第四节 对面积的曲面积分
一、概念的引入
二、对面积的曲面积分的定义
三、计算法
若曲面 ? 是光滑的,它的面密度为连
续函数 ),,( zyx?,求它的质量,
实例
所谓曲面光滑
即曲面上各点处都
有切平面,且当点在
曲面上连续移动时,
切平面也连续转动,
一、概念的引入
设曲面 ? 是光滑的,函数 ),,( zyxf 在 ?
上有界,把 ? 分成 n 小块 iS? （ iS? 同时也表示
第 i 小块曲面的面积）,设点 ),,(
iii
??? 为 iS? 上
任意取定的点,作乘积 ?),,(
iii
f ??? iS?,
并作和 ?
?
?
n
i
iii
f
1
),,( ???
i
S?,如果当各小块曲面
的直径的最大值 0?? 时,这和式的极限存在,
则称此极限为函数 ),,( zyxf 在曲面 ? 上对面积
的 曲面积分 或 第一类曲面积分,
1.定义
二、对面积的曲面积分的定义
即 ??
?
dSzyxf ),,( iii
n
i
i Sf ?? ?
?
?
),,(lim
1
0
???
?
记为 ??
?
dSzyxf ),,(,
??
?
?dSzyxf ),,( ????
??
?
21
),,(),,( dSzyxfdSzyxf,
2.对面积的曲面积分的性质
则及可分为分片光滑的曲面若,21 ???
叫被积函数，其中 ),,( zyxf,叫积分曲面?;1)],(,,[ 22 dxdyzzyxzyxf
xyD
yx?? ????
???
?
dSzyxf ),,(
),(:.1 yxzz ??若曲面
则
按照曲面的不同情况分为以下三种,
三、计算法;1]),,(,[ 22 d x dzyyzzxyxf
xzD
zx?? ????
???
?
dSzyxf ),,(则
.1],),,([ 22 dydzxxzyzyxf
yzD
zy?? ????
???
?
dSzyxf ),,(
),( zyxx ?Σ,若曲面3.
则
),( zx?? ??,2.若曲面
计算 ??
?
?? dszyx )(,其中 ? 为平面
5?? zy 被柱面 2522 ?? yx 所截得的部分,
例 1
积分曲面
?, yz ?? 5,
解
投影域,
}25|),{( 22 ??? yxyxD xy
??
?
?? dszyx )(故
?? ????
xyD
dx d yyyx )5(2 ?? ??
xyD
d x d yx )5(2
rdrrd ?? ???? ? 5020 )cos5(2,2125 ??
dxdyzzdS yx 221 ?????
dxdy2)1(01 ????,2 d x d y?
例 2 计算 dSxy z??
?
||,
其中 ? 为抛物面
22
yxz ?? （ 10 ?? z ）,
解 依对称性知,
被积函数 || x y z 关于
xoz, yo z 坐标面对称
轴对称，关于
抛物面
z
yxz 22 ??
有 ????
??
?
1
4 成立,( 1? 为第一卦限部分曲面 )
x y
z
dxdyzzdS yx 221 ?????
dxdyyx 22 )2()2(1 ???
原式 dSx y z??
?
? || dSxyz??
?
?
1
4
dx d yyxyxxy
xyD
2222 )2()2(1)(4 ???? ??
?
其中 1|),{( 22 ???? yxyxD xy,}0,0 ?? yx
利用极坐标 trx c o s?,try si n?,
rd rrrttrdt ?? ??? 10 22220 41si nco s4
?
drrrt d t 210 50 412si n2 2 ?? ?? ? 令 241 ru ??
duuu 25
1
)4 1(41 ?? ?,4 2 0 151 2 5?
计算 ??
?
xdS,其中 ? 是圆柱面 122 ?? yx,
平面 2?? xz 及 0?z 所围成的空间立体的表面,
例 3
解 ????????
????
???
321
其中 1?, 0?z,2?, 2?? xz,
3?, 122 ?? yx,投影域 1D, 122 ?? yx
显然 0
11
?? ????
? D
x d x d yxdS,
,011
12
??? ????
? D
d x d yxx d S
讨论 3? 时,将投影域选在 x o z 上,
（ 注意,21 xy ??? 分为左、右两片 ）
??
? 3
xdS ??
?
?
31
x d S ??
?
?
32
x d S
（左右两片投影相同）
?? ?????
xzD
zx d x d zyyx
2212 xoz
??
?
??
xzD
d x d z
x
xx
2
2
1
12
? ?? ??? 1 1 20212 x dzdxxx
,??
??
?
? xdS ?????? 00,
计算 dSzyx )( 222 ????
?
,其中 ? 为内接于球面
2222 azyx ??? 的八面体 azyx ??? |||||| 表面,
例 4
被积函数 ?),,( zyxf 222 zyx ??,解
关于坐标面、原点均对称,
积分曲面 ? 也具有对称性,
故原积分 ????
??
?
1
8,
( 其中 1? 表示第一卦限部分曲面 )
1?, azyx ???,即 yxaz ???
d x d yzzdS yx 221 ??? dxdy3?
dSzyx )( 222 ????
? ???
???
1
)(8 222 dSzyx
d x dyyxayx
xyD
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一、概念的引入
二、对面积的曲面积分的定义
三、计算法
若曲面 ? 是光滑的,它的面密度为连
续函数 ),,( zyx?,求它的质量,
实例
所谓曲面光滑
即曲面上各点处都
有切平面,且当点在
曲面上连续移动时,
切平面也连续转动,
一、概念的引入
设曲面 ? 是光滑的,函数 ),,( zyxf 在 ?
上有界,把 ? 分成 n 小块 iS? （ iS? 同时也表示
第 i 小块曲面的面积）,设点 ),,(
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任意取定的点,作乘积 ?),,(
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并作和 ?
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的直径的最大值 0?? 时,这和式的极限存在,
则称此极限为函数 ),,( zyxf 在曲面 ? 上对面积
的 曲面积分 或 第一类曲面积分,
1.定义
二、对面积的曲面积分的定义
即 ??
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2.对面积的曲面积分的性质
则及可分为分片光滑的曲面若,21 ???
叫被积函数，其中 ),,( zyxf,叫积分曲面?;1)],(,,[ 22 dxdyzzyxzyxf
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则
按照曲面的不同情况分为以下三种,
三、计算法;1]),,(,[ 22 d x dzyyzzxyxf
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则
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5?? zy 被柱面 2522 ?? yx 所截得的部分,
例 1
积分曲面
?, yz ?? 5,
解
投影域,
}25|),{( 22 ??? yxyxD xy
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例 2 计算 dSxy z??
?
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其中 ? 为抛物面
22
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解 依对称性知,
被积函数 || x y z 关于
xoz, yo z 坐标面对称
轴对称，关于
抛物面
z
yxz 22 ??
有 ????
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1
4 成立,( 1? 为第一卦限部分曲面 )
x y
z
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原式 dSx y z??
?
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xdS,其中 ? 是圆柱面 122 ?? yx,
平面 2?? xz 及 0?z 所围成的空间立体的表面,
例 3
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其中 1?, 0?z,2?, 2?? xz,
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显然 0
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讨论 3? 时,将投影域选在 x o z 上,
（ 注意,21 xy ??? 分为左、右两片 ）
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31
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（左右两片投影相同）
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计算 dSzyx )( 222 ????
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,其中 ? 为内接于球面
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例 4
被积函数 ?),,( zyxf 222 zyx ??,解
关于坐标面、原点均对称,
积分曲面 ? 也具有对称性,
故原积分 ????
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1
8,
( 其中 1? 表示第一卦限部分曲面 )
1?, azyx ???,即 yxaz ???
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