第三节 函数的极限
一、函数极限的定义
二、函数极限的性质
三、小结与思考判断题
一、函数极限的定义
本节仿照数列极限讨论给出函数极限，先给
出函数极限的一般概念：在自变量的某个变化过
程中，如果对应的函数值无限接近某个确定常数，
那么这一确定常数就叫作在这一过程中函数的极
限,函数的极限与自变量的变化过程有关,自变量
的变化过程不同，函数极限的形式就不同,主要研
究两种情形,
1.自变量趋于有限值时函数的极限
考虑自变量 趋近于有限值,记这一变
化过程为
x 0x
.0xx ?
仿照数列极限的定义，给出 时函数
的极限的定义, 0
xx ?
.)(
,0,0,0 0
???
??????????
Axf
xx
恒有
时使当
定义'' ?? ?
定义 1 设函数 在点 的某一去心邻
域内有定义,如果对于任意给定的正数（不论它
多么小），总存在正数,使得对于适合不等
式 的一切,对应的函数值
都满足不等式,那么常数 就
叫函数 当 时的极限，记作
?
?
???? ||0 0xx x )(xf ??? |)(| Axf A
)(xf ??x
Axfx ??? )(lim
)(xf 0x
或 )()( 0xxAxf ??当
)( xfy ?
??A
??A
A
??0x ??0x0x
??
x
y
o,2
,
)(,
0
的带形区域内宽为
为中心线线
图形完全落在以直
函数域时
邻的去心在当
?
?
?
?
Ay
xfy
xx
3.(几何解释 )
注, ;)(.1 0 是否有定义无关在点函数极限与 xxf
..2 有关与任意给定的正数 ??
.,,越小越好后找到一个显然 ??
例 1 证明 2)13(l i m
1 ??? xx
证 因为
为使对于任意给定的正数,有
只要,所以对任意,可取,
则当 适合不等式 时，对应的函数
值 就满足不等式
所以
)1(3|2)13(||)(| ?????? xxAxf
? ??? |1|3 x
3|1|
???x
0?? 3?? ?
x ???? |1|0 x
)(xf
?????? |2)13(||)(| xAxf
2)13(l i m 1 ??? xx
.lim 0
0
xxxx ??所以
证
0)( xxAxf ???这里
,0??任给
},,m i n { 00 ??? xx取
,0 0 时当 ???? xx
0
0
xx
xx
?
??
,)( ??? Axf要使
,0 ??? xx就有
,0xxx ??
.0 且不取负值只要 ??? xxx
例 4,lim,0,00
0
xxx xx ?? ?时当证明
讨论单侧极限
.2)(lim
0,2
0,2
)(
0
2
?
?
?
?
??
??
?
?
xf
xx
xx
xf
x
验证
设
两种情况分别讨论和分 00 ?? xx
xy ?? 2
22 ?? xy
y
o x
2
,0从左侧无限趋近x
函数值无限接近于 2,
,0从右侧无限趋近x
函数值无限接近于 2,
左极限
.)(
,,0,0 00
???
??????????
Axf
xxx
恒有
时使当
右极限
.)(
,,0,0 00
???
??????????
Axf
xxx
恒有
时使当
}0{}0{
}0{:
00
0
??????????
????
xxxxxx
xxx
?
注意
.)0()(l i m 0
)(
0
0
0
AxfAxf
xx
xx
???
??
??
或记作
.)0()(lim 0
)(
0
0
0
AxfAxf
xx
xx
???
??
??
或记作
y
x
1
1?
o
左右极限存在但不相等,.)(lim 0 不存在xfx ??
.l i m
0
不存在验证 xx
x ?例 6
x
x
x
x
xx
??
???? 00
l i ml i m证
1)1(lim 0 ???? ??x
x
x
x
x
xx 00
l i ml i m
???
? 11lim 0 ?? ??x
.)0()0()(lim 00
0
AxfxfAxfxx ???????结论,
2.自变量趋于无穷大时函数的极限
自变量 表示 及,
对正数, 表示 及,
??x ???x ???x
X Xx ?|| Xx ?|| Xx ??
定义 4 如果对于任意给定的正数（不论它多么小）
总存在着正数,使得对于适合不等式 的
一切,所对应的函数值 都满足不等式
那么常数 就叫函数 当 时的极限，记
作
?
X Xx ?||
x )(xf
??? |)(| Axf
A )(xf ??x
Axfx ??? )(lim
:.2 0 情形???x Axfx ???? )(lim
.)(,,0,0 ?? ???????? AxfXxX 恒有时使当
:.1 0 情形???x
.)(,,0,0 ?? ??????? AxfXxX 恒有时使当
Axfx ???? )(lim
另两种情形,
???? Axfx )(lim,)(l i m)(l i m AxfAxf xx ?? ?????? 且结论,
x
xy sin?
几何解释,
??
?
X? X
.2,
)(,
的带形区域内宽为为中心线直线
图形完全落在以函数时或当
??
????
Ay
xfyXxXx
A
xxy sin?例 4,0
s i nlim ?
?? x
x
x
证明
证 x xx x si n0si n ??? x
1?
X
1?,??
,0???,1??X取 时恒有则当 Xx ?
,0si n ???x x,0s i nlim ?
?? x
x
x
故
.
)(,)(lim:
的图形的水平渐近线
是函数则直线如果定义 xfycycxf
x
???
??
例 5
证明
xx ee ?? ??? 11 因为
,0???
1s i nl i m 2
2
0
?
? x
x
x
时恒有则当 Xx ?,11 ????? xe
.1)1(lim ?????? xx e所以
?? ???? ?? xx ee 即要使,11
也即
?
1ln?x
.1)1(lim ?????? xx e证明
二、函数极限的性质
1.局部有界性
定理 若在某个过程下,) ( x f 有极限,则存在
过程的一个时刻,在此时刻以后 ) ( x f 有界,
定理,
2.唯一性
若 ) ( lim x f 存在 则极限唯一,
).0)((0)(,),(,0
),0(0,)(lim
0
0
0
???????
???
?
xfxfxUx
AAAxf
xx
或时当则
或且若
定理 (保号性 )
).0(0),0)((0)(
,),(,0,)(l i m 00
0
????
??????
?
AAxfxf
xUxAxf
xx
或则或
时当且若推论
3.局部保号性
4.子列收敛性 (函数极限与数列极限的关系 )
? ?
.
)(),(,),(),(,)(
.),(
),,(
21
000
时的子列当
为函数即
则称数列时使得有数列
中或可以是设在过程
ax
xfxfxfxfxf
axnax
xxxaax
nn
nn
?
????
?
??
??定义
.)(lim,
)()(,)(lim
Axf
axxfxfAxf
nn
nax
?
??
??
?
则有时的一个子列
当是数列若
定理
Axf nax ?? )(l i m
证 设,则对任意的,
总存在,当 时，有
又因为,则对上述的,存在,
当 时，有,由假设,
,故当 时,.从而
有
即
也即函数的子列 收敛,
Axfax ?? )(lim 0??
0?? ???? ||0 ax
??? |)(| Axf
ax nn ???lim 0?? N
Nn ? ??? || ax n axn ?
?? Nn Nn ? ???? ||0 ax
n
??? |)(| Axf n
)}({ nxf
xxy sin?例如,1s i nl i m 0 ?? x xx
,11s i nl i m ?
?? n
n
n
,11s i nl i m ?
?? n
n
n
11s i n1lim 2
2
???
?? n
n
n
n
n
函数极限与数列极限的关系
函数极限存在的充要条件是它的任何子列
的极限都存在,且相等,
xy 1sin?
例 6,1si nlim
0
不存在证明 x
x ?
证 ? ?,1 ?????? ?? nx n取
,0lim ??? nn x ;0?nx且
? ?,
2
14
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
n
x n取
,0lim ???? nn x ;0??nx且
?2 14si nlim1si nlim ???
????
n
x nnn而
,1?1lim??? n
二者不相等,.1si nlim 0 不存在故 xx ?
?nx
n
n
n
si nl i m1si nl i m
????
?而,0?
三、小结
函数极限的统一定义;)(l i m Anfn ???;)(lim Axfx ??? ;)(lim Axfx ???? ;)(lim Axfx ????;)(lim
0
Axfxx ?? ;)(lim
0
Axfxx ???,)(l i m
0
Axfxx ???
.)(
,,,0)(l i m
?
?
??
?????
Axf
Axf
恒有
从此时刻以后时刻
(见下表 )
过 程
时 刻
从此时刻以后
??n ??x ???x ???x
N
Nn ? Nx ? Nx ? Nx ??
)(xf ??? Axf )(
0xx ?
?
???? 00 xx
?? 0xx ?? 0xx
???? 00 xx 00 ????? xx
过 程
时 刻
从此时刻以后
)(xf ??? Axf )(
思考题
试问函数
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
0,5
0,10
0,
1
s i n
)(
2
xx
x
x
x
x
xf 在 0?x 处
的左、右极限是否存在？当 0?x 时,)( xf 的
极限是否存在？
思考题解答
??? )(l i m0 xfx,5)5(lim 20 ???? xx 左极限存在,
??? )(l i m0 xfx,01si nl i m0 ??? xxx 右极限存在,
)(lim0 xfx ?? ??? )(l i m0 xfx? )(lim 0 xfx ?? 不存在,
一、函数极限的定义
二、函数极限的性质
三、小结与思考判断题
一、函数极限的定义
本节仿照数列极限讨论给出函数极限，先给
出函数极限的一般概念：在自变量的某个变化过
程中，如果对应的函数值无限接近某个确定常数，
那么这一确定常数就叫作在这一过程中函数的极
限,函数的极限与自变量的变化过程有关,自变量
的变化过程不同，函数极限的形式就不同,主要研
究两种情形,
1.自变量趋于有限值时函数的极限
考虑自变量 趋近于有限值,记这一变
化过程为
x 0x
.0xx ?
仿照数列极限的定义，给出 时函数
的极限的定义, 0
xx ?
.)(
,0,0,0 0
???
??????????
Axf
xx
恒有
时使当
定义'' ?? ?
定义 1 设函数 在点 的某一去心邻
域内有定义,如果对于任意给定的正数（不论它
多么小），总存在正数,使得对于适合不等
式 的一切,对应的函数值
都满足不等式,那么常数 就
叫函数 当 时的极限，记作
?
?
???? ||0 0xx x )(xf ??? |)(| Axf A
)(xf ??x
Axfx ??? )(lim
)(xf 0x
或 )()( 0xxAxf ??当
)( xfy ?
??A
??A
A
??0x ??0x0x
??
x
y
o,2
,
)(,
0
的带形区域内宽为
为中心线线
图形完全落在以直
函数域时
邻的去心在当
?
?
?
?
Ay
xfy
xx
3.(几何解释 )
注, ;)(.1 0 是否有定义无关在点函数极限与 xxf
..2 有关与任意给定的正数 ??
.,,越小越好后找到一个显然 ??
例 1 证明 2)13(l i m
1 ??? xx
证 因为
为使对于任意给定的正数,有
只要,所以对任意,可取,
则当 适合不等式 时，对应的函数
值 就满足不等式
所以
)1(3|2)13(||)(| ?????? xxAxf
? ??? |1|3 x
3|1|
???x
0?? 3?? ?
x ???? |1|0 x
)(xf
?????? |2)13(||)(| xAxf
2)13(l i m 1 ??? xx
.lim 0
0
xxxx ??所以
证
0)( xxAxf ???这里
,0??任给
},,m i n { 00 ??? xx取
,0 0 时当 ???? xx
0
0
xx
xx
?
??
,)( ??? Axf要使
,0 ??? xx就有
,0xxx ??
.0 且不取负值只要 ??? xxx
例 4,lim,0,00
0
xxx xx ?? ?时当证明
讨论单侧极限
.2)(lim
0,2
0,2
)(
0
2
?
?
?
?
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?
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xf
xx
xx
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验证
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两种情况分别讨论和分 00 ?? xx
xy ?? 2
22 ?? xy
y
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2
,0从左侧无限趋近x
函数值无限接近于 2,
,0从右侧无限趋近x
函数值无限接近于 2,
左极限
.)(
,,0,0 00
???
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Axf
xxx
恒有
时使当
右极限
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,,0,0 00
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xxx
恒有
时使当
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}0{:
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xxx
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注意
.)0()(l i m 0
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xx
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或记作
.)0()(lim 0
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0
0
0
AxfAxf
xx
xx
???
??
??
或记作
y
x
1
1?
o
左右极限存在但不相等,.)(lim 0 不存在xfx ??
.l i m
0
不存在验证 xx
x ?例 6
x
x
x
x
xx
??
???? 00
l i ml i m证
1)1(lim 0 ???? ??x
x
x
x
x
xx 00
l i ml i m
???
? 11lim 0 ?? ??x
.)0()0()(lim 00
0
AxfxfAxfxx ???????结论,
2.自变量趋于无穷大时函数的极限
自变量 表示 及,
对正数, 表示 及,
??x ???x ???x
X Xx ?|| Xx ?|| Xx ??
定义 4 如果对于任意给定的正数（不论它多么小）
总存在着正数,使得对于适合不等式 的
一切,所对应的函数值 都满足不等式
那么常数 就叫函数 当 时的极限，记
作
?
X Xx ?||
x )(xf
??? |)(| Axf
A )(xf ??x
Axfx ??? )(lim
:.2 0 情形???x Axfx ???? )(lim
.)(,,0,0 ?? ???????? AxfXxX 恒有时使当
:.1 0 情形???x
.)(,,0,0 ?? ??????? AxfXxX 恒有时使当
Axfx ???? )(lim
另两种情形,
???? Axfx )(lim,)(l i m)(l i m AxfAxf xx ?? ?????? 且结论,
x
xy sin?
几何解释,
??
?
X? X
.2,
)(,
的带形区域内宽为为中心线直线
图形完全落在以函数时或当
??
????
Ay
xfyXxXx
A
xxy sin?例 4,0
s i nlim ?
?? x
x
x
证明
证 x xx x si n0si n ??? x
1?
X
1?,??
,0???,1??X取 时恒有则当 Xx ?
,0si n ???x x,0s i nlim ?
?? x
x
x
故
.
)(,)(lim:
的图形的水平渐近线
是函数则直线如果定义 xfycycxf
x
???
??
例 5
证明
xx ee ?? ??? 11 因为
,0???
1s i nl i m 2
2
0
?
? x
x
x
时恒有则当 Xx ?,11 ????? xe
.1)1(lim ?????? xx e所以
?? ???? ?? xx ee 即要使,11
也即
?
1ln?x
.1)1(lim ?????? xx e证明
二、函数极限的性质
1.局部有界性
定理 若在某个过程下,) ( x f 有极限,则存在
过程的一个时刻,在此时刻以后 ) ( x f 有界,
定理,
2.唯一性
若 ) ( lim x f 存在 则极限唯一,
).0)((0)(,),(,0
),0(0,)(lim
0
0
0
???????
???
?
xfxfxUx
AAAxf
xx
或时当则
或且若
定理 (保号性 )
).0(0),0)((0)(
,),(,0,)(l i m 00
0
????
??????
?
AAxfxf
xUxAxf
xx
或则或
时当且若推论
3.局部保号性
4.子列收敛性 (函数极限与数列极限的关系 )
? ?
.
)(),(,),(),(,)(
.),(
),,(
21
000
时的子列当
为函数即
则称数列时使得有数列
中或可以是设在过程
ax
xfxfxfxfxf
axnax
xxxaax
nn
nn
?
????
?
??
??定义
.)(lim,
)()(,)(lim
Axf
axxfxfAxf
nn
nax
?
??
??
?
则有时的一个子列
当是数列若
定理
Axf nax ?? )(l i m
证 设,则对任意的,
总存在,当 时，有
又因为,则对上述的,存在,
当 时，有,由假设,
,故当 时,.从而
有
即
也即函数的子列 收敛,
Axfax ?? )(lim 0??
0?? ???? ||0 ax
??? |)(| Axf
ax nn ???lim 0?? N
Nn ? ??? || ax n axn ?
?? Nn Nn ? ???? ||0 ax
n
??? |)(| Axf n
)}({ nxf
xxy sin?例如,1s i nl i m 0 ?? x xx
,11s i nl i m ?
?? n
n
n
,11s i nl i m ?
?? n
n
n
11s i n1lim 2
2
???
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n
n
n
n
函数极限与数列极限的关系
函数极限存在的充要条件是它的任何子列
的极限都存在,且相等,
xy 1sin?
例 6,1si nlim
0
不存在证明 x
x ?
证 ? ?,1 ?????? ?? nx n取
,0lim ??? nn x ;0?nx且
? ?,
2
14
1
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?
?
?
?
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?
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x n取
,0lim ???? nn x ;0??nx且
?2 14si nlim1si nlim ???
????
n
x nnn而
,1?1lim??? n
二者不相等,.1si nlim 0 不存在故 xx ?
?nx
n
n
n
si nl i m1si nl i m
????
?而,0?
三、小结
函数极限的统一定义;)(l i m Anfn ???;)(lim Axfx ??? ;)(lim Axfx ???? ;)(lim Axfx ????;)(lim
0
Axfxx ?? ;)(lim
0
Axfxx ???,)(l i m
0
Axfxx ???
.)(
,,,0)(l i m
?
?
??
?????
Axf
Axf
恒有
从此时刻以后时刻
(见下表 )
过 程
时 刻
从此时刻以后
??n ??x ???x ???x
N
Nn ? Nx ? Nx ? Nx ??
)(xf ??? Axf )(
0xx ?
?
???? 00 xx
?? 0xx ?? 0xx
???? 00 xx 00 ????? xx
过 程
时 刻
从此时刻以后
)(xf ??? Axf )(
思考题
试问函数
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
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0,5
0,10
0,
1
s i n
)(
2
xx
x
x
x
x
xf 在 0?x 处
的左、右极限是否存在？当 0?x 时,)( xf 的
极限是否存在？
思考题解答
??? )(l i m0 xfx,5)5(lim 20 ???? xx 左极限存在,
??? )(l i m0 xfx,01si nl i m0 ??? xxx 右极限存在,
)(lim0 xfx ?? ??? )(l i m0 xfx? )(lim 0 xfx ?? 不存在,
