第六讲
机械能 (一 )
本 讲 导 读
? 功、能量定义
? 势能、动能
? 保守力系
? 质点及质点系动能定理
? 质点系的机械能
? 碰撞
1 什么是能量？什么是功？
麦克斯韦定义：能量是一个物体具有的做功能力,
一般功的定义, 物体能量改变的度量,
循环定义 !!
所以必须先给出其中一个物理量确切的定义 !
(本教材定义 )功, 凡是作用在物体上的力,使得物体沿
力的方向上移动了位置,就说力对物体做了功, 一般来
说,功等于力乘以物体在力的方向所产生的位移,
一、能和功
rdFdrFdA ?? ??? ?c o s
F?
rd?
?
功的单位,J
rd?
?
F?
a
b
质点沿曲线 L 从 a 运动到 b力 F 所做的功,
rdFdA ????
?
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?
???
??????
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L
zyx
L
zyx
L
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例 重力的功
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21
2
1
m g ym g ydymgA y
y
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y2
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b
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x
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m
G?
例 弹性力的功
x2
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m x
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mF
x
ikxF ?? ??
?? ? ??????? 2121 xxxx k x d xidxikxxdFA ????
2
2
2
1 2
1
2
1 kxkxA ??
例 平方反比力
rrMmGF ?? 30??
? ??? b
a
r
r
rdr
r
MmGA ??
30 r d rrdrrdr ??? ?c o s
???
???
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r
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a
11
020
M
a
b
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dr
万有引力、电磁力等
合力的功, ? ? rdFFFrdFA
L nL
??????? ??????? ??
21
??? ??????? L nLL rdFrdFrdF ??????? 21
合力的功等于各分力的功的代数和,
一对相互作
用力的功,
121
2112111
221121
)(
rdF
rrdFrdFrdF
rdFrdFAAdA
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????
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??????
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???
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z
Vy
y
Vx
x
VA dddd
力场, 假如力仅是坐标 x,y,z的单值的、有限的
和可微的函数，则在空间区域每一点上，都将有
一定的力作用着，这个空间叫做力场,
如果力是一个单值、有限和可微函数的负梯度，即
???
?
???
?
?
??
?
??
?
??? k
z
Vj
y
Vi
x
VF ????
则
为一个全微分, 显然这个力作用物体在空间运动一个
闭合曲线做功为零,
2 保守力、非 保守力与耗散力
保守力, 使物体运动任一闭合路径作功等于零的力
? ?? 0rdF ??
做功与经历的路径有关的力 (又叫涡旋力 )
保守力做功与路径无关
非保守力,
耗散力, 做功与经历的路径有关,但总是做负功
的力, 例如,摩擦力
例
子
21
2
1
m g ym g ydymgA yy ???? ?(i)重力
2
2
2
1 2
1
2
1 kxkxA ??(ii)弹性力
(iii)平方反比力
???
?
???
? ????? ?
ba
r
r rr
MmGrdrMmGA b
a
11
020
baab VVA ??
在物体从位置 a移动到 b时，保守力做功为
显然知道了 V和空间位置，我们就知道了物体运动做
功的大小, 所以我们用 V可以完全替代保守力的做功概念,
这时引入势能函数的概念,
势能, 由 相互作用 的 物体的 相对位置 所确定的系统能
量称为 势能
定义式,
保守力作功在数值上等于系统势能的减少
)]()([ abr
rab
rVrVrdFA b
a
?????
? ????? ?
例子,重力势能、弹性势能、引力势能
3 动能和势能函数
?势能属于系统
?势能的大小只有相对的意义
?势能零点存在人为因素
取 r0 点为势能零点，则任意一点 r 的势能为：
? ?? orr rdFrV
?
?
??? )(
空间某点的势能 V 等于质点从该点移
动到势能零点时保守力作的功,
关于势能的几点说明
重力势能：
m g hE p ? （ h=0 为势能零点）
弹性势能：
2
2
1 kxE
p ?
（弹簧自由端为势能零点）
引力势能：
r
MmGE
p 0??
（无限远处为势能零点）
动能, 物体由于运动而具有的能量
如何定量 !!
伽利略,重的东西在坠落时所
获得的冲力 (动能 ),足够使它
回到原来的高度,
y
xv
O
dy
h
ds ?
P质点 P以速度 v沿任意光滑曲线向上冲,看它能够上升的高度
从牛顿运动方程,经过计算做功得到 m ghmv ?2
2
1
亦即,描述运动的能量在数值上与重力势能相等,给
出 动能 的表达式应为
2
2
1 mvE
k ?
1 动能定理
2
2
1 mvE
k ?
单位,J动能
Ftrm ?
?
?2
2
d
d牛顿方程 经过数学运算得到
? ? rFmv ?? dd 221 ??质点动能定理微分形式
质点动能定理,
akbkab EEmvmvA ????
22
2
1
2
1
二,机械能守恒定律
0kk EEAA ??? 内外
质点系的动能定理
1f
?
2f
? m
2
m1 1F?
2F?2 质点系的功能原理
0kk EEAAA ???? 非保内保内外
VVA ?? 0保内
)()( 00 VEVEAA kk ????? 非保内外
0EEAA ??? 非保内外
3 机械能守恒定律
如果一个系统只有保守内力内作功，非保
守内力和一切外力都不做功，那么系统的总机
械能保持不变, 这个系统也常称为保守系,
4 保守系与时间反演对称性
时间反演, tt ?? 相当于电视片的倒放效果
考虑,为什么演员飞高时都是穿的紧身衣? 空气阻力
理论,每个质点都满足牛顿运动定律
t
pf i
i d
d?
做时间反演,动量也反向,右端不变, 因保守力只与质
点的相对位置有关,它是时间反演不变的, 所以可逆
过程能够发生, 摩擦力不是保守力,
1 质心系,以物体的质心做为坐标原点，并和质心
共同运动的坐标系
?? iic vmvM ?? ? ? ci aMF ??已经知道
y
x
z
x‘
y‘
z‘
rcr
i
ri’
从图知,'
iCi rrr
??? ??
)(
d
'd )()(
2
2
ci
i
i
e
i
i
i rmFFt
rm ??????? ????
三、质心系的动能定理
?
?
??
n
i
iiCk rmrmE
1
2'
2
1
2
1 2 ????
考虑质心位置，则
—— 柯尼希定理
2 质心系动能定理
???
???
?????
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i
n
i
i
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1
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1
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1
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2
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i
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1 1
2
1
2
''
2
1
2
1
'
2
1
2
????????
????
故质点组动能为
两个或两个以上的物体发生极为短暂
的相互作用。
碰撞：
三种碰撞：
（ 1）弹性碰撞,碰撞后物体的变形可以完全恢复，
且碰撞前后系统的总机械能守恒。
（ 2）非弹性碰撞,碰撞后物体的变形只有部分恢复，
系统有部分机械能损失。
（ 3）完全非弹性碰撞：
碰撞过程中物体的变形完全不能恢复，以致两
物体合为一体一起运动。系统有机械能损失。
四、碰撞
2211202101 vmvmvmvm ???
动量守恒：
动能守恒,2
22
2
11
2
202
2
101 2
1
2
1
2
1
2
1 vmvmvmvm ???
解得,? ?
21
2021021
1
2
mm
vmvmmv
?
???
? ?
21
1012012
2
2
mm
vmvmmv
?
???
v2v1v20v10
1、弹性碰撞：
动量守恒：
vmmvmvm )( 21202101 ???
21
202101
mm
vmvmv
?
??
机械能损失：
)2121()(21 220221012210 vmvmvmmEEE kk ???????
)(2
)(
21
2
201021
mm
vvmmE
?
???
2、完全非弹性碰撞：
动量守恒：
2211202101 vmvmvmvm ???
碰撞定律,碰撞后两球的分离速度（ v2-v1）与
碰撞前两球的接近速度（ v10-v20）成正
比。比值由两球的质料决定。
2010
12
vv
vve
?
?? e 称为 恢复系数
弹性碰撞,e =1 （ v2-v1） = （ v10-v20）
完全非弹性碰撞,e =0 v2= v1
非弹性碰撞,0 < e < 1
3、非弹性碰撞：
例 1,计算第一，第二宇宙速度
(i) 第一宇宙速度
已知,地球半径为 R，质量为 M，
卫星质量为 m。要使卫星在距地
面 h高度绕地球作匀速圆周运动，
求其发射速度。
解,设发射速度为 v1，绕地球的运动速度为 v
机械能守恒：
hR
MmGmv
R
MmGmv
????
22
1 2
1
2
1
由万有引力定律和牛顿定律：
? ? hR
vm
hR
MmG
?
?
?
2
2
R
M
m
解方程组，得：
hR
GM
R
GMv
?
?? 21
2R
mMGmg ??
gRRGM ??
代入上式，得：
)2(1
hR
RgRv
?
??
Rh ???
13
1 sm109.7
?????? gRv
(ii) 第二宇宙速度
宇宙飞船脱离地球引力而必须具有的发射速度
（ 1）脱离地球引力时，动能必须大于或等于零,
由机械能守恒定律：
021 22 ???? ?? pk EERMmGmv
解得,13
12 sm102.1122
2 ??????? vgR
R
GMv
（ 2）脱离地球引力处，飞船的引力势能为零,
例 2,两个质量分别为 m1和 m2的木块 A,B，用一经度系数为
k的轻弹簧连接，放在光滑的水平面上。 A紧靠墙。今用力推
B块，使弹簧压缩 x0然后释放。（已知 m1=m,m2=3m）
求：（ 1）释放后 A,B两滑块速度相等时的瞬时速度的大小。
（ 2）弹簧的最大伸长量。
A B
k解：
设：弹簧恢复到原长
时滑块 B的速度为 VB0
机械能守恒：
2
3
2
1 2 02
0
BmVkx ? mkxV B 300 ?
A块离墙后：
022211 BVmvmvm ??
v1=v2=v时：
033 BmVmvmv ??
m
kxVv
B 34
3
4
3
00 ??
2
02
2
22
2
11
2
2
1
2
1
2
1
2
1
BVmvmvmkx ???
当弹簧处于最大伸长量时，必有 v1=v2=v=3VB0 ? 4
机械能守恒：
2
0
2
0
2
0
2 3
2
1
16
93
2
1
16
9
2
1
2
1
BBB mVVmVmkx ???
化简, 2
0
2
0
2
0
2
8
1)
3
(
8
3
8
3
2
1 kx
m
kxmmVkx
B ???
0m a x 2
1 xx ?
这导致了一个形式方程
解,这是一维运动,物体的速度为
? ?)(2 xUEmv ??
? ?
t
xUE
m
x d
)(2
d ?
?
在 A,B,C和 D,dU/dx=0,均有 Fx=0,但是,由于各点
附近曲线的形状不同,将导致不同的结果, A,C两点是
势能曲线的极小点, 有 d2U/dx2>0,即
0dddddd ???
?
??
?
? ?
x
F
x
U
x
x
例 3、分析如图势能平衡点的稳定性
A
C
B
D
F
说明力 F是回复力,意味着在这两点的平衡是稳定平衡,
在 B点,平衡是不稳定的, 在 D点,U是常量,平衡被称
为随遇平衡,最后在 F点,Fx>0,质点将向右运动,
A
C
B
D
F
在上图中,某些区域 T=E－ U>0 是经典力学禁止的,
而在量子力学中质点可以以一定的概率进入,
例 4,质量为 m1和 m2的两个自由质点相互吸引,引力与
其质量成正比,与二者距离平方成反比,比例系数为 k,
开始时,二质点均静止,其间距离为 a,试求二者距离
为 1/2a时两质点的速度,
解,令质量为 m1的质点速度为 v1,质量为 m2的质点速度为
v2,因二者吸引,故 v1,v2方向相反,今取 v1方向为正向,
本问题无外力作用,故动量守恒,得
02211 ?? vmvm ??
相互吸引的内力属于万有引力,
是保守力,可知其势能为, rmkm 21?
由机械能守恒律,
2/2
1
2
1 212
22
2
11
21
a
mkmvmvm
a
mkm ????
联立动量守恒和机械能守恒方程,可解得,
)(
2,
)(
2
21
12
21
21 mma
kmv
mma
kmv
?
?
?
?
同样利用动能定理代替机械能守恒定律一样可
以求解,
1,36 1.39 2.10 2.12
五、作 业
机械能 (一 )
本 讲 导 读
? 功、能量定义
? 势能、动能
? 保守力系
? 质点及质点系动能定理
? 质点系的机械能
? 碰撞
1 什么是能量？什么是功？
麦克斯韦定义：能量是一个物体具有的做功能力,
一般功的定义, 物体能量改变的度量,
循环定义 !!
所以必须先给出其中一个物理量确切的定义 !
(本教材定义 )功, 凡是作用在物体上的力,使得物体沿
力的方向上移动了位置,就说力对物体做了功, 一般来
说,功等于力乘以物体在力的方向所产生的位移,
一、能和功
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质点沿曲线 L 从 a 运动到 b力 F 所做的功,
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合力的功, ? ? rdFFFrdFA
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合力的功等于各分力的功的代数和,
一对相互作
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力场, 假如力仅是坐标 x,y,z的单值的、有限的
和可微的函数，则在空间区域每一点上，都将有
一定的力作用着，这个空间叫做力场,
如果力是一个单值、有限和可微函数的负梯度，即
???
?
???
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Vj
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则
为一个全微分, 显然这个力作用物体在空间运动一个
闭合曲线做功为零,
2 保守力、非 保守力与耗散力
保守力, 使物体运动任一闭合路径作功等于零的力
? ?? 0rdF ??
做功与经历的路径有关的力 (又叫涡旋力 )
保守力做功与路径无关
非保守力,
耗散力, 做功与经历的路径有关,但总是做负功
的力, 例如,摩擦力
例
子
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m g ym g ydymgA yy ???? ?(i)重力
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(iii)平方反比力
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baab VVA ??
在物体从位置 a移动到 b时，保守力做功为
显然知道了 V和空间位置，我们就知道了物体运动做
功的大小, 所以我们用 V可以完全替代保守力的做功概念,
这时引入势能函数的概念,
势能, 由 相互作用 的 物体的 相对位置 所确定的系统能
量称为 势能
定义式,
保守力作功在数值上等于系统势能的减少
)]()([ abr
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a
?????
? ????? ?
例子,重力势能、弹性势能、引力势能
3 动能和势能函数
?势能属于系统
?势能的大小只有相对的意义
?势能零点存在人为因素
取 r0 点为势能零点，则任意一点 r 的势能为：
? ?? orr rdFrV
?
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??? )(
空间某点的势能 V 等于质点从该点移
动到势能零点时保守力作的功,
关于势能的几点说明
重力势能：
m g hE p ? （ h=0 为势能零点）
弹性势能：
2
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1 kxE
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（弹簧自由端为势能零点）
引力势能：
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（无限远处为势能零点）
动能, 物体由于运动而具有的能量
如何定量 !!
伽利略,重的东西在坠落时所
获得的冲力 (动能 ),足够使它
回到原来的高度,
y
xv
O
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ds ?
P质点 P以速度 v沿任意光滑曲线向上冲,看它能够上升的高度
从牛顿运动方程,经过计算做功得到 m ghmv ?2
2
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亦即,描述运动的能量在数值上与重力势能相等,给
出 动能 的表达式应为
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1 动能定理
2
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1 mvE
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单位,J动能
Ftrm ?
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d牛顿方程 经过数学运算得到
? ? rFmv ?? dd 221 ??质点动能定理微分形式
质点动能定理,
akbkab EEmvmvA ????
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二,机械能守恒定律
0kk EEAA ??? 内外
质点系的动能定理
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2F?2 质点系的功能原理
0kk EEAAA ???? 非保内保内外
VVA ?? 0保内
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0EEAA ??? 非保内外
3 机械能守恒定律
如果一个系统只有保守内力内作功，非保
守内力和一切外力都不做功，那么系统的总机
械能保持不变, 这个系统也常称为保守系,
4 保守系与时间反演对称性
时间反演, tt ?? 相当于电视片的倒放效果
考虑,为什么演员飞高时都是穿的紧身衣? 空气阻力
理论,每个质点都满足牛顿运动定律
t
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做时间反演,动量也反向,右端不变, 因保守力只与质
点的相对位置有关,它是时间反演不变的, 所以可逆
过程能够发生, 摩擦力不是保守力,
1 质心系,以物体的质心做为坐标原点，并和质心
共同运动的坐标系
?? iic vmvM ?? ? ? ci aMF ??已经知道
y
x
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三、质心系的动能定理
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考虑质心位置，则
—— 柯尼希定理
2 质心系动能定理
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故质点组动能为
两个或两个以上的物体发生极为短暂
的相互作用。
碰撞：
三种碰撞：
（ 1）弹性碰撞,碰撞后物体的变形可以完全恢复，
且碰撞前后系统的总机械能守恒。
（ 2）非弹性碰撞,碰撞后物体的变形只有部分恢复，
系统有部分机械能损失。
（ 3）完全非弹性碰撞：
碰撞过程中物体的变形完全不能恢复，以致两
物体合为一体一起运动。系统有机械能损失。
四、碰撞
2211202101 vmvmvmvm ???
动量守恒：
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? ?
21
1012012
2
2
mm
vmvmmv
?
???
v2v1v20v10
1、弹性碰撞：
动量守恒：
vmmvmvm )( 21202101 ???
21
202101
mm
vmvmv
?
??
机械能损失：
)2121()(21 220221012210 vmvmvmmEEE kk ???????
)(2
)(
21
2
201021
mm
vvmmE
?
???
2、完全非弹性碰撞：
动量守恒：
2211202101 vmvmvmvm ???
碰撞定律,碰撞后两球的分离速度（ v2-v1）与
碰撞前两球的接近速度（ v10-v20）成正
比。比值由两球的质料决定。
2010
12
vv
vve
?
?? e 称为 恢复系数
弹性碰撞,e =1 （ v2-v1） = （ v10-v20）
完全非弹性碰撞,e =0 v2= v1
非弹性碰撞,0 < e < 1
3、非弹性碰撞：
例 1,计算第一，第二宇宙速度
(i) 第一宇宙速度
已知,地球半径为 R，质量为 M，
卫星质量为 m。要使卫星在距地
面 h高度绕地球作匀速圆周运动，
求其发射速度。
解,设发射速度为 v1，绕地球的运动速度为 v
机械能守恒：
hR
MmGmv
R
MmGmv
????
22
1 2
1
2
1
由万有引力定律和牛顿定律：
? ? hR
vm
hR
MmG
?
?
?
2
2
R
M
m
解方程组，得：
hR
GM
R
GMv
?
?? 21
2R
mMGmg ??
gRRGM ??
代入上式，得：
)2(1
hR
RgRv
?
??
Rh ???
13
1 sm109.7
?????? gRv
(ii) 第二宇宙速度
宇宙飞船脱离地球引力而必须具有的发射速度
（ 1）脱离地球引力时，动能必须大于或等于零,
由机械能守恒定律：
021 22 ???? ?? pk EERMmGmv
解得,13
12 sm102.1122
2 ??????? vgR
R
GMv
（ 2）脱离地球引力处，飞船的引力势能为零,
例 2,两个质量分别为 m1和 m2的木块 A,B，用一经度系数为
k的轻弹簧连接，放在光滑的水平面上。 A紧靠墙。今用力推
B块，使弹簧压缩 x0然后释放。（已知 m1=m,m2=3m）
求：（ 1）释放后 A,B两滑块速度相等时的瞬时速度的大小。
（ 2）弹簧的最大伸长量。
A B
k解：
设：弹簧恢复到原长
时滑块 B的速度为 VB0
机械能守恒：
2
3
2
1 2 02
0
BmVkx ? mkxV B 300 ?
A块离墙后：
022211 BVmvmvm ??
v1=v2=v时：
033 BmVmvmv ??
m
kxVv
B 34
3
4
3
00 ??
2
02
2
22
2
11
2
2
1
2
1
2
1
2
1
BVmvmvmkx ???
当弹簧处于最大伸长量时，必有 v1=v2=v=3VB0 ? 4
机械能守恒：
2
0
2
0
2
0
2 3
2
1
16
93
2
1
16
9
2
1
2
1
BBB mVVmVmkx ???
化简, 2
0
2
0
2
0
2
8
1)
3
(
8
3
8
3
2
1 kx
m
kxmmVkx
B ???
0m a x 2
1 xx ?
这导致了一个形式方程
解,这是一维运动,物体的速度为
? ?)(2 xUEmv ??
? ?
t
xUE
m
x d
)(2
d ?
?
在 A,B,C和 D,dU/dx=0,均有 Fx=0,但是,由于各点
附近曲线的形状不同,将导致不同的结果, A,C两点是
势能曲线的极小点, 有 d2U/dx2>0,即
0dddddd ???
?
??
?
? ?
x
F
x
U
x
x
例 3、分析如图势能平衡点的稳定性
A
C
B
D
F
说明力 F是回复力,意味着在这两点的平衡是稳定平衡,
在 B点,平衡是不稳定的, 在 D点,U是常量,平衡被称
为随遇平衡,最后在 F点,Fx>0,质点将向右运动,
A
C
B
D
F
在上图中,某些区域 T=E－ U>0 是经典力学禁止的,
而在量子力学中质点可以以一定的概率进入,
例 4,质量为 m1和 m2的两个自由质点相互吸引,引力与
其质量成正比,与二者距离平方成反比,比例系数为 k,
开始时,二质点均静止,其间距离为 a,试求二者距离
为 1/2a时两质点的速度,
解,令质量为 m1的质点速度为 v1,质量为 m2的质点速度为
v2,因二者吸引,故 v1,v2方向相反,今取 v1方向为正向,
本问题无外力作用,故动量守恒,得
02211 ?? vmvm ??
相互吸引的内力属于万有引力,
是保守力,可知其势能为, rmkm 21?
由机械能守恒律,
2/2
1
2
1 212
22
2
11
21
a
mkmvmvm
a
mkm ????
联立动量守恒和机械能守恒方程,可解得,
)(
2,
)(
2
21
12
21
21 mma
kmv
mma
kmv
?
?
?
?
同样利用动能定理代替机械能守恒定律一样可
以求解,
1,36 1.39 2.10 2.12
五、作 业
