第六节 函数展开成幂级数
三 函数展开成幂级数
二 泰勒级数
一 问题的提出
2.展开式是否唯一?
3.在什么条件下才能展开成幂级数?
1.如果能展开,是什么? na
上节例题 )11()1l n ()1(
1
1 ???????
?
?
? xx
n
x
n
n
n
n
n
n xxaxf )()( 0
0
?? ?
?
?
即得形如 函数的展开式,
需要考虑
问题 是否存在幂级数在其收敛域内以 为和函数? )(xf
一 问题的提出
)()(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000
xRxx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxf
n
n
n
?????
??
?????
?
二 泰勒级数
1.Toylor公式,
复习前面的两个公式
,)(
)!1(
)(
)( 10
)1(
?
?
?
?
? n
n
n xxn
f
xR
?
其中
在 与 之间 ? 0x x
)(! )0(!2 )0()0()0()(
)(
2 xRx
n
fxfxffxf
n
n
n
???????? ?
2.Maclaurin公式
,
)!1(
)(
)( 1
)1(
?
?
?
? n
n
n xn
f
xR
?其中
在 与 之间 ? 0x x
函数展开幂级数的必要条件,
定理 1 若 在 处能展开成幂级数
则 在 内具有任意阶导数,且
)(xf 0x
n
n
n xxa )( 0
0
??
?
?
)(xf ),( 0 ?xx ??
),2,1,0()(!1 0)( ??? nxfna nn
证明 在 内收敛于,即 n
n
n xxa )( 0
0
??
?
?
? )(
0x? )(xf
?? ??????? nn xxaxxaaxf )()()( 0010
?? ?????? ? )(23)1(!)( 01)( xxannanxf nnn
令,即得 0xx ?
?? ???????? ? 10021 )()(2)( nn xxnaxxaaxf
逐项求导任意次,得
即为泰勒系数
),2,1,0()(!1 0)( ??? nxfna nn
且泰勒系数是唯一的,所以 )(xf 的展开式是唯一的,
问题 n
n
n
xxn xfxf )(! )()( 0
0
0
)(?
??
?
?
?
泰勒级数在收敛区间是否收敛于 f(x)? 不一定,
定义 如果 f(x)在点 处任意阶可导,则幂级数
称为 在点 的泰勒级数, 称为
在 点 的麦克劳林级数,
0x
n
n
n
xxn xf )(! )( 0
0
0
)(
??
?
?
n
n
n
xnf?
?
? 0
)(
!
)0(
)(xf 0x
)(xf 0x
),2,1,0(0)0()( ??? nf n在 x=0点任意可导,且
??
?
?
?
?
??
?
0,0
0,)( 2
1
x
xexf x
例如
.0
0
??
?
?
n
nx麦克劳林级数为 )( xf?
该级数在 内和函数 可见,0)( ?xs),( ????
除 外,的麦氏级数处处不收敛于, 0?s )(xf )(xf
函数展开幂级数的充要条件,
)()(! )()( 0
0
0
)(
xRxxi xfxf ni
n
i
i
??? ?
?
?
证明 必要性,设 能展开为泰勒级数, )(xf
),()()( 1 xsxfxR nn ???? )()(lim 1 xfxs nn ?????
?? ?? )(l i m xR nn )]()([l i m 1 xsxf nn ??? ?;0?
定理 2 在点 的泰勒级数,在 内
收敛于 在 内
)(xf
?)( xf
)( 0xU ?0x
)( 0xU ?,0)(l i m ??? xR nn
充分性 ),()()( 1 xRxsxf nn ?? ??
)]()([l i m 1 xsxf nn ??? ?? )(lim xR nn ???,0?
),()(l i m 1 xfxs nn ????即
).(xf的泰勒级数收敛于 )( xf?
定理 3 设 在 上有定义,对
恒有
则 在 内可展开成点 的泰
勒级数,
)(xf
),( 00 RxRxx ????
,0??M)( 0xU
?,1,0,|)(| )( ?? nMxf n
)(xf ),( 00 RxRx ?? 0x
证明 1
0
)1(
)()!1( )()( ?
?
??? n
n
n xxn
fxR ??
,)!1(
1
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n
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,0)!1(l i m
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xx n
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?
?
?
0
1
0
)!1(n
n
n
xx?
在 收敛 ),( ????
,0)(lim ??? xR nn ),( 00 RxRxx ???故
? 可展成点 的泰勒级数, 0x
三 函数展开成幂级数
1.直接法 (泰勒级数法 )
步骤, ;! )()1( 0
)(
n
xfa n
n ?求
?? ???? nxnfxff
n
!
)0()0(')0( )(
写出 级数, M a c la u ri n)2(
讨论 或,)()( Mxf n ?0lim ?
?? nn R
)3(
).(xf则级数在收敛区间内收敛于
解,)()( xn exf ? ),2,1,0(.1)0()( ??? nf n
?? ?????? nx xnxxe !1!211 2
),2,1,0( ??n ?? ??????? nx xnxxe !1!211 2
由于 M的任意性,即得
),(!1!211 2 ??????????? xxnxxe nx ??
例 1 xexf ?)(将 展开成幂级数,
,0??M xn exf ?)()( Me?],[ MM?在 上
解 ),2si n ()()( ??? nxxf n,2si n)0()( ?? nf n
,0)0()2( ?? nf,)1()0()12( nnf ??? ),2,1,0( ??n
?? ?????????
?
)!12()1(!5
1
!3
1s i n 1253
n
xxxxx nn
),( ?????x
?)()( xf n )2si n ( ?? nx 1? ),( ?????x且
例 2 将 展开成 幂级数, xxf s i n)( ? x
解,)1)(1()1()()( nn xnxf ?????????? ??
),1()1()0()( ??????? nf n ?),2,1,0( ??n
??? ??????????????? nxn nxx ! )1()1(!2 )1(1 2
n
n
n a
a 1l i m ?
??
? 1???? n n,1?,1?? R
例 3 将 展开成 幂级数, x )()1()( Rxxf ??? ??
在 内,若 )1,1(?
??? ???????????? nxn nxxs ! )1()1(1)(
??? ?? ??????????????? ? 1)!1( )1()1()1()( nxn nxxs
??? ?? ????????? nxn nxxxsx )!1( )1()1()1()( 2 ??????
!
)1()1(
!
)()1(
)!1(
)1()1(
n
nmmm
n
nmm
n
nmm ???????
?
??? ???
利用
)()1( xsx ???
??? ????????????????? ? 1
2
22
!
)1()1(
!2
)1( nx
n
nxx
)( xs??
,1)( )( xxs xs ???? ?,1)0( ?s且
两边积分,1)( )( 00 dxxdxxs xs
xx ??
?
??? )1,1(??x
得 ),1ln ()0(ln)(ln xsxs ????
即,)1l n ()(ln ??? xxs
,)1()( ?xxs ??? )1,1(??x
?
?
?
?
???
?
?
?
???
??
n
x
n
n
xx
x
!
)1()1(
!2
)1(
1
)1(
2
???
??
?
?
)1,1(??x
牛顿二项式展开式
注意在 处收敛性与 的取值有关, 1??x ?
)1,1()1(11 1 32 ?????????? ?? nn xxxxx
]1,1[
!)!2(
!)!32()1(
642
31
42
1
2
111 32
?
?????
??
??
?
???? ?? nn x
n
nxxxx
]1,1[
!)!2(
!)!12()1(
642
531
42
31
2
11
1
1 32
?
?????
??
???
?
????
?
?? nn x
n
nxxx
x
双阶乘
2
1,1 ????当 时,有
2.间接法
根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四
则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,
求展开式,从而可以得到以下几个常见的展开式,
?? ???????? )!2()1(!41!211co s
2
42
n
xxxx nn
),( ?????x
??? ????????
?
)!12()1(!5
1
!3
1s i n 1253
n
xxxxx nn
)( si nco s ?? xx由
例 4 将 展开成 幂级数, x 21
1)(
xxf ??
解 )11(,11
1 2 ?????????
? xxxxx
n ???
把 换成 得 x 2x?
,)1(11 1 2422 ?? ????????? nn xxxx
)11( ??? x
例 5 将 展开成 幂级数, x )1l n ()( xxf ??
解,)1(11
1 2 ??? ???????
?
nn xxx
x
)11( ??? x
将上式从 到 逐项积分,得 0 x
?? ??????? ? nxxxx
n
n 132 )1(
3
1
2
1
? ??? x xdxx 0 1)1l n (
)11( ??? x
例 6 将 展开成 幂级数, 3?x 231)( 2 ??? xxxf
2
1
1
1
23
1)(
2 ??????? xxxxxf解
5
3
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5
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1
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?
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xx
而
?? ?????????? nn xxx )4 3()1()4 3(4 31 2
4
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x 711|
4
3| ?????? xx
?? ?????????? nn xxx )5 3()1()5 3(5 31 2
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x 821|
5
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23
1)(
2 ???? xxxf
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?? ????
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1
4
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n
n
nn
n x
)71( ??? x
三 函数展开成幂级数
二 泰勒级数
一 问题的提出
2.展开式是否唯一?
3.在什么条件下才能展开成幂级数?
1.如果能展开,是什么? na
上节例题 )11()1l n ()1(
1
1 ???????
?
?
? xx
n
x
n
n
n
n
n
n xxaxf )()( 0
0
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?
即得形如 函数的展开式,
需要考虑
问题 是否存在幂级数在其收敛域内以 为和函数? )(xf
一 问题的提出
)()(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000
xRxx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxf
n
n
n
?????
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?????
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二 泰勒级数
1.Toylor公式,
复习前面的两个公式
,)(
)!1(
)(
)( 10
)1(
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?
?
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? n
n
n xxn
f
xR
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其中
在 与 之间 ? 0x x
)(! )0(!2 )0()0()0()(
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2 xRx
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n
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2.Maclaurin公式
,
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)(
)( 1
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?
? n
n
n xn
f
xR
?其中
在 与 之间 ? 0x x
函数展开幂级数的必要条件,
定理 1 若 在 处能展开成幂级数
则 在 内具有任意阶导数,且
)(xf 0x
n
n
n xxa )( 0
0
??
?
?
)(xf ),( 0 ?xx ??
),2,1,0()(!1 0)( ??? nxfna nn
证明 在 内收敛于,即 n
n
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? )(
0x? )(xf
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?? ?????? ? )(23)1(!)( 01)( xxannanxf nnn
令,即得 0xx ?
?? ???????? ? 10021 )()(2)( nn xxnaxxaaxf
逐项求导任意次,得
即为泰勒系数
),2,1,0()(!1 0)( ??? nxfna nn
且泰勒系数是唯一的,所以 )(xf 的展开式是唯一的,
问题 n
n
n
xxn xfxf )(! )()( 0
0
0
)(?
??
?
?
?
泰勒级数在收敛区间是否收敛于 f(x)? 不一定,
定义 如果 f(x)在点 处任意阶可导,则幂级数
称为 在点 的泰勒级数, 称为
在 点 的麦克劳林级数,
0x
n
n
n
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0
0
)(
??
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n
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例如
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nx麦克劳林级数为 )( xf?
该级数在 内和函数 可见,0)( ?xs),( ????
除 外,的麦氏级数处处不收敛于, 0?s )(xf )(xf
函数展开幂级数的充要条件,
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证明 必要性,设 能展开为泰勒级数, )(xf
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定理 2 在点 的泰勒级数,在 内
收敛于 在 内
)(xf
?)( xf
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)( 0xU ?,0)(l i m ??? xR nn
充分性 ),()()( 1 xRxsxf nn ?? ??
)]()([l i m 1 xsxf nn ??? ?? )(lim xR nn ???,0?
),()(l i m 1 xfxs nn ????即
).(xf的泰勒级数收敛于 )( xf?
定理 3 设 在 上有定义,对
恒有
则 在 内可展开成点 的泰
勒级数,
)(xf
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,0??M)( 0xU
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证明 1
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? 可展成点 的泰勒级数, 0x
三 函数展开成幂级数
1.直接法 (泰勒级数法 )
步骤, ;! )()1( 0
)(
n
xfa n
n ?求
?? ???? nxnfxff
n
!
)0()0(')0( )(
写出 级数, M a c la u ri n)2(
讨论 或,)()( Mxf n ?0lim ?
?? nn R
)3(
).(xf则级数在收敛区间内收敛于
解,)()( xn exf ? ),2,1,0(.1)0()( ??? nf n
?? ?????? nx xnxxe !1!211 2
),2,1,0( ??n ?? ??????? nx xnxxe !1!211 2
由于 M的任意性,即得
),(!1!211 2 ??????????? xxnxxe nx ??
例 1 xexf ?)(将 展开成幂级数,
,0??M xn exf ?)()( Me?],[ MM?在 上
解 ),2si n ()()( ??? nxxf n,2si n)0()( ?? nf n
,0)0()2( ?? nf,)1()0()12( nnf ??? ),2,1,0( ??n
?? ?????????
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n
xxxxx nn
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例 2 将 展开成 幂级数, xxf s i n)( ? x
解,)1)(1()1()()( nn xnxf ?????????? ??
),1()1()0()( ??????? nf n ?),2,1,0( ??n
??? ??????????????? nxn nxx ! )1()1(!2 )1(1 2
n
n
n a
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??
? 1???? n n,1?,1?? R
例 3 将 展开成 幂级数, x )()1()( Rxxf ??? ??
在 内,若 )1,1(?
??? ???????????? nxn nxxs ! )1()1(1)(
??? ?? ??????????????? ? 1)!1( )1()1()1()( nxn nxxs
??? ?? ????????? nxn nxxxsx )!1( )1()1()1()( 2 ??????
!
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n
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n
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)( xs??
,1)( )( xxs xs ???? ?,1)0( ?s且
两边积分,1)( )( 00 dxxdxxs xs
xx ??
?
??? )1,1(??x
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即,)1l n ()(ln ??? xxs
,)1()( ?xxs ??? )1,1(??x
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牛顿二项式展开式
注意在 处收敛性与 的取值有关, 1??x ?
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]1,1[
!)!2(
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?????
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?????
??
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nxxx
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双阶乘
2
1,1 ????当 时,有
2.间接法
根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四
则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,
求展开式,从而可以得到以下几个常见的展开式,
?? ???????? )!2()1(!41!211co s
2
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n
xxxx nn
),( ?????x
??? ????????
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)!12()1(!5
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xxxxx nn
)( si nco s ?? xx由
例 4 将 展开成 幂级数, x 21
1)(
xxf ??
解 )11(,11
1 2 ?????????
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n ???
把 换成 得 x 2x?
,)1(11 1 2422 ?? ????????? nn xxxx
)11( ??? x
例 5 将 展开成 幂级数, x )1l n ()( xxf ??
解,)1(11
1 2 ??? ???????
?
nn xxx
x
)11( ??? x
将上式从 到 逐项积分,得 0 x
?? ??????? ? nxxxx
n
n 132 )1(
3
1
2
1
? ??? x xdxx 0 1)1l n (
)11( ??? x
例 6 将 展开成 幂级数, 3?x 231)( 2 ??? xxxf
2
1
1
1
23
1)(
2 ??????? xxxxxf解
5
3
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