第十八讲
哈密顿正则方程
本讲导读
? 勒襄特变换
? 正则变量 相空间 相点
? 哈密顿正则方程
?守恒定理
一、勒襄特变换
在方程中,把一组独立自变量变为另一组独立自变
量的变换,叫勒襄特变换,
定义广义动量
??
? q
T
q
Lp
?? ?
??
?
??
则由拉氏方程,得
?
? q
Lp
?
???
如果把广义动量和广义坐标作为独立变量,则
),,,,,,,,( 2121 tqqqpppqq ss ???? ?? ?
从而拉氏量 L也可以表示为广义动量和广义坐标的函数
),,,,,,,,( 2121 tqqqpppLL ss ???
当认为 L是广义坐标,广义速度和时间的函数时
t
t
Lq
q
Lq
q
LL s dddd
1 ?
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???
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考虑广义动量的定义,得
二、正则方程
? ? t
t
LqpqpL s dddd
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???? ?
??
???? ??
对于哈密顿量 ?
?
???
s
qpLtqpH
1
),,(
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可得
? ? ? ? ttLpqqppqqpLH ss ddddddd
11 ?
????????? ??
?? ?
????
?
???? ????
H作为广义动量,广义坐标和时间的函数,又有
ttHppHqqHH
s
dddd
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???
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由于动量,坐标和时间都是独立的,所以
),,2,1( s
q
H
p
p
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—— 哈密顿正则方程
相应的广义动量,坐标叫做正则变量,它们组成的 2s维
空间叫相空间,一组数值对应相空间中一点,叫相点,
? 哈密顿量 H=Ep+Ek
2
2
22
2
1
2
22
kx
m
p
kxxmEEH pk
??
???? //?
动量定义
牛顿第二定律
p … 广义动量
x… 广义位移
kxxm ???? 0?? kxxm ??即:
m
p
p
Hx ?
?
???
kxxHp ???????
哈密顿正则方程:
一维弹簧振子的运动
i
i q
Lp
??
??VTL ??
因为
三、守恒定理
t
H
t
H
q
H
p
H
p
H
q
H
t
H
p
p
H
q
q
H
t
H
s
s
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1
1d
d
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只要 H不显含时间,它就是守恒的,即不随时间变化,
tLtH ??????
1 能量守恒
H中不显含 t时,再分稳定约束与不稳定约束这两种情
况来讨论。
1、稳定约束
T= T2 Tq
q
Tq
q
T ss 2
1
2
1
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???? s q
q
TLH
1?
?
?
?? TVT 2)( ????
H = T + V = h = const
对于完整的保守力学体系来说,若 H不显含 t,而且
体系受稳定约束时,体系的 H是能量积分,这时体系的
机械能守恒。
2、不稳定约束
012 TTTT ??? ?
?
????
s
TTqqT
1
122
?
?
?
??
?
? ?
???? s q
q
TLH
1?
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?
?? VTT ??? 02
H = T2 - T0 + V= h = const
可见,对于完整的保守力学体系来说,若 H中不
显含 t,而且体系受不稳定约束时,体系的 H是广义能
量积分。
2 循环积分
若 H =H( q1,…, qs; p1,…, ps; t)中
不显含某个 pi 或某个 qi,即 pi, qi 为循环坐标,
则由哈密顿方程立即得到
0???? i
i
qpH ?
qi=const
0????? i
i
pqH ?
pi =const
例 1 质量为 M的楔子置于光滑的水平桌面上, 楔子底面
也是光滑的,斜面却是粗糙的,质量为 m,半径为 R的圆
柱体沿着楔子斜面无滑动地滚下, 求解楔子和圆柱体的
运动,
解 楔子可在水平方向运动, 取桌面上
的固定点 O为原点,把楔子的质心 (其实
不一定要质心,改为楔子的任一点也
行 )相对于 O点的水平坐标记作 X,
圆柱体可在楔子的斜面上滚动, 把圆柱轴相对于楔子斜面上端
并沿斜边计算的坐标记作 q,把圆柱某根半径与竖直向下之间的
夹角记作 ?,无滑动这个约束条件可写为
??? Rq ?
CRq ?? ?
这个运动约束可以积分为
故,这是一个完整约束,q 和 ? 不独立, 这个系统有两个自由度,可
以选 x 和 ? 是两个独立的广义坐标,
主动力都是重力, 圆柱体的势能
楔子的动能为 2
2
1 XM ? 圆柱的动能包括质心的平动动能和绕
质心转动的转动动能
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? ?? ?
???
?????
???
c os
2
1
4
3
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2
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4
1
s i n)c os(
2
1
4
1
222
2222
2222
????
????
????
XmRXmmR
RRXmmR
qqXmmR
???
????
???
???? s i ns i ns i n m g Cm g Rm g qV ?????
所以
? ? ????? s i nc o s4321 222 m g RXmRmRXmML ????? ???
按定义,广义动量 ? ?
??
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2
2
3
c o s
c o s
mRXmR
L
p
mRXmM
X
L
p X
???
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所以得到广义速度
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)s in21(
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)s in21(
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3
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2222
2
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RmM m R
pmMpmR
RmM m R
pmRpmR
X
X
X
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于是,系统的哈密顿函数
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)s i n21(3
)(c os2
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2
3
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3
2222
222
2222
222
m gR
RmM m R
pmMppmRpmR
VTLT
L
RmM m R
pmMppmRpmR
LpXpH
X
X
X
X
X
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???
?????
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??
???
???? ??
哈密顿函数不含有广义坐标 X,所以 X是循环坐标,相应的广义
动量守恒
? ? CpmRXmM X ???? ?? c o s??
此时对 ?的正则方程为, ? ?
)s in21(
2
1
2
3
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??
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RmM m R
pmMpmR
m g Rp
X?
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所以 ? ?
)s in21(2123
s in
2222 ?
??
??
??
RmM m R
m R gmM??
这是匀加速转动,积分一次
简单推导,可得
? ?
0
2222 )s i n21(
2
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3
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RmM m R
mRmM?
gt
RmM m R
Rm
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mR
mM
pX X
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例 2:写出粒子在中心势场 V=-α/r中哈密顿函数和正
则方程。
解:自由度是 2,广义坐标 r,θ。
广义动量:
中心势场粒子的能量守恒,因此粒子的哈密顿函数为:
r
a
r
pp
mVTH r ????? )(2
1
2
2
2 ?
2mr
p?? ??
可以解得正则方程:
该题还可解得
粒子的径向运动方程.
角动量守恒定律.
[例 3] 分别用笛卡儿坐标、柱面坐标和球面坐标写出一个
自由质点在势场 V( )中的哈密顿函数 H。r?
解, 体系为质点,自由度数 s= 3。
( 1)在笛卡儿坐标系中,取 x,y,z为广义坐标,
则拉格朗日函数 L为
),,()(21 222 zyxVzyxmVTL ?????? ???
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zpypxpzyxVzyxm zyx ?????? ???????? ),,()(21 222
),,()(2 1 222 zyxVpppmH zyx ????
( 2)在柱面坐标系中
)(21 2222 zmT ??? ??? ???
L = T- V ),,()(
2
1 2222 zVzm ????? ???? ???
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m
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( 3)在球面坐标系中
)s i n(21 222222 ??? ??? rrrmT ???,V=V( r,?,?)
???? )s i n(21 222222 ??? ??? rrrmL V( r,?,?)
,rmrLp r ?? ????,2??? ?? mrLp ???? ???? 22 s i n?? mr
Lp ?
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r
p
r
p
p
m
H rV( r,?,?)
[例 4] 求弹性双原子分子的拉格朗日函数和哈密顿函数。设
两 原子之间相互作用的弹性力为 F = - k( r- r0)其中 r为两
原子间距离,r0为两原子处在平衡时的距离。
解, 为了求出拉格朗日函数,应先求
分子的动能。
T = Tc+ T ?
两原子相对质心的动能 2
22
2
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1
2
1 ?? ????? mmT
c
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2m
1m
'S
'S
质心动能 ))((
2
1 222
21 zyxmmT c ??? ????
把两原子相对质心的动能转换为 m2 相对于 m1 的运动。
'
2
1
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1 rm
mr ?? ??
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21 zyxmm ??? ????
)s i n(21 22222 ???? ??? rrr ??? 202 )(21 rr ?? ??
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rp
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[例 5] 一质量为 m的自由质点,受力 为位矢,rrkF ???,??
k为大于零的常数。求在直角坐标系中质点的运动微分方程。
P
x
y
z
F
?
o解, 取 x,y,z为广义坐标。动能为
)(2 222 zyxmT ??? ???
)(22 2222 zyxkrkV ????
)(2)(21 222222 zyxkzyxmVTL ???????? ???
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kzzm
kyym
kxxm
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??
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zmpympxmp zyx ?????????,,???
[例 6] 应用哈密顿正则方程求核外电子的运动规律。设电子
的电量为- e,原子核带电为 Ze,Z为原子序数。
e?
x
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z
r
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2
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e
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在拉格朗日动力学中,从拉格朗日函数可以直接写
出动力学方程即拉格朗日方程, 在哈密顿动力学中,必
须从拉格朗日函数转到哈密顿函数,才可写出动力学方
程即哈密顿正则方程,从哈密顿正则方程消去广义动量
的结果其实不过是从另一条路径达到拉格朗日方程,所
以哈密顿动力学不如拉格朗日动力学简便,
哈密顿动力学的优点之一是便于量子化,另一个优
点在变量的变换中比较自由:拉格朗日动力学采用的
变量广义坐标和广义动量并不对等,只能对广义坐标进
行变换,而广义速度也随之而变, 哈密顿动力学采用的
变量坐标和动量是完全对等的,不仅可以对广义坐标进
行变换,而且可以坐标和动量一起变换,这个到下面正
则变换时进一步分析,
哈密顿介绍
哈密顿, W.R.
William Rowan Hamilton (1805~ 1865)
英国数学家、物理学家、力学家。 1805年 8月 4日生
于爱尔兰的都柏林,1865年 9月 2日卒于都柏林。 10岁
入大学,在大学期间学过 12种语言。 12岁时,读完拉
丁文欧几里得, 几何原本,,13岁开始研究 I.牛顿和 P.-
S.拉普拉斯的著作,22岁被聘为都柏林大学天文学教
授,兼任学校天文台台长。
哈密顿发展了分析力学。 1834年,建立了著名的哈密顿原理,
使各种动力学定律都可以从一个变分式推出。根据这一原理,
力学与几何光学有相似之处。后来发现,这一原理又可推广到
物理学的许多领域,如电磁学等。他把广义坐标和广义动量都
作为独立变量来处理动力学方程获得成功,这种方程现称哈密
顿正则方程。他还建立了一个与能量有密切联系的哈密顿函数。
他解释了锥形折射现象,对现代矢量分析方法的建立作出了贡
献。他还创立了四元数。这些成果在现代物理学中都有广泛应
用。
哈密顿在数学上的成就,以微分方程和泛函分析两个领域最为
突出,如哈密顿算符、哈密顿-雅可比方程等;此外,他对波
形曲面的研究,对伽罗瓦理论的补充以及在数学中引入结合律
等也都是他的功绩。哈密顿提出变分原理和正则方程的两篇长
论文的题名是, 论动力学中的一个普遍方法, (On a General
Method in Dynamics,1834)和, 再论动力学中的普遍方法,
(Second Essay on a General Methodin Dynamics,1835),均收入
他的, 数学论文集, ( Mathematical Papers,1940)第二卷。
作 业
5.20 5.21 5.22 5.24
哈密顿正则方程
本讲导读
? 勒襄特变换
? 正则变量 相空间 相点
? 哈密顿正则方程
?守恒定理
一、勒襄特变换
在方程中,把一组独立自变量变为另一组独立自变
量的变换,叫勒襄特变换,
定义广义动量
??
? q
T
q
Lp
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??
?
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则由拉氏方程,得
?
? q
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?
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如果把广义动量和广义坐标作为独立变量,则
),,,,,,,,( 2121 tqqqpppqq ss ???? ?? ?
从而拉氏量 L也可以表示为广义动量和广义坐标的函数
),,,,,,,,( 2121 tqqqpppLL ss ???
当认为 L是广义坐标,广义速度和时间的函数时
t
t
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LL s dddd
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考虑广义动量的定义,得
二、正则方程
? ? t
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对于哈密顿量 ?
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可得
? ? ? ? ttLpqqppqqpLH ss ddddddd
11 ?
????????? ??
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???? ????
H作为广义动量,广义坐标和时间的函数,又有
ttHppHqqHH
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由于动量,坐标和时间都是独立的,所以
),,2,1( s
q
H
p
p
H
q
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—— 哈密顿正则方程
相应的广义动量,坐标叫做正则变量,它们组成的 2s维
空间叫相空间,一组数值对应相空间中一点,叫相点,
? 哈密顿量 H=Ep+Ek
2
2
22
2
1
2
22
kx
m
p
kxxmEEH pk
??
???? //?
动量定义
牛顿第二定律
p … 广义动量
x… 广义位移
kxxm ???? 0?? kxxm ??即:
m
p
p
Hx ?
?
???
kxxHp ???????
哈密顿正则方程:
一维弹簧振子的运动
i
i q
Lp
??
??VTL ??
因为
三、守恒定理
t
H
t
H
q
H
p
H
p
H
q
H
t
H
p
p
H
q
q
H
t
H
s
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??
只要 H不显含时间,它就是守恒的,即不随时间变化,
tLtH ??????
1 能量守恒
H中不显含 t时,再分稳定约束与不稳定约束这两种情
况来讨论。
1、稳定约束
T= T2 Tq
q
Tq
q
T ss 2
1
2
1
???
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???? s q
q
TLH
1?
?
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?? TVT 2)( ????
H = T + V = h = const
对于完整的保守力学体系来说,若 H不显含 t,而且
体系受稳定约束时,体系的 H是能量积分,这时体系的
机械能守恒。
2、不稳定约束
012 TTTT ??? ?
?
????
s
TTqqT
1
122
?
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??
?
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???? s q
q
TLH
1?
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?? VTT ??? 02
H = T2 - T0 + V= h = const
可见,对于完整的保守力学体系来说,若 H中不
显含 t,而且体系受不稳定约束时,体系的 H是广义能
量积分。
2 循环积分
若 H =H( q1,…, qs; p1,…, ps; t)中
不显含某个 pi 或某个 qi,即 pi, qi 为循环坐标,
则由哈密顿方程立即得到
0???? i
i
qpH ?
qi=const
0????? i
i
pqH ?
pi =const
例 1 质量为 M的楔子置于光滑的水平桌面上, 楔子底面
也是光滑的,斜面却是粗糙的,质量为 m,半径为 R的圆
柱体沿着楔子斜面无滑动地滚下, 求解楔子和圆柱体的
运动,
解 楔子可在水平方向运动, 取桌面上
的固定点 O为原点,把楔子的质心 (其实
不一定要质心,改为楔子的任一点也
行 )相对于 O点的水平坐标记作 X,
圆柱体可在楔子的斜面上滚动, 把圆柱轴相对于楔子斜面上端
并沿斜边计算的坐标记作 q,把圆柱某根半径与竖直向下之间的
夹角记作 ?,无滑动这个约束条件可写为
??? Rq ?
CRq ?? ?
这个运动约束可以积分为
故,这是一个完整约束,q 和 ? 不独立, 这个系统有两个自由度,可
以选 x 和 ? 是两个独立的广义坐标,
主动力都是重力, 圆柱体的势能
楔子的动能为 2
2
1 XM ? 圆柱的动能包括质心的平动动能和绕
质心转动的转动动能
? ?? ?
? ?? ?
???
?????
???
c os
2
1
4
3
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2
1
4
1
s i n)c os(
2
1
4
1
222
2222
2222
????
????
????
XmRXmmR
RRXmmR
qqXmmR
???
????
???
???? s i ns i ns i n m g Cm g Rm g qV ?????
所以
? ? ????? s i nc o s4321 222 m g RXmRmRXmML ????? ???
按定义,广义动量 ? ?
??
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2
2
3
c o s
c o s
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L
p
mRXmM
X
L
p X
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所以得到广义速度
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)s in21(
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2
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)s in21(
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2
3
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2222
2
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pmMpmR
RmM m R
pmRpmR
X
X
X
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于是,系统的哈密顿函数
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)s i n21(3
)(c os2
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2
1
2
3
)(c os2
2
3
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222
2222
222
m gR
RmM m R
pmMppmRpmR
VTLT
L
RmM m R
pmMppmRpmR
LpXpH
X
X
X
X
X
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?????
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??
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???? ??
哈密顿函数不含有广义坐标 X,所以 X是循环坐标,相应的广义
动量守恒
? ? CpmRXmM X ???? ?? c o s??
此时对 ?的正则方程为, ? ?
)s in21(
2
1
2
3
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RmM m R
pmMpmR
m g Rp
X?
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所以 ? ?
)s in21(2123
s in
2222 ?
??
??
??
RmM m R
m R gmM??
这是匀加速转动,积分一次
简单推导,可得
? ?
0
2222 )s i n21(
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2
3
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?? gt
RmM m R
mRmM?
gt
RmM m R
Rm
mM
mR
mM
pX X
)s i n21(
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例 2:写出粒子在中心势场 V=-α/r中哈密顿函数和正
则方程。
解:自由度是 2,广义坐标 r,θ。
广义动量:
中心势场粒子的能量守恒,因此粒子的哈密顿函数为:
r
a
r
pp
mVTH r ????? )(2
1
2
2
2 ?
2mr
p?? ??
可以解得正则方程:
该题还可解得
粒子的径向运动方程.
角动量守恒定律.
[例 3] 分别用笛卡儿坐标、柱面坐标和球面坐标写出一个
自由质点在势场 V( )中的哈密顿函数 H。r?
解, 体系为质点,自由度数 s= 3。
( 1)在笛卡儿坐标系中,取 x,y,z为广义坐标,
则拉格朗日函数 L为
),,()(21 222 zyxVzyxmVTL ?????? ???
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x
z
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x
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?? qpLH ?
zpypxpzyxVzyxm zyx ?????? ???????? ),,()(21 222
),,()(2 1 222 zyxVpppmH zyx ????
( 2)在柱面坐标系中
)(21 2222 zmT ??? ??? ???
L = T- V ),,()(
2
1 2222 zVzm ????? ???? ???
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( 3)在球面坐标系中
)s i n(21 222222 ??? ??? rrrmT ???,V=V( r,?,?)
???? )s i n(21 222222 ??? ??? rrrmL V( r,?,?)
,rmrLp r ?? ????,2??? ?? mrLp ???? ???? 22 s i n?? mr
Lp ?
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s i n
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2
2
2
2
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1
r
p
r
p
p
m
H rV( r,?,?)
[例 4] 求弹性双原子分子的拉格朗日函数和哈密顿函数。设
两 原子之间相互作用的弹性力为 F = - k( r- r0)其中 r为两
原子间距离,r0为两原子处在平衡时的距离。
解, 为了求出拉格朗日函数,应先求
分子的动能。
T = Tc+ T ?
两原子相对质心的动能 2
22
2
11 2
1
2
1 ?? ????? mmT
c
'
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1r
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r
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2m
1m
'S
'S
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2
1 222
21 zyxmmT c ??? ????
把两原子相对质心的动能转换为 m2 相对于 m1 的运动。
'
2
1
2'
1 rm
mr ?? ??
rmm mr ??
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1'
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m
mm
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c
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rp
rp
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r
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x
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[例 5] 一质量为 m的自由质点,受力 为位矢,rrkF ???,??
k为大于零的常数。求在直角坐标系中质点的运动微分方程。
P
x
y
z
F
?
o解, 取 x,y,z为广义坐标。动能为
)(2 222 zyxmT ??? ???
)(22 2222 zyxkrkV ????
)(2)(21 222222 zyxkzyxmVTL ???????? ???
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kzzm
kyym
kxxm
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zmpympxmp zyx ?????????,,???
[例 6] 应用哈密顿正则方程求核外电子的运动规律。设电子
的电量为- e,原子核带电为 Ze,Z为原子序数。
e?
x
y
z
r
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ZerarZeV ????
2
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m
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p
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θm rp
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2
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a
rm
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rm
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s i n
c o s)(
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2
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mr
Cmr
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d
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2
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2
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k
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k
h
r
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e
pr
在拉格朗日动力学中,从拉格朗日函数可以直接写
出动力学方程即拉格朗日方程, 在哈密顿动力学中,必
须从拉格朗日函数转到哈密顿函数,才可写出动力学方
程即哈密顿正则方程,从哈密顿正则方程消去广义动量
的结果其实不过是从另一条路径达到拉格朗日方程,所
以哈密顿动力学不如拉格朗日动力学简便,
哈密顿动力学的优点之一是便于量子化,另一个优
点在变量的变换中比较自由:拉格朗日动力学采用的
变量广义坐标和广义动量并不对等,只能对广义坐标进
行变换,而广义速度也随之而变, 哈密顿动力学采用的
变量坐标和动量是完全对等的,不仅可以对广义坐标进
行变换,而且可以坐标和动量一起变换,这个到下面正
则变换时进一步分析,
哈密顿介绍
哈密顿, W.R.
William Rowan Hamilton (1805~ 1865)
英国数学家、物理学家、力学家。 1805年 8月 4日生
于爱尔兰的都柏林,1865年 9月 2日卒于都柏林。 10岁
入大学,在大学期间学过 12种语言。 12岁时,读完拉
丁文欧几里得, 几何原本,,13岁开始研究 I.牛顿和 P.-
S.拉普拉斯的著作,22岁被聘为都柏林大学天文学教
授,兼任学校天文台台长。
哈密顿发展了分析力学。 1834年,建立了著名的哈密顿原理,
使各种动力学定律都可以从一个变分式推出。根据这一原理,
力学与几何光学有相似之处。后来发现,这一原理又可推广到
物理学的许多领域,如电磁学等。他把广义坐标和广义动量都
作为独立变量来处理动力学方程获得成功,这种方程现称哈密
顿正则方程。他还建立了一个与能量有密切联系的哈密顿函数。
他解释了锥形折射现象,对现代矢量分析方法的建立作出了贡
献。他还创立了四元数。这些成果在现代物理学中都有广泛应
用。
哈密顿在数学上的成就,以微分方程和泛函分析两个领域最为
突出,如哈密顿算符、哈密顿-雅可比方程等;此外,他对波
形曲面的研究,对伽罗瓦理论的补充以及在数学中引入结合律
等也都是他的功绩。哈密顿提出变分原理和正则方程的两篇长
论文的题名是, 论动力学中的一个普遍方法, (On a General
Method in Dynamics,1834)和, 再论动力学中的普遍方法,
(Second Essay on a General Methodin Dynamics,1835),均收入
他的, 数学论文集, ( Mathematical Papers,1940)第二卷。
作 业
5.20 5.21 5.22 5.24