第一节 常数项级数的概念和性质
一 问题的提出
二 常数项级数的概念
四 收敛级数的基本性质
三 级数收敛的必要条件
1,计算半径为 R圆的面积
R正六边形的面积 1a
正十二边形的面积 21 aa ?
正 形的面积 n23? naaa ??? ?21
?? ?????? n
10
3
1 0 0 0
3
1 0 0
3
10
3
3
12.
naaaA ???? ?21即
一、问题的提出
1,级数的定义
?? ???????
?
?
n
n
n uuuuu 321
1 (常数项 )无穷级数
?
?
?????
n
i
inn uuuus
1
21 ?
级数的部分和
部分和数列,11 us ?,212 uus ??
一般项
,,3213 ?uuus ??? ??,21 nn uuus ????
二、常数项级数的概念
2 级数的收敛与发散
当 无限增大时，如果级数 的部分和
数列 有极限,即 则称无穷级数
收敛, 这时极限 叫做级数 的 和,并
写成
??
?1n
nun
nS S SS nn ???lim
??
?1n
nu S ?
?
?1n
nu
?? ????? nuuuS 21
余项 nn ssr ?? ???? ?? 21 nn uu ?
?
?
??
1i
inu
)0lim( ??? nn r
如果 没有极限,则称无穷级数 发散, nS ?
?
?1n
nu
即常数项级数收敛 (发散 ) 存在 (不存在 ) ? n
n S??lim
误差为 SSn ?即 || nr
12 ?????? nn aqaqaqas ?
q
aqa n
?
??
1
,
11 q
aq
q
a n
?
?
?
?
解 如果 时 1?q
例 1 讨论等比级数 (几何级数 )
?? ???????
?
?
n
n
n uuuuu 321
1
当 时 1?q 0lim ??? nn q? q
as
nn ??? ?? 1lim 收敛
???? nn qlim? ??? ?? nn sl i m 发散 当 时 1?q
如果 时 1?q
??? nas n 发散 当 时,1?q
????? aaaa 当 时,1??q 级数变为
发散 nn s??? lim 不存在,
综上
?
?
?
?
?
?
?
? 发散时,当
收敛时,当
1
1
0 q
q
aq
n
n
解 )3)(2(
1
??? nnu n? ),3
1
2
1(
???? nn
)3121()5141()4131( ?????????? nns n ?
例 2 判别级数 的敛散性, ?
?
? ??1 )3)(2(
1
n nn
3
1
3
1
??? n
3
1)
3
1
3
1(limlim ?
???? ???? nS nnn,级数收敛,和为 3
1
定理 若级数 收敛,则 ?
?
?1n
nu,0lim ??? nn u
1limlimlim ??????? ??? nnnnnn ssu
ss??
.0?
证明 ?
?
?
?
1n
nus?,1??? nnn ssu 则
三、级数收敛的必要条件
注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散 ;
2.必要条件但不充分,
有 但级数是否收敛?,0lim ??? nn u
?? ????? n131211例如,调和级数
?? ??????? ? 1)1(433221 1 n nn 发散 例如
讨论
nnnss nn 2
1
2
1
1
1
2 ??????? ??,2
1
2 ?? n
n
假设调和级数收敛,其和为,s
)l i m ( 2 nn
n
ss ?
??
ss ??,0?于是
)(210 ??? n 这是不可能的 便有
故该级数发散,即调和级数发散,
???
?
???
?
?
?
??
???????????
?
)
2
1
22
1
12
1
(
)
16
1
10
1
9
1
()
8
1
7
1
6
1
5
1
()
4
1
3
1
()
2
1
1(
1mmm
8项 4项 2项 2项
项 m2
同时还可以做以下证明,
2
1)1( ?m
2
1
每项均大于,即前 项大于, 1?m
由性质 4推论,调和级数发散, 故该级数发散,
结论 级数的每一项同乘一个不为零的常数,
敛散性不变,
结论 收敛级数可以逐项相加与逐项相减,
性质 1 如果级数 收敛,则 亦收敛, ?
?
?1n
nu ?
?
?1n
nku
性质 2 设两收敛级数,，则
级数 收敛,其和为,
??
?
?
1n
nus ?
?
?
?
1n
nv?
??
?
?
1
)(
n
nn vu ??s
四、收敛级数的基本性质
证明 ?? ???? ??? nkkk uuu 21
nkkkn uuu ??? ????? ?21
,kkn ss ?? ?
类似地可以证明在级数前面加上有限项不
影响级数的敛散性,
性质 3 如果级数 收敛,则 亦收敛, ?
?
?1n
nu ?
?
?? 1kn
nu
1?k,且其逆亦真,
knknnnn ss ??????? ?? limlimlim ?,kss ??则
证明 ?????? )()( 54321 uuuuu
,21 s??,52 s??,93 s??
?,,nm s???
.limlim ss nnmm ?? ???? ?则
性质 4 收敛级数加括号所成的级数仍然收敛,且
其和不变,
注意
收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛,
????? )11()11( 收敛
????? 1111 发散
例如
推论 如果加括号后所成的级数发散,则原来的
级数也发散,
例 3 判别级数
解 将原级数先加括号得
该级数发散, ?
?? ???????? nn 10 1212014110121
的敛散性,
?
?
? ?
?
1
)10 121(
n
n n
?
?
?1 2
1
n
n? ?
?
? ?1 10
1
n n
收敛,发散,