第二十一讲
分析力学作业分析
解题方法和要点
?虚功原理与达朗贝原理
虚功原理是关于力学平衡的普遍原理,解题方法一般为,
(1)判断约束是否为理想约束 ;(光滑接触,刚性连接 )
(2)找出主动力,及作用点 ;
(3)确定自由度,并选择广义坐标 ;
(4)由广义坐标和坐标变换公式把虚位移用广义坐标的变分表
示 ;
(5)由虚功原理写出平衡方程,由于广义坐标的变分独立,可以
解出问题
对运动问题加入惯性力转化为平衡问题,就是达朗贝原理,
?拉格朗日方程
利用广义坐标推导出来的拉氏方程对整个力学体系的运动提
供了一个统一而普遍的解决方案,主要适用于完整体系 (几何约束
和可积分运动约束及不可解 (双面 )约束 ).在拉氏力学中,广义动量,
广义坐标广义动能都内涵更丰富,解题一般方法
(1)首先正确判断完整体系自由度,适当选取广义坐标 ;s=3n-k
(2)建立坐标变换公式,尽量不显含时间 ;
(3)判断是否保守体系,分析用何种拉氏方程 ;用广义量表示动
能,用广义坐标表示广义力, 对于保守系统,写出广义坐标表示的
势能,最后写出系统的拉格朗日函数,
(4)列出拉格朗日方程 ;检查有无循环坐标,简化方程组 ;
(5)利用初始条件解出拉格朗日方程,
如不是保守体系,要找到和自由度数目相同的广义力分量,
? ?sqrFQ
α
i
n
i
i,,2,1
1
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????? ?
?
??
5.1)虚功原理中的, 虚功, 二字作何解释?用虚功原理解平衡
问题有何优点及缺点?
一、思考题
虚位移是在不破坏约束的前提下力学体系可能实现的无限小位
移,虚功正是作用在体系的力 (包括约束力 )在任意虚位移上作的功,
因此虚功只决定于质点受力和约束条件,与作用力是否真的做功无
关,在使用时,由于约束力自动消失,所以求解主动力方便,缺点,理
想约束,不能直接求解约束力,但可以解除约束来求得,
5.2)为什么在拉格朗日方程中,Q?不包含约束反作用力?又广义
坐标及广义力的含义为何? 我们根据什么关系可以由一个量的量
纲定出另一个量的量纲?
由于拉格朗日方程是在理想约束下得到,约束力虚功为零,故在
拉氏方程中不再包括约束力, 广义坐标是确定完整体系的几何位
置,彼此独立的编书,选取时,可以不受约束的影响,广义力可以是力,
力矩压强,电场等等同时它不包括约束力,广义力的量纲可以用能
量量纲减去广义坐标的量纲得到,
5.3)广义动量 P?和广义速度是不是只相差一个乘数 m? 为什
么广义动量比广义速度更富有物理意义?
广义动量,与广义速度并不仅仅是差一个乘数,广义动
量可能是动量,也可能是角动量,在理论物理中是一个正则变量,
是比广义速度更为基本的物理量,
?? q
Tp ????
5.4) 既然 是广义动量,那么根据动量定理,是否应
等于广义力?为什么拉格朗日方程式中多出了一项拉氏力?你能
说出它的物理意义和所代表的物理量吗?
?q
T??? ? ??qTdtd ???
它只是广义力的一部分,广义力其实是广义动量对时间的导数减
去拉氏力,通常又叫做广义惯性力,
5.5)为什么拉氏方程只适用于完整系?如不是完整系,能否得
到拉氏方程?
拉氏方程是用广义坐标来表示的完整约束的力学体系,只能适用
于完整系,如不完整,不能使用它,
5.1) 试用虚功原理解 3.1题,
一、习题解答
解,杆受理想约束,位置可由杆与
水平方向夹角 ?唯一确定, 由虚功
原理
OR
y
xa
mg
?
0 0
1
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ci
n
i
i ymgrFW ???
??
坐标变换方程
????? s i n2s i ns i ns i nc o s2 aRaRy c ????
要使虚功原理成立,则必须 0c o s2c o s2 ?? ?? aR
2
22
2
22c o s,
2c o s R
Rc
R
c ??? ??
当内部长为 c时,a=l/2,
c
Rcl )2(4 22 ???
5.2) 试用虚功原理解 3.4题,
解,这是理想约束,自由度为 1.选取 ?
为广义坐标,显然
? ?
? ?
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c os2c os
,c os
0,s in
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3
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3
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c o st a n)(s i n
,s i n
3
21
rlrly
rlyy
?????
????
由虚功原理 0332211 ??? yPyPyP ???
? ? ??????? t a n3t a n0c o st a ns i n3 ????
? ? ??
?
???
c o s2
c o s
r
rl ??
5.3)长度同为 l的轻棒 4根,光滑地联成
一菱形 ABCD,AB,AD两边支于同一水平
线上相距为 2a的两根钉上,BD间则用一
轻绳联结,C点上系一重物 W,设 A点上
的顶角为 2?,试用虚功原理求绳中张力 T.
x
y
解,在钉子处约束力垂直虚位移,是理想约束,BD绳子去掉,用
力 T代替,该问题自由度为 1.选取 ?为广义坐标,显然
?
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aly
lxx
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DB
C
DB
由虚功原理 0???
BBBBC xTxTyW ???
可求出
??
?
??
? ?? 1c s c
2t a n
3 ??
l
aWT
5.4)一个质点重量为 w,被约束在竖直圆周 x2+y2-r2=0上,并受一
水平斥力 k2x的作用,试用拉氏乘子法求质点的平衡位置和约束力,
解,自由度为 1.质点位置 (x,y) 0),( 222 ???? ryxyxf
由
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5.5)在离心节速器中,质量为 m2的质点 C沿着一竖直轴运动,而
整个系统则以匀角速 ?绕该轴转动,试写出此力学体系的拉氏函
数,设连杆的质量均可不计,
解,自由度为 1.选广义坐标为 ?
??
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c o s2,c o s,c o s
0,s i n,s i n
azzz
xaxx
azazaz
xaxax
CDB
CDB
CDB
CDB
由 )()()( kzjyixkkzjyixrVv r ?????????????? ?????????????
x
z
求得 22222222222 s i n4,s i n ???? ?? avaavv CDB ?????
势能 ?c o s)(2
21 mmgaV ???
????? c o s)(2s i n2)s i n( 21222222221 mmgaamamVTL ????????? ??
5.6)试用拉氏方程解 4.10
解,自由度为 1.选广义坐标为 ?,不知道
受力类型,用一般拉氏方程
QTTdtd ?????
?
??
?
?
?
?
???
由虚功原理 00 ?????? QQrFW ???? ??
又 iajarVv
r
??????? ?? ?
2c o s2??????
?????? ???? 22222222 2c o s42c o s42121 ?????? ?? aaammvT
0s in2 ??? ?????
5.7)试用拉氏方程解补充例题 5.3
解,由于相对运动,小环沿金属丝滑动速
度为
22 yx ?? ?
方向沿抛物线在该点的切线方向,另外
有牵连速度 x?
方向垂直纸面向里,所以
? ?22222 2121 xyxmmvT ????? ??
考虑约束 x2=4ay,得势能为
a
xmgm g y
4
2
?
并且
xaxy ?? 2?
a
xmgx
a
xxmVTL
44
1
2
1 222
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a
xmgx
a
xm
x
L
a
xxm
x
L
24
,
4
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2
2
2
???
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???
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???
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???
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?
? ???
?
带入拉氏方程
0dd ?????
?
??
?
?
?
?
x
L
x
L
t ?
得,
0
244
1 22
2
2
2
????
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?
???
? ??
???
?
???
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a
xmgx
a
x
a
xx ????
5.8)一光滑细管可在竖直平面内绕通过其一端的水平轴以匀角
速 ?转动,管中有一质量为 m的质点,开始时,细管取水平方向,质点
距转动轴的距离为 a,质点相对于管的速度为 v0,试由拉格朗日方
程求质点相对于管的运动规律, x
解,由于相对运动,小球沿金属管滑动速
度为 v0,牵连速度 ?x,二者垂直,
? ?22221 xxmT ??? ?
势能为 ? ?tm g xV ?s in?
? ? ? ?tm g xxxmVTL ?? s i n21 222 ?????? ?
由拉氏方程得,? ?tgxx ?? s in2 ?????
齐次方程的通解为,tt ececx ?? ??? 21
特解为,? ?tg ?
? s in2 2
所以本问题通解为 ? ?tgececx tt ?
?
?? s i n
2 221 ???
?
考虑初始条件
??
?
?
?
???
??
021
21
2
v
g
cc
acc
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得到解为,
? ?tgegvaegvax tt ?????? ?? s i n2421421 22020 ??
?
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??
?
??
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?
??
?
? ?? ?
5.9)设质量为 m的质点,受重力作用,被束缚在半顶角为 ?的圆锥
面内运动, 试以 r,?为广义坐标,由拉格朗日方程求此质点的运动
微分方程,
解,保守力系,约束在圆锥面,自由度为 2.
?? 222222 t a n ???? rrrv ???
? ?
?
??
1
22222
t a n
t a n
2
1
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?
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m g rV
rrrmT ???
? ? ??? 122222 t a nt a n21 ?? ?????? m g rrrrmVTL ???
可见 ?是循环坐标,所以 CmrL ??
?
? ?
?
?? 2
对坐标 r,得 02s in
2s in
22 ??? ??? grr ???
5.10)试用拉格朗日方程解 2.4题中的 (a)及 (b).
解, 大楔子在水平方向运动,质点在大楔子斜
边上运动, 系统有两个自由度, 取桌面上的固
定点 O,大楔子质心相对于 O点坐标记作 X,质
点相对于大楔子斜边底面而沿着斜边的坐标
记作 q,X和 q可作为系统的广义坐标,
主动力是二者所受的重力,大楔子的势能在运动过程中不起
变化,可以不考虑, 只要讨论质点的势能就够了, 计算动能的时候
要注意,质点的速度分量不仅仅是沿斜边的,而目还有随着大楔子
在水平方向运动的速度,
? ?
? ? ? ?? ?,s i nc os
2
1
2
1
2
1
2
1
222
222
?? qqXmXM
vvmXMT
????
?
????
??? 竖直水平
?s inm g qV ?
于是,拉格朗日方程给出运动方程
? ?
? ?
?
?
?
??
?
?
???
???
0s i n)c o s(
d
d
0)c o s(
d
d
??
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mgqXm
t
qXmXM
t
??
???
大楔子的加速度 以及质点相对于大楔子的加速度为
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2s in
c o ss in
mM
mgX
??
??
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?
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2s in
s in
mM
gmMq
?
?????
所以质点水平方向得加速度为
?
???
2s in
c o ss inc o s
mM
MgXq
????
????
5.11)试用拉格朗日方程解 3.20题中的 a1及 a2.
解, 本题虽然有摩擦力但是不做功,所以
仍可以看作保守系,自由度 1,选广义坐标 ? ?
2222222 2
4
3
2
1
2
1
2
1 ??? ??? maMamvIMvT
BCC ?????
?m g aV 2??
m g aLmaMaL 2,423 22 ??????? ???? ???
由拉氏方程得到,
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4
amM
mg
???
??
)83(
82,
)83(
4
212 mM
mgaa
mM
mgaaa
C ???????? ?
??
5.12)均质棒 AB,质量为 m,长为 2a,其 A端可在光滑水平导槽上运
动,而棒本身又可在竖直面内绕 A点摆动,如除重力作用外,B端还
受有一水平力 F的作用,试用拉格明日方程求运动微分方程,如摆
动的角度很小,则又如何? A
B
F
a
a
y
x
mg
?
解, 由于有 F存在,性质不明,只能用一般
拉氏方程求解,自由度 2.取 x,?
22
2
1
2
1 ??
CCC ImvT ??
jaiaxr
jaiaxr
C
C ?
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???
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c os)s i n(
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用虚功原理求广义力 jaiaxr
B
???? ?? c o s2)s in2( ???
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?? s i nc o s20
2
1
2
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m g aaFxFrFqQW
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?? s i nc o s2,21 m g aaFQFQ ????
利用
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TT
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,s i nc o s
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Faxam
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如摆角很小,1c o s,s in ?? ???
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m g aFakaxam
Faxam
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2)(
,
22
2
????
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5.13)行星齿轮机构如图,曲柄 OA带动行星齿轮 II在固定齿轮 I
上滚动,已知曲柄的质量为 m1,且可认为是匀质杆,齿轮 II的质量
为 m2,半径为 r且可认为是匀质圆盘,至于齿轮 I的半径则为 R.今
在曲柄上作用一不变的力矩 M,如重力的作用可以略去不计,试用
拉格朗日方程研究此曲柄的运动,
解, 由于曲柄长度一定,自由度 1,取 ?,受
力矩作用,所以用一般拉氏方程,
))(()(
4
3
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6
1
2
1
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2
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,MQ ?? ?
利用
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2
12
2 9
2
1)(3
2
m
m
rRm
M
???
5.14)质量为 m的圆柱体 S放在质量为 M的圆柱体 P上作相对运
动,而 P则放在粗糙平面上,巳知两圆柱的轴都是水平的,且重心在
同一竖直面内,开始时此系统是静止的,若以圆柱体 P的重心的初
始位置为固定坐标系的原点,则圆柱体 S的重心在任意时刻的坐
标为
?
??
c o s
)(3
s in)3(
cy
mM
mMm
cx
?
?
??
?
MP
c?
?S
解, 设 P圆半径为 a,S圆为 b,虽有摩擦,但不
做功,为保守体系,两个自由度,
体系动能包括 P轮平动动能,P轮绕质心转动动能,S轮质心动能,S
绕质心转动动能,设 P转动角速度为 ??
那么 P的质心速度为 ??a?
S的质心速度为 ? ? jbaibaa ????? ????? s i n)(c o s)( ?????
绕 S的质心角速度为 ? ? bbaa /)( ?? ?? ?? 因为要满足瞬心速度为零
?c o s)( bamgV ??体系势能
因为 ?是循环坐标,得到
0c o s)()(212123 22 ?????????? CbamabamamaaML ?????? ?????
??? ?? )(3 s in2 mM mcmca ? ???
? ? c
mM
mmM
mM
mcmccacx
)(3
s i n3
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s i n2s i ns i n
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???
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bamabam
baamaMT
?????
????
5.l5)质量为 M,半径为 a的薄球壳,其外表面是完全粗糙的,内
表面则完全光滑,放在粗糙水平桌上, 在球壳内放一质量为 m、
长为 2asin?的均质棒, 设此系统由静止开始运动,且在开始的瞬间,
棒在通过球心的坚直平面内,两端部与球壳相接触,并与水平线成
?角, 试用拉格朗日方程证明在以后的运动中,此棒与水平线所夹
的角 ?满足关系
? ?
???
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c o s)c o s) ( c o s35(6
c o sc o s9)s i nc o s3)(35( 22222
???
???
mMg
ammM ?
体系动能包括球壳平动动能,球壳转动动能,杆质心动能,杆绕一
端转动动能
解, 虽有摩擦,但不做功,为保守体系,两个
自由度,取球壳中心 x,和 角 ?
? ?
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22222
2
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因为 x是循环坐标,得到
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分析力学作业分析
解题方法和要点
?虚功原理与达朗贝原理
虚功原理是关于力学平衡的普遍原理,解题方法一般为,
(1)判断约束是否为理想约束 ;(光滑接触,刚性连接 )
(2)找出主动力,及作用点 ;
(3)确定自由度,并选择广义坐标 ;
(4)由广义坐标和坐标变换公式把虚位移用广义坐标的变分表
示 ;
(5)由虚功原理写出平衡方程,由于广义坐标的变分独立,可以
解出问题
对运动问题加入惯性力转化为平衡问题,就是达朗贝原理,
?拉格朗日方程
利用广义坐标推导出来的拉氏方程对整个力学体系的运动提
供了一个统一而普遍的解决方案,主要适用于完整体系 (几何约束
和可积分运动约束及不可解 (双面 )约束 ).在拉氏力学中,广义动量,
广义坐标广义动能都内涵更丰富,解题一般方法
(1)首先正确判断完整体系自由度,适当选取广义坐标 ;s=3n-k
(2)建立坐标变换公式,尽量不显含时间 ;
(3)判断是否保守体系,分析用何种拉氏方程 ;用广义量表示动
能,用广义坐标表示广义力, 对于保守系统,写出广义坐标表示的
势能,最后写出系统的拉格朗日函数,
(4)列出拉格朗日方程 ;检查有无循环坐标,简化方程组 ;
(5)利用初始条件解出拉格朗日方程,
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1
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5.1)虚功原理中的, 虚功, 二字作何解释?用虚功原理解平衡
问题有何优点及缺点?
一、思考题
虚位移是在不破坏约束的前提下力学体系可能实现的无限小位
移,虚功正是作用在体系的力 (包括约束力 )在任意虚位移上作的功,
因此虚功只决定于质点受力和约束条件,与作用力是否真的做功无
关,在使用时,由于约束力自动消失,所以求解主动力方便,缺点,理
想约束,不能直接求解约束力,但可以解除约束来求得,
5.2)为什么在拉格朗日方程中,Q?不包含约束反作用力?又广义
坐标及广义力的含义为何? 我们根据什么关系可以由一个量的量
纲定出另一个量的量纲?
由于拉格朗日方程是在理想约束下得到,约束力虚功为零,故在
拉氏方程中不再包括约束力, 广义坐标是确定完整体系的几何位
置,彼此独立的编书,选取时,可以不受约束的影响,广义力可以是力,
力矩压强,电场等等同时它不包括约束力,广义力的量纲可以用能
量量纲减去广义坐标的量纲得到,
5.3)广义动量 P?和广义速度是不是只相差一个乘数 m? 为什
么广义动量比广义速度更富有物理意义?
广义动量,与广义速度并不仅仅是差一个乘数,广义动
量可能是动量,也可能是角动量,在理论物理中是一个正则变量,
是比广义速度更为基本的物理量,
?? q
Tp ????
5.4) 既然 是广义动量,那么根据动量定理,是否应
等于广义力?为什么拉格朗日方程式中多出了一项拉氏力?你能
说出它的物理意义和所代表的物理量吗?
?q
T??? ? ??qTdtd ???
它只是广义力的一部分,广义力其实是广义动量对时间的导数减
去拉氏力,通常又叫做广义惯性力,
5.5)为什么拉氏方程只适用于完整系?如不是完整系,能否得
到拉氏方程?
拉氏方程是用广义坐标来表示的完整约束的力学体系,只能适用
于完整系,如不完整,不能使用它,
5.1) 试用虚功原理解 3.1题,
一、习题解答
解,杆受理想约束,位置可由杆与
水平方向夹角 ?唯一确定, 由虚功
原理
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0 0
1
????? ?
?
ci
n
i
i ymgrFW ???
??
坐标变换方程
????? s i n2s i ns i ns i nc o s2 aRaRy c ????
要使虚功原理成立,则必须 0c o s2c o s2 ?? ?? aR
2
22
2
22c o s,
2c o s R
Rc
R
c ??? ??
当内部长为 c时,a=l/2,
c
Rcl )2(4 22 ???
5.2) 试用虚功原理解 3.4题,
解,这是理想约束,自由度为 1.选取 ?
为广义坐标,显然
? ?
? ?
? ? ??
?
?
?
c os2c os
,c os
0,s in
s in2
3
21
3
21
rrly
rlyy
xrl
rxx
???
???
????
????
1 2
3
x
y
? ?
? ? ? ? ??? ? ??
? ? ???
c o st a n)(s i n
,s i n
3
21
rlrly
rlyy
?????
????
由虚功原理 0332211 ??? yPyPyP ???
? ? ??????? t a n3t a n0c o st a ns i n3 ????
? ? ??
?
???
c o s2
c o s
r
rl ??
5.3)长度同为 l的轻棒 4根,光滑地联成
一菱形 ABCD,AB,AD两边支于同一水平
线上相距为 2a的两根钉上,BD间则用一
轻绳联结,C点上系一重物 W,设 A点上
的顶角为 2?,试用虚功原理求绳中张力 T.
x
y
解,在钉子处约束力垂直虚位移,是理想约束,BD绳子去掉,用
力 T代替,该问题自由度为 1.选取 ?为广义坐标,显然
?
?
?
???
????
?
?
?
?
??
????
? ? ? ?? ? ?
? ? ???
??
?
21 s i n/s i n2
c o s
t a nc o s2
s i n
aly
lxx
aly
lxx
C
DB
C
DB
由虚功原理 0???
BBBBC xTxTyW ???
可求出
??
?
??
? ?? 1c s c
2t a n
3 ??
l
aWT
5.4)一个质点重量为 w,被约束在竖直圆周 x2+y2-r2=0上,并受一
水平斥力 k2x的作用,试用拉氏乘子法求质点的平衡位置和约束力,
解,自由度为 1.质点位置 (x,y) 0),( 222 ???? ryxyxf
由
?
?
?
?
?
?
?
????
??
???
?
?
?
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??
??
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2422
222
2
/,/
2
,0
02
,02
0
,0
kwykwrx
y
w
ryx
ryx
yw
xxk
y
f
F
x
f
F
y
x
??
?
?
?
因为 22
22
2 yx
y
f
x
f
fR ????
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
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??? ???
得
wrRryx ???
??
?
??
? ?2,0 rkrR
kwy
kwhrx 2
2
42
2,
/
/2 ???
??
???
?
??? ?
5.5)在离心节速器中,质量为 m2的质点 C沿着一竖直轴运动,而
整个系统则以匀角速 ?绕该轴转动,试写出此力学体系的拉氏函
数,设连杆的质量均可不计,
解,自由度为 1.选广义坐标为 ?
??
?
?
?
????
????
?
?
?
?
???
????
??
??
???
??
??
????
s i n2/
0,c o s
c o s2,c o s,c o s
0,s i n,s i n
azzz
xaxx
azazaz
xaxax
CDB
CDB
CDB
CDB
由 )()()( kzjyixkkzjyixrVv r ?????????????? ?????????????
x
z
求得 22222222222 s i n4,s i n ???? ?? avaavv CDB ?????
势能 ?c o s)(2
21 mmgaV ???
????? c o s)(2s i n2)s i n( 21222222221 mmgaamamVTL ????????? ??
5.6)试用拉氏方程解 4.10
解,自由度为 1.选广义坐标为 ?,不知道
受力类型,用一般拉氏方程
QTTdtd ?????
?
??
?
?
?
?
???
由虚功原理 00 ?????? QQrFW ???? ??
又 iajarVv
r
??????? ?? ?
2c o s2??????
?????? ???? 22222222 2c o s42c o s42121 ?????? ?? aaammvT
0s in2 ??? ?????
5.7)试用拉氏方程解补充例题 5.3
解,由于相对运动,小环沿金属丝滑动速
度为
22 yx ?? ?
方向沿抛物线在该点的切线方向,另外
有牵连速度 x?
方向垂直纸面向里,所以
? ?22222 2121 xyxmmvT ????? ??
考虑约束 x2=4ay,得势能为
a
xmgm g y
4
2
?
并且
xaxy ?? 2?
a
xmgx
a
xxmVTL
44
1
2
1 222
2
2
2 ?
???
?
???
?
???
?
?
???
? ????? ??
a
xmgx
a
xm
x
L
a
xxm
x
L
24
,
4
1 22
2
2
2
???
?
?
???
? ??
?
?
???
?
???
? ??
?
? ???
?
带入拉氏方程
0dd ?????
?
??
?
?
?
?
x
L
x
L
t ?
得,
0
244
1 22
2
2
2
????
?
?
???
? ??
???
?
???
? ?
a
xmgx
a
x
a
xx ????
5.8)一光滑细管可在竖直平面内绕通过其一端的水平轴以匀角
速 ?转动,管中有一质量为 m的质点,开始时,细管取水平方向,质点
距转动轴的距离为 a,质点相对于管的速度为 v0,试由拉格朗日方
程求质点相对于管的运动规律, x
解,由于相对运动,小球沿金属管滑动速
度为 v0,牵连速度 ?x,二者垂直,
? ?22221 xxmT ??? ?
势能为 ? ?tm g xV ?s in?
? ? ? ?tm g xxxmVTL ?? s i n21 222 ?????? ?
由拉氏方程得,? ?tgxx ?? s in2 ?????
齐次方程的通解为,tt ececx ?? ??? 21
特解为,? ?tg ?
? s in2 2
所以本问题通解为 ? ?tgececx tt ?
?
?? s i n
2 221 ???
?
考虑初始条件
??
?
?
?
???
??
021
21
2
v
g
cc
acc
?
??
得到解为,
? ?tgegvaegvax tt ?????? ?? s i n2421421 22020 ??
?
?
??
? ??
?
??
?
? ??
??
?
??
? ??
?
??
?
? ?? ?
5.9)设质量为 m的质点,受重力作用,被束缚在半顶角为 ?的圆锥
面内运动, 试以 r,?为广义坐标,由拉格朗日方程求此质点的运动
微分方程,
解,保守力系,约束在圆锥面,自由度为 2.
?? 222222 t a n ???? rrrv ???
? ?
?
??
1
22222
t a n
t a n
2
1
?
?
?
???
m g rV
rrrmT ???
? ? ??? 122222 t a nt a n21 ?? ?????? m g rrrrmVTL ???
可见 ?是循环坐标,所以 CmrL ??
?
? ?
?
?? 2
对坐标 r,得 02s in
2s in
22 ??? ??? grr ???
5.10)试用拉格朗日方程解 2.4题中的 (a)及 (b).
解, 大楔子在水平方向运动,质点在大楔子斜
边上运动, 系统有两个自由度, 取桌面上的固
定点 O,大楔子质心相对于 O点坐标记作 X,质
点相对于大楔子斜边底面而沿着斜边的坐标
记作 q,X和 q可作为系统的广义坐标,
主动力是二者所受的重力,大楔子的势能在运动过程中不起
变化,可以不考虑, 只要讨论质点的势能就够了, 计算动能的时候
要注意,质点的速度分量不仅仅是沿斜边的,而目还有随着大楔子
在水平方向运动的速度,
? ?
? ? ? ?? ?,s i nc os
2
1
2
1
2
1
2
1
222
222
?? qqXmXM
vvmXMT
????
?
????
??? 竖直水平
?s inm g qV ?
于是,拉格朗日方程给出运动方程
? ?
? ?
?
?
?
??
?
?
???
???
0s i n)c o s(
d
d
0)c o s(
d
d
??
?
mgqXm
t
qXmXM
t
??
???
大楔子的加速度 以及质点相对于大楔子的加速度为
?
??
2s in
c o ss in
mM
mgX
??
??
? ?
?
?
2s in
s in
mM
gmMq
?
?????
所以质点水平方向得加速度为
?
???
2s in
c o ss inc o s
mM
MgXq
????
????
5.11)试用拉格朗日方程解 3.20题中的 a1及 a2.
解, 本题虽然有摩擦力但是不做功,所以
仍可以看作保守系,自由度 1,选广义坐标 ? ?
2222222 2
4
3
2
1
2
1
2
1 ??? ??? maMamvIMvT
BCC ?????
?m g aV 2??
m g aLmaMaL 2,423 22 ??????? ???? ???
由拉氏方程得到,
)83(
4
amM
mg
???
??
)83(
82,
)83(
4
212 mM
mgaa
mM
mgaaa
C ???????? ?
??
5.12)均质棒 AB,质量为 m,长为 2a,其 A端可在光滑水平导槽上运
动,而棒本身又可在竖直面内绕 A点摆动,如除重力作用外,B端还
受有一水平力 F的作用,试用拉格明日方程求运动微分方程,如摆
动的角度很小,则又如何? A
B
F
a
a
y
x
mg
?
解, 由于有 F存在,性质不明,只能用一般
拉氏方程求解,自由度 2.取 x,?
22
2
1
2
1 ??
CCC ImvT ??
jaiaxr
jaiaxr
C
C ?
??????
???
?
????
??
s i n)c os(
c os)s i n(
????
???
用虚功原理求广义力 jaiaxr
B
???? ?? c o s2)s in2( ???
? ?????????
?
?? s i nc o s20
2
1
2
1
m g aaFxFrFqQW
i
ii ??????? ??
??
??
?? s i nc o s2,21 m g aaFQFQ ????
利用
21,Q
TT
dt
dQ
x
T
x
T
dt
d ?
?
???
?
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?
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?
???
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??
?
?
?
?
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整理得
? ?
? ? ????
????
s i nc o s2)(c o s
,s i nc o s
22
2
m g aFakaxam
Faxam
????
???
????
?????
如摆角很小,1c o s,s in ?? ???
? ?
? ? ??
???
m g aFakaxam
Faxam
????
???
2)(
,
22
2
????
?????
5.13)行星齿轮机构如图,曲柄 OA带动行星齿轮 II在固定齿轮 I
上滚动,已知曲柄的质量为 m1,且可认为是匀质杆,齿轮 II的质量
为 m2,半径为 r且可认为是匀质圆盘,至于齿轮 I的半径则为 R.今
在曲柄上作用一不变的力矩 M,如重力的作用可以略去不计,试用
拉格朗日方程研究此曲柄的运动,
解, 由于曲柄长度一定,自由度 1,取 ?,受
力矩作用,所以用一般拉氏方程,
))(()(
4
3
)(
6
1
2
1
)(
2
1
)(
6
1
22
2
22
1
22
2
22
2
22
1
????
???
?????
???
rRrrRmrRm
rmrRmrRmT
??????
?????
用定义求广义力,?
?
???
??
i
i
rFQ ??
jrRirRjyixrjFiFF iyxi ???????? ?? s i n)(c o s)(,????????
,MQ ?? ?
利用
QTTdtd ??????
?
?
???
?
?
?
???
整理得
??
?
?
??
?
?
??
?
2
12
2 9
2
1)(3
2
m
m
rRm
M
???
5.14)质量为 m的圆柱体 S放在质量为 M的圆柱体 P上作相对运
动,而 P则放在粗糙平面上,巳知两圆柱的轴都是水平的,且重心在
同一竖直面内,开始时此系统是静止的,若以圆柱体 P的重心的初
始位置为固定坐标系的原点,则圆柱体 S的重心在任意时刻的坐
标为
?
??
c o s
)(3
s in)3(
cy
mM
mMm
cx
?
?
??
?
MP
c?
?S
解, 设 P圆半径为 a,S圆为 b,虽有摩擦,但不
做功,为保守体系,两个自由度,
体系动能包括 P轮平动动能,P轮绕质心转动动能,S轮质心动能,S
绕质心转动动能,设 P转动角速度为 ??
那么 P的质心速度为 ??a?
S的质心速度为 ? ? jbaibaa ????? ????? s i n)(c o s)( ?????
绕 S的质心角速度为 ? ? bbaa /)( ?? ?? ?? 因为要满足瞬心速度为零
?c o s)( bamgV ??体系势能
因为 ?是循环坐标,得到
0c o s)()(212123 22 ?????????? CbamabamamaaML ?????? ?????
??? ?? )(3 s in2 mM mcmca ? ???
? ? c
mM
mmM
mM
mcmccacx
)(3
s i n3
)(3
s i n2s i ns i n
?
???
?
????? ???????
?c o scy ?
? ?
? ? ? ? 22
222
s i n)(
2
1
c os)(
2
1
)(
4
1
4
3
?????
???
???
???
bamabam
baamaMT
?????
????
5.l5)质量为 M,半径为 a的薄球壳,其外表面是完全粗糙的,内
表面则完全光滑,放在粗糙水平桌上, 在球壳内放一质量为 m、
长为 2asin?的均质棒, 设此系统由静止开始运动,且在开始的瞬间,
棒在通过球心的坚直平面内,两端部与球壳相接触,并与水平线成
?角, 试用拉格朗日方程证明在以后的运动中,此棒与水平线所夹
的角 ?满足关系
? ?
???
?????
c o s)c o s) ( c o s35(6
c o sc o s9)s i nc o s3)(35( 22222
???
???
mMg
ammM ?
体系动能包括球壳平动动能,球壳转动动能,杆质心动能,杆绕一
端转动动能
解, 虽有摩擦,但不做功,为保守体系,两个
自由度,取球壳中心 x,和 角 ?
? ?
? ? 2
22222
2
2
22
s i n
6
1
c o sc o s2c o s
2
1
3
1
2
1
??
?????
?
??????
am
xxam
a
x
MaxMT
?
?????
?? c o sc o sm g aV ?地面为势能零点,体系势能
因为 x是循环坐标,得到
CamxmMxL ???
?
??
?
? ??
?
? ??? c o sc o s
5
3 ??
?
对 ?,得到
0s i nc o sc o sc o s)s i n3/1( c o s 22 ???? ??????? mgxmma ????
考虑初始,得
? ?
???
?????
c o s)c o s) ( c o s35(6
c o sc o s9)s i nc o s3)(35( 22222
???
???
mMg
ammM ?
