第四节 函数项级数
一 函数项级数的概念
二 函数项级数举例
1.定义 设 是定义
在 上的函数,则由其构成的表达式
称为定义在区间 上的 (函数项 )无穷级数,简称
(函数项 )级数,
?? ),(,),(),( 21 xuxuxu n
RI ?
?? ??????
?
?
)()()()( 21
1
xuxuxuxu n
n
n
I
,1 2
0
??????
?
?
xxx
n
n例如级数
一 函数项级数的概念
2.收敛点与收敛域
(1)如果,数项级数 收敛,则称
为级数 的收敛点,否则称为发散点,
??
? 1
0 )(
n
n xu
??
?1
)(
n
n xu
Ix ?0 0x
??
?1
)(
n
n xu(2)函数项级数 的所有收敛点的全体称
为收敛域,所发散点的全体称为发散域,
（ 3）余项 )()()( xsxsxr nn ??
(x在收敛域上 ) 0)(l i m ?
?? xrnn
3.和函数 (Sum function)
?? ????? )()()()( 21 xuxuxuxs n
)()(l i m xsxs nn ???（ 2）函数项级数的部分和 ),(xsn
(1)在收敛域上,函数项级数的和是 的函数,
称 为函数项级数的和函数,
x )(xs
)(xs
注,函数项级数在某点 的收敛问题,实质上是
常数项级数的收敛问题,
x
)1,1(??x
二 函数项级数举例
例 1 求,1 32 ?? ?????? nxxxx
)1,1( ??x
的和函数,
xx
xxsxs n
n
n
n ?
??????
???? 1
1
1
1)()( limlim
x
xxs n
n ?
???
1
)1(1)(
解 ? 前 n项部分和
例 2 求 ?
?
? ??
??
1
)111(
n nxnx
收敛域,
1
1
1
1
1
1lim)(lim
???????? ???? xnxxxs nnn
的定义域为
解 ),2,1(1
11)( ??
????? nnxnxxu n
,,2,1 ????x
1
1
1
1)
1
11()(
1 ??
???????? ?
? nxxkxkx
xS
n
k
n
因为
故级数的收敛域为
},,2,1|{ ????????? xxx ?