第十二讲
作业复习 (二 )
3.1)半径为 r的光滑半球形碗,固定在水平面上, 一均质棒斜靠在
碗缘,一线在碗内,一端则在碗外,在碗内的长度为 c,试证棒的全
长为
证, 研究对象为棒,建立直角坐标系并
受力分析如图,
平衡方程
2
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t a ns i nc o s 0
1
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又几何条件
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c
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联立上述方程,得 ? ?
c
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3.2)长为 2l的均质棒,一端抵在光滑墙上,而棒身则如图示斜靠
在与墙相距为 d的光滑棱角上,求棒在平衡时与水平面所成的角
度 ?.
mgN
R解, 研究对象为棒,受力分析如图, 建立
直角坐标系为 x轴水平向右,y竖直向上
平衡方程
3/1
13
1
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c os
c os
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3.3)两根均质棒 AB,BC在 B处刚性联结在一起,且角 ABC形成
一直角, 如将此棒的 A点用绳系于固定点上,棒 AB和 BC的长度分
别为 a,b,则当平衡时,AB和竖直直线所成的角 ?满足下列关系
解, 研究对象为 ABC结构,受力分析如图,
按照题意,知道
aba
b
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2
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B
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aba
b
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3.5)一均质的梯子,一 端 置于 摩擦 系 数为 1/2的地板上,另一端
则 斜 靠 在 摩擦系数为 1/3的高墙上,一 人 的体重为梯子的三倍,爬 到
梯的 顶 端时,梯尚未开始滑动,则梯与地面 的 倾角,最小当为 若 干?
解, 研究对象为梯子,人在顶端时,梯子与地面的夹角为 ?,梯子
重量 p,人重 3p.
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3.9)证明对角线长度为 d的立方体绕其对角线转动的回转半径为
解, 这是一个求解转动惯量的问题,对任一轴线转动惯量为,
????????? c o sc o s2c o sc o s2c o sc o s2c o sc o sc o s 222 yzxzxyzzyyxx IIIIIII ??????
设立方体密度为 ?,dm= ?dxdydz,M=a3?,现选取过质心为原
点,平行各边为轴的坐标系,则惯量积为零,
23
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对 ? ? ? ? ??
18
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22
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18
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对角线转动惯量
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25
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3.12)矩形均质薄片 ABCD,边长为 a与 b,重为 mg,绕竖直轴 AB以初
角速 ?0转动, 此时薄片的每一部分均受到空气的阻力,其方向垂直
于薄片的平面,其值与面积及速度平方成正比,比例系数为 k,问经
过多少时间后，薄片的角速度减为初速度的一半?
解,在匀质薄片上沿 AD方向取一宽为 dx长条
做微元,到转轴的距离为 x
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整个薄片受阻力矩为,
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整个薄片绕 AB轴的转动惯量为,
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3.16)一矩形板 ABCD在 平行自身 的平面内 运动,其 角速度为定 值 ?,
在其一瞬 时,A点的 速 度为 v,其方向则沿对 角线 AC,试求此瞬时 B
点的 速度,以 v,?及 矩形 的边 长等表示之假定 AB＝ a,BC＝ b.
解 1:用解析法,选取坐标如图,以 A为基点
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解 2:用寻找瞬心法,过 A做 vA垂线,瞬心在 O点,距离 A为 vA/?,
连 OB,因角 ?+?=90o,所以
22
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3,20)质量为 M、半径为 r的均质圆柱体放在粗糙水平面上, 柱的
外面绕有轻绳,绳子跨过一个很轻的滑轮,并悬挂一质量为 m的物
体,设圆柱体只滚不滑,并且圆柱体与滑轮间的绳子是水平的,求
圆柱体质心的加速度 a1,物体的加速度 a2及绳中张力 T.
解,这是平面平行运动,对象圆柱和
物体 受力分析如图,坐标系向右,向
下为正
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21
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4.2) 一直线以匀角速 ?在一固定平面内绕一端 O转动, 当直线位于 Ox
的位置时,有一质点 P开始从 O点沿该直线运动, 如欲使此点的绝对
速度 v的量值为常数,问此点应按何种规律沿此直线运动?
x’解,这是一个平面转动,如图坐标系
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4.6) 一光滑细管可在竖直平面内绕通过其一端的水平轴以匀角速 ?
转动,管中有一质量为 m的质点, 开始时,细管取水平方向,质点距
转动轴的距离为 a,质点相对于管的速度为 v0,试求质点相对于管的
运动规律,
mg
N
FC
m?2r
解,这是一个平面转动,如图坐标系,受力分
析,重力 mg,约束反力 N,惯性离心力 m?2r,
科里奥利力 FC=2m??v
约束反力和 科里奥利力垂直于管轴线方向
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对应齐次方程 02 ?? rr ??? 通解为 tt ececr ?? ??? 21
观察得,非齐次的特解为 tg ?? sin2 2
故方程通解为 tgececr tt ?
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在 t=0时,?
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这样可以定出
c1和 c2的值,从
而得到解
4.10) 质量为 m的小环 M,套在半径为 a的光滑圆圈上,并可沿着圆
圈滑动, 如圆圈在水平面内以匀角速 ?绕圈上某点 O转动,试求小
环沿圆圈切线方向的运动微分方程,
解, 设坐标系如图,oxy为水平面,它绕 z轴转
动,即圆圈为转动参照系
受力分析,重力和约束反力都在 z轴方向,没
有画出, 惯性离心力 m?2r,科里奥利力为
FC= -2m?? v
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本题要求沿圆切线运动,用自然坐标内禀方程
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???matvm ?dd a n d
0s in2 ?? ?????最后得
4.12) 一质点如以初速 v0在纬度为 ?的地方竖直向上射出,达到 h
高度复落至地面, 假定空气阻力可以忽略不计,试求落至地面时
的偏差,
解, 设地球为转动坐标系,在北纬 ?处,由地心指向为单位矢量 k指
向,j表示东,i为南,地球自转角速度为绕地轴匀速转动状态
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作业复习 (二 )
3.1)半径为 r的光滑半球形碗,固定在水平面上, 一均质棒斜靠在
碗缘,一线在碗内,一端则在碗外,在碗内的长度为 c,试证棒的全
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证, 研究对象为棒,建立直角坐标系并
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3.2)长为 2l的均质棒,一端抵在光滑墙上,而棒身则如图示斜靠
在与墙相距为 d的光滑棱角上,求棒在平衡时与水平面所成的角
度 ?.
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R解, 研究对象为棒,受力分析如图, 建立
直角坐标系为 x轴水平向右,y竖直向上
平衡方程
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一直角, 如将此棒的 A点用绳系于固定点上,棒 AB和 BC的长度分
别为 a,b,则当平衡时,AB和竖直直线所成的角 ?满足下列关系
解, 研究对象为 ABC结构,受力分析如图,
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则 斜 靠 在 摩擦系数为 1/3的高墙上,一 人 的体重为梯子的三倍,爬 到
梯的 顶 端时,梯尚未开始滑动,则梯与地面 的 倾角,最小当为 若 干?
解, 研究对象为梯子,人在顶端时,梯子与地面的夹角为 ?,梯子
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解, 这是一个求解转动惯量的问题,对任一轴线转动惯量为,
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设立方体密度为 ?,dm= ?dxdydz,M=a3?,现选取过质心为原
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角速 ?0转动, 此时薄片的每一部分均受到空气的阻力,其方向垂直
于薄片的平面,其值与面积及速度平方成正比,比例系数为 k,问经
过多少时间后，薄片的角速度减为初速度的一半?
解,在匀质薄片上沿 AD方向取一宽为 dx长条
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解 1:用解析法,选取坐标如图,以 A为基点
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解 2:用寻找瞬心法,过 A做 vA垂线,瞬心在 O点,距离 A为 vA/?,
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3,20)质量为 M、半径为 r的均质圆柱体放在粗糙水平面上, 柱的
外面绕有轻绳,绳子跨过一个很轻的滑轮,并悬挂一质量为 m的物
体,设圆柱体只滚不滑,并且圆柱体与滑轮间的绳子是水平的,求
圆柱体质心的加速度 a1,物体的加速度 a2及绳中张力 T.
解,这是平面平行运动,对象圆柱和
物体 受力分析如图,坐标系向右,向
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速度 v的量值为常数,问此点应按何种规律沿此直线运动?
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转动轴的距离为 a,质点相对于管的速度为 v0,试求质点相对于管的
运动规律,
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解,这是一个平面转动,如图坐标系,受力分
析,重力 mg,约束反力 N,惯性离心力 m?2r,
科里奥利力 FC=2m??v
约束反力和 科里奥利力垂直于管轴线方向
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对应齐次方程 02 ?? rr ??? 通解为 tt ececr ?? ??? 21
观察得,非齐次的特解为 tg ?? sin2 2
故方程通解为 tgececr tt ?
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这样可以定出
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而得到解
4.10) 质量为 m的小环 M,套在半径为 a的光滑圆圈上,并可沿着圆
圈滑动, 如圆圈在水平面内以匀角速 ?绕圈上某点 O转动,试求小
环沿圆圈切线方向的运动微分方程,
解, 设坐标系如图,oxy为水平面,它绕 z轴转
动,即圆圈为转动参照系
受力分析,重力和约束反力都在 z轴方向,没
有画出, 惯性离心力 m?2r,科里奥利力为
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本题要求沿圆切线运动,用自然坐标内禀方程
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4.12) 一质点如以初速 v0在纬度为 ?的地方竖直向上射出,达到 h
高度复落至地面, 假定空气阻力可以忽略不计,试求落至地面时
的偏差,
解, 设地球为转动坐标系,在北纬 ?处,由地心指向为单位矢量 k指
向,j表示东,i为南,地球自转角速度为绕地轴匀速转动状态
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质点再回到地面 gvt /2 0?
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vy ?? ghv 2 a n d
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hy ???
