第三节 任意项级数及其审敛法
一 交错级数及其审敛法
二 绝对收敛与条件收敛
1,定义, 正、负项相间的级数称为交错级数,
2.定理 1(莱布尼茨定理 ) 如果交错级数满足条件,
.0l i m)2();,2,1()1( 1 ??? ??? nnnn unuu ?
则级数收敛,且其和,其余项 的绝对值 1us? nr
1|| ?? nn ur
)1()1(
11
1
n
n
n
n
n
n uu ??
?
?
?
?
? ?? )0( ?
nu其中 或
一 交错级数及其审敛法
证明
)()()( 21243212 nnn uuuuuus ??????? ???
nnnn uuuuuus 212223212 )()( ??????? ???1u?
,01 ??? nn uu?
.l i m 12 uss nn ??? ??,0lim 12 ???? nn u?
数列 是单调增加的, ns2 又
)(l i ml i m 12212 ?????? ??? nnnnn uss,s?
,21 ???? ?? nnn uur
满足收敛的两个条件,.1??? nn ur
定理证毕,
? 级数收敛于和,且 s,1us ?
),( 21 ????? ?? nnn uur余项
解
例 1 讨论交错级数 的敛散性, n
1)1(
1
1?
?
?
??
n
n
11
11
????? nn unnu? 0
1lim ?
?? nn且
n1)1(
1
1?
?
?
???
n
n收敛,且其和为,1?s
用 替代,误差 ns s,1
1||
?? nrn
类似得,均收敛, n
1)1(
1
1?
?
?
??
n
n
2
1)1(
n
1
1?
?
?
??
n
n
例 2 讨论级数 的敛散性, )1()1(
1
1 nn
n
n ????
?
?
?
)1(limlim nnu nnn ??? ?????
)12()1(1 ???????? ? nnnnuu nn
又
解
.011lim ????
?? nnn
12
1
1
1
??????? nnnn
0)12)(1( )2( ?????? ??? nnnn nn
即 1?? nn uu
)1()1(
1
1 nn
n
n ???? ?
?
?
?收敛,
例 3 讨论级数 的敛散性, 2
1
1 12)1(
n
n
n
n ???
?
?
?
012l i ml i m 2 ???
???? n
nu
nnn
?解
)2(0)1(2)12( 32 ?????? xx xxx又
故函数 单减,从而 2 12 nn ?,1?? nn uu
所以原级数收敛,
注意
1.满足莱布尼兹定理条件的级数称为莱布尼兹
型级数,如
均为莱布尼兹型级数,
n1)1(
1
1?
?
?
??
n
n
n
1)1(,
1
1?
?
?
??
n
n
2,莱布尼兹定理的两个条件仅是充分条件,但
也是必要条件,
0lim ??? nn u
1.定义 1,正项和负项任意出现的级数称为任意项级数,
2.定理 2 若 收敛,则 收敛, ?
?
?1
||
n
nu ?
?
?1n
nu
定义 2,若 收敛,则称 为绝对收敛； ?
?
?1
||
n
nu ?
?
?1n
nu
若 发散,而 收敛则称 为条件收敛； ?
?
?1
||
n
nu ?
?
?1n
nu?
?
?1n
nu
二 绝对收敛与条件收敛
注, 定理 2主要用来联系任意项级数和正项级
数,并进行前者敛散性的判别,
证明 ),,2,1()(
2
1 ???? nuuv
nnn令
,0?nv,nn uv ? ?
?
?
?
1n
nv显然 且 收敛,
),2(
11
?? ?
?
?
?
??
n
nn
n
n uvu?又 ?
?
?
?
1n
nu收敛;
12
2
)1()3(;
12
)1()2(;
2
)1()1(
1
1
2
1
1
2
1
2
)1(
?
?
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
nn
解
例 4 判别下列级数是否收敛,若收敛,是绝对收
敛还是条件收敛?
.2|2)1(|)1(
1
22
1
2
)1(
??
?
?
?
?
?
??
n
nn
n
nn nn
,1
2
1
)
1
1(
2
1
l i m
2
2
)1(
l i m
2
2
1
2
????
?
??
?
?? nn
n
n
n
n
n
?
收敛, ?
?
?
?
1
2
2n n
n
故原级数绝对 收敛,
在例 3中已证明了 收敛, )2( 2
1
1 12)1(
n
n
n
n ???
?
?
?
,2
12
lim
1
12
lim
2
?
?
?
?
???? n
n
n
n
n
nn
?
?
?
?
??
1
2
12
n n
n
发散,从而原级数条件收敛,
)3( 012 2lim||lim ??? ???? nu
n
nnn
?
0lim ?? ?? nn u
从而原级数发散,