第六节
极限存在准则与两个重要极限
一 极限存在的两个准则
二 两个重要极限
三 小结与思考判断题
1.夹逼准则 (两边夹定理）
定理Ⅰ 如果数列
nn
yx,及
n
z 满足下列条件,
,lim,lim)2(
)3,2,1()1(
azay
nzxy
n
n
n
n
nnn
??
???
????
?
那末数列
n
x 的极限存在,且 ax
n
n
?
??
lim,
证
,,azay nn ??因为
使得,0,0,0 21 ????? NN?
一 极限存在准则
,1 ???? ayNn n时恒有当
},,m a x { 21 NNN ?取
,?????? aya n即
,2 ???? azNn n时恒有当
,?????? aza n
上两式同时成立,
恒有时当,Nn ?,?? ?????? azxya nnn
,成立即 ??? ax n,lim ax nn ?? ??
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
准则Ⅰ ′ 如果当 )(
0
0
xUx
?
? ( 或 Mx ? ) 时,有
,)(lim,)(lim)2(
),()()()1(
)()(
00
AxhAxg
xhxfxg
x
xx
x
xx
??
??
??
?
??
?
那末 )(li m
)(
0
xf
x
xx
??
?
存在,且等于 A,
注意,
.
,
的极限是容易求的与并且
与键是构造出利用夹逼准则求极限关
nn
nn
zy
zy
准则 和 准则 称为 夹逼准则, I 'I
例 1 ).12111(lim 222 nnnn
n ?
?????
??
?求
解,1111 2222 ???????? n nnnnnn n ??
n
nn
n
nn 1
1
1l i ml i m
2
?
?
? ????
又
,1?
2
2 1
1
1lim
1
lim
n
n
n
nn
?
?
? ????,1? 由夹逼准则得
.1)12111(lim 222 ???????
?? nnnnn
?
x1x 2x 3x 1?nxnx
2.单调有界准则
满足条件如果数列 nx
,121 ?? ???? ?nn xxxx 单调增加
,121 ?? ???? ?nn xxxx 单调减少
单调数列
准则 Ⅱ 单调有界数列必有极限,
几何解释,
A M
证,1 nn xx ??显然 ? ? ;是单调递增的nx?
,331 ??x?又,3?kx假定 kk xx ??? 31 33 ??,3?
? ? ;是有界的nx?,lim 存在nn x???
,31 nn xx ????,32 1 nn xx ??? ),3(limlim 2 1 nnnn xx ?? ?????
,32 AA ?? 2 131,2 131 ???? AA解得 (舍去 )
.2 131l i m ??? ?? nn x
,)
n 例 2 (
的极限存在 式
重根 证明数列 333 ???? ?nx
A
C二、两个重要极限
1,1s i nl i m
0
?
? x
x
x
xo
B
D
)20(,,????? xxA O BO 圆心角设单位圆
,t a n,,si n ACxABxBDx ??? 弧于是有
.A CO?，得作单位圆的切线
,xO A B 的圆心角为扇形,BDO AB 的高为?
,t a ns in xxx ???,1s i nco s ?? x xx即
.02 也成立上式对于 ???? x,20 时当 ??? x
xx co s11co s0 ???? 2si n2 2 x? 2)2(2 x?,2
2x
?
,02lim
2
0
?
?
x
x
?,0)co s1(lim 0 ??? ? xx
,1co sl i m 0 ?? ? xx,11lim 0 ??x?又
1
0
??
? x
x
x
s i nl i m
2 4 6 8 10
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-10 -8 -6 -4 -2
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
的图象x xs i n
述极限的一般形式：利用变量代换可导出上;1
)(
)(s i nlim
0)(
?
? x
x
x ?
?
?
例 3 （ 1）,co s1lim 2
0 x
x
x
?
?
求
解 2
2
0
2
s i n2
l i m
x
x
x ?
?原式 2
2
0
)
2
(
2
s i n
l i m
2
1
x
x
x ?
?
2
0
)
2
2
s i n
(lim
2
1
x
x
x ?
?
21
2
1 ??,
2
1?
（ 2）
.t a nlim
0 x
x
x ?
求
2,ex x
x
??
??
)11(l i m
定义 en n
n
??
??
)11(lim
n
n nx )
11( ??设
???????? 21!2 )1(1!11 nnnnn
).11()21)(11(!1)11(!2111 nnnnnn ?????????? ??
nnn
nnnn 1
!
)1()1( ????? ?
,1 时当 ?x,1][][ ??? xxx有
,)][ 11()11()1][ 11( 1][][ ??????? xxx xxx
)][ 11(lim)][ 11(lim)][ 11(lim ][1][ xxx
x
x
x
x
x
?????
??????
?
???
而,e?
11][
][
)
1][
1
1(lim)
1][
1
1(lim
)
1][
1
1(lim
?
???
?
???
???
?
??
?
??
?
?
xx
x
x
x
x
x
x
,e?
.)11(l i m ex xx ??? ???
).
1
1()
2
2
1)(
1
1
1(
)!1(
1
)
1
1
1()
2
2
1)(
1
1
1(
!
1
)
1
1
1(
!2
1
11
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
????
?
n
n
nnn
n
n
nnn
n
x
n
?
?
?
,1 nn xx ??显然 ? ? ;是单调递增的n?
!
1
!2
111
nx n ????? ? 12
1
2
111
?????? n?
12
13
??? n,3? ? ? ;是有界的nx?
.lim 存在nn x??? en nn ???? )11(l i m记为 )71828.2( ??e
类似地,
,xt ??令
t
t
x
x tx
?
?????? ???? )
11(l i m)11(l i m t
t t )1
11(lim
??? ???
)111()111(lim 1 ????? ???? tt tt,e?
ex x
x
???
??
)11(lim
,1xt ?令 t
t
x
x t
x )11(lim)1(lim
1
0
???
???,e?
ex x
x
??
?
1
0
)1(lim
述极限的一般形式：利用变量代换可导出上
ex x
x
??
?
)(
1
0)
))(1lim ?
?
?（
（
注意这个极限的特征,
底为两项之和，第一项为 1，第二项
是 无穷小量，指数与第二项互为倒数 。
例 4,)11(l i m x
x x
?
??
求
解 xx
x
???
?
?
?
)11(
1l i m
1])11[(lim ??
?? ???
x
x x原式
.1e?
例 5,)23(lim 2 x
x x
x
?
?
??
求
解 422 )211(])211[(l i m ??
?? ????? xx
x
x原式,
2e?
1.两个准则
夹逼准则 ; 单调有界准则,
2.两个重要极限;1s i nl i m1 0 ?? ?
某过程,)1(l i m2
1
0 e??? ?
某过程
,为某过程中的无穷小设 ?
三、小结与判断思考题
小结
思考题
求极限 ? ? xxx
x
1
93l i m ?
???
思考题解答
? ? xxx
x
1
93l i m ?
???
? ? xxxx
x
1
1
1
3
19l i m
?
?
??
?
? ??
???
x
xx
xx ?
??? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ??? 3
1
3
3
1
1lim9
99 0 ??? e