第五节 隐函数及参数方程确定
函数的导数
一 隐函数求导法
二 对数求导法
三 参数方程确定函数的导数
四 小结
1.定义,
.称为隐函数
所确定的函数由二元方程 )(),( xyyyxF ?
形式称为显函数.)( xfy ?
0),( ?yxF )( xfy ? 隐函数的显化
问题,隐函数不易显化或不能显化如何求导?
如何求导?
例如,如何求导?,0??? yx eexy
,333 xyyx ??
一、隐函数的导数
2.隐函数求导法
方法一、方程两边微分，然后解出导数,
例 1 设 求,dxdy
xdyy d xdyydxx 3333 22 ???
解 方法一 方程两边微分
,333 xyyx ??
x y
为中间变量，然后解出导数,
方法二、方程两边对 求导数，而将
.
)()(
2
2
22
xy
xy
dx
dy
dxxydyxy
?
?
??
???
方法二 方程两边求导
.
)(333
2
2
22
xy
xy
dx
dy
yxyyyx
?
?
??
?????
注意,隐函数的导数仍是隐函数,
例 2 求由方程,0??? yx eexy 所确定的隐函数
.,0?xdxdydxdy的导数 y
解 方程两边对 x 对导,
0???? dxdyeedxdyxy yx
解得,x
x
ex
ye
dx
dy
?
?? 由原方程知,0,0 ?? yx
.1 0
00
????? ?
??
x
yx
x
x ex
ye
dx
dy
例 3,0si n21 ??? yyx 求,,2
2
dx
yd
dx
dy
求导,
解 方程两边对 x 对导,
,
co s20
2
,0co s
2
1
1
ydx
dy
y
yyy
????
?????
再对 x
.
)co s2(
s i n4
)co s2(
s i n2
)
co s2
2
(
3
22
2
y
y
dx
dy
y
y
ydx
d
dx
yd
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1 对数求导法
2 适用范围,
先在 两边取对数,然后利用隐函数的
求导方法求出 y的导数,
)( xfy ?
求幂指函数 和多个函数相乘的导数, )()( xvxu
二、对数求导法
幂指函数求导,
)0)(()( )( ?? xuxuy xv
先两端取对数 uvy lnln ??
然后两端对
])( )()()(ln)([)( )( xu xuxvxuxvxuy xv ??????
对导, dx uvdydxd )ln(ln ??
得,,ln
1
u
uvuvy
y
?????
所以,
x
例 4,),0(s i n yxxy x ??? 求设
解 等式两边取对数得 xxy lns i nln ??
xxxxyy
1si nlnc o s1 ?????
)1si nln( c o s xxxxyy ??????
)si nln( c o ss in x xxxx x ???
上式两边对 x 求导得
)
1
s i nln( co s
)ln( s i n)(
lns in
lns inlns in
x
xxxe
xxeey
xx
xxxx
???
?????
)si nln( c o ss in x xxxx x ???
xxy s in?
的导数
方法，求出然后利用复合函数求导
y
xxey lns i n ??转化为指数函数
例 5,,)4)(3(
)2)(1( y
xx
xxy ?
??
??? 求设
解 等式两边取对数得
)]4l n ()3l n ()2l n ()1[ l n (21ln ???????? xxxxy
求导得上式两边对 x
]4131)2( 111[21 ????????? xxxxyy
]4131)2( 111[)4)(3( )2)(1(21 ????????? ???? xxxxxx xxy
)( tx ??设函数,)(
)(
中在参数方程
??
?
?
?
ty
tx
?
?
),(1 xt ?? ?具有单调连续的反函数
)]([ 1 xy ??? ??
,0)()(),( ??? ttytx ??? 且都可导,再设函数
,也称参数方程为参数式函数,
方法一,分别对 yx,求微分,通过微商得到导数,
.
)(
)(
)(,)(
t
t
dt
dy
dttdydttdx
?
?
??
?
?
?
????
三 参数方程确定函数的导数
dx
dt
dt
dy
dx
dy ??
dt
dxdt
dy 1
??
)(
)(
t
t
?
?
?
??
由复合函数及反函数的求导法则得
dt
dx
dt
dy
dx
dy
?故
方法二,
.co t
s i n
co s
.,
s i n
co s
t
a
b
ta
tb
dt
dy
dx
dy
tby
tax
??
?
?
?
?
?
?
?
解
例6 求设椭圆方程
注意,参数式函数的导数仍是参数式函数,
解
,1
2
co s1
2
s i n
co s1
s i n
co s
s i n
2
?
?
??
?
?
?
?
? ?
?
?
tdt
dy
t
t
taa
ta
dx
dy
例 7,2)co s1(
)si n(
处的切线方程在求摆线 ??
?
?
?
??
?? t
tay
ttax
).
2
2(
)1
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(
,),1
2
(
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???
????
????
axy
axay
ayaxt
：
即
所求切线方程为
时当,
,二阶可导若函数
?
?
?
?
?
)(
)(
ty
tx
?
?
)(2
2
dx
dy
dx
d
dx
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dx
dt
t
t
dt
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32
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t
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dx
yd
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????????
即
例 8 的二阶导数.求星形线 ??
?
?
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tay
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3
3
s i n
co s
解 dxdy )si n(c o s3
c o ssi n3
2
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tta
tta
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)(2
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t
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se c
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.si n3se c
4
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t?
例 9 设抛射体的运动方程为
??
?
?
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?????
???
2
2
2
0
10
2
1
2
1
s i n
co s
gttvgttvy
tvtvx
?
?
求抛射体在时刻 的与动方向和速度大小, t
解 先求运动的方向
在 时刻的运动方向，即
轨道的切线方向,
可由切线的斜率来反映,
t v
xv
yv
0v
x
y
o
设切线的倾角为 ?,则
,
)(
)
2
1
(
t a n
1
2
1
2
2
v
gtv
tv
gttv
dx
dy ?
?
?
??
???
再求速度的大小
水平分速度为,1vdt
dxv
x ??
铅直分速度为,2 gtvdt
dyv
y ???
故在 时刻抛射体的速度为 t
.)( 222122 gtvvvvv yx ?????
五、小结
隐函数求导法则：直接对方程两边求导或
微分；
对数求导法则：对方程两边取对数，按隐
函数的求导法则求导；
参数方程求导：实质上利用复合函数求导
法则,
函数的导数
一 隐函数求导法
二 对数求导法
三 参数方程确定函数的导数
四 小结
1.定义,
.称为隐函数
所确定的函数由二元方程 )(),( xyyyxF ?
形式称为显函数.)( xfy ?
0),( ?yxF )( xfy ? 隐函数的显化
问题,隐函数不易显化或不能显化如何求导?
如何求导?
例如,如何求导?,0??? yx eexy
,333 xyyx ??
一、隐函数的导数
2.隐函数求导法
方法一、方程两边微分，然后解出导数,
例 1 设 求,dxdy
xdyy d xdyydxx 3333 22 ???
解 方法一 方程两边微分
,333 xyyx ??
x y
为中间变量，然后解出导数,
方法二、方程两边对 求导数，而将
.
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方法二 方程两边求导
.
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?????
注意,隐函数的导数仍是隐函数,
例 2 求由方程,0??? yx eexy 所确定的隐函数
.,0?xdxdydxdy的导数 y
解 方程两边对 x 对导,
0???? dxdyeedxdyxy yx
解得,x
x
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?? 由原方程知,0,0 ?? yx
.1 0
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例 3,0si n21 ??? yyx 求,,2
2
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求导,
解 方程两边对 x 对导,
,
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再对 x
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1 对数求导法
2 适用范围,
先在 两边取对数,然后利用隐函数的
求导方法求出 y的导数,
)( xfy ?
求幂指函数 和多个函数相乘的导数, )()( xvxu
二、对数求导法
幂指函数求导,
)0)(()( )( ?? xuxuy xv
先两端取对数 uvy lnln ??
然后两端对
])( )()()(ln)([)( )( xu xuxvxuxvxuy xv ??????
对导, dx uvdydxd )ln(ln ??
得,,ln
1
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所以,
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例 4,),0(s i n yxxy x ??? 求设
解 等式两边取对数得 xxy lns i nln ??
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)si nln( c o ss in x xxxx x ???
上式两边对 x 求导得
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)si nln( c o ss in x xxxx x ???
xxy s in?
的导数
方法，求出然后利用复合函数求导
y
xxey lns i n ??转化为指数函数
例 5,,)4)(3(
)2)(1( y
xx
xxy ?
??
??? 求设
解 等式两边取对数得
)]4l n ()3l n ()2l n ()1[ l n (21ln ???????? xxxxy
求导得上式两边对 x
]4131)2( 111[21 ????????? xxxxyy
]4131)2( 111[)4)(3( )2)(1(21 ????????? ???? xxxxxx xxy
)( tx ??设函数,)(
)(
中在参数方程
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),(1 xt ?? ?具有单调连续的反函数
)]([ 1 xy ??? ??
,0)()(),( ??? ttytx ??? 且都可导,再设函数
,也称参数方程为参数式函数,
方法一,分别对 yx,求微分,通过微商得到导数,
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三 参数方程确定函数的导数
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例6 求设椭圆方程
注意,参数式函数的导数仍是参数式函数,
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求抛射体在时刻 的与动方向和速度大小, t
解 先求运动的方向
在 时刻的运动方向，即
轨道的切线方向,
可由切线的斜率来反映,
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设切线的倾角为 ?,则
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五、小结
隐函数求导法则：直接对方程两边求导或
微分；
对数求导法则：对方程两边取对数，按隐
函数的求导法则求导；
参数方程求导：实质上利用复合函数求导
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