第十讲 第三章 误差和分析数据和得理 10-1
3-3 随机误差的正态分布
一,频率分布
在相同条件下对某样品中镍的质量分数（ %）
进行重复测定，得到 90个测定值如下,
1.60 1.67 1.67 1.64 1.58 1.64 1.67 1.62 1.57 1.60
1.59 1.64 1.74 1.65 1.64 1.61 1.65 1.69 1.64 1.63
1.65 1.70 1.63 1.62 1.70 1.65 1.68 1.66 1.69 1.70
1.70 1.63 1.67 1.70 1.70 1.63 1.57 1.59 1.62 1.60
1.53 1.56 1.58 1.60 1.58 1.59 1.61 1.62 1.55 1.52
1.49 1.56 1.57 1.61 1.61 1.61 1.50 1.53 1.53 1.59
1.66 1.63 1.54 1.66 1.64 1.64 1.64 1.62 1.62 1.65
1.60 1.63 1.62 1.61 1.65 1.61 1.64 1.63 1.54 1.61
1.60 1.64 1.65 1.59 1.58 1.59 1.60 1.67 1.68 1.69
第十讲 第三章 误差和分析数据和得理 10-2
首先视样本容量的大小将所有数据分成若干组：
容量大时分为 10-20组，容量小时（ n<50）分为 5-7
组，本例分为 9组。
再将全部数据由小至大排列成序，找出其中最
大值和最小值，算出极差 R。由极差除以组数算出
组距。本例中的 R=1.74%-1.49%=0.25%，组距 =
R/9=0.25%/9=0.03%。每组内两个数据相差 0.03%
即,1.48-1.51,1.51-1.54等等。为了使每一个数据只
能进入某一组内，将组界值较测定值多取一位。即,
1.485-1.515,1.515-1.545,1.545-1.575等等。
统计测定值落在每组内的个数（称为频数），
再计算出数据出现在各组内的频率（即相对频数）。
第十讲 第三章 误差和分析数据和得理 10-3
分组 （ %） 频数 频率
1.485-1.515 2 0.022
1.515-1.545 6 0.067
1.545-1.575 6 0.067
1.575-1.605 17 0.189
1.605-1.635 22 0.244
1.635-1.665 20 0.222
1.665-1.695 10 0.111
1.695-1.725 6 0.067
1.725-1.755 1 0.011
∑ 90 1.00
第十讲 第三章 误差和分析数据和得理 10-4
图 3-3 频率分布的直方图
第十讲 第三章 误差和分析数据和得理 10-5
由表中的数据和图 3-3可以看出, 测定数据的
分布并非杂乱无章, 而是呈现出某些规律性 。 在全
部数据中, 平均值 1.62%所在的组 （ 第五组 ） 具有
最大的频率值, 处于它两侧的数据组, 其频率值仅
次之 。 统计结果表明：测定值出现在平均值附近的
频率相当高, 具有明显的集中趋势；而与平均值相
差越大的数据出现的频率越小 。
二, 正态分布
正态分布, 又称高斯分布, 它的数学表达式即
正态分布函数式为,
（ 3-13）
2
2
2
)(
2
1)( ??
??
?
?
??
x
exfy
第十讲 第三章 误差和分析数据和得理 10-6
式中 y表明测定次数趋于无限时, 测定值 xi出现
的概率密度 。 若以 x值表示横坐标, y值表示纵坐标,
就得到测定值的正态分布曲线 。 曲线的最高点, 它
对应的横坐标值 μ即为总体平均值, 这就说明了在
等精密度的许多测定值中, 平均值是出现概率最大
的值 。
式 （ 3-13） 中的 σ为总体标准偏差, 是曲线两
侧的拐点之一到直线 x=μ的距离, 它表征了测定值
的分散程度 。 标准偏差较小的曲线陡峭, 表明测定
值位于 μ附近的概率较大, 即测定的精密度高 。 与
此相反, 具有较大标准偏差较大的曲线平坦, 表明
测定值位于 μ附近的概率较小, 即测定的精密度低 。
第十讲 第三章 误差和分析数据和得理 10-7
图 3-4 正态分布曲线
（ μ相同,σ2>σ1）
第十讲 第三章 误差和分析数据和得理 10-8
综上所述, 一旦 μ和 σ确定后, 正态分布曲线的
位置和形状也就确定, 因此 μ和 σ是正态分布的两个
基本参数, 这种正态分布用 N（ μ,σ2） 表示 。
正态分布曲线关于直线 x=μ呈钟形对称, 且具
有以下特点,
1.对称性 绝对值大小相等的正负误差出现的概
率相等, 因此它们常可能部分或完全相互低消 。
2.单峰性 峰形曲线最高点对应的横坐标 x-μ值
等于 0,表明随机误差为 0的测定值出现的概率密度
最大 。
3.有界性 一般认为, 误差大于 的测定值
并非是由随机误差所引起的 。 也就是说, 随机误差
的分布具有有限的范围, 其值大小是界的 。
?3?
第十讲 第三章 误差和分析数据和得理 10-9
三, 标准正态分布
由于 μ和 σ不同时就有不同的正态分布, 曲线的
形状也随之而变化 。 为了使用方便, 将正态分布曲
线的横坐标改用 u来表示 （ 以 σ为单位表示随机误
差 ）, 并定义
（ 3-14）
代入 （ 3-13） 中得,
由于
?
??? xu
2
2
2
1)( uexfy ???
?
dudx ??
第十讲 第三章 误差和分析数据和得理 10-10
故
u称为标准正态变量 。 此时式 （ 3-13） 就转化
成只有变量 u的函数表达式,
（ 3-15）
经过上述变换, 总体平均值为 μ的任一正态分
布均可化为 μ=0,σ2=1的标准正态分布, 以 N（ 0,1）
表示 。 标准正态分布曲线如图 3-5所示, 曲线的形
状与 μ和 σ的大小无关 。
duuduedxxf
u
)(
2
1)( 2
2
???
?
?
2
2
2
1)( ueuy ????
?
第十讲 第三章 误差和分析数据和得理 10-11
图 3-5 标准正态分布曲线
第十讲 第三章 误差和分析数据和得理 10-12
四, 随机误差的区间概率
正态分布曲线与横坐标之间所夹的总面积, 就
等于概率密度函数从 -∞至 +∞的积分值 。 它表示来自
同一总体的全部测定值或随机误差在上述区间出现
概率的总和为 100%,即为 1。
（ 3-16）
欲求测定值或随机误差在某区间出现的概率 P，
可取不同的 u值对式 （ 3-16） 积分求面积而得到 。 例
如随机误差在 ± σ区间 （ u=± 1）, 即测定值在 μ± σ
区间出现的概率是,
? ?
??
??
??
??
?
??? 1
2
1)( 2
2
dueduu
u
?
第十讲 第三章 误差和分析数据和得理 10-13
按此法求出不同 u值时的积分面积, 制成相应
的概率积分表可供直接查用 。
表 3-1中列出的面积对应于图中的阴影部分 。
若区间为 ± |u|值,则应将所查得的值乘以 2。 例如,
随机误差出现的区间 测定值出现的区间 概率
u=± 1 x=μ± σ 0.3413× 2=0.6826
u=± 2 x=μ± 2σ 0.4773× 2=0.9546
u=± 3 x=μ± 3σ 0.4987× 2=0.9974
6 8 3.0
2
1
)11(
1
1
2
2
????? ?
?
?
?
dueuP
u
?
第十讲 第三章 误差和分析数据和得理 10-14
以上概率值表明, 对于测定值总体而
言, 随机误差在 ± 2σ范围以外的测定值出
现的概率小于 0.045,即 20次测定中只有 1次
机会 。 随机误差超出 ± 3σ的测定值出现的
概率更小 。 平均 1000次测定中只有 3次机会 。
通常测定仅有几次, 不可能出现具有这样
大误差的测定值 。 如果一旦发现, 从统计
学的观点就有理由认为它不是由随机误差
所引起, 而应当将其舍去, 以保证分析结
果准确可靠 。
第十讲 第三章 误差和分析数据和得理 10-15
概率 =面积 =
due
u
u
?
?
0
2
2
2
1
?
?
??
?
x
u
第十讲 第三章 误差和分析数据和得理 10-16
表 3-1 正态分布概率积分表
|u| 面积 |u| 面积 |u| 面积
0.0 0.0000 1.1 0.3643 2.2 0.4821
0.1 0.0398 1.2 0.3849 2.2 0.4861
0.2 0.0793 1.3 0.4032 2.3 0.4893
0.3 0.1179 1.4 0.4192 2.4 0.4918
0.4 0.1554 1.5 0.4332 2.5 0.4938
0.5 0.1915 1.6 0.4452 2.58 0.4951
0.6 0.2258 1.7 0.4554 2.6 0.4953
0.7 0.2580 1.8 0.4641 2.7 0.4965
0.8 0.2881 1.9 0.4713 2.8 0.4974
0.9 0.3159 1.96 0.4950 3.0 0.4987
1.0 0.3413 2.0 0.4773 ∞ 0.5000
第十讲 第三章 误差和分析数据和得理 10-17
概率积分面积表的另一用途是由概率确定误差界限 。
例如要保证测定值出现的概率为 0.95,那么随机误
差界限应为 ± 1.96σ。
例 1 经过无数次测定并在消除了系统误差的情况下,
测 得 某 钢 样中 磷 的质 量 分 数为 0.099% 。 已知
σ=0.002%,问测定值落在区间 0.095%-0.103%的概
率是多少？
解：根据得
|u|=2,由表 3-1查得相应的概率为 0.4773,则
P（ 0.095%≤x≤0.103%） =0.4773× 2=0.955
?
??? xu
20 02.0 0 99.01 03.01 ???u 2002.0 099.0095.02 ????u
第十讲 第三章 误差和分析数据和得理 10-18
例 2 对烧结矿样进行 150次全铁含量分析, 已知
结果符合正态分布 （ 0.4695,0.00202 ） 。 求大于
0.4735的测定值可能出现的次数 。
解,
查表,P=0.4773，故在 150次测定中大于 0.4773的
测定值出现的概率为,
0.5000-0.4773=0.0227
150× 0.0227≈3
2
0 0 2 0.0
4 6 9 5.04 7 3 5.0 ?????
?
?x
u
