第二节 对坐标的曲线积分
一、问题的提出
二、对坐标的曲线积分的概念
三、对坐标的曲线积分的计算
o x
y
A
B
L
1?nMiM
1?iM
2M
1M
ix?
iy?实例, 变力沿曲线所作的功
,,BAL ?
jyxQiyxPyxF ?? ),(),(),( ??
常力所作的功
分割,),,(,),,(,1111110 BMyxMyxMMA nnnn ?? ????
.)()(1 jyixMM iiii ?? ?????
.ABFW ??
一、问题的提出
取极限,]),(),([lim
10
?
??
?????? n
i
iiiiii yQxPW ?????
近似值
精确值
,),(),(),( jQiPF iiiiii ?? ?????? ??取
,),( 1 iiiii MMFW ???? ??
.),(),( iiiiiii yQxPW ????? ????即
求和
.]),(),([
1
?
?
?????? n
i
iiiiii yQxP ????
?
?
??
n
i
iWW
1
o x
y
A
B
L
1?nMiM
1?iM2M
1M
),( iiF ??
ix?
iy?
,0
.
),(,,
).,;,,2,1(
),(,
),,(),,(.
),(),,(,
1
11
01
111
222111
时长度的最大值
如果当各小弧段上任意取定的点
为点设
个有向小弧段分成把
上的点用上有界
在函数向光滑曲线弧
的一条有到点面内从点为设
??
????????
???
?
??
?
???
ii
iiiiiiii
nii
nnn
MM
yyyxxx
BMAMniMM
nLyxM
yxMyxML
LyxQyxP
BAx o yL
?
?
1.定义
二、对坐标的曲线积分的概念
.),(lim),(
,(
),(
,),(
1
0
1
ii
n
i
i
L
n
i
iii
xPdxyxP
xLyxP
xP
??
?
??
?
?
?
?
??
??
?
记作或称第二类曲线积分）积分
的曲线上对坐标在有向曲线弧数
则称此极限为函的极限存在
类似地定义,),(lim),(
10
ii
n
i
iL yQdyyxQ ?? ??
??
??
?
,),(),,( 叫做被积函数其中 yxQyxP,叫积分弧段L
2.存在条件,
.,
),(),,(
第二类曲线积分存在上连续时
在光滑曲线弧当 LyxQyxP
3.组合形式
?
??
??
?
L
LL
dyyxQdxyxP
dyyxQdxyxP
),(),(
),(),(
.,jdyidxdsjQiPF ????? ????其中
.? ?? L dsF?
4.推广
.),,(lim),,(
10
iii
n
i
i xPdxzyxP ?? ??
???
???
?
?空间有向曲线弧,?? ?? Rd zQ d yPd x
.),,(lim),,(
10
iii
n
i
i yQdyzyxQ ????? ??
????
.),,(lim),,(
10
iii
n
i
i zRdzzyxR ????? ??
????
5.性质
.
,)1(
21
21
??? ????? LLL Q d yP d xQ d yP d xQ d yP d x
LLL 则和分成如果把
则有向曲线弧
方向相反的是与是有向曲线弧设
,
,)2( LLL ?
即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关,
?? ????? LL dyyxQdxyxPdyyxQdxyxP ),(),(),(),(
,),(),(
,0)()(,
)(),(
,),(,
),(
),(
,
),(),,(
22
存在
则曲线积分且续导数
一阶连为端点的闭区间上具有及在以
运动到终点沿的起点从点时到
变单调地由当参数的参数方程为续
上有定义且连在曲线弧设
?
?
????
?
?
?
?
?
L
dyyxQdxyxP
tt
tt
BLALyxM
t
ty
tx
L
LyxQyxP
??
????
?
?
?
?
定理
三、对坐标的曲线积分的计算
dttttQtttP
dyyxQdxyxP
L
)}()](),([)()](),([{
),(),(
??????
?
?
????
?
?
?且
特殊情形
.)(:)1( baxxyyL,终点为起点为?
.)}()](,[)](,[{ dxxyxyxQxyxPQ dyPdx baL ?? ????则
.)(:)2( dcyyxxL,终点为起点为?
.]}),([)(]),([{ dyyyxQyxyyxPQdyP d x dcL ?? ????则
.,,
)(
)(
)(
:)3( ??
?
?
?
终点起点推广 t
tz
ty
tx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
dtttttR
ttttQ
ttttP
R dzQdyP dx
)}()](),(),([
)()](),(),([
)()](),(),([{
????
????
????
?
?
??
??
??
??
?
??
(4) 两类曲线积分之间的联系,
,)( )(
??
?
?
?
ty
txL
?
?：设有向平面曲线弧为
,,),( ??为处的切线向量的方向角上点 yxL
?? ????? LL dsQPQ d yP d x )co sco s(则
其中,)()( )(co s 22 tt t?? ?? ???
??,
)()(
)(cos
22 tt
t
??
??
???
??
（可以推广到空间曲线上 ） ?
,,,),,( ???? 为处的切线向量的方向角上点 zyx
?? ?? ???????? dsRQPR dzQ dyP dx )co sco sco s(则
?? ?? dstA ?? ?? ?? rdA ??,??? dsAt?可用向量表示
，其中 },,{ RQPA ?? },co s,co s,{ co s ????t?
},,{ dzdydxdstrd ?? ?? 有向曲线元；
.上的投影在向量为向量 tAA t ??
处的单位切向量上点 ),,( zyx?
例 1
.)1,1()1,1(
,2
的一段弧到
上从为抛物线其中计算
BA
xyLxydx
L
?
??
解 的定积分，化为对 x)1(,xy ??
??? ?? OBAOL xy dxxy dxxy dx
?? ??? 1001 )( dxxxdxxx
?? 10 232 dxx,54?
xy ?2
)1,1( ?A
)1,1(B
的定积分，化为对 y)2(
,2yx ?
?? ? ABL x y d xx y d x
?? ?? 1 1 22 )( dyyyy
.11到从 ?y
??? 11 42 dyy,54?
xy ?2
)1,1( ?A
)1,1(B
.)0,()0,()2(;
)1(
,
2
的直线段轴到点沿从点
的上半圆周
针方向绕行、圆心为原点、按逆时半径为
为其中计算
aBxaA
a
Ldxy
L
?
?
例 2
解,si n
cos:)1(
??
?
?
?
?
?
ay
axL?
，变到从 ?? 0
)0,(aA)0,( aB ???
? 0原式 ??? daa )s i n(s i n 22 ?
)0,(aA)0,( aB ?
.34 3a??
,0:)2( ?yL?
，变到从 aax ?
? ?? aa dx0原式,0?
问题,被积函数相同，起点和终点也相同，但
路径不同积分结果不同,
??? 03a )( c o s)c o s1( 2 ?? d?
例 3
).1,1(),0,1(
)0,0(,,)3(;)1,1()0,0()2(;)1,1()0,0()1(
,2
2
2
2
依次是点，这里有向折线
的一段弧到上从抛物线
的一段弧到上从抛物线
为其中计算
BAOO A B
BOyx
BOxy
Ldyxxydx
L
?
?
??
2xy?
)0,1(A
)1,1(B解,)1( 的积分化为对 x
,10,,2 变到从xxyL ?
? ???? 10 22 )22( dxxxxx原式
?? 10 34 dxx,1?
)0,1(A
)1,1(B
2yx?,)2( 的积分化为对 y
,10,,2 变到从yyxL ?
? ???? 10 42 )22( dyyyyy原式
?? 10 45 dxy,1?
)0,1(A
)1,1(B
)3(
?
?
??
??
AB
OA
dyxx y d x
dyxx y d x
2
2
2
2原式
,上在 OA,10,0 变到从xy ?
?? ????? 10 22 )002(2 dxxxdyxx y d xOA
.0?
,上在 AB,10,1 变到从yx ?
?? ???? 102 )102(2 dyydyxxyd xAB,1?
10 ??? 原式,1?
)0,1(A
)1,1(B
问题,被积函数相同，起点和终点也相同，但
路径不同而积分结果相同,