第三节 格林公式及其应用（ 1）
一、区域连通性的分类
二、格林公式
三、简单应用
设 D为平面区域,如果 D内任一闭曲线所
围成的部分都属于 D,则称 D为平面单连通区
域,否则称为复连通区域,
复连通区域 单连通区域
D
D
一、区域连通性的分类
设空间区域 G,如果 G内任一闭曲面所围成
的区域全属于 G,则称 G是空间二维单连通域 ;
如果 G内任一闭曲线总可以张一片完全属于
G的曲面,则称 G为空间一维单连通区域,
G
G
G
一维单连通
二维单连通
一维单连通
二维不连通
一维不连通
二维单连通
设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成,
函数 ),(),( yxQyxP 及 在 D 上具有一阶连续
偏导数,则有
???
??
?
?
?
?
?
L
D
Q d yP d xdxdy
y
P
x
Q
)( (1)
其中
L
是
D
的取正向的边界曲线,
公式 (1) 叫做 格林公式,
定理 1
二、格林公式
连成与由 21 LLL 组成与由 21 LLL
边界曲线 L的正向, 当观察者沿边界行走时,区
域 D总在他的左边,
2L
D
1L
2L
1L
D
}),()(),{( 21 bxaxyxyxD ????? ??
证明 (1)
若区域 D 既是 ?X 型
又是 ?Y 型,即平行于
坐标轴的直线和 L 至
多交于两点,
}),()(),{( 21 dycyxyyxD ????? ??
y
x o a b
D
c
d
)(1 xy ??
)(2 xy ??
A
B
C
E
)(2 yx ??
)(1 yx ??
dxxQdyd x d yxQ yydc
D
???? ????? )( )(21??
?? ?? dcdc dyyyQdyyyQ )),(()),(( 12 ??
?? ?? CAECBE dyyxQdyyxQ ),(),(
?? ?? EACCBE dyyxQdyyxQ ),(),(
?? L dyyxQ ),(
同理可证 ??? ??
??
LD dxyxPdxdyy
P ),(
y
x o
d
)(2 yx ??
D
c C
E
)(1 yx ??
若区域 D 由按段光
滑的闭曲线围成, 如图,
证明 (2)
L1L
2L3L
D
1D
2D3D
两式相加得 ??? ??????? L
D
QdyP d xd x d yyPxQ )(
将 D 分成三个既是 ?X 型又是
?Y 型的区域 1D,2D,3D,
????
?? ?
??
?
??
?
??
?
?
321
)()(
DDDD
d x d yyPxQd x d yyPxQ
?????? ?????????????????
321
)()()(
DDD
dxdyyPxQdxdyyPxQdxdyyPxQ
??? ?????? 321 LLL Q d yP d xQ d yP d xQ d yP d x
? ?? L Q d yP d x
1D
2D3D
L1L
2L3L
),( 32,1 来说为正方向对 DLLL
G
D
3L
2L
F
C
E
1LA
B
证明 (3)
若区域不止由一条闭曲
线所围成, 添加直线段 AB,CE,
则 D 的边界曲线由 AB,
2
L,B A,
A F C,C E,
3
L,EC 及 C G A 构成,
由 (2)知 ?? ?
??
?
?
D
d x d yyPxQ )(
????? ????? CEAFCBALAB 2{ ??? ????? C G AECL Q d yP d x )(}3
? ?? L Q d yP d x
? ? ? ???? 2 3 1 ))(( L L L Q d yP d x
),( 32,1 来说为正方向对 DLLL
便于记忆形式,
??? ???
?
?
?
L
D
Q dyP dxdxd y
QP
yx,
格林公式的实质, 沟通了沿闭曲线的积分与
二重积分之间的联系,
x
y
o L
例 1 计算 ?
AB
x d y,其中曲
线 AB 是半径为 r 的圆在
第一象限部分,
解 引入辅助曲线 L,
1,简化曲线积分 A
B
D
BOABOAL ???
应用格林公式,xQP ??,0 有
三、简单应用
??? ?? L
D
xdydxdy
,??? ??? BOABOA x d yx d yx d y
,0,0 ?? ?? BOOA xdyxdy由于
.41 2rdx dyxd y
D
AB
?????? ???
例 2 计算 ??
?
D
y
d xd ye
2
,其中 D 是
以 )1,0(),1,1(),0,0( BAO 为顶点
的三角形闭区域,
解 令 2,0 yxeQP ???,
2,简化二重积分
x
y
o
AB
1
1 D
则
2y
e
y
P
x
Q ??
?
??
?
?,
应用格林公式,有
???
??
?? ?
BOABOA
y
D
y dyxed x d ye 22
?? ?? ?? 10 22 dxxedyxe xOA y
).1(21 1??? e
例 3 计算 ?
?
?
L yx
y dxxdy
22
,其中 L 为一条无重点,
分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L 的方
向为逆时针方向,
则当 022 ?? yx 时,有
y
P
yx
xy
x
Q
?
?
?
?
?
?
?
?
222
22
)(
.
记 L 所围成的闭区域为 D,解
令 2222,
yx
xQ
yx
yP
?
?
?
??,
L
( 1 ) 当 D?)0,0( 时,
( 2 ) 当 D?)0,0( 时,
1D
r
l
x
y
o
L
D
由格林公式知 ? ???L yx y d xxdy 022
作位于 D 内圆周 222,ryxl ??,
记 1D 由 L 和 l 所围成,
应用格林公式,得
y
x o
?? ????? lL yx y d xx d yyx y d xx d y 2222 x
y
o r
1Dl
L 02222 ?????? ??
lL yx
y d xxdy
yx
y d xxdy
( 其中 l 的方向
取逆时针方向 ).2??
(注意格林公式的条件 )
??? dr rr 2
2222 si ncos ?? ?? 2
0
格林公式, ??? ???????
L
D
Q d yP d xd x d yyPxQ )(
取,,xQyP ??? 得??? ?? L
D
ydxxd ydx dy2
闭区域 D 的面积 ? ??
L
ydxxdyA 21,
取,,0 xQP ?? 得 ??
L
x d yA
取,0,??? QyP 得 ? ??
L
yd xA
3,计算平面面积
曲线 A M O 由函数
],0[,axxaxy ??? 表示,
例 4 计算抛物线 )0()( 2 ??? aaxyx 与 x 轴所
围成的面积,
解 O N A 为直线 0?y,
? ??? L ydxxdyA 21
?? ???? A M OONA y d xx d yy d xx d y 2121
)0,(aAN
M
? ?? A M O y d xx d y21
dxxaxdxaxaxa )()12(21 0 ???? ?
.614 20 adxxa a ?? ?
)0,(aAN
M