一,函数的概念
二,函数的特性
五,小结与思考判断题
三,函数的运算
四,初等函数
第一节 函 数
因变量 自变量
定义 1 设 和 是两个变量,是一个给定的
数集，如果对于每个数,变量 按照一定
法则总有确定的数值和它对应，则称 是 的函
数，记作
Dx y
Dx? y
y x
)( xfy ? 数集 D叫做这个函数的 定义域
函数值全体组成的数集
0x当 时, 称 为函数在 的 函数值, Dx ?0 )( 0xf
}),({ DxxfyyW ??? 称为函数的 值域,
一、函数的概念
(
(
)
)
0x
)( 0xf
自变量
因变量
对应法则 f
1,函数的两要素, 定义域与对应法则,
x
y
D
W
约定 定义域是自变量所能取的使算式有意义
的一切实数值,
21
1
xy ?? )1,1(,?D例如
21 xy ?? ]1,1[,?D例如
如果自变量在定义域内任取一个数值
时，对应的函数值总是只有一个，这种函
数叫做 单值函数, 否则叫与 多值函数,
函数的表示方法, 1） 表格法
2） 图形法
3） 解析法
2,单值函数与多值函数
,222 ayx ?? 22 xay ???例如
例 1 符号函数
?
?
?
?
?
??
?
?
??
01
00
01
s gn
x
x
x
xy
当
当
当
3,几个特殊的函数举例
1
-1
x
y
o
xxx ?? sgn
1 2 3 4 5
-2
-4
-4 -3 -2 -1
4
3
2
1 -1
-3
x
y
o
阶梯曲线
例 2 取整函数 y=[x]
[x]表示不超过 的最大
整数,
x
在 为整数值处,图形发生跳跃,跃度为 1,x
??
???
是无理数时当
是有理数时当
x
xxDy
0
1)(
有理数点 无理数点
? 1 x
y
o
例 3 狄利克雷函数
如果函数在不同的定义区间上用不同的解析式
子表示称为 分段函数,例 1至例 3均是分段函数,
二、函数的特性
M
-M
y
x o
y=f(x)
X 有界 无界
M
-M
y
x o X 0
x
,)(,,0,成立有若 MxfXxMDX ??????
1.函数的有界性
..)( 否则称无界上有界在则称函数 Xxf
2．函数的单调性,
,,)( DIDxf ?区间的定义域为设函数
,,2121 时当及上任意两点如果对于区间 xxxxI ?;)( 上是单调增加的在区间则称函数 Ixf
)1( )()( 21 xfxf ?恒有
)(xfy ?
)( 1xf
)( 2xf
x
y
o
I
)(xfy ?
)( 1xf
)( 2xf
x
y
o
I;)( 上是单调减少的在区间则称函数 Ixf
,,)( DIDxf ?区间的定义域为设函数
时,当及上任意两点如果对于区间 2121,xxxxI ?
)2( )()( 21 xfxf ?恒有
例如,函数 在 内是单调增
加的,如图所示,
3)( xxf ? ),( ????
例如,函数 在 内是单调减少
的,在 内是单调增加的,如图所示,
2)( xxf ? )0,(??
),0( ??
3．函数的奇偶性,
偶函数
有对于关于原点对称设,,DxD ??
)()( xfxf ??
y
x
)( xf ?
)( xfy ?
o x -x
)(xf;)( 为偶函数称 xf
偶函数的图形关于 轴对称, y
有对于关于原点对称设,,DxD ??
)()( xfxf ??? ;)( 为奇函数称 xf
奇函数
)( xf ?
y
x
)(xf
o x
-x
)( xfy ?
奇函数的图形对称于原点,
不满足上述性质的函数为 非奇非偶函数,
例如
与 是奇函数 ； xxf s i n)( ?3)( xxf ?
与 是偶函数 ； 2)( xxf ? xxf c o s)( ?
1si n)( ?? xxf xxxf c o ssi n)( ?? 与
是非奇非偶函数,
4．函数的周期性,
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）,
,)( Dxf 的定义域为设函数 如果存在一个不为零的
.)()( 恒成立且 xflxf ??
为周则称 )( xf,)(,,DlxDxl ???使得对于任一数
.)(,的周期称为期函数 xfl
2l? 2l23l? 23l
例如
函数 都是以 为周期的周期函数,,sin x xcos ?2
函数 都是以
为周期的周期函数,
,tan x,cot x ?|,si n| x |cos| x
并非所有的周期函数都有最小正周期,
例如函数 ( 为常数 )及狄利克雷
(Dirichlet)函数
cxf ?)( c
为有理数
?
?
??
0
1)( xD
为无理数
x
x
均为周期函数,但没有最小正周期,
三、函数的运算
对函数除了可以作加，减，乘，除四则运算之
外，还有复合运算与求反函数的运算,
定义 2 设函数 )( ufy ? )( xgu ?的定义域与
的值域的交集非空，则 )]([ xgfy ? 是
),( ufy ? )( xgu ? 的复合函数,
例如 2xy a r c s i n? 可看作由 2xuuy ??,a r c s i n
复合而成,
注, 不是任何函数都可以复合成一个函数 。
例 4 设,si n)(,)( 2 xxguufy ??? 求 )].([ xgf
解 由于 的值域 xxgu s i n)( ?? ].1,1[)( ??Dg
的定义域 为 2)( uufy ?? fD ).,( ????
显然,)( fDDg ?故可进行复合运算，即
xxfxgf 2si n)( si n)]([ ??
例 5 设,si n)(,)( 2 xxxxf ?? ?求
)],([)],([)],([)],([ xxfxffxf ????
解 显然给出的函数符合复合的条件，因此;si n)()]([ 22 xxxf ?? ??;)()]([)]([ 4222 xxxfxff ???;si n)](si n[)]([ 2xxfxf ???
).s i n (si n)](s i n [)]([ xxx ?? ???
例 6 设,2)(,a r c si n)( 2 ????? xxuuufy ?
求 ) ],([ xf ?
的定义域 为 uuf a r c s i n)( ? fD fDD ?? )(],1,1[ ?
是没有意义的,
不满足复合函数定义的条件，从而
)2a r c si n()]([ 2 ?? xxf ?
，2)( 2 ?? xx? 由于解 ),2[)( ???D?
例 7 已知 求,
1)1(
2
2
xxxxf ??? ).( xf
解 2)1(1)1( 222 ?????? xxxxxxf因为
故,2)( 2 ?? xxf
例 8 函数 是由哪些函数复合而
成的,
21ln xy ??
解 显然, 21ln xy ?? 是由
21,,ln xvvuuy ????
复合而成,
定义 3 设函数 的值域为,
如果对于每一个,根据关系 能
确定唯一的,则称得到的新函数
为 的反函数,亦称 与
互为反函数,函数的反函数常记为
Dxxfy ?? ),( R
Ry? )( xfy ?
Dx? )( xx ??
)( xfy ? )( xfy ? )( xx ??
).(1 xfy ??
相对于反函数 来说，原来的函数
称为 直接函数,它们图形的关系如下所示,
)(1 xfy ??
x
y
D
W
)( xfy ?函数
o x
y
D
W
)( yx ??反函数
o
)( xfy ?直接函数
x
y
o
),( abQ
),( baP
)( xy ??反函数
直接函数与反函数的图形关于直线 对称, xy ?
函数 在 上没有反函数,
但在 及 上分别有反函数
及,
2xy ? ),( ????
]0,(?? ),0[ ??
yx ?
yx ??
又 在 上没有反函数,
只是在 上的反函数,
2xy ? ),( ????
yx a r c s i n?
)2,2[ ???
例 9 求函数 的反函数, )(21)( xx eexf ???
解 则 令 ),(21 xx eey ???
0122 ??? xx yee
12 ??? yye x (舍去, -”)
)1l n ( 2 ??? yyx
将字母 与 互换,得 yx )1l n ( 2 ??? xxy
)1l n ()( 21 ???? xxxf即
1.基本初等函数
c
x
y
O
（ 1）常数函数 cy ? 如下图所示,
四、初等函数
2.幂函数 )( 是常数?? ?xy
o x
y
)1,1(
1
12xy ?
xy?
xy
1?
xy ?
3.指数函数 )1,0( ??? aaay x
xay ?
x
ay )
1(?
)1( ?a
)1,0(?
xey ?
4.对数函数 )1,0(lo g ??? aaxy a xy ln?
xy alo g?
xy
a
1lo g?
)1( ?a)0,1(?
对数函数与指数函数互为反函数,
5.三角函数
正弦函数
xy sin?
xy s in?
xy cos?
xy c o s?余弦函数
正切函数 xy t a n?
xy tan?
xy c o t?余切函数
xy co t?
正割函数 xy s e c?
xy se c?
xy c s c?余割函数
xy csc?
它们均为周期函数,和 有界,其余三
角函数无界, 为奇函数,
为偶函数,
,sin x xcos
,sin x,tan x xcsc
,cos x,cot x xsec
6.反三角函数
xy a r c si n?
xy a r c s i n?反正弦函数
xy a r c c o s?
xy arcco s?反余弦函数
xy a r c ta n?
xy arctan?反正切函数
xy cot?反余切函数 arc
是单调递增的,xa r c si n,a r c t a n x
是单调递减的,,a r c c o s x xa r c c o t
它们均为有界函数,
2.初等函数
由基本初等函数经有限次四则运算和有限
次复合运算所得到的并可用一个式子表示的函
数, 称为 初等函数,例如
,1)( 2xxxf ??
),1(l o g)1(2)( 21s in 2 xxxg x ???? ?
111a r c t a n21si n)( 2
2
2
2 ?
?
??? ?
x
x
xex
x?
设 都是初等函数，则幂指函数
也是初等函数,
)(),( xvxu
)()( xvxu
应用上还常遇到另一种初等函数,
双曲函数与反双曲函数
xy c osh?
xy si nh?
1.双曲函数
xey
2
1?
xey ??
2
1
2s i n h
xx ee
x
??
?双曲正弦
奇函数, ),,(,????D
在 内单调增加, ),( ????
),,(,????D
2co s h
xx ee
x
??
?双曲余弦
偶函数,
在 内单调减少, )0,(??
在 内单调增加, ),0( ??
xx
xx
ee
ee
x
xx
?
?
?
???
c o sh
si n ht a n h双曲正切
奇函数,),(,????D 有界函数,
在 内单调增加, ),( ????
双曲函数常用公式;s in hc o s hc o s hs in h)s in h ( yxyxyx ???;s in hs in hc o s hc o s h)c o s h ( yxyxyx ???;1s i n hc o s h 22 ?? xx;c o s hs in h22s in h xxx ?
.si n hco sh2co sh 22 xxx ??
2.反双曲函数
奇函数,
),(,????D
.),( 内单调增加在 ????;s i n h xy ?反双曲正弦 ar
).1l n (
s i n h
2 ???
?
xx
xy ar si nhar? xy
.),1[ 内单调增加在 ??
),1[,??D
?y反双曲余弦 coshar
).1l n (
co sh
2 ???
?
xx
xy ar
x
coshar x?y
.11ln21 xx???
)1,1(,?D
奇函数,
.)1,1( 内单调增加在 ?
?y反双曲正切 ta nhar
xy t a n h?ar
x
tanhar x?y
五 小结与思考判断题
1.函数的分类
非初等函数 (分段函数,有无穷多项等函数 )
有理整函数 (多项式函数 )
有理分函数 (分式函数 )
初等函数 {
（ 1） 分段函数都不是初等函数 。
（ 2） 由基本初等函数，经过无限次四则
运算而成的函数不是初等函数。
2.思考判断
解答, （ 1）错误,例如 是分段函数,然
而也初等函数,
|| xy ?
（ 2）错误,是初等函数,
二,函数的特性
五,小结与思考判断题
三,函数的运算
四,初等函数
第一节 函 数
因变量 自变量
定义 1 设 和 是两个变量,是一个给定的
数集，如果对于每个数,变量 按照一定
法则总有确定的数值和它对应，则称 是 的函
数，记作
Dx y
Dx? y
y x
)( xfy ? 数集 D叫做这个函数的 定义域
函数值全体组成的数集
0x当 时, 称 为函数在 的 函数值, Dx ?0 )( 0xf
}),({ DxxfyyW ??? 称为函数的 值域,
一、函数的概念
(
(
)
)
0x
)( 0xf
自变量
因变量
对应法则 f
1,函数的两要素, 定义域与对应法则,
x
y
D
W
约定 定义域是自变量所能取的使算式有意义
的一切实数值,
21
1
xy ?? )1,1(,?D例如
21 xy ?? ]1,1[,?D例如
如果自变量在定义域内任取一个数值
时，对应的函数值总是只有一个，这种函
数叫做 单值函数, 否则叫与 多值函数,
函数的表示方法, 1） 表格法
2） 图形法
3） 解析法
2,单值函数与多值函数
,222 ayx ?? 22 xay ???例如
例 1 符号函数
?
?
?
?
?
??
?
?
??
01
00
01
s gn
x
x
x
xy
当
当
当
3,几个特殊的函数举例
1
-1
x
y
o
xxx ?? sgn
1 2 3 4 5
-2
-4
-4 -3 -2 -1
4
3
2
1 -1
-3
x
y
o
阶梯曲线
例 2 取整函数 y=[x]
[x]表示不超过 的最大
整数,
x
在 为整数值处,图形发生跳跃,跃度为 1,x
??
???
是无理数时当
是有理数时当
x
xxDy
0
1)(
有理数点 无理数点
? 1 x
y
o
例 3 狄利克雷函数
如果函数在不同的定义区间上用不同的解析式
子表示称为 分段函数,例 1至例 3均是分段函数,
二、函数的特性
M
-M
y
x o
y=f(x)
X 有界 无界
M
-M
y
x o X 0
x
,)(,,0,成立有若 MxfXxMDX ??????
1.函数的有界性
..)( 否则称无界上有界在则称函数 Xxf
2．函数的单调性,
,,)( DIDxf ?区间的定义域为设函数
,,2121 时当及上任意两点如果对于区间 xxxxI ?;)( 上是单调增加的在区间则称函数 Ixf
)1( )()( 21 xfxf ?恒有
)(xfy ?
)( 1xf
)( 2xf
x
y
o
I
)(xfy ?
)( 1xf
)( 2xf
x
y
o
I;)( 上是单调减少的在区间则称函数 Ixf
,,)( DIDxf ?区间的定义域为设函数
时,当及上任意两点如果对于区间 2121,xxxxI ?
)2( )()( 21 xfxf ?恒有
例如,函数 在 内是单调增
加的,如图所示,
3)( xxf ? ),( ????
例如,函数 在 内是单调减少
的,在 内是单调增加的,如图所示,
2)( xxf ? )0,(??
),0( ??
3．函数的奇偶性,
偶函数
有对于关于原点对称设,,DxD ??
)()( xfxf ??
y
x
)( xf ?
)( xfy ?
o x -x
)(xf;)( 为偶函数称 xf
偶函数的图形关于 轴对称, y
有对于关于原点对称设,,DxD ??
)()( xfxf ??? ;)( 为奇函数称 xf
奇函数
)( xf ?
y
x
)(xf
o x
-x
)( xfy ?
奇函数的图形对称于原点,
不满足上述性质的函数为 非奇非偶函数,
例如
与 是奇函数 ； xxf s i n)( ?3)( xxf ?
与 是偶函数 ； 2)( xxf ? xxf c o s)( ?
1si n)( ?? xxf xxxf c o ssi n)( ?? 与
是非奇非偶函数,
4．函数的周期性,
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）,
,)( Dxf 的定义域为设函数 如果存在一个不为零的
.)()( 恒成立且 xflxf ??
为周则称 )( xf,)(,,DlxDxl ???使得对于任一数
.)(,的周期称为期函数 xfl
2l? 2l23l? 23l
例如
函数 都是以 为周期的周期函数,,sin x xcos ?2
函数 都是以
为周期的周期函数,
,tan x,cot x ?|,si n| x |cos| x
并非所有的周期函数都有最小正周期,
例如函数 ( 为常数 )及狄利克雷
(Dirichlet)函数
cxf ?)( c
为有理数
?
?
??
0
1)( xD
为无理数
x
x
均为周期函数,但没有最小正周期,
三、函数的运算
对函数除了可以作加，减，乘，除四则运算之
外，还有复合运算与求反函数的运算,
定义 2 设函数 )( ufy ? )( xgu ?的定义域与
的值域的交集非空，则 )]([ xgfy ? 是
),( ufy ? )( xgu ? 的复合函数,
例如 2xy a r c s i n? 可看作由 2xuuy ??,a r c s i n
复合而成,
注, 不是任何函数都可以复合成一个函数 。
例 4 设,si n)(,)( 2 xxguufy ??? 求 )].([ xgf
解 由于 的值域 xxgu s i n)( ?? ].1,1[)( ??Dg
的定义域 为 2)( uufy ?? fD ).,( ????
显然,)( fDDg ?故可进行复合运算，即
xxfxgf 2si n)( si n)]([ ??
例 5 设,si n)(,)( 2 xxxxf ?? ?求
)],([)],([)],([)],([ xxfxffxf ????
解 显然给出的函数符合复合的条件，因此;si n)()]([ 22 xxxf ?? ??;)()]([)]([ 4222 xxxfxff ???;si n)](si n[)]([ 2xxfxf ???
).s i n (si n)](s i n [)]([ xxx ?? ???
例 6 设,2)(,a r c si n)( 2 ????? xxuuufy ?
求 ) ],([ xf ?
的定义域 为 uuf a r c s i n)( ? fD fDD ?? )(],1,1[ ?
是没有意义的,
不满足复合函数定义的条件，从而
)2a r c si n()]([ 2 ?? xxf ?
，2)( 2 ?? xx? 由于解 ),2[)( ???D?
例 7 已知 求,
1)1(
2
2
xxxxf ??? ).( xf
解 2)1(1)1( 222 ?????? xxxxxxf因为
故,2)( 2 ?? xxf
例 8 函数 是由哪些函数复合而
成的,
21ln xy ??
解 显然, 21ln xy ?? 是由
21,,ln xvvuuy ????
复合而成,
定义 3 设函数 的值域为,
如果对于每一个,根据关系 能
确定唯一的,则称得到的新函数
为 的反函数,亦称 与
互为反函数,函数的反函数常记为
Dxxfy ?? ),( R
Ry? )( xfy ?
Dx? )( xx ??
)( xfy ? )( xfy ? )( xx ??
).(1 xfy ??
相对于反函数 来说，原来的函数
称为 直接函数,它们图形的关系如下所示,
)(1 xfy ??
x
y
D
W
)( xfy ?函数
o x
y
D
W
)( yx ??反函数
o
)( xfy ?直接函数
x
y
o
),( abQ
),( baP
)( xy ??反函数
直接函数与反函数的图形关于直线 对称, xy ?
函数 在 上没有反函数,
但在 及 上分别有反函数
及,
2xy ? ),( ????
]0,(?? ),0[ ??
yx ?
yx ??
又 在 上没有反函数,
只是在 上的反函数,
2xy ? ),( ????
yx a r c s i n?
)2,2[ ???
例 9 求函数 的反函数, )(21)( xx eexf ???
解 则 令 ),(21 xx eey ???
0122 ??? xx yee
12 ??? yye x (舍去, -”)
)1l n ( 2 ??? yyx
将字母 与 互换,得 yx )1l n ( 2 ??? xxy
)1l n ()( 21 ???? xxxf即
1.基本初等函数
c
x
y
O
（ 1）常数函数 cy ? 如下图所示,
四、初等函数
2.幂函数 )( 是常数?? ?xy
o x
y
)1,1(
1
12xy ?
xy?
xy
1?
xy ?
3.指数函数 )1,0( ??? aaay x
xay ?
x
ay )
1(?
)1( ?a
)1,0(?
xey ?
4.对数函数 )1,0(lo g ??? aaxy a xy ln?
xy alo g?
xy
a
1lo g?
)1( ?a)0,1(?
对数函数与指数函数互为反函数,
5.三角函数
正弦函数
xy sin?
xy s in?
xy cos?
xy c o s?余弦函数
正切函数 xy t a n?
xy tan?
xy c o t?余切函数
xy co t?
正割函数 xy s e c?
xy se c?
xy c s c?余割函数
xy csc?
它们均为周期函数,和 有界,其余三
角函数无界, 为奇函数,
为偶函数,
,sin x xcos
,sin x,tan x xcsc
,cos x,cot x xsec
6.反三角函数
xy a r c si n?
xy a r c s i n?反正弦函数
xy a r c c o s?
xy arcco s?反余弦函数
xy a r c ta n?
xy arctan?反正切函数
xy cot?反余切函数 arc
是单调递增的,xa r c si n,a r c t a n x
是单调递减的,,a r c c o s x xa r c c o t
它们均为有界函数,
2.初等函数
由基本初等函数经有限次四则运算和有限
次复合运算所得到的并可用一个式子表示的函
数, 称为 初等函数,例如
,1)( 2xxxf ??
),1(l o g)1(2)( 21s in 2 xxxg x ???? ?
111a r c t a n21si n)( 2
2
2
2 ?
?
??? ?
x
x
xex
x?
设 都是初等函数，则幂指函数
也是初等函数,
)(),( xvxu
)()( xvxu
应用上还常遇到另一种初等函数,
双曲函数与反双曲函数
xy c osh?
xy si nh?
1.双曲函数
xey
2
1?
xey ??
2
1
2s i n h
xx ee
x
??
?双曲正弦
奇函数, ),,(,????D
在 内单调增加, ),( ????
),,(,????D
2co s h
xx ee
x
??
?双曲余弦
偶函数,
在 内单调减少, )0,(??
在 内单调增加, ),0( ??
xx
xx
ee
ee
x
xx
?
?
?
???
c o sh
si n ht a n h双曲正切
奇函数,),(,????D 有界函数,
在 内单调增加, ),( ????
双曲函数常用公式;s in hc o s hc o s hs in h)s in h ( yxyxyx ???;s in hs in hc o s hc o s h)c o s h ( yxyxyx ???;1s i n hc o s h 22 ?? xx;c o s hs in h22s in h xxx ?
.si n hco sh2co sh 22 xxx ??
2.反双曲函数
奇函数,
),(,????D
.),( 内单调增加在 ????;s i n h xy ?反双曲正弦 ar
).1l n (
s i n h
2 ???
?
xx
xy ar si nhar? xy
.),1[ 内单调增加在 ??
),1[,??D
?y反双曲余弦 coshar
).1l n (
co sh
2 ???
?
xx
xy ar
x
coshar x?y
.11ln21 xx???
)1,1(,?D
奇函数,
.)1,1( 内单调增加在 ?
?y反双曲正切 ta nhar
xy t a n h?ar
x
tanhar x?y
五 小结与思考判断题
1.函数的分类
非初等函数 (分段函数,有无穷多项等函数 )
有理整函数 (多项式函数 )
有理分函数 (分式函数 )
初等函数 {
（ 1） 分段函数都不是初等函数 。
（ 2） 由基本初等函数，经过无限次四则
运算而成的函数不是初等函数。
2.思考判断
解答, （ 1）错误,例如 是分段函数,然
而也初等函数,
|| xy ?
（ 2）错误,是初等函数,
