第六节 可降阶的高阶微分方程
三 型
一 型
二 型 ),( yxfy ????
),( yyfy ????
)()( xfy n ?
特点,.,,)1( ?? nyy ?元素未显含函数
解法,,可得通解次连续积分,n
型)()( xfy n ?一,
例 1,s i n 的通解求方程 xxy ?????
? ??????? 12 c o s21)si n( Cxxdxxxy
21
3 si n
6
1 CxCxxy ?????
32
2
1
4
2
1co s
18
1 CxCxCxxy ?????
二,型 ),( yxfy ????
特点,方程未显含未知数 y
解法,dxdPyPy ?????,则令
),( PxfdxdP ?代入原方程得
),( 1CxdxdPP ???设其解为
? ??,),( 21 CdxCxy ?原方程通解为,
解
.2)1( 2 的通解求方程 yxyx ?????例 2
dx
dPyPy ????? 则令,
xPdxdPx 2)1( 2 ??方程化成
dxxxdPP 21 21 ??分离变量
）＋（＝＝ 21 1 xCyP ?积分
2
3
1 )3
1( CxxCy ???
方程的通解为
特点, x方程不显含自变量
解法,.,dy
dPP
dx
dy
dy
dPyPy ?????? 则令
),( PyfdydPP ?代入原方程得
),( 1CyyP ????设其解为
2
1 ),(
1 Cxdy
Cy ??? ?原方程通解为
),( yyfy ????三,型
解
.02 的通解求方程 ????? yyy例 3
,),( dydPPyyPy ?? 则设
,02 ??? PdydPPy,0)( ??? PdydPyP即
yCPPdydPy 1,0 ???? 可得由
xCeCyyC
dx
dy 1
21,??? 原方程通解为
解
.02 的通解求方程 ????? yyy例 4
,0)( ??yydxd将方程写成
dxCy d yCyy 11,??? 即故有
212 CxCy ??积分后得通解
注意,这一段技巧性较高，关键是配导数的方程
解法 通过代换将其化成较低阶的方程来求解,
解,
1
2y两端同乘不为零因子
,0)(2
2
??????? yydxdy yyy,1 yCy ??故
从而通解为,12 xCeCy ?
.02 的通解求方程 ????? yyy例 5
四、小结
另解 原方程变为,y
y
y
y ??
?
??
两边积分,得,1lnlnln Cyy ???,即 yCy 1??
原方程通解为,12 xCeCy ?
解
,xCz ?解其通解为
.212 xCC xdx eCey ?? ?原方程通解为
,?? zd xey设,zxz ??代入原方程 得
.2 的通解求方程 yyyxyxy ??????补充题,
已知 3
1
?y,
2
2
3 xy ??,
x
exy ???
2
3
3 都是微分
方程 ? ? ? ? ? ? ? ?162222
22
?????????? xyxyxyxx
的解，求此方程所对应齐次方程的通解,
思考题
思考题解答
321,,yyy? 都是微分方程的解,
,23 xeyy ???,212 xyy ??
是对应齐次方程的解,
2
12
23
x
e
yy
yy x?
?
??
? 常数
所求通解为 ?
.221 xCeC x ??
? ? ? ?122231 yyCyyCy ????
一、求下列各微分方程的通解,
1,
x
xey ???? ； 2,
2
1 yy ????? ；
3, yyy ??????
3
)( ； 4, 0
1
2
2
??
?
??? y
y
y,
二,求下列各微分方程满足所给初始条件的特解,
1, 0,1,01
11
3
???????
?? xx
yyyy ；
2, 1,0,0
00
2
?????????
?? xx
yyyay ；
3, 2,1,3
00
??????
?? xx
yyyy,
三,试求
xy ???
的经过点
)1,0(M
且在此点与直线
1
2
??
x
y 相切的积分曲线,
练 习 题
练习题答案
一,1,
32
1
2
3 CxCx
C
exey
xx
????? ；
2,
21
)c o s(ln CCxy ???? ；
3,
12
)a r c s i n ( CeCy
x
?? ；
4,
xCxC
y
21
1
1
?
??,
二,1,
2
2 xxy ?? ； 2, )1l n (
1
??? ax
a
y ；
3,
4
)1
2
1
( ?? xy,
三,1
2
1
6
1
3
??? xxy,
