第五节 对坐标的曲面积分
一、基本概念
二、概念的引入
三、概念及性质
四、计算法
五、两类曲面积分之间的联系
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的 )
曲面分 上 侧和 下 侧 曲面分 内 侧和 外 侧
一、基本概念
n?
曲面的分类, 1.双侧曲面 ; 2.单侧曲面,
典
型
双
侧
曲
面
莫比乌斯带 典型 单侧曲面,
播放
曲面法 向量的指向 决定曲面的 侧,
决定了侧的曲面称为 有向曲面,
曲面的投影问题,
面在 xoyS?,
在有向曲面 Σ 上取一小块
.
0c o s0
0c o s)(
0c o s)(
)(
?
?
?
?
?
?
???
??
??
时当
时当
时当
?
??
??
xy
xy
xyS
.)( 表示投影区域的面积其中 xy??
为上的投影 xyS )( ?曲面 S?
实例, 流向曲面一侧的流量,
(1) 流速场为常向量 v?,有向平面区域 A,求单位
时间流过 A 的流体的质量 ? ( 假定密度为 1),
A
v?
0n?
?
AvnvA
vA
????
?
????
??
0
c o s ?
流量
二、概念的引入
(2) 设稳定流动的不可压缩流体 ( 假定密度为 1)
的速度场由
kzyxRjzyxQizyxPzyxv
???
?
),,(),,(),,(),,( ???
给出,Σ 是速度场中的一片有向曲面,函数
),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP
都在 Σ 上连续,求在单位
时间内流向 Σ 指定侧的流
体的质量
?
,
x
y
z
o
?
x
y
z
o
? ?
iS? ),,( iii ???
iv
?
in?
把曲面 Σ 分成 n 小块
i
s? (
i
s? 同时也代表
第 i 小块曲面的面积 ),
在 is? 上任取一点
),,(
iii
???,
1,分割
则该点流速为, iv?
法向量为, in?
该点处曲面 Σ 的单位法向量
kjin iiii ???? ??? co sco sco s0 ???,
通过 is? 流向指定侧的流量的近似值为
).,,2,1( niSnv iii ????
,),,(),,(),,(
),,(
kRjQiP
vv
iiiiiiiii
iiii ???
?
?????????
???
???
?
2,求和 通过 Σ 流向指定侧的流量?
?
????
n
i
iii Snv
1
iiiii
iiii
n
i
iiii
SR
QP
??
?? ?
?
]c o s),,(
c o s),,(c o s),,([
1
????
????????
xyiiii
xziiiiyz
n
i
iiii
SR
SQSP
))(,,(
))(,,())(,,([
1
??
???? ?
?
???
??????
3.取极限 0??,的精确值取极限得到流量 ?
定义 设Σ为光滑的有向曲面,函数在Σ上有
界,把Σ分成 n 块小曲面
i
S? (
i
S? 同时又表示第
i 块小曲面的面积 ),
i
S? 在 x o y 面上的投影为
xyi
S )( ?,),,(
iii
??? 是
i
S? 上任意取定的一点,如
果当各小块曲面的直径的最大值 0?? 时,
?
?
?
?
n
i
xyiiii
SR
1
0
))(,,(lim ???
?
存在,
则称此极限为函数 ),,( zyxR 在有向曲面 Σ 上 对
坐标 yx,的曲面积分 ( 也称 第二类曲面积分 )
三、概念及性质
记作 ??
?
dxdyzyxR ),,(,即
???
???
??
n
i
xyiiii SRd x d yzyxR
10
))(,,(lim),,( ???
?
被积函数 积分曲面
类似可定义
???
???
??
n
i
yziiii SPd y d zzyxP
10
))(,,(lim),,( ???
?
???
???
??
n
i
zxiiii SQd z d xzyxQ
10
))(,,(lim),,( ???
?
存在条件,
当 ),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP 在有向光滑曲
面 Σ 上连续时,对坐标的曲面积分存在,
组合形式,
d x d yzyxRd z d xzyxQd yd zzyxP ),,(),,(),,( ????
?
物理意义,
d x d yzyxRd z d xzyxQd yd zzyxP ),,(),,(),,( ???? ??
?
性质,
????
??
??
???
??????
??
21
21
.1
R dx dyQ dz dxP dydzR dx dyQ dz dxP dydz
R dx dyQ dz dxP dydz
????
????
????
???
???
???
??
??
??
dx dyzyxRdx dyzyxR
dzd xzyxQdzd xzyxQ
dyd zzyxPdyd zzyxP
),,(),,(
),,(),,(
),,(),,(.2
设积分曲面 Σ 是由
方程 ),( yxzz ? 所给
出的曲面上侧,Σ 在
xoy 面上的投影区域
为
xy
D,函数
),( yxzz ? 在
xy
D 上具
有一阶连续偏导数,
被积函数 ),,( zyxR 在
Σ 上连续,
?
),( yxfz ?
xyD
x
y
z
o
xys)(?
四、计算法
???
???
??
n
i
xyiiii SRd x d yzyxR
10
))(,,(lim),,( ???
?
),(
,)()(,0co s,
iii
xyxyi
z
S
???
??
?
??????
?
?
又
取上侧
?
?
?
?
?
?
??
??
n
i
xyiiiii
n
i
xyiiii
zR
SR
1
0
1
0
)))(,(,,(lim
))(,,(lim
?????
???
?
?
???? ?
? xyD
d x d yyxzyxRd x d yzyxR )],(,,[),,(即
,)()(,0cos,xyxyiS ?? ??????? 取下侧若
???? ??
? xyD
d x d yyxzyxRd x d yzyxR )],(,,[),,(
则有给出由如果,),( zyxx ??
???? ??
? yzD
d yd zzyzyxPd yd zzyxP ],),,([),,(
则有给出由如果,),( xzyy ??
???? ??
? zxD
d z d xzxzyxQd z d xzyxQ ]),,(,[),,(
注意,对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧,
例 1 计算 ??
?
x y z d x d y
其中 Σ 是球面
1
222
??? zyx 外侧
在 0,0 ?? yx 的部分,
解 两部分和分成把 21 ???;1,2211 yxz ?????
,1,2222 yxz ????
x
y
z
2?
?
1? ?
??????
???
??
12
x y z d x d yx y z d x d yx y z d x d y
???? ???????
xyxy DD
dx dyyxxydx dyyxxy )1(1 2222
?? ???
xyD
dxd yyxxy 2212
.1521co ssi n2 22?? ???
xyD
rdrdrr ???
设有向曲面 Σ 是由方程 ),( yxzz ? 给出,Σ 在
xo y 面上的投影区域为
xy
D,函数 ),( yxzz ? 在
xy
D
上具有一阶连续偏导数,),,( zyxR 在 Σ 上连续,
对坐标的曲面积分为
??
??
??
?
xyD
dx d yyxzyxR
dx d yzyxR
)],(,,[
),,(
xyD
),( yxfz ?
?
x
y
z
o
ds
n?
五、两类曲面积分之间的联系
曲面 Σ 的法向量的方向余弦为
.
1
1
co s
,
1
co s
,
1
co s
22
22
22
yx
yx
y
yx
x
zz
zz
z
zz
z
??
?
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
对面积的曲面积分为
???? ??
? xyD
d x d yyxzyxRdSzyxR )],(,,[cos),,( ?
所以 dSzyxRd x d yzyxR ?c o s),,(),,( ????
??
?
( 注意取曲面的两侧均成立 )
dSRQP
d x d yRQd z d xPd y d z
)c o sc o sc o s( ?????
??
?
?
???
??
两类曲面积分之间的联系
向量形式
????????
????
????? dSAsdAdSnASdA n??????? 或
其中 }c o s,c o s,{c o s},,,{ ????? nRQPA
??
为
有向曲面 Σ 上点 ),,( zyx 处的单位法向量,
},,{ d x d yd z d xd y d zdSnSd ??
??
称为 有 向 曲 面
元,nA 为向量 A
?
在 n
?
上的投影,
例 2 计算 z d xd ydy dzxz ????
?
)(
2
,其中 Σ 是
旋转抛物面 )(
2
1
22
yxz ?? 介于平面 0?z 及
2?z 之间的部分的下侧,
解 ??
?
? dy dzxz )( 2
有上在曲面,?
?
??
?
?? dsxz ?co s)( 2
??
?
?? dxdyxz ??coscos)( 2
??
??
?
?
????
???
dxdyzxxz
z dx dydyd zxz
]))([(
)(
2
2
?? ????????
xyD
d x d yyxxxyx )}(21)(])(41{[ 2222
?? ???
xyD
d x d yyxx )](21[ 222
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.
1
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1
co s 2222
yxyx
x
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一、基本概念
二、概念的引入
三、概念及性质
四、计算法
五、两类曲面积分之间的联系
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的 )
曲面分 上 侧和 下 侧 曲面分 内 侧和 外 侧
一、基本概念
n?
曲面的分类, 1.双侧曲面 ; 2.单侧曲面,
典
型
双
侧
曲
面
莫比乌斯带 典型 单侧曲面,
播放
曲面法 向量的指向 决定曲面的 侧,
决定了侧的曲面称为 有向曲面,
曲面的投影问题,
面在 xoyS?,
在有向曲面 Σ 上取一小块
.
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为上的投影 xyS )( ?曲面 S?
实例, 流向曲面一侧的流量,
(1) 流速场为常向量 v?,有向平面区域 A,求单位
时间流过 A 的流体的质量 ? ( 假定密度为 1),
A
v?
0n?
?
AvnvA
vA
????
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0
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流量
二、概念的引入
(2) 设稳定流动的不可压缩流体 ( 假定密度为 1)
的速度场由
kzyxRjzyxQizyxPzyxv
???
?
),,(),,(),,(),,( ???
给出,Σ 是速度场中的一片有向曲面,函数
),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP
都在 Σ 上连续,求在单位
时间内流向 Σ 指定侧的流
体的质量
?
,
x
y
z
o
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x
y
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iv
?
in?
把曲面 Σ 分成 n 小块
i
s? (
i
s? 同时也代表
第 i 小块曲面的面积 ),
在 is? 上任取一点
),,(
iii
???,
1,分割
则该点流速为, iv?
法向量为, in?
该点处曲面 Σ 的单位法向量
kjin iiii ???? ??? co sco sco s0 ???,
通过 is? 流向指定侧的流量的近似值为
).,,2,1( niSnv iii ????
,),,(),,(),,(
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2,求和 通过 Σ 流向指定侧的流量?
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3.取极限 0??,的精确值取极限得到流量 ?
定义 设Σ为光滑的有向曲面,函数在Σ上有
界,把Σ分成 n 块小曲面
i
S? (
i
S? 同时又表示第
i 块小曲面的面积 ),
i
S? 在 x o y 面上的投影为
xyi
S )( ?,),,(
iii
??? 是
i
S? 上任意取定的一点,如
果当各小块曲面的直径的最大值 0?? 时,
?
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n
i
xyiiii
SR
1
0
))(,,(lim ???
?
存在,
则称此极限为函数 ),,( zyxR 在有向曲面 Σ 上 对
坐标 yx,的曲面积分 ( 也称 第二类曲面积分 )
三、概念及性质
记作 ??
?
dxdyzyxR ),,(,即
???
???
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n
i
xyiiii SRd x d yzyxR
10
))(,,(lim),,( ???
?
被积函数 积分曲面
类似可定义
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i
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10
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n
i
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10
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?
存在条件,
当 ),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP 在有向光滑曲
面 Σ 上连续时,对坐标的曲面积分存在,
组合形式,
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物理意义,
d x d yzyxRd z d xzyxQd yd zzyxP ),,(),,(),,( ???? ??
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性质,
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21
21
.1
R dx dyQ dz dxP dydzR dx dyQ dz dxP dydz
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dzd xzyxQdzd xzyxQ
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),,(),,(
),,(),,(
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设积分曲面 Σ 是由
方程 ),( yxzz ? 所给
出的曲面上侧,Σ 在
xoy 面上的投影区域
为
xy
D,函数
),( yxzz ? 在
xy
D 上具
有一阶连续偏导数,
被积函数 ),,( zyxR 在
Σ 上连续,
?
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四、计算法
???
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i
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))(,,(lim
?????
???
?
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? xyD
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,)()(,0cos,xyxyiS ?? ??????? 取下侧若
???? ??
? xyD
d x d yyxzyxRd x d yzyxR )],(,,[),,(
则有给出由如果,),( zyxx ??
???? ??
? yzD
d yd zzyzyxPd yd zzyxP ],),,([),,(
则有给出由如果,),( xzyy ??
???? ??
? zxD
d z d xzxzyxQd z d xzyxQ ]),,(,[),,(
注意,对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧,
例 1 计算 ??
?
x y z d x d y
其中 Σ 是球面
1
222
??? zyx 外侧
在 0,0 ?? yx 的部分,
解 两部分和分成把 21 ???;1,2211 yxz ?????
,1,2222 yxz ????
x
y
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12
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.1521co ssi n2 22?? ???
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设有向曲面 Σ 是由方程 ),( yxzz ? 给出,Σ 在
xo y 面上的投影区域为
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D,函数 ),( yxzz ? 在
xy
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上具有一阶连续偏导数,),,( zyxR 在 Σ 上连续,
对坐标的曲面积分为
??
??
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?
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dx d yzyxR
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xyD
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五、两类曲面积分之间的联系
曲面 Σ 的法向量的方向余弦为
.
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对面积的曲面积分为
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d x d yyxzyxRdSzyxR )],(,,[cos),,( ?
所以 dSzyxRd x d yzyxR ?c o s),,(),,( ????
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( 注意取曲面的两侧均成立 )
dSRQP
d x d yRQd z d xPd y d z
)c o sc o sc o s( ?????
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两类曲面积分之间的联系
向量形式
????????
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其中 }c o s,c o s,{c o s},,,{ ????? nRQPA
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为
有向曲面 Σ 上点 ),,( zyx 处的单位法向量,
},,{ d x d yd z d xd y d zdSnSd ??
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称为 有 向 曲 面
元,nA 为向量 A
?
在 n
?
上的投影,
例 2 计算 z d xd ydy dzxz ????
?
)(
2
,其中 Σ 是
旋转抛物面 )(
2
1
22
yxz ?? 介于平面 0?z 及
2?z 之间的部分的下侧,
解 ??
?
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有上在曲面,?
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