第九节 连续函数的性质
一 连续函数的运算性质
二 闭区间上连续函数的性质
三 小结与思考判断题
定理 1
处也连续.在点
则
处连续在点若函数
0
0
0
)0)((
)(
)(
),()(),()(
,)(),(
x
xg
xg
xf
xgxfxgxf
xxgxf
???
例如,,),(c o s,s in 内连续在 ????xx
.csc,sec,cot,tan 在其定义域内连续故 xxxx
1、四则运算的连续性
一、连续函数的运算性质
定理 2 严格单调的连续函数必有严格单调的连
续反函数,
例如,,]2,2[si n 上单调增加且连续在 ???? xy
.]1,1[a r c s in 上也是单调增加且连续在故 ?? xy;]1,1[a r c c o s 上单调减少且连续在同理 ?? xy
.],[c o t,a r c t a n 上单调且连续在 ?????? xa r cyxy
反三角函数在其定义域内皆连续,
2、反函数与复合函数的连续性
定理 3
)].(lim[)()]([lim
)(,)(lim
00
0
xfafxf
aufax
xxxx
xx
??
?
??
?
??
?
则有
连续,在点函数若
证,)( 连续在点 auuf ??
.)()(
,,0,0
成立恒有
时使当
?
???
??
??????
afuf
au
,)(lim 0 axxx ?? ??又
,0,0,0 0 时使当对于 ??? ?????? xx
.)( 成立恒有 ?? ???? auax
将上两步合起来,
,0,0,0 0 时使当 ??? ??????? xx
)()]([)()( afxfafuf ??? ?.成立??
)()]([lim 0 afxfxx ?? ? ? ) ],(lim[
0
xf xx ???
意义 1.极限符号可以与函数符号互换 ;
.))((.2 的理论依据变量代换 xu ??
例 1,)1l n (lim 0 x xx ??求
.1?
x
x x
1
0 )1l n (l i m ?? ?原式
])1(liml n [ 10 xx x?? ?eln?
解
例 2,1l i m 0 xe
x
x
?
?
求
解,1 ye x ??令 ),1ln( yx ??则
.1? )1l n (lim
0 y
y
y ?
?
?
原式
.0,0 ?? yx 时当
y
y
y
10
)1l n (
1l i m
?
?
?
同理可得,ln1lim 0 axa
x
x
??
?
也连续.在点则复合函数
连续在点而函数
且连续,在点设函数
0
000
0
)]([
,)(,)(
)(
xxxfy
uuufyux
xxxu
??
???
??
?
?
?
定理 4
注意 定理 4是定理 3的特殊情况,
例如,,),0()0,(1 内连续在 ????? ?xu
,),(s in 内连续在 ????? uy
.),0()0,(1si n 内连续在 ?????? ?xy
三角函数及反三角函数在它们的定义域内是
连续的,
（ 1）
)1,0( ??? aaay x指数函数;),( 内单调且连续在 ????
（ 2）
)1,0(lo g ??? aaxy a对数函数;),0( 内单调且连续在 ??
（ 3）
3、初等函数的连续性
定理 5 基本初等函数在定义域内是连续的,
定理 6 一切初等函数在其 定义区间 内都是连
续的,
定义区间是指包含在定义域内的区间,
?xy ? xaa lo g??,uay ?,l o g xu a??
,),0( 内连续在 ?? 不同值讨论 ?
(均在其定义域内连续 )
（ 4）
例如,,1c o s ?? xy ?,4,2,0,?????xD
这些孤立点的邻域内没有定义,
,)1( 32 ?? xxy,1,0,?? xxD 及
在 0点的邻域内没有定义,
.),1[ 上连续函数在区间 ??
1,初等函数仅在其定义区间内连续,在
其定义域内不一定连续 ;
注意
注意 2,初等函数求极限的方法可用 代入法,
例 3,1s i nl i m
1 ??
x
x e求
1s i n 1 ?? e原式,s i ?? e解
例 4,11l i m
2
0 x
x
x
??
?
求
解 )11( )11)(11(lim 2
22
0 ??
?????
? xx
xx
x
原式
11lim 20 ??? ? x
x
x 2
0?,0?
)()()(lim 00
0
定义区间??? xxfxfxx
解 由初等函数分段定义的函数，在分段区间的
内部（开区间）函数是连续的，但对各段分界
点处可能连续，可能间断,需要从计算左右极限
入手进行讨论,由于
例 5 研究函数
?
?
??
x
xxf 2)(
1
1
?
?
x
x
的连续性，并求出连续区间,
?
?
?
?
?
?
x
x
x
xf 2)(
1
11
1
?
???
??
x
x
x
分界点为,
1??x
???? )(lim 1 xfx 1lim1 ???? xx ???? )(lim 1 xfx 1lim 21 ???? xx
???? )(lim 1 xfx )(lim1 xfx ???
所以 在 处间断, )(xf 1??x
??? )(lim 1 xfx 1lim1 ??? xx?? )(lim 1 xfx 1lim 21 ??? xx
??? )(lim 1 xfx )(lim1 xfx ??
所以 在 处连续,从而函数 在连
续区间 和, )1,( ??? ),1( ???
)(xf )(xf1?x
二 闭区间上连续函数的性质
-0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75
-1
-0.5
0.5
1
在闭区间 [a,b]上连续,
在 (a,b) 内连续，在 a点右连续，在 b
点左连续,
)( xf函数
)( xf函数
１ 闭区间上连续函数的定义
２、最大值和最小值定理
定义,
上的最大( 小) 值.在区间是函数则称
都有使得对于任一如果有
上有定义的函数对于在区间
Ixfxf
xfxfxfxf
IxIx
xfI
)()(
))()(()()(
,
),(
0
00
0
??
??
例如,
,s g n xy ?,),( 上在 ????
,2m a x ?y;1m in ??y
,),0( 上在 ??,1m i nm a x ?? yy
,s in1 xy ??,]2,0[ 上在 ? ;0m in ?y
,1m a x ?y
定理 1(最大值和最小值定理 ) 在闭区间上连续
的函数一定有最大值和最小值,
a b2? 1? x
y
o
)(xfy ?
).()(
),()(
],,[
],,[,
],,[)(
2
1
21
xff
xff
bax
ba
baCxf
?
?
??
??
?
?
?
??
有
使得
则
若
注意,1.若区间是开区间,定理不一定成立 ;
2.若区间内有间断点,定理不一定成立,
x
y
o
)(xfy ?
21
1
x
y
o 2?
)(xfy ?
定理 2(有界性定理 ) 在闭区间上连续的函数一定
在该区间上有界,
证,],[)( 上连续在设函数 baxf ],,[ bax ??
,)( Mxfm ??有 },,m a x { MmK ?取
.)( Kxf ?则有,],[)( 上有界在函数 baxf?
二、介值定理
定理 3( 零点定理 ) 设函数 )( xf 在闭区间 ? ?ba,
上连续，且 )( af 与 )( bf 异号 ( 即 0)()( ?? bfaf ),
那末在开区间 ? ?ba,内至少有函数 )( xf 的一个零
点,即至少有一点 ? )( ba ???,使 0)( ??f,
定义,
.)(
,0)( 000
的零点
称为函数则使如果
xf
xxfx ?
,内至少存在一个实根 在 即方程 0)( ?xf ),( ba
a b3?2?1?
几何解释,
.
,
)(
轴至少有一个交点线弧与
则曲轴的不同侧端点位于
的两个连续曲线弧
x
x
xfy ?
x
y
o
)(xfy ?
定理 4( 介值定理 ) 设函数 )( xf 在闭区间
? ?ba,上连续，且在这区间的端点取不同的函
数值
Aaf ?)( 及 Bbf ?)(,
那末，对于 A 与
B
之间的任意一个数 C, 在开
区 间 ? ?ba,内至少有一点 ?,使得 Cf ?)( ?
)( ba ???,
几何解释,
M
B
C
A
m
a
b 1? 2? 3? 2x1x x
y
o
)( xfy ?
证,)()( Cxfx ???设
,],[)( 上连续在则 bax?
Cafa ?? )()(?且
,CA ??
Cbfb ?? )()(?,CB ??
,0)()( ??? ba ?? 由零点定理,使),,( ba?? ?
,0)( ???,0)()( ??? Cf ???即,)( Cf ?? ?
.
)(
至少有一个交点直线
与水平连续曲线弧
Cy
xfy
?
?
例 1
.
)1,0(014 23
至少有一根
内在区间证明方程 ??? xx
证,14)( 23 ??? xxxf令,]1,0[)( 上连续在则 xf
,01)0( ??f又,02)( ???f 由零点定理,
使),,( ba?? ?,0)( ??f,014 23 ??? ??即
.)1,0(014 23 ?内至少有一根在方程 ???? xx
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大
值 与最小值 之间的任何值, M m
,0?
,0?
证,)()( xxfxF ??令,],[)( 上连续在则 baxF
aafaF ?? )()(而
由零点定理,
使),,( ba?? ?,0)()( ??? ??? fF
bbfbF ?? )()(
.)( ?? ?f即
.)(),,(.)(
,)(,],[)(
??? ????
?
fbabbf
aafbaxf
使得证明
且上连续在区间设函数例７
例８
证明：
若
在
上连
续,
则在
)(xf ],[ba bxxxa n????? ?21],[
21xx ? n xfxfxff n)()()()( 21 ???? ??
证
因为
在闭
区间
上连
)(xf ],[1nxx
)(m i n
1
xfm
nxxx ??
? )(m a x
1
xfM
nxxx ??
?
Mn xfxfxfm n ????? )()()( 21 ?
显然
根据介质定理的推论，至少存在一点 ],[ 21 xx??
使
n
xfxfxff n )()()()( 21 ???? ??
三,小结与思考判断题
小结
连续函数的和差积商的连续性
反函数的连续性，复合函数的连续性
初等函数的连续性，利用连续性求极限
有界性定理，最值定理，介质定理，根的存在性
定理
思考题一 设 xxf s g n)( ?, 21)( xxg ??,试研
究复合函数 )]([ xgf 与 )]([ xfg 的连续性,
思考题一解答
? ? 2sg n1)]([ xxfg ????? ?
??
0,1
0,2
x
x
在 )0,( ?? ),0( ??? 上处处连续)]([ xfg
0?x 是它的可去间断点
1?
21)( xxg ???
)1sg n ()]([ 2xxgf ???
在 ),( ???? 上处处连续)]([ xgf
?
?
?
?
?
?
?
??
?
0,1
0,0
0,1
)(
x
x
x
xf
思考题二
下述命题是否正确？
如果 )( xf 在 ],[ ba 上有定义，在 ),( ba
内连续，且 0)()( ?? bfaf,那么 )( xf 在
),( ba 内必有零点,
思考题二解答
不正确,
例函数 ??
?
??
???
0,2
10,)(
x
xexf
)( xf 在 )1,0( 内连续,.02)1()0( ???? ef
但 )( xf 在 )1,0( 内无零点,
一 连续函数的运算性质
二 闭区间上连续函数的性质
三 小结与思考判断题
定理 1
处也连续.在点
则
处连续在点若函数
0
0
0
)0)((
)(
)(
),()(),()(
,)(),(
x
xg
xg
xf
xgxfxgxf
xxgxf
???
例如,,),(c o s,s in 内连续在 ????xx
.csc,sec,cot,tan 在其定义域内连续故 xxxx
1、四则运算的连续性
一、连续函数的运算性质
定理 2 严格单调的连续函数必有严格单调的连
续反函数,
例如,,]2,2[si n 上单调增加且连续在 ???? xy
.]1,1[a r c s in 上也是单调增加且连续在故 ?? xy;]1,1[a r c c o s 上单调减少且连续在同理 ?? xy
.],[c o t,a r c t a n 上单调且连续在 ?????? xa r cyxy
反三角函数在其定义域内皆连续,
2、反函数与复合函数的连续性
定理 3
)].(lim[)()]([lim
)(,)(lim
00
0
xfafxf
aufax
xxxx
xx
??
?
??
?
??
?
则有
连续,在点函数若
证,)( 连续在点 auuf ??
.)()(
,,0,0
成立恒有
时使当
?
???
??
??????
afuf
au
,)(lim 0 axxx ?? ??又
,0,0,0 0 时使当对于 ??? ?????? xx
.)( 成立恒有 ?? ???? auax
将上两步合起来,
,0,0,0 0 时使当 ??? ??????? xx
)()]([)()( afxfafuf ??? ?.成立??
)()]([lim 0 afxfxx ?? ? ? ) ],(lim[
0
xf xx ???
意义 1.极限符号可以与函数符号互换 ;
.))((.2 的理论依据变量代换 xu ??
例 1,)1l n (lim 0 x xx ??求
.1?
x
x x
1
0 )1l n (l i m ?? ?原式
])1(liml n [ 10 xx x?? ?eln?
解
例 2,1l i m 0 xe
x
x
?
?
求
解,1 ye x ??令 ),1ln( yx ??则
.1? )1l n (lim
0 y
y
y ?
?
?
原式
.0,0 ?? yx 时当
y
y
y
10
)1l n (
1l i m
?
?
?
同理可得,ln1lim 0 axa
x
x
??
?
也连续.在点则复合函数
连续在点而函数
且连续,在点设函数
0
000
0
)]([
,)(,)(
)(
xxxfy
uuufyux
xxxu
??
???
??
?
?
?
定理 4
注意 定理 4是定理 3的特殊情况,
例如,,),0()0,(1 内连续在 ????? ?xu
,),(s in 内连续在 ????? uy
.),0()0,(1si n 内连续在 ?????? ?xy
三角函数及反三角函数在它们的定义域内是
连续的,
（ 1）
)1,0( ??? aaay x指数函数;),( 内单调且连续在 ????
（ 2）
)1,0(lo g ??? aaxy a对数函数;),0( 内单调且连续在 ??
（ 3）
3、初等函数的连续性
定理 5 基本初等函数在定义域内是连续的,
定理 6 一切初等函数在其 定义区间 内都是连
续的,
定义区间是指包含在定义域内的区间,
?xy ? xaa lo g??,uay ?,l o g xu a??
,),0( 内连续在 ?? 不同值讨论 ?
(均在其定义域内连续 )
（ 4）
例如,,1c o s ?? xy ?,4,2,0,?????xD
这些孤立点的邻域内没有定义,
,)1( 32 ?? xxy,1,0,?? xxD 及
在 0点的邻域内没有定义,
.),1[ 上连续函数在区间 ??
1,初等函数仅在其定义区间内连续,在
其定义域内不一定连续 ;
注意
注意 2,初等函数求极限的方法可用 代入法,
例 3,1s i nl i m
1 ??
x
x e求
1s i n 1 ?? e原式,s i ?? e解
例 4,11l i m
2
0 x
x
x
??
?
求
解 )11( )11)(11(lim 2
22
0 ??
?????
? xx
xx
x
原式
11lim 20 ??? ? x
x
x 2
0?,0?
)()()(lim 00
0
定义区间??? xxfxfxx
解 由初等函数分段定义的函数，在分段区间的
内部（开区间）函数是连续的，但对各段分界
点处可能连续，可能间断,需要从计算左右极限
入手进行讨论,由于
例 5 研究函数
?
?
??
x
xxf 2)(
1
1
?
?
x
x
的连续性，并求出连续区间,
?
?
?
?
?
?
x
x
x
xf 2)(
1
11
1
?
???
??
x
x
x
分界点为,
1??x
???? )(lim 1 xfx 1lim1 ???? xx ???? )(lim 1 xfx 1lim 21 ???? xx
???? )(lim 1 xfx )(lim1 xfx ???
所以 在 处间断, )(xf 1??x
??? )(lim 1 xfx 1lim1 ??? xx?? )(lim 1 xfx 1lim 21 ??? xx
??? )(lim 1 xfx )(lim1 xfx ??
所以 在 处连续,从而函数 在连
续区间 和, )1,( ??? ),1( ???
)(xf )(xf1?x
二 闭区间上连续函数的性质
-0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75
-1
-0.5
0.5
1
在闭区间 [a,b]上连续,
在 (a,b) 内连续，在 a点右连续，在 b
点左连续,
)( xf函数
)( xf函数
１ 闭区间上连续函数的定义
２、最大值和最小值定理
定义,
上的最大( 小) 值.在区间是函数则称
都有使得对于任一如果有
上有定义的函数对于在区间
Ixfxf
xfxfxfxf
IxIx
xfI
)()(
))()(()()(
,
),(
0
00
0
??
??
例如,
,s g n xy ?,),( 上在 ????
,2m a x ?y;1m in ??y
,),0( 上在 ??,1m i nm a x ?? yy
,s in1 xy ??,]2,0[ 上在 ? ;0m in ?y
,1m a x ?y
定理 1(最大值和最小值定理 ) 在闭区间上连续
的函数一定有最大值和最小值,
a b2? 1? x
y
o
)(xfy ?
).()(
),()(
],,[
],,[,
],,[)(
2
1
21
xff
xff
bax
ba
baCxf
?
?
??
??
?
?
?
??
有
使得
则
若
注意,1.若区间是开区间,定理不一定成立 ;
2.若区间内有间断点,定理不一定成立,
x
y
o
)(xfy ?
21
1
x
y
o 2?
)(xfy ?
定理 2(有界性定理 ) 在闭区间上连续的函数一定
在该区间上有界,
证,],[)( 上连续在设函数 baxf ],,[ bax ??
,)( Mxfm ??有 },,m a x { MmK ?取
.)( Kxf ?则有,],[)( 上有界在函数 baxf?
二、介值定理
定理 3( 零点定理 ) 设函数 )( xf 在闭区间 ? ?ba,
上连续，且 )( af 与 )( bf 异号 ( 即 0)()( ?? bfaf ),
那末在开区间 ? ?ba,内至少有函数 )( xf 的一个零
点,即至少有一点 ? )( ba ???,使 0)( ??f,
定义,
.)(
,0)( 000
的零点
称为函数则使如果
xf
xxfx ?
,内至少存在一个实根 在 即方程 0)( ?xf ),( ba
a b3?2?1?
几何解释,
.
,
)(
轴至少有一个交点线弧与
则曲轴的不同侧端点位于
的两个连续曲线弧
x
x
xfy ?
x
y
o
)(xfy ?
定理 4( 介值定理 ) 设函数 )( xf 在闭区间
? ?ba,上连续，且在这区间的端点取不同的函
数值
Aaf ?)( 及 Bbf ?)(,
那末，对于 A 与
B
之间的任意一个数 C, 在开
区 间 ? ?ba,内至少有一点 ?,使得 Cf ?)( ?
)( ba ???,
几何解释,
M
B
C
A
m
a
b 1? 2? 3? 2x1x x
y
o
)( xfy ?
证,)()( Cxfx ???设
,],[)( 上连续在则 bax?
Cafa ?? )()(?且
,CA ??
Cbfb ?? )()(?,CB ??
,0)()( ??? ba ?? 由零点定理,使),,( ba?? ?
,0)( ???,0)()( ??? Cf ???即,)( Cf ?? ?
.
)(
至少有一个交点直线
与水平连续曲线弧
Cy
xfy
?
?
例 1
.
)1,0(014 23
至少有一根
内在区间证明方程 ??? xx
证,14)( 23 ??? xxxf令,]1,0[)( 上连续在则 xf
,01)0( ??f又,02)( ???f 由零点定理,
使),,( ba?? ?,0)( ??f,014 23 ??? ??即
.)1,0(014 23 ?内至少有一根在方程 ???? xx
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大
值 与最小值 之间的任何值, M m
,0?
,0?
证,)()( xxfxF ??令,],[)( 上连续在则 baxF
aafaF ?? )()(而
由零点定理,
使),,( ba?? ?,0)()( ??? ??? fF
bbfbF ?? )()(
.)( ?? ?f即
.)(),,(.)(
,)(,],[)(
??? ????
?
fbabbf
aafbaxf
使得证明
且上连续在区间设函数例７
例８
证明：
若
在
上连
续,
则在
)(xf ],[ba bxxxa n????? ?21],[
21xx ? n xfxfxff n)()()()( 21 ???? ??
证
因为
在闭
区间
上连
)(xf ],[1nxx
)(m i n
1
xfm
nxxx ??
? )(m a x
1
xfM
nxxx ??
?
Mn xfxfxfm n ????? )()()( 21 ?
显然
根据介质定理的推论，至少存在一点 ],[ 21 xx??
使
n
xfxfxff n )()()()( 21 ???? ??
三,小结与思考判断题
小结
连续函数的和差积商的连续性
反函数的连续性，复合函数的连续性
初等函数的连续性，利用连续性求极限
有界性定理，最值定理，介质定理，根的存在性
定理
思考题一 设 xxf s g n)( ?, 21)( xxg ??,试研
究复合函数 )]([ xgf 与 )]([ xfg 的连续性,
思考题一解答
? ? 2sg n1)]([ xxfg ????? ?
??
0,1
0,2
x
x
在 )0,( ?? ),0( ??? 上处处连续)]([ xfg
0?x 是它的可去间断点
1?
21)( xxg ???
)1sg n ()]([ 2xxgf ???
在 ),( ???? 上处处连续)]([ xgf
?
?
?
?
?
?
?
??
?
0,1
0,0
0,1
)(
x
x
x
xf
思考题二
下述命题是否正确？
如果 )( xf 在 ],[ ba 上有定义，在 ),( ba
内连续，且 0)()( ?? bfaf,那么 )( xf 在
),( ba 内必有零点,
思考题二解答
不正确,
例函数 ??
?
??
???
0,2
10,)(
x
xexf
)( xf 在 )1,0( 内连续,.02)1()0( ???? ef
但 )( xf 在 )1,0( 内无零点,
