第七节 曲 率
二 曲率及其计算公式
一 弧微分
三 曲率圆与曲率半径
N
TA
0x
M
x xx ??
.
)b,a()x(f
内具有连续导数
在区间设函数
x
y
o
规定,;)1( 增大的方向曲线的正向为 x
,)2( sAM ?
.,,,取负号相反时取正号一致时
的方向与曲线正向当
ss
AM
一 弧微分
.
)y,x(A:
作为度量弧长的基点
在曲线上取点 00
),y,x(M对于曲线上任意一点
)( xss ?易看出：弧长 是 的单调增函数, x
)( xss ?下面求 的导数与微分
,
),(
上的另一点
为曲线设 yyxxN ????
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.1 2 dxyds ???故
弧微分公式
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MN
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?? 0
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------描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。
1M
3M
2??
2M 2S?
1S?
M M?1S?
2S?N N???
1）弧段弯曲程度越大转角越大,
2）转角相同弧段越短弯曲程度越大。
1 曲率的定义
1??
二、曲率及其计算公式
????
??S?S
)?.
M?,
M
C
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y
x o
.sKMM ???? ?的平均曲率为弧段
设曲线 C是光滑的,
.0 是基点M,sMM ???
.???? 切线转角为MM
定义
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?? 0
l i m曲线 C在点 M处的曲率
,l i m
0
存在的条件下在 dsds
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?
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例 1 直线的曲率处处为零,
例 2 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且
半径越小曲率越大,
0,0 ?????? sK ??
as
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2 曲率的计算公式
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,1 2 dxyyd ?? ????
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2 上哪一点的曲率最大抛物线 cbxaxy ???
解,2 baxy ???,2ay ???
.
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,2 时当 abx ??,最大k
,)4 4,2(
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为抛物线的顶点又 a acbab ????
.最大抛物线在顶点处的曲率?
例 3
定义
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M
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.),(
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1
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,
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处的曲率圆称此圆为曲线在点如图作圆
为半径为圆心以
使在凹的一侧取一点
处的曲线的法线上在点
处的曲率为
在点设曲线
M
D
k
DMD
M
kkyxM
xfy
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,曲率中心???D,曲率半径????
x
y
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三、曲率圆与曲率半径
1 曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处
的曲率互为倒数,
.1,1 ?? ?? kk即
注意,
2 曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点
处的曲率越小 ;曲率半径越小,曲率越大,
.
,
.70
,/4 0 0
,)(
4 0 0 0
2
压力
飞行员对座椅的到原点时
求俯冲千克飞行员体重
秒米处速度为点
在原俯冲飞行单位为米
飞机沿抛物线
?
?
vO
x
y
x
y
o
P
Q
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,PQF ??如图,受力分析 解
.
2
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O点处抛物线轨道的曲率半径
例 4
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),(4.571)(70 千克力千克力 ??? Q
).(5.641 千克力?
即,飞行员对座椅的压力为 641.5千克力,
.200010 ?? xxk,2000 米??得曲率为 曲率半径为
二 曲率及其计算公式
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2）转角相同弧段越短弯曲程度越大。
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二、曲率及其计算公式
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设曲线 C是光滑的,
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例 2 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且
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三、曲率圆与曲率半径
1 曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处
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2 曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点
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.
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