第二十讲
刘维定理
泊松括号
本讲导读
? 统计力学基本定理 刘维定理
?泊松括号的定义
?泊松括号的性质
?泊松定理
一、刘维定理
分析力学解决宏观机械问题的过程并不比牛顿力学
简单,但是对于大数目系统,往往牛顿力学无法求解,而
运用哈密顿正则方程却容易的多,
哈密顿动力学用广义坐标和广义动量描述力学系统
的运动, 对一个自由度问题,某一时刻的状态用 x和 p值表
示,即 xp平面上的一个点表示, 随着时间推移,状态不断变
化,它在 xp平面上刻画出一条曲线,
多自由度的情况也类似, 对于 s个自由度的力学系统,
我们把广义坐标和广义动量当作直角坐标而构成 2s维的
空间叫作相空间, 该力学系统在某一时刻的状况也可用相
空间的一个点表示, 随着时间的推移,相空间中的代表点
给出的曲线形成相轨道,换句话说,相轨道给出力学系统
随时间的演变过程,
原则上,给定力学系统的初始状态,该系统的运动就
由动力学方程完全确定,即以相空间中某一点为出发点
的相轨道, 由动力学方程所完全决定, 但是,如果系统的
自由度数比较大,力学系统比较复杂,我们不能断定相空
间中究竟哪一点准确地代表系统的状态,怎么办?
替代的办法：我们只能考虑各种可能的代表点,其
中每一点都代表系统的一种可能状态, 实质上,这是考虑
处于给定约束条件下许许多多性质完全相同的力学系统,
这些性质完全相同的力学系统构成一个系综 ; 相空间中
每一个代表点对应于系综中某一个力学系统的状态,代
表点的相轨道对应于该系统的演变,各种可能的代表点
则对应于系综中所有力学系统的状况,各种可能的相轨
道则对应于系综的演变,这就是统计力学的起点,
刘维定理, 保守力学体系在相空间中代表点的密度,在
运动过程中保持不变,
物理含义, 同一力学体系在不同的初始状态所构成的不
同代表点,它们各自独立地沿着正则方程所规定的轨道
运动,当这些点构成的区域随时间运动到另外一个区域
时,在新的区域,代表点的密度,等于在出发区域中的密
度,
设体积元为
其中代表点的数目为 dN,代表点的密度为 ?,则
一般密度 ?随时随地不同,所以从
s21s21 ddddddd pppqqq ????
?? dd ?N
),,,;,,,;( 2121 ss pppqqqt ???? ?
知
?
?
???
?
???
?
?
??
?
??
?
?? s p
p
q
qtt 1d
d
?
?
?
?
?
???? ??
刘维定理说明在 体系中 d?/dt=0
刘维定理证明,
假定初始时,体元位置为
经历时间 dt,这个固定体元中代表点的数目变化
另一方面也可以从代表点在运动中出入这个固定体元
的边界的数目来计算在时间 dt中代表点的数目变化
),,2,1( d,;d,spppqqq ???? ???????
??????? ddddd)d(d t
t
t
t
N
?
????
?
??
?
?
?
???
先考虑通过一对曲面 q?,q? + dq?进出 d?代表点的增加,
把体元 d?表达式改写为
ss ppqqqqAqA dd;ddddd,ddd 1111 ??? ???? ??????
在 dt 时间内通过 q?进入 d?的代表点必定位于一个柱体
内,柱体底为 dA?,高为,为相空间中代表点垂直
于曲面 q?的速度分量, 所以在 dt 时间内通过 q?进入 d?的
代表点数为
tq d?? ?q?
同理,在 dt 时间内通过曲面 q? + dq?离开 d?代表点的数
目为
? ? ???? qAtq dd?
? ? ? ? ? ? ???
?
??? ??? ??? AtqqqqAtq qqq ddddd d ?
?
?
?
?
?
?
???
? ???
两者相减,得 通过曲面 q?和 q? + dq?进入 d?代表点的净
数目为
? ? ? ? ???
?
?
???
?
ddddd tq qAtqqq ????? ?? ??
同理,得 通过曲面 p?和 p? + dp?进入 d?代表点的净数目
为
把上面两式相加,并对 ?求和,则得在 dt时间内由于代表
点的运动,穿过 d?的边界而进入其中的 代表点的净数目
? ? ??
?
? dd t
p
p
?
?? ?
? ? ? ? ???
? ?
?
?
? dd)d(d
1
t
q
q
p
pN s?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??? ??
显然 ? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
???
?
? s
q
q
p
p
t 1? ?
?
?
? ??? ??
所以
利用正则方程,得
证明完毕 !
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??? s
q
q
p
p
t 1d
d
? ?
?
?
??? ??
0
d
d
1
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
???? ?
?
s
p
H
qq
H
pt ? ????
??
刘维定理是统计力学的基本的定理, 它是 2s维的相空
间中的定理,在普通空间或 s 维的位形空间 (把 s 个广义
坐标作为直角坐标构成的空间 )中并不存在类似的定理,
因此,在统计力学讨论系综时需要运用哈密顿动力学而
不用拉格朗日动力学,
刘维定理的另外表示
0
1
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
? ?
?
s
q
H
pp
H
qt ? ????
???
如果函数 ?是正则变量 q?,p? 和时间的函数
二、泊松括号的定义
),,,;,,,;( 2121 ss pppqqqt ???? ?
则它 对 时间的导数为
? ?H
t
q
H
pp
H
qt
p
p
q
qtt
s
s
,
d
d
1
1
?
?
???
????
? ????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
其中 [?,H]叫做 泊松括号,
因为 p,q都是相互独立的,所以
0,?
?
??
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
? ?
p
q
q
p
q
q
p
p
这样,正则方程也可以简化为
? ? ? ? ),,2,1(,,,sHqqHpp ??? ??? ?????
如果函数 ?在运动中保持为常数,则 ? ? 0,??
?
? H
t ?
?
如果函数 ?也是正则变量和时间的函数,泊松括号 [?,?]
定义为
? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?? s
qppq1
,
? ????
??????
三、泊松括号的性质
? ? 是常数如果 cc,0,)1( ??
? ? ? ?????,,)2( ??
? ? ? ???
??
??
n
j
j
n
j
j,ψψ
11
,,)3( ???? 则如
? ? ? ? ? ???????,,,)4( ?????
? ? ?
?
?
??
?
?
??
??
?
??
?
?
??
?
?
t
ψ,,ψ
t,ψt ?
?? )5(
? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? 0,,,,,,)6( ??? ?????????
? ?
?
?
?
?
??
??
???
???? 0
1,)7( pq
? ? 0,)8( ???
? ? ? ? ? ??????????,,,)9( ??
例 1 计算泊松括号 [Ly,Lz],[Lz,Lx]和 [Lx,Ly]; [Lx,L2],[Ly,L2]
和 [Lz,L2].这里 L是质点的角动量,
解, 这里广义坐标 q1=x,q2=y,q3=z; 广义动量 p1=px,p2=py,p3=pz;
先计算泊松括号 [Ly,Lz],即 ? ?
xyzx ypxpxpzp ??,
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?xzxxyzyxxyzx ypxpypzpxpxpxpzpypxpxpzp,,,,,??????
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? yyxxyyxyxyx zppxpzppzxppxzxppzxpzp ??????,,,,,
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0,,,,,????? yzxyyzyzyz pxpxppxxppxxxppxxpxp
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0,,,,,????? xxxxxxxxxx pypzppzyppyzyppzypzp
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? zxzzxxzxzxz yppypxppxyppyxyppxypxp ?????,,,,,
? ? xyzzy LzpypLL ????,
同理 ? ? ? ?
zyxyxz LLLLLL ??,,,? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
0
,,,,
,,,,,,222222
?????
????
?????
zyyzyzzy
zzxzxzyyxyxy
zxyxzxyxxxx
LLLLLLLL
LLLLLLLLLLLL
LLLLLLLLLLLL
同理 ? ? ? ? 0,,22 ?? LLLL
zy
四、泊松定理
泊松定理,
如果函数 ?,? 都是相空间中的运动常数,则它们
的组合 [?,? ]也是相空间中的运动常数,
因为
22121
12121
),,,;,,,;(
),,,;,,,;(
Cpppqqqt
Cpppqqqt
ss
ss
??
??
??
??
??
??
? ? ? ? 0,,0,????????? HtHt ????
由泊松括号性质 (6)知
? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? 0t,t,,,,,,,,,??????? ????????? ?????? ???????????? HHHH
利用泊松括号的性质,得
? ? ? ?? ? ? ? 0,dtd,,,t ????? ?????? H
显然 [?,?]也是运动常数, 还可以通过类似的关系得到
更多的运动常数,
五、量子力学中的泊松括号
在经典力学中,两个力学量同时具有确定的值并不成为问题,
可是,在量子力学中这却是个问题, 力学量在量子力学中是用算符
或矩阵表示的,两个算符或矩阵的乘积一般是与这两个算符或矩阵
的先后次序有关的,两个力学量 X和 Y是否可以同时具有确定的值
就看它们的量子泊松括号
? ? 1 YXXYi ??
是否为零,
如果两个力学量的经典泊松括号为零,则它们的量子松括号也
为零,在量个力学中它们是可以同时确定的, 比如,任意两个广义
坐标可以同时确定,任意两个广义动量也可以同时确定,一个广义
坐标和对应的广义动量不能同时确定,一个广义坐标和非对应的广
义动量可以同时确定, 又比如,角动量的任意两个分量不能同时确
定,但角动量的一个分量和角动量的平方可以同时确定,
刘维定理
泊松括号
本讲导读
? 统计力学基本定理 刘维定理
?泊松括号的定义
?泊松括号的性质
?泊松定理
一、刘维定理
分析力学解决宏观机械问题的过程并不比牛顿力学
简单,但是对于大数目系统,往往牛顿力学无法求解,而
运用哈密顿正则方程却容易的多,
哈密顿动力学用广义坐标和广义动量描述力学系统
的运动, 对一个自由度问题,某一时刻的状态用 x和 p值表
示,即 xp平面上的一个点表示, 随着时间推移,状态不断变
化,它在 xp平面上刻画出一条曲线,
多自由度的情况也类似, 对于 s个自由度的力学系统,
我们把广义坐标和广义动量当作直角坐标而构成 2s维的
空间叫作相空间, 该力学系统在某一时刻的状况也可用相
空间的一个点表示, 随着时间的推移,相空间中的代表点
给出的曲线形成相轨道,换句话说,相轨道给出力学系统
随时间的演变过程,
原则上,给定力学系统的初始状态,该系统的运动就
由动力学方程完全确定,即以相空间中某一点为出发点
的相轨道, 由动力学方程所完全决定, 但是,如果系统的
自由度数比较大,力学系统比较复杂,我们不能断定相空
间中究竟哪一点准确地代表系统的状态,怎么办?
替代的办法：我们只能考虑各种可能的代表点,其
中每一点都代表系统的一种可能状态, 实质上,这是考虑
处于给定约束条件下许许多多性质完全相同的力学系统,
这些性质完全相同的力学系统构成一个系综 ; 相空间中
每一个代表点对应于系综中某一个力学系统的状态,代
表点的相轨道对应于该系统的演变,各种可能的代表点
则对应于系综中所有力学系统的状况,各种可能的相轨
道则对应于系综的演变,这就是统计力学的起点,
刘维定理, 保守力学体系在相空间中代表点的密度,在
运动过程中保持不变,
物理含义, 同一力学体系在不同的初始状态所构成的不
同代表点,它们各自独立地沿着正则方程所规定的轨道
运动,当这些点构成的区域随时间运动到另外一个区域
时,在新的区域,代表点的密度,等于在出发区域中的密
度,
设体积元为
其中代表点的数目为 dN,代表点的密度为 ?,则
一般密度 ?随时随地不同,所以从
s21s21 ddddddd pppqqq ????
?? dd ?N
),,,;,,,;( 2121 ss pppqqqt ???? ?
知
?
?
???
?
???
?
?
??
?
??
?
?? s p
p
q
qtt 1d
d
?
?
?
?
?
???? ??
刘维定理说明在 体系中 d?/dt=0
刘维定理证明,
假定初始时,体元位置为
经历时间 dt,这个固定体元中代表点的数目变化
另一方面也可以从代表点在运动中出入这个固定体元
的边界的数目来计算在时间 dt中代表点的数目变化
),,2,1( d,;d,spppqqq ???? ???????
??????? ddddd)d(d t
t
t
t
N
?
????
?
??
?
?
?
???
先考虑通过一对曲面 q?,q? + dq?进出 d?代表点的增加,
把体元 d?表达式改写为
ss ppqqqqAqA dd;ddddd,ddd 1111 ??? ???? ??????
在 dt 时间内通过 q?进入 d?的代表点必定位于一个柱体
内,柱体底为 dA?,高为,为相空间中代表点垂直
于曲面 q?的速度分量, 所以在 dt 时间内通过 q?进入 d?的
代表点数为
tq d?? ?q?
同理,在 dt 时间内通过曲面 q? + dq?离开 d?代表点的数
目为
? ? ???? qAtq dd?
? ? ? ? ? ? ???
?
??? ??? ??? AtqqqqAtq qqq ddddd d ?
?
?
?
?
?
?
???
? ???
两者相减,得 通过曲面 q?和 q? + dq?进入 d?代表点的净
数目为
? ? ? ? ???
?
?
???
?
ddddd tq qAtqqq ????? ?? ??
同理,得 通过曲面 p?和 p? + dp?进入 d?代表点的净数目
为
把上面两式相加,并对 ?求和,则得在 dt时间内由于代表
点的运动,穿过 d?的边界而进入其中的 代表点的净数目
? ? ??
?
? dd t
p
p
?
?? ?
? ? ? ? ???
? ?
?
?
? dd)d(d
1
t
q
q
p
pN s?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??? ??
显然 ? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
???
?
? s
q
q
p
p
t 1? ?
?
?
? ??? ??
所以
利用正则方程,得
证明完毕 !
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??? s
q
q
p
p
t 1d
d
? ?
?
?
??? ??
0
d
d
1
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
???? ?
?
s
p
H
H
pt ? ????
??
刘维定理是统计力学的基本的定理, 它是 2s维的相空
间中的定理,在普通空间或 s 维的位形空间 (把 s 个广义
坐标作为直角坐标构成的空间 )中并不存在类似的定理,
因此,在统计力学讨论系综时需要运用哈密顿动力学而
不用拉格朗日动力学,
刘维定理的另外表示
0
1
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
? ?
?
s
q
H
pp
H
qt ? ????
???
如果函数 ?是正则变量 q?,p? 和时间的函数
二、泊松括号的定义
),,,;,,,;( 2121 ss pppqqqt ???? ?
则它 对 时间的导数为
? ?H
t
q
H
pp
H
qt
p
p
q
qtt
s
s
,
d
d
1
1
?
?
???
????
? ????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
其中 [?,H]叫做 泊松括号,
因为 p,q都是相互独立的,所以
0,?
?
??
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
? ?
p
q
q
p
q
q
p
p
这样,正则方程也可以简化为
? ? ? ? ),,2,1(,,,sHqqHpp ??? ??? ?????
如果函数 ?在运动中保持为常数,则 ? ? 0,??
?
? H
t ?
?
如果函数 ?也是正则变量和时间的函数,泊松括号 [?,?]
定义为
? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?? s
qppq1
,
? ????
??????
三、泊松括号的性质
? ? 是常数如果 cc,0,)1( ??
? ? ? ?????,,)2( ??
? ? ? ???
??
??
n
j
j
n
j
j,ψψ
11
,,)3( ???? 则如
? ? ? ? ? ???????,,,)4( ?????
? ? ?
?
?
??
?
?
??
??
?
??
?
?
??
?
?
t
ψ,,ψ
t,ψt ?
?? )5(
? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? 0,,,,,,)6( ??? ?????????
? ?
?
?
?
?
??
??
???
???? 0
1,)7( pq
? ? 0,)8( ???
? ? ? ? ? ??????????,,,)9( ??
例 1 计算泊松括号 [Ly,Lz],[Lz,Lx]和 [Lx,Ly]; [Lx,L2],[Ly,L2]
和 [Lz,L2].这里 L是质点的角动量,
解, 这里广义坐标 q1=x,q2=y,q3=z; 广义动量 p1=px,p2=py,p3=pz;
先计算泊松括号 [Ly,Lz],即 ? ?
xyzx ypxpxpzp ??,
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?xzxxyzyxxyzx ypxpypzpxpxpxpzpypxpxpzp,,,,,??????
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? yyxxyyxyxyx zppxpzppzxppxzxppzxpzp ??????,,,,,
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0,,,,,????? yzxyyzyzyz pxpxppxxppxxxppxxpxp
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0,,,,,????? xxxxxxxxxx pypzppzyppyzyppzypzp
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? zxzzxxzxzxz yppypxppxyppyxyppxypxp ?????,,,,,
? ? xyzzy LzpypLL ????,
同理 ? ? ? ?
zyxyxz LLLLLL ??,,,? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
0
,,,,
,,,,,,222222
?????
????
?????
zyyzyzzy
zzxzxzyyxyxy
zxyxzxyxxxx
LLLLLLLL
LLLLLLLLLLLL
LLLLLLLLLLLL
同理 ? ? ? ? 0,,22 ?? LLLL
zy
四、泊松定理
泊松定理,
如果函数 ?,? 都是相空间中的运动常数,则它们
的组合 [?,? ]也是相空间中的运动常数,
因为
22121
12121
),,,;,,,;(
),,,;,,,;(
Cpppqqqt
Cpppqqqt
ss
ss
??
??
??
??
??
??
? ? ? ? 0,,0,????????? HtHt ????
由泊松括号性质 (6)知
? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? 0t,t,,,,,,,,,??????? ????????? ?????? ???????????? HHHH
利用泊松括号的性质,得
? ? ? ?? ? ? ? 0,dtd,,,t ????? ?????? H
显然 [?,?]也是运动常数, 还可以通过类似的关系得到
更多的运动常数,
五、量子力学中的泊松括号
在经典力学中,两个力学量同时具有确定的值并不成为问题,
可是,在量子力学中这却是个问题, 力学量在量子力学中是用算符
或矩阵表示的,两个算符或矩阵的乘积一般是与这两个算符或矩阵
的先后次序有关的,两个力学量 X和 Y是否可以同时具有确定的值
就看它们的量子泊松括号
? ? 1 YXXYi ??
是否为零,
如果两个力学量的经典泊松括号为零,则它们的量子松括号也
为零,在量个力学中它们是可以同时确定的, 比如,任意两个广义
坐标可以同时确定,任意两个广义动量也可以同时确定,一个广义
坐标和对应的广义动量不能同时确定,一个广义坐标和非对应的广
义动量可以同时确定, 又比如,角动量的任意两个分量不能同时确
定,但角动量的一个分量和角动量的平方可以同时确定,
