第九讲
刚体定轴转动
和平面平行运动
本讲导读
? 惯量椭球和惯量主轴
? 定轴转动角动量定理和机械能守恒律
? 定轴转动的轴上附加力
? 刚体平面平行运动的运动学
? 刚体平面平行运动的动力学
? 刚体平面平行运动时相对于质心的角动量定理
? 刚体平面平行运动时机械能守恒律
一、惯量张量和惯量椭球
对形状规则的刚体，将转动惯量写为积分形式
对通过空间某一点 O的轴线,
?,?,? 为转动瞬轴相对于坐
标轴的方向余弦,则
? ? mzyI xx d22? ??
? ?? ?? mxzI yy d22
? ?? ?? myxI zz d22
??? mxyII yxxy d
??? mzxII zxxz d
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????????? ??? zyx,,
????????? xyzxyzzzyyxx IIIIIII 222222 ??????
一次算出轴转动惯 量 和惯量积,通过 O点 的 任一轴线的转动惯量 都 可 得 出,
三个轴转动惯量和六个惯量积作为统一的一个物
理量,代表刚体转动的惯性的量度，可以写为矩阵的
形式
并叫它惯量张量,元素叫惯量张量的组元 或 惯量系数,
利用矩阵乘法,得
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III
L
L
L
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惯量系数是点坐标的函数,所以用静止的坐标系时,刚体
转动时,惯量系数随之而变, 通常选取固着在刚体上、并随着刚体
一同转动的动坐标系,这样,惯量系数都是常数．
显然可以把惯量积通过选取坐标轴的方向而消除,
如在转动轴上,截取线段
RIOQ ?? 1
I 为刚体绕该轴的转动惯量,则 Q点的坐标将是
??? RzRyRx ???,,
因过 O点有很多转轴,则有很多的 Q点，这些点的轨迹是
1222222 ?????? xyIzxIyzIzIyIxI xyzxyzzzyyxx
这是一个中心在 O点的椭球,通常叫 惯量椭球,如 O为质心,
又叫 中心惯量椭球,
椭球有三个主轴,如坐标轴选取与之重合,则惯量积消失,
1232221 ??? zIyIxI
I1,I2,I3称为 O点上的主转动惯量, 此时,
kIjIiIL zyx ???? ??? 321 ???
? ?23222121 zyxk IIIE ??? ???
椭球与主轴交点的位矢 R的方向和椭球上该点法
线的方向重合, 这是解析几何里求二次曲面主轴的方
法,或线性代数里求本征值的方法, 在力学里,大都
是对称的均匀刚体,而这种刚体的惯量主轴,则可根
据对称性很方便地求出,
1 平动
(a)是平动,(b)不是平动
平动时刚体内所有点都有相同
的速度和加速度, 通常用质心的
运动来代表刚体整体的运动,
二、刚体的平动与绕固定轴的转动
2 定轴转动
刚体绕固定轴 z轴转动时,刚体中任何
一点 Pi,都在垂直于 z轴的平面内,即 xy平
面内作圆周运动, 设在 xy平面内,其一质
点的位矢是 ri,它和 z轴距离为 Ri,如果在
某一时刻,质点 Pi的线速度为 vi,则
ii rv
??? ?? ?
定轴转动,?方向不变,则
ii Rv ??
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ii
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R
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2
2
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?是角加速度, 在定轴转动中,它的指向与角速度相同
或相反,并且也是沿着同一条转动轴线,
定轴转动的角动量定理为 ??
zzzz
z
z IIdt
dLM ??? ?
有保守力作用的定轴转动的机械能为
EVI zz ??221 ?
3 定轴转动时轴上的附加压力
刚体绕定轴转动可以看作等价
于空间两点 A和 B保持不动时刚体的
运动, 显然是刚体受到了约束,可以
用动量定理和角动量定理来确定作
用在 A,B两点上的约束反力,
??
??
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i
zyxizyxBzyxA
n
i
iiii FNNzyxmt
1
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0
最后一式是刚体绕定轴转
动的动力学方程,其 余五
式,用来求约束反力
前五式是如 0?? ?? ?
平衡方程,最后式子是平
衡条件,对应约束反力
是静力反作用力
如果要刚体转动时不在轴承上产生附加压力,当所有主
动力等于零时，反作用力也都应等于零，这样，就有
0
0
0
0
2
2
2
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CC
CC
II
II
yx
yx
这是以 xC,yC及 Iyz,Izx为未知量的二元一次方程,但它
们的系数行列式在转动时都不等于零,故 xC,yC及 Iyz,
Izx必须同时为零,即刚体的重心在转动轴上,而且转动
轴是惯量主轴, 这时,我们就说这样的刚体己达到了动
平衡,这时的转动轴叫做自由转动轴, 这时即使取消约
束刚体还是会绕着它继续转动,
例 1 涡轮可以看作是一个均质圆盘,由于安装不善,涡轮转动轴与
盘面法线成交角 ?＝ 1o,涡轮圆盘质量为 20千克,半径 0.2米,重心 O
在转轴上,O至两轴承 A与 B的距离均为 0.6米, 设轴以 12000转／分
的角速度匀速转动,试求轴承上的压力
解 选取坐标轴如图, 图中 x,y,z是固定的坐标轴,而 x’,y’,z’为几何
对称轴, 设在图示瞬间,y和 y’正好重合,
显然 0,0
'''' ????? yzxzzyCC IIIyx
又 0,0 ?? ??AzN
如以 O为参考点,则
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首先要求出 Izx,由坐标变换
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这样,求解式 (1),得
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在 NAx与 NBx式中第一项代表静力反作用,第二项代表动力
反作用,亦即轴上的附加压力, 把题给的数据代入得附加压
力
N5 4 0 02s i n181 22 ?? ?? ??mrba
而 静 力反作用之和只有 20× 9.8=196N,可见动力反作用对轴
承的危害 更 大,
1 平面平行运动运动学
刚体平面平行运动时,任一点都始终在平
行于某一固定平面的平面内运动, 只须研
究刚体中任一和固定平面平行的截面 (薄
片 )的运动,空间问题简化为平面问题,
三、刚体的平面平行运动
(i) 纯平动 薄片上任何一点的位移都是 'AA
(ii) 纯转动 薄片绕 A’点转动一个角度,'''' BAB?
薄片上一点速度,加速度
? ?0' rrvrvv AA ???????? ??????? ??
? ? ? ? 200 ?? rrrraa A ???????? ??????
A点加速度 相对切向加速度 相对向心加速度
A点常叫基点
任一时刻薄片上恒有一点速度为零,叫
做转动瞬心 (C),转动瞬心相对于 Oxy系
的坐标可从上式求得
??
Ax
C
Ay
C
vyyvxx ????
00,
2 转动瞬心
如果 ?＝ 0,则无转动瞬心,或者说,转动瞬心在无穷远处,
只要转动 瞬 心 C已 知,就 知道 薄片在此时的运动,因为
如果取 C为基点，则因 它 此时的 速 度为零,薄片将仅绕 C
转动而任意一点 P 的 速 度 大小 为 ??CP
过 A及 B作两直线分别垂直于 vA及 vB,
此两直线的交点即为转动瞬心,
3 平面平行运动动力学
质心作为基点,利用质心运动定理
和相对于质心的角动量定理写出平面
平行运动的动力学方程
?
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?
?
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yC
xC
Fym
Fxm
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?? zzzzz MII ?? ???
Mz为诸外力 (包括约束反力 )对 z轴的力矩的和
由于外力一般是已知的,但约束反力是未知的, 所以要
联立约束方程,始能求解,
4 滚动摩擦
由于滚动物体和地面接触处的形变导
致反作用力不通过质心而造成的,
例 2 如图,将一根质量为 m的长杆用细绳从
两端水平地挂起来,其中一根绳子突然断了,
另一根绳内的张力是多少? T
解, 设杆子长 2l,质心运动定理和过质心轴的
角动量定理给出绳断的一刹那的运动方程,
?C
C
ITl
maTmg
?
??
因在此时悬绳未断的一端加速度为零,从而有
231 mlI C ?
laC ??
mgT 41??
例 3 如图,一半径为 R的乒乓球与水平面摩擦系数为 ?,开始时,用
手按球的上左侧,使球质心以 vC0向右运动,并具有逆时针方向的初
始角速度 ?0,设 vC0<2/3R ?0,试分析乒乓球以后的运动,
解, 开始时乒乓球与水平面的接触点 P具
有速度 vP0=vC0+R?0>0,乒乓球一边滑动,
一边倒着转动, 它在水平面方向受滑动摩
擦力 -?mg的作用,按照质心运动定理,有
( a ) 0 gtvvvmmamg CCCC ?? ?????? ?
利用 (a)和 (b)来分析乒乓球的运动
( b ) /230232 RgtmRIm g R C ?????? ?????? ??
vC0
?0 t=0
f
P P
vC
t=t1
对质心的摩擦擦力矩 -?mgR,对质心的转动方程为
(1) 当 t=t1=vC0/(?g),vC=0,?=?0 – 3vC0/(2R),据条件 vC0 < 2/3R?0,这
时 vC=0,? > 0,质心停止运动,绕质心的旋转方向没有变,
当 t > t1,vC<0,? > 0,质心开始倒退,但接触点 P的速度 vP=vC+ R?
> 0,滑动摩擦力方向向左,驱使 质心加速倒退,力矩继续减缓转动,
直到接触点 P的速度为零,
(2) vP为零的时刻 t2满足
? ?
g
vRtgtvt
R
gR C
C ?
???? 00
2020 5
2,0
2
3 ???????
?
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自 时刻 t2以后,乒乓球向后作无滑动滚动,如不考虑滚动摩擦,
质心速度和角速度恒定
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R
v
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CC
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2
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2
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例 4 如图,一半径为 R的圆木以 角速度 ?在水平面上作纯滚动,在前
进的路上撞在以高度为 h的台阶上, 设碰撞是完全非弹性的,即碰撞
后圆木不弹回,要圆木能够翻上台阶而又始终不跳离台阶,对台阶又
什么要求?
解, 碰撞前圆木质心速度 v0=R?0,圆木对
接触点的角动量为 IC?0+mv0(R-h),碰撞
后为 IA?,由角动量守恒得
02
00 )()( ???
mRI
hRmRI
I
hRmvI
C
C
A
C
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( a ) 3 23 0?? R hR ??
vC
?0
将圆柱体的转动惯量公式 IC=1/2mR2带入,得
(1) 圆木能够爬上台阶的条件是它碰撞后的动能足够大,
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( b ) 21 2 m g hI A ??
由 (a),(b)得
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12
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2
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0 hR
gh
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mRIm gh
C
C
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???
圆木不跳离台阶的条件是台阶的支撑力 N始终大于零, N在碰
撞的最初时刻最小,我们就来计算它,沿质心和接触点方向的
向心加速度是重力分量和支撑力造成的,所以
NmgmR ?? ?? s in2
由图知 sin?=1-h/R,从而有
? ? ? ? 03 23/1/1
2
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R
hRmRRhmgmRRhmgN
( d ) )23( )(9 220 hR ghR ???? ?
综合 (c),(d),得
2
2
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12
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hg
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要两个不等式同时成立,则必须
7
3
12)(9
R
h
hhR
??
??
否则,初始速度小了爬不上去,初始速度够大了,爬上去就跳了
起来,
作 业
3,9 3.12 3.16 3.20
刚体定轴转动
和平面平行运动
本讲导读
? 惯量椭球和惯量主轴
? 定轴转动角动量定理和机械能守恒律
? 定轴转动的轴上附加力
? 刚体平面平行运动的运动学
? 刚体平面平行运动的动力学
? 刚体平面平行运动时相对于质心的角动量定理
? 刚体平面平行运动时机械能守恒律
一、惯量张量和惯量椭球
对形状规则的刚体，将转动惯量写为积分形式
对通过空间某一点 O的轴线,
?,?,? 为转动瞬轴相对于坐
标轴的方向余弦,则
? ? mzyI xx d22? ??
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??? mzxII zxxz d
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一次算出轴转动惯 量 和惯量积,通过 O点 的 任一轴线的转动惯量 都 可 得 出,
三个轴转动惯量和六个惯量积作为统一的一个物
理量,代表刚体转动的惯性的量度，可以写为矩阵的
形式
并叫它惯量张量,元素叫惯量张量的组元 或 惯量系数,
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惯量系数是点坐标的函数,所以用静止的坐标系时,刚体
转动时,惯量系数随之而变, 通常选取固着在刚体上、并随着刚体
一同转动的动坐标系,这样,惯量系数都是常数．
显然可以把惯量积通过选取坐标轴的方向而消除,
如在转动轴上,截取线段
RIOQ ?? 1
I 为刚体绕该轴的转动惯量,则 Q点的坐标将是
??? RzRyRx ???,,
因过 O点有很多转轴,则有很多的 Q点，这些点的轨迹是
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这是一个中心在 O点的椭球,通常叫 惯量椭球,如 O为质心,
又叫 中心惯量椭球,
椭球有三个主轴,如坐标轴选取与之重合,则惯量积消失,
1232221 ??? zIyIxI
I1,I2,I3称为 O点上的主转动惯量, 此时,
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椭球与主轴交点的位矢 R的方向和椭球上该点法
线的方向重合, 这是解析几何里求二次曲面主轴的方
法,或线性代数里求本征值的方法, 在力学里,大都
是对称的均匀刚体,而这种刚体的惯量主轴,则可根
据对称性很方便地求出,
1 平动
(a)是平动,(b)不是平动
平动时刚体内所有点都有相同
的速度和加速度, 通常用质心的
运动来代表刚体整体的运动,
二、刚体的平动与绕固定轴的转动
2 定轴转动
刚体绕固定轴 z轴转动时,刚体中任何
一点 Pi,都在垂直于 z轴的平面内,即 xy平
面内作圆周运动, 设在 xy平面内,其一质
点的位矢是 ri,它和 z轴距离为 Ri,如果在
某一时刻,质点 Pi的线速度为 vi,则
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?是角加速度, 在定轴转动中,它的指向与角速度相同
或相反,并且也是沿着同一条转动轴线,
定轴转动的角动量定理为 ??
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有保守力作用的定轴转动的机械能为
EVI zz ??221 ?
3 定轴转动时轴上的附加压力
刚体绕定轴转动可以看作等价
于空间两点 A和 B保持不动时刚体的
运动, 显然是刚体受到了约束,可以
用动量定理和角动量定理来确定作
用在 A,B两点上的约束反力,
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最后一式是刚体绕定轴转
动的动力学方程,其 余五
式,用来求约束反力
前五式是如 0?? ?? ?
平衡方程,最后式子是平
衡条件,对应约束反力
是静力反作用力
如果要刚体转动时不在轴承上产生附加压力,当所有主
动力等于零时，反作用力也都应等于零，这样，就有
0
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们的系数行列式在转动时都不等于零,故 xC,yC及 Iyz,
Izx必须同时为零,即刚体的重心在转动轴上,而且转动
轴是惯量主轴, 这时,我们就说这样的刚体己达到了动
平衡,这时的转动轴叫做自由转动轴, 这时即使取消约
束刚体还是会绕着它继续转动,
例 1 涡轮可以看作是一个均质圆盘,由于安装不善,涡轮转动轴与
盘面法线成交角 ?＝ 1o,涡轮圆盘质量为 20千克,半径 0.2米,重心 O
在转轴上,O至两轴承 A与 B的距离均为 0.6米, 设轴以 12000转／分
的角速度匀速转动,试求轴承上的压力
解 选取坐标轴如图, 图中 x,y,z是固定的坐标轴,而 x’,y’,z’为几何
对称轴, 设在图示瞬间,y和 y’正好重合,
显然 0,0
'''' ????? yzxzzyCC IIIyx
又 0,0 ?? ??AzN
如以 O为参考点,则
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首先要求出 Izx,由坐标变换
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241''221'',mrImrI xxzz ???
?2s in281 mrI zx ???
这样,求解式 (1),得
??
??
2s i n
1
8
1
2s i n
1
8
1
0
22
22
mr
baba
m ag
N
mr
baba
m bg
N
NN
Bx
Ax
ByAy
?
?
?
?
?
?
?
?
??
在 NAx与 NBx式中第一项代表静力反作用,第二项代表动力
反作用,亦即轴上的附加压力, 把题给的数据代入得附加压
力
N5 4 0 02s i n181 22 ?? ?? ??mrba
而 静 力反作用之和只有 20× 9.8=196N,可见动力反作用对轴
承的危害 更 大,
1 平面平行运动运动学
刚体平面平行运动时,任一点都始终在平
行于某一固定平面的平面内运动, 只须研
究刚体中任一和固定平面平行的截面 (薄
片 )的运动,空间问题简化为平面问题,
三、刚体的平面平行运动
(i) 纯平动 薄片上任何一点的位移都是 'AA
(ii) 纯转动 薄片绕 A’点转动一个角度,'''' BAB?
薄片上一点速度,加速度
? ?0' rrvrvv AA ???????? ??????? ??
? ? ? ? 200 ?? rrrraa A ???????? ??????
A点加速度 相对切向加速度 相对向心加速度
A点常叫基点
任一时刻薄片上恒有一点速度为零,叫
做转动瞬心 (C),转动瞬心相对于 Oxy系
的坐标可从上式求得
??
Ax
C
Ay
C
vyyvxx ????
00,
2 转动瞬心
如果 ?＝ 0,则无转动瞬心,或者说,转动瞬心在无穷远处,
只要转动 瞬 心 C已 知,就 知道 薄片在此时的运动,因为
如果取 C为基点，则因 它 此时的 速 度为零,薄片将仅绕 C
转动而任意一点 P 的 速 度 大小 为 ??CP
过 A及 B作两直线分别垂直于 vA及 vB,
此两直线的交点即为转动瞬心,
3 平面平行运动动力学
质心作为基点,利用质心运动定理
和相对于质心的角动量定理写出平面
平行运动的动力学方程
?
?
?
?
?
yC
xC
Fym
Fxm
??
?? zzzzz MII ?? ???
Mz为诸外力 (包括约束反力 )对 z轴的力矩的和
由于外力一般是已知的,但约束反力是未知的, 所以要
联立约束方程,始能求解,
4 滚动摩擦
由于滚动物体和地面接触处的形变导
致反作用力不通过质心而造成的,
例 2 如图,将一根质量为 m的长杆用细绳从
两端水平地挂起来,其中一根绳子突然断了,
另一根绳内的张力是多少? T
解, 设杆子长 2l,质心运动定理和过质心轴的
角动量定理给出绳断的一刹那的运动方程,
?C
C
ITl
maTmg
?
??
因在此时悬绳未断的一端加速度为零,从而有
231 mlI C ?
laC ??
mgT 41??
例 3 如图,一半径为 R的乒乓球与水平面摩擦系数为 ?,开始时,用
手按球的上左侧,使球质心以 vC0向右运动,并具有逆时针方向的初
始角速度 ?0,设 vC0<2/3R ?0,试分析乒乓球以后的运动,
解, 开始时乒乓球与水平面的接触点 P具
有速度 vP0=vC0+R?0>0,乒乓球一边滑动,
一边倒着转动, 它在水平面方向受滑动摩
擦力 -?mg的作用,按照质心运动定理,有
( a ) 0 gtvvvmmamg CCCC ?? ?????? ?
利用 (a)和 (b)来分析乒乓球的运动
( b ) /230232 RgtmRIm g R C ?????? ?????? ??
vC0
?0 t=0
f
P P
vC
t=t1
对质心的摩擦擦力矩 -?mgR,对质心的转动方程为
(1) 当 t=t1=vC0/(?g),vC=0,?=?0 – 3vC0/(2R),据条件 vC0 < 2/3R?0,这
时 vC=0,? > 0,质心停止运动,绕质心的旋转方向没有变,
当 t > t1,vC<0,? > 0,质心开始倒退,但接触点 P的速度 vP=vC+ R?
> 0,滑动摩擦力方向向左,驱使 质心加速倒退,力矩继续减缓转动,
直到接触点 P的速度为零,
(2) vP为零的时刻 t2满足
? ?
g
vRtgtvt
R
gR C
C ?
???? 00
2020 5
2,0
2
3 ???????
?
??
?
? ?
自 时刻 t2以后,乒乓球向后作无滑动滚动,如不考虑滚动摩擦,
质心速度和角速度恒定
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
?????
R
v
R
v
vRgtvv
CC
CCC
0
0
0020
2
3
5
2
2
3
5
2
??
??
例 4 如图,一半径为 R的圆木以 角速度 ?在水平面上作纯滚动,在前
进的路上撞在以高度为 h的台阶上, 设碰撞是完全非弹性的,即碰撞
后圆木不弹回,要圆木能够翻上台阶而又始终不跳离台阶,对台阶又
什么要求?
解, 碰撞前圆木质心速度 v0=R?0,圆木对
接触点的角动量为 IC?0+mv0(R-h),碰撞
后为 IA?,由角动量守恒得
02
00 )()( ???
mRI
hRmRI
I
hRmvI
C
C
A
C
?
??????
( a ) 3 23 0?? R hR ??
vC
?0
将圆柱体的转动惯量公式 IC=1/2mR2带入,得
(1) 圆木能够爬上台阶的条件是它碰撞后的动能足够大,
hN
( b ) 21 2 m g hI A ??
由 (a),(b)得
? ?
? ? ( c ) )23(
12
)(
2
22
2
2
0 hR
gh
hRmRI
mRIm gh
C
C
????
???
圆木不跳离台阶的条件是台阶的支撑力 N始终大于零, N在碰
撞的最初时刻最小,我们就来计算它,沿质心和接触点方向的
向心加速度是重力分量和支撑力造成的,所以
NmgmR ?? ?? s in2
由图知 sin?=1-h/R,从而有
? ? ? ? 03 23/1/1
2
0
2 ?
??
?
??
? ??????? ??
R
hRmRRhmgmRRhmgN
( d ) )23( )(9 220 hR ghR ???? ?
综合 (c),(d),得
2
2
02 )23(
12
)23(
)(9
hR
hg
hR
ghR
????
? ?
要两个不等式同时成立,则必须
7
3
12)(9
R
h
hhR
??
??
否则,初始速度小了爬不上去,初始速度够大了,爬上去就跳了
起来,
作 业
3,9 3.12 3.16 3.20
