一、问题的提出
二、微分方程的基本概念
三、小结
第一节 微分方程的基本概念
例 1 一曲线通过点 ( 1,1 ),且在该曲线上任一点 ),( yxM 处
的切线的斜率为 x2,求这曲线的方程,
解 )( xyy ?设所求曲线为
xdxdy 2? 1,1 ?? yx 时其中
?? x d xy 2,2 Cxy ??即,0?C求得
.2xy ?所求曲线方程为
一、问题的提出
mgdt sdm ?2
2
,,0,0 0vdtdsvst ???? 时
1Cgtdt
dsv ???
21
2
2
1 CtCgts ???
例 2 一质量为 m的物体以初速度 v0自高 H处自
由落下，求物体下落的距离 s与时间 t的函数关
系（不计空气阻力）
解 根据牛顿第二定律
代入初始条件后知 0,201 ?? CvC
,21 02 tvgts ??故
).2(1 020 vgHvgt ???
上式中令 s=H得到物体落到地面所需的时间
微分方程,
凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程,
例,xyy ??
,0)( 2 ??? x d xdtxt
,0)5( ?y
,yxxz ????
实质, 联系自变量,未知函数以及未知函数的
某些导数 (或微分 )之间的关系式,
二、微分方程的基本概念
微分方程的阶,指微分方程中出现的未知函数的最
高阶导数的阶数,
分类 1,常微分方程,偏常微分方程,
,0),,( ??yyxF一阶微分方程 );,( yxfy ??
分类 2,
,0),,,,( )( ?? nyyyxF ?
).,,,,( )1()( ??? nn yyyxfy ?
高阶 (n>2)微分方程
分类 3,线性与非线性微分方程,
),()( xQyxPy ???,02)( 2 ????? xyyyx
);()()( xfyxQyxPy ??????
分类 4,单个微分方程与微分方程组,,
,2
,23
?
?
?
?
?
??
??
zy
dx
dz
zy
dx
dy
.co s)( xyyxyx ??????
微分方程的解,
指代入微分方程能使方程成为恒等式的函数,
微分方程的解的分类,
(1)通解, 微分方程的解中含有任意常数,且独
立任意常数的个数与微分方程的阶数相同,
,)( 阶导数上有在区间设 nIxy ??
.0))(,),(),(,( )( ?? xxxxF n??? ?
.)( 为方程的解则 xy ??
(2)特解, 确定了通解中任意常数以后的解,
,yy ??例 ;xcey ?通解
,0???? yy ;c o ssi n 21 xcxcy ??通解
解的图象, 微分方程的积分曲线,
通解的图象, 积分曲线族,
初始条件, 用来确定任意常数的条件,
过定点的积分曲线 ; ??
?
?
??
? 00
),(
yy
yxfy
xx
一阶,
二阶,
?
?
?
????
????
?? 00 00,
),,(
yyyy
yyxfy
xxxx
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线,
初值问题, 求微分方程满足初始条件的解的问题,
例 3 验证函数
xx
eCeCy
2
21
?? 是微分方程
023 ?????? yyy 的解, 并求满足初始条件
1,0
00
???
?? xx
yy 的特解,
解
.
0)(2
)2(3)4(
,,
,4,2
2
21
2
21
2
21
2
21
2
21
2
21
是原方程的解故
代入原方程.将
xx
xx
xxxx
xxxx
eCeCy
eCeC
eCeCeCeC
yyy
eCeCyeCeCy
??
???
???
???
???????
补充, 微分方程的初等解法, 初等积分法,
求解微分方程 求积分
(通解可用初等函数或积分表示出来 )
.1,1 21 ???? CC,1,0 00 ??? ?? xx yy?
.2 xx eey ??所求特解为
例 4 ),( 21221 为任意常数求 CCxCCy ??
所满足的二阶微分方程,
解 3 2221
2,
x
Cy
x
CCy ?????
.21,21,321 yxCyxyC ????????解得
,2121 中代入将 xCxCy，CC ??整理得
02 ?????? yyxyx
微分方程 ; 微分方程的阶 ; 微分方程的解 ;
通解 ; 初始条件 ; 特解 ; 初值 问题 ; 分曲积线 ;
三、小结
思考题
函数 xey 23? 是微分方程 04 ???? yy 的
什么解?
思考题解答
,6 2 xey ???,12 2 xey ???
???? yy 4,03412 22 ??? xx ee
xey 23?? 中不含任意常数,
故为微分方程的特解,
三、设曲线上点 ),( yxP 处的法线与 x 轴的交点为 Q,
且线段 PQ 被 y 轴平分,试写出该曲线所满足的微
分方程,
一,填空题,
1, 02
2
???????? yxyyx 是 __ __ _ _ 阶微分方程；
2, 0
2
2
???
c
Q
dt
dQ
R
dt
Qd
L 是 __ __ __ 阶微分方程；
3, ??
?
?
2
s i n??
d
d
是 __ __ __ 阶微分方程；
4,一个二阶微分方程的通解应含有 __ _ _ 个任意常数,二、确定函数关系式 )s i n (
21 cxcy ?? 所含的参数,使其
满足初始条件 1???xy,0?? ??xy,
练 习 题
四、已知函数 1???? ? xbeaey xx,其中 ba,为任意常
数,试求函数所满足的微分方程,
练习题答案
一,1, 3 ； 2, 2 ； 3, 1 ； 4, 2.
二,.
2
,1
21
?
?? CC
三,02 ??? xyy,
四,xyy ????? 1,
二、微分方程的基本概念
三、小结
第一节 微分方程的基本概念
例 1 一曲线通过点 ( 1,1 ),且在该曲线上任一点 ),( yxM 处
的切线的斜率为 x2,求这曲线的方程,
解 )( xyy ?设所求曲线为
xdxdy 2? 1,1 ?? yx 时其中
?? x d xy 2,2 Cxy ??即,0?C求得
.2xy ?所求曲线方程为
一、问题的提出
mgdt sdm ?2
2
,,0,0 0vdtdsvst ???? 时
1Cgtdt
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21
2
2
1 CtCgts ???
例 2 一质量为 m的物体以初速度 v0自高 H处自
由落下，求物体下落的距离 s与时间 t的函数关
系（不计空气阻力）
解 根据牛顿第二定律
代入初始条件后知 0,201 ?? CvC
,21 02 tvgts ??故
).2(1 020 vgHvgt ???
上式中令 s=H得到物体落到地面所需的时间
微分方程,
凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程,
例,xyy ??
,0)( 2 ??? x d xdtxt
,0)5( ?y
,yxxz ????
实质, 联系自变量,未知函数以及未知函数的
某些导数 (或微分 )之间的关系式,
二、微分方程的基本概念
微分方程的阶,指微分方程中出现的未知函数的最
高阶导数的阶数,
分类 1,常微分方程,偏常微分方程,
,0),,( ??yyxF一阶微分方程 );,( yxfy ??
分类 2,
,0),,,,( )( ?? nyyyxF ?
).,,,,( )1()( ??? nn yyyxfy ?
高阶 (n>2)微分方程
分类 3,线性与非线性微分方程,
),()( xQyxPy ???,02)( 2 ????? xyyyx
);()()( xfyxQyxPy ??????
分类 4,单个微分方程与微分方程组,,
,2
,23
?
?
?
?
?
??
??
zy
dx
dz
zy
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.co s)( xyyxyx ??????
微分方程的解,
指代入微分方程能使方程成为恒等式的函数,
微分方程的解的分类,
(1)通解, 微分方程的解中含有任意常数,且独
立任意常数的个数与微分方程的阶数相同,
,)( 阶导数上有在区间设 nIxy ??
.0))(,),(),(,( )( ?? xxxxF n??? ?
.)( 为方程的解则 xy ??
(2)特解, 确定了通解中任意常数以后的解,
,yy ??例 ;xcey ?通解
,0???? yy ;c o ssi n 21 xcxcy ??通解
解的图象, 微分方程的积分曲线,
通解的图象, 积分曲线族,
初始条件, 用来确定任意常数的条件,
过定点的积分曲线 ; ??
?
?
??
? 00
),(
yy
yxfy
xx
一阶,
二阶,
?
?
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????
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),,(
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过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线,
初值问题, 求微分方程满足初始条件的解的问题,
例 3 验证函数
xx
eCeCy
2
21
?? 是微分方程
023 ?????? yyy 的解, 并求满足初始条件
1,0
00
???
?? xx
yy 的特解,
解
.
0)(2
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,,
,4,2
2
21
2
21
2
21
2
21
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21
是原方程的解故
代入原方程.将
xx
xx
xxxx
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eCeCy
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eCeCeCeC
yyy
eCeCyeCeCy
??
???
???
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???????
补充, 微分方程的初等解法, 初等积分法,
求解微分方程 求积分
(通解可用初等函数或积分表示出来 )
.1,1 21 ???? CC,1,0 00 ??? ?? xx yy?
.2 xx eey ??所求特解为
例 4 ),( 21221 为任意常数求 CCxCCy ??
所满足的二阶微分方程,
解 3 2221
2,
x
Cy
x
CCy ?????
.21,21,321 yxCyxyC ????????解得
,2121 中代入将 xCxCy，CC ??整理得
02 ?????? yyxyx
微分方程 ; 微分方程的阶 ; 微分方程的解 ;
通解 ; 初始条件 ; 特解 ; 初值 问题 ; 分曲积线 ;
三、小结
思考题
函数 xey 23? 是微分方程 04 ???? yy 的
什么解?
思考题解答
,6 2 xey ???,12 2 xey ???
???? yy 4,03412 22 ??? xx ee
xey 23?? 中不含任意常数,
故为微分方程的特解,
三、设曲线上点 ),( yxP 处的法线与 x 轴的交点为 Q,
且线段 PQ 被 y 轴平分,试写出该曲线所满足的微
分方程,
一,填空题,
1, 02
2
???????? yxyyx 是 __ __ _ _ 阶微分方程；
2, 0
2
2
???
c
Q
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dQ
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Qd
L 是 __ __ __ 阶微分方程；
3, ??
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是 __ __ __ 阶微分方程；
4,一个二阶微分方程的通解应含有 __ _ _ 个任意常数,二、确定函数关系式 )s i n (
21 cxcy ?? 所含的参数,使其
满足初始条件 1???xy,0?? ??xy,
练 习 题
四、已知函数 1???? ? xbeaey xx,其中 ba,为任意常
数,试求函数所满足的微分方程,
练习题答案
一,1, 3 ； 2, 2 ； 3, 1 ； 4, 2.
二,.
2
,1
21
?
?? CC
三,02 ??? xyy,
四,xyy ????? 1,
