顶端
处,速度只有水平分
量 v0cos?,加速度 g是
沿法向的, 所以
? ? ? ?
m
m
n y
xv
a
v
8
c o sc o s 22020 ???
g
???曲率半径为
式中 xm和 ym分别是射程和射高,
1.3 1.6 1.11 1.16
六,作业
质点运动学
本讲导读
? 质点、参照系、坐标系、质点位矢
? 运动学方程、轨道
? 位移、速度、加速度
? 自然坐标系，切向、法向加速度
? 相对运动,绝对 (加 )速度、相对 (加 )速
度、牵连 (加 )速度,
1 质点 具有一定质量的几何点
自由质点, 可以在空间自由移动的质点, 确
定它在空间的位置需要三个独立变量,
2 参考系 坐标系
参考系,为描述物体的运动而选取的参考物体
用以标定物体的空间位置而设置的
坐标系统
坐标系：
一、质点运动的描述
3 位置矢量与运动方程
?
?
?
P(x,y,z)
r?
z
y
x
o
位置矢量（位矢）
从坐标原点 o出发，指向质点
所在位置 P的一有向线段
位矢用坐标值表示为,
kzjyixr ???? ???
位矢的大小为：
222 zyxr ???
位矢的方向：
r
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r
y
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X ??? ??? c o sc o sc o s
ktzjtyitxr ???? )()()( ???
运动方程
参数形式
)(
)(
)(
tzz
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?
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轨道方程
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4 位移
设质点作曲线运动
t时刻位于 A点，位矢
t+?t时刻位于 B点，位矢
Ar
?
Br
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在 ?t时间内，位矢的变化量（即 A到 B
的有向线段）称为 位移 。
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y
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B
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A
ABrrr AB ???? ???
5 速度
速度是反映质点运动的快慢和方向的物理量
定义,单位时间内质点所发生的位移
(1)平均速度 ? ?
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A
o
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(2) 瞬时速度
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速度的方向为轨道上质点所在处的切线方向。
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222
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(3) 速率 dtdstsv
t
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0
一般情况,vvsr ???? ?? 因此
当 ?t?0时,vvdsrdr ???? ??? 则
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B
A
6 加速度
加速度是反映速度变化的物理量
平均加速度 ? ?2????? smtva ??
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2
2
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1、已知运动方程，求质点任意时刻的位置、速
度以及加速度
? ? 2
2
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2、已知运动质点的速度函数（或加速度函数）
以及初始条件求质点的运动方程、轨道方程
?? ?? ttvv dtavddtavd 00,????
?
?
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?
?
二、运动学的两类问题
例 1 已知质点的运动方程 ? ? jtitr ??? 22192 ???
求,1）轨道方程；（ 2） t=2秒时质点的位置、速度以
及加速度；（ 3）什么时候位矢恰好与速度矢垂直？
解,2219,2 tytx ???（ 1）
消去时间参数 2
2
119 xy ??
（ 2） ? ? jijir
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????? 114221922 2
2 ????????
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0)3)(3(8 ???? ttt
)(3,)(0 21 stst ?? 两矢量垂直
例 2,设椭圆规尺 AB的端点 A和 B沿直线导槽 Ox及 Oy滑
动，而 B以匀速度 c运动。求尺规上 M点的轨道方程，速
度及加速度。 MA＝ a,MB＝ b，角 OBA为 ?
解：
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B
y
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M
x
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由图知,M点的坐标为
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消去 ?，得轨道方程
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速度分量为
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因 B点坐标为 ?c o s)(,0
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??? 1- -
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例 3,当上抛的飞碟到达最高点时，射手
瞄准射击，问能否击中目标？
分析：飞碟和子弹都有重力加速度, 可
以用二维空间描述位置,
解, 取枪口作参照点,飞碟初始位置 r0,子弹初速度为 v0,则时刻 t飞
碟和子的位置为
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碰撞的条件
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这说明只要开始瞄准就可以打上飞碟, 但是有没有限制条件?
分析碰撞需要的时间
和撞击的竖直位置
显然只有 ? ?
0
220
2
2
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三、极坐标系
极坐标系：空间 p的位置（ r,?）
ir r?
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v
极轴
当 p沿着曲线运动，速度沿轨道
的切线,
沿矢径方向
? ? iiirv ?? rrrtt ???? dddd
当 d?趋向 0时,i,i’,di组成的等腰
三角形两个底角接近直角,所以
jji,i ?? dd
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从而
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加速度
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ir? j??r为径向速度,为横向速度
? ? ? ?jiva ??? rtrtt dddddd ???加速度
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? ? ? ?jiva ??? rtrtt dddddd ???加速度
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d12 ???a
在质点的运动轨迹上，任
取一点 o作为坐标的原点。从
原点 o到轨迹曲线上任意一点 P
的弧长定义为 P点的坐标 s 。
切向坐标轴沿质点前进方向的切向为正，单位矢量为 ??
法向坐标轴沿轨迹的法向凹侧为正，单位矢量为
规定,
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坐标轴的方向分别取切线
和法线两正交方向。
路程, 自然坐标之差
QP sss ???
四、自然坐标中的速度和加速度
速度,
sdd ?r?
?
t
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t d
d
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速率,
t
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加速度：
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全加速度：
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全加速度的大小：
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全加速度的方向
?
? aaa rc tg n?
?? ?? tva dd? n
va
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?
2
?
例 4,一质点沿半径为 R的圆周运动，其路程 s随时
间 t的变化规律为,式中 b,c为大于零的
常数，且 。求（ 1）质点的切向加速度和法向
加速度。（ 2）经过多长时间，切向加速度等于法向加
速度。
221 ctbts ???
Rcb ?2
解：
ctb
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c
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（ 1）
（ 2）
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五、相对运动
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??? ??
例 5,某人骑自行车以速率 v向东行驶。今有风以
同样的速率由北偏西 30° 方向吹来。问：人感到风是
从那个方向吹来？
解：
0vvv
??? ???
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?
v??v?
北偏西 30°
例 6,求抛体轨道顶点的曲率半径
gn ?a
解, 在抛物线的顶端
处,速度只有水平分
量 v0cos?,加速度 g是
沿法向的, 所以
? ? ? ?
m
m
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xv
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v
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c o sc o s 22020 ???
g
???曲率半径为
式中 xm和 ym分别是射程和射高,
1.3 1.6 1.11 1.16
六,作业
