一、引例
二、定积分的定义
三、定积分存在的条件
四、定积分的性质
第一节 定积分的概念
（ 1）曲边梯形 在直角坐标系中，由三条直
线 及
一条连续曲线
所围成的图形 (如图 5-1),
0,,??? ybxax
? ?xfy ?
一、引例
图 5－ 1
a b x
y
o
A
)( xfy ?
1、曲边梯形的面积
上各点处的高 在区间 上是变化的,
曲边梯形的面积,
? ?xf ? ?ba,
? ? ? ?xfab ??
（ 2） 曲边梯形与矩形的差异 矩形的高是不
变的，矩形的面积＝底×高；曲边梯形在底边
其中曲线弧为曲边梯形的曲边,区间 为
曲边梯形的底边,
? ?ba,
(i) 分割 在区间 中任意插入 个 ? ?ba,1?n
（ 3）计算曲边梯形面积的方法
过每一分点作平行于
轴的直线, 把曲边
梯形分割成 个窄曲
边梯形,
y
n
? ?25－如图
112211,...,?????????? nn xbxxxxaxx
分点, 把区间
分成 个小区间 它们
的长度 依次为
bxxxa n ????? ? 121,..? ?ba,
n ? ? ? ? ? ?,,,.,,,,,1211 bxxxxa n ?
)( xfy ?
a b x
y
o i? ix1x 1?ix 1?nx
图 5－ 2
)( xfy ?
(ii) 近似 在每个小区间 上任
取一点,以小区间 为底,为高
的窄矩形的面积来代替第 个窄曲边梯形的面
积,这样第 个窄曲边梯形面积 的近
似值为,
? ?ii xx,1?
i? ? ?ii xx,1? ? ?if ?
i
iA? i iA?
? ?? ? ? ? iiiiii xfxxfA ????? ? ?? 1
(iii) 作和 将 个窄矩形面积相加，就得
到所求曲边梯形面积 的近似值,
即,
n
A
? ? in
i
i xfA ?? ?
? 1
?
n
? ?nxxx ????,.,,,m a x 21? 0??
取上述和式的极限，便得曲边梯形面积的精确
值, ? ? i
n
i
i xfA ??
?? 10
l i m ?
?
＝
? ???n
令 个小区间中长度最大值 （ iv)取极限
，当 时
(1)变速直线运动与匀速直线运动的差异
物体在 时间间隔中作匀速运动，其路程
＝速度×时间；物体在同一时间间隔作变速运
动时，各时刻运动速度是变化的，即,
其路程 速度×时间,
? ?21,TT
? ?tvv ?
?
(2) 计算变速直线运动路程的方法
（ i） 分割 在时间间隔 内任意插入 ? ?21,TT
2.变速直线运动的路程
个分点，,把区
间 分割成 个小区间
相应地各小区间的路程依次为,
1?n 21211,.,TtttT n ????? ?
? ?21,TT n ? ? ? ? ? ?212111,,.,,,,,TttttT n ?
nsss ???,...,21
? ?ii tt,1?
iT iT ? ?iTv ? ?ii tt,1?
i
(ii)近似 在每一时间间隔 上任
取一时刻,用 时刻的速度 代替
上各时刻的速度,这样第 时间间隔内物体
is? ? ? iii tTvs ???所经过的路程 的近似值为,
S
(iii)作和 将 段时间间隔的路程的近
似值相加，就得到所求变速直线运动路程 的
近似值，即,
n
? ??
?
??
n
i
ii tTvS
1
? ?nttt ????,...,m a x 21?
0??
? ??
??
??
n
i
ii tTvS
10
l i m
?
(iv)取极限 令,
当 时，取上述和式的极限，便得变速直
线运动路程的精确值,
? ? ? ? ? ?bxxxxa n,,.,,,,,1211 ?
112211,...,?????????? nn xbxxxxaxx
1.定义 设 是定义在区间 上的有界函
数，在 中任意插入 个分点，相应地把
区间 分成 个小区间
各小区间的长度依次为
,在每
个小区间 上任取一点,
? ?xf ? ?ba,
? ?ba,
n
1?n
? ?ba,
? ?ii xx,1? ? ?iiii xx ??? ?? 1
二、定积分的定义
作函数值 与小区间长度 的乘积
,
并作出和式,
记,当 时和
式总趋于确定的极限,且 不依赖于 的
分法，也不依赖于 的选取，这时我们称 为
函数 在 上的定积分，记作
? ?if ? ix?
? ? ? ?nixf ii,...2,1???
? ? ? ?nixf in
i
i,..2,1
1
???
?
?
? ?nxxx ????,...,m a x 21? 0??
I I ? ?ba,
i? I
? ?xf ? ?ba,
? ??ba Idxxf )( ii
n
i
xf ??
??
)(lim
10
?
?
被
积
函
数
被
积
表
达
式
积
分
变
量
积分和
积分下限
积分上限
? ?dxxfba?,即
2.,” 语言叙述定义 有常数,,
, 可任意分割,在 可
??－ I 0???
0??? ? ?ba,i? ? ?ii xx,1?
?? ? ? ? ?? ????
?
Ixf i
n
i
i
1
成立，称 是函数 在 上的定积分,
记作,
任意选取，当 时，总有
I ? ?xf ? ?ba,
? ?dxxfba?
3.说明
0??(1)定义中 是要求取极限时保证各小区
间均缩成一点； 虽然当 时，,
但当 时不能保证,故不能用
代替,
0?? ??n
??n 0??
??n 0??
i?? ?ba,
? ?xf ? ?ba,
? ? ii xf ?? ?? 0l i m
(2)定义中区间 的分割和各小区间上 的
取法都是任意的,若 在 上的定积分存
在，则 存在；若某特殊的和式的
极限存在，并不能保证函数的定积分存在,
? ?dxxfba?(3)定积分 仅与被积函数及积分区间
有关，与积分变量用什么字母表示无关，即
? ? ? ? ? ?duufdttfdxxf bababa ??? ??,
(4)当函数 在区间 上的定积
分存在时，称 在区间 上可积,
? ?dxxfba? ? ?ba,
? ?xf ? ?ba,
4.定积分的几何意义
a b x
y
o
?A
)( xfy ?
图 5－ 1
? ?ba,? ?xf
? ? 0?xf ? ? Adxxfba ??,? ?15－图
? ? 0?xf,? ? Adxxfba ??? ? ?35－图
在 上连续,
o
y
a b x
图 5－ 3
? ?xfy ?
A
既有正值又有负值时,
? ?xf
? ? 321 AAAdxxfba ???? ? ?45－图
图 5－ 4
y
x
? ?xfy ?
1
A
2
A
3
A
a o b c d
1,定理 1 在 上连续，则 在
上可积,
? ?xf ? ?ba,
? ?ba,
? ?xf
3.例题
两定理中的条件均为定积分存在的充分条件,
? ?xf
? ?xf
? ?ba,
? ?ba,
2,定理 2 在 上有界，且有有限个
间断点，则 在 上可积,
三、定积分存在的条件
例 1 利用定积分定义计算 dxex?10
? ? xexf ? xe? ?1,0
? ?1,0
? ?1,0 n
? ?1,.,,2,1,??? ninix i nxi 1??
ii x??取,, ix???
? ? nexexf n
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
i 1
111
????? ???
???
??
解, 由于 在 上连续，所以
在 上可积,
将 分成 等分，分点为
, ；
1
1
l i m
1
11
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
e
en
ee
n
n
n
n
n
ne
n
i
n
i
n
1l i m
1
?? ?
???
? ???
??
??
n
i
ii
x xfdxe
10
1
0 lim ??
为计算方便，我们作两点补充规定,
(1) 当 时, ；
(2) 当 时,,
ba? ? ? 0?? dxxfba
ba? ? ? ? ?dxxfdxxf b
a
b
a ?? ??
1.性质
下面讨论的各性质中所列的定积分都是存
在的，积分上下限的大小若不特别指明，均
不加以限制,
四、定积分的性质
性质 1 ? ? ? ?dxxfkdxxkf baba ?? ?? ?为常数k
证 ? ? ? ? i
n
i
i
b
a xkfdxxf ?? ?? ?? 10l i m ??
? ? ? ?dxxfkxfk bain
i
i ?? ???
?? 10
lim ?
?
性质 2 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?dxxgdxxfdxxgxf bababa ??? ???
性质 2的证明与性质 1的证明类似,
性质 2可推广为有限个函数的代数和,,
性质 3 设 bca ??
? ? ? ? ? ?dxxfdxxfdxxf bccaba ??? ??
证 分区间时使 为一个分点，那么 上的
积分和等于 上的积分和加上 上
的积分和，记为
c ? ?ba,
? ?ca,? ?bc,
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ? ibc iica iiba i
xfxfxf ????? ???
,,,
???
令, 上式两端同时取极限, 得
0??
? ? ? ? ? ?dxxfdxxfdxxf bccaba ??? ??
这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性,
无论 的相对位置如何，性质 3总是成立的,
当 时,
cba,,
bca ??
? ? ? ? ? ?dxxfdxxfdxxf cbbaca ??? ??
? ? ? ? ? ?dxxfdxxfdxxf cbcaba ??? ??
? ? ? ?dxxfdxxf bcca ?? ??
性质 4 在 上, 且, 则 ? ?ba,? ? 0?xf ba?
? ? 0?? dxxfba
证 ? ? ? ? ?xgxf ?
? ? ? ? ? 0?? xgxf
又,因此 ? ?nixxx iii,...,2,101 ????? ?
? ? 0
1
???
?
i
n
i
i xf ?，令, ? ?nxxx ????,.,,,m a x 21?
则, ? ? 0lim
10
???
??
i
n
i
i xf ??
即, ? ? 0?? dxxfba
该性质称为定积分的保号性,
推论 1 在 上, 若, ? ?ba,? ? ? ?xgxf ?
? ? ? ?dxxgdxxf baba ?? ?则 ? ?ba ?
证 ?
?
? ? ? ?xgxf ?
? ? ? ? 0?? xgxf
? ? ? ?? ? 0??? dxxgxfba
? ? ? ? 0?? ?? dxxgdxxf baba
? ? ? ?dxxgdxxf baba ?? ?则
推论 2 ? ? ? ?dxxfdxxf baba ?? ?? ?ba ?
证 ?
?
? ? ? ? ? ?xfxfxf ???
? ? ? ? ? ? dxxfdxxfdxxf bababa ??? ???
则
推论 1，推论 2仅限于积分下限小于积分上限,
? ? ? ?dxxfdxxf baba ?? ?
Mm,? ?xf性质 6 设 分别是函数 在区间上的最
小值和最大值，则
? ?ab?
由定积分的几何意义可知,表示为以
为底，以 为高的矩形面积,
dxkba?
k
? ?abkdxkba ???
? ?ba,? ? kxf ?
? ?为常数k
性质 5 在 上，,则
,
? ? ? ? ? ?abMdxxfabm ba ???? ?? ba ?
由性质 4的推论 1和性质 5可得上不等式,
性质 6的不等式称为积分估值公式,
证 ? ? ? ? ? ? ?abMdxxfabm ba ???? ?
? ?xf ? ?ba,
?
? ? ? ?? ?abfdxxfba ??? ?? ?ba ?? ?
? ?ba,
性质 7 若 在区间 上连续，则在积
分区间 上至少存在一点,使下式成立,
? ? ? Mdxxfabm ba ??? ?1
根据闭区间上连续函数的介值定理可知,
（ ）,? ? Mfm ?? ? ba ?? ?
? ? ? ?dxxfabf ba??? 1??
? ? ? ?? ?abfdxxfba ??? ?即
性质 7又称为定积分中值定理,此定理的几何意
义是，在闭区间 上至少存在一点,使得 ? ?ba,?
以 为底,为高的矩形面积，等于由
直线 及曲线 所围
曲边梯形的面积,
? ?ab? ? ??f
0,,??? ybxax ? ?xfy ?
? ?55－如图
)(?f
x
y
o a b?
图 5－ 5
例 2 证明, ? ? 5116 4
1
2 ??? ? dxx
2.例题
由性质 6得
? ?? ? ? ? ? ?? ?1441141 41 2 ????? ? fdxxf
即 ? ? 5116 41 2 ??? ? dxx
证 设,则 在 上连
续，, 在 上单增,
则
? ? 12 ?? xxf ? ?xf ? ?4,
? ? 02 ??? xxf ? ? ?xf ? ?4,1
? ? ? ? Mfxfm ????? 411 2
01l i m 2
1
0 ????? dxx
x n
n
例 3 证明,
? ?
? ? ??
??
?
? ??
?
?
??
0
2
1
11
2
1
0 n
ndx
x
x
n
n
?
?
? ? xxxf
n
?? 1证 设, 在 上连续,? ?xf ??
?
??
?
2
10，
上都至少存在一点,使得
? ?n?
??
?
??
?
2
10，
根据定积分中值定理，对于每一个 在 n
? 02 1l i m 1 ???? nn, 由夹逼准则
有 01l i m 2
1
0 ????? dxx
x n
n
而
? ?
? ?? ? 12
1
2
1
1
0 ???
?
? n
n
n
n
?
?
? 12
1
0 2
1
10 ???? ? n
n
dxxx
二、定积分的定义
三、定积分存在的条件
四、定积分的性质
第一节 定积分的概念
（ 1）曲边梯形 在直角坐标系中，由三条直
线 及
一条连续曲线
所围成的图形 (如图 5-1),
0,,??? ybxax
? ?xfy ?
一、引例
图 5－ 1
a b x
y
o
A
)( xfy ?
1、曲边梯形的面积
上各点处的高 在区间 上是变化的,
曲边梯形的面积,
? ?xf ? ?ba,
? ? ? ?xfab ??
（ 2） 曲边梯形与矩形的差异 矩形的高是不
变的，矩形的面积＝底×高；曲边梯形在底边
其中曲线弧为曲边梯形的曲边,区间 为
曲边梯形的底边,
? ?ba,
(i) 分割 在区间 中任意插入 个 ? ?ba,1?n
（ 3）计算曲边梯形面积的方法
过每一分点作平行于
轴的直线, 把曲边
梯形分割成 个窄曲
边梯形,
y
n
? ?25－如图
112211,...,?????????? nn xbxxxxaxx
分点, 把区间
分成 个小区间 它们
的长度 依次为
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n ? ? ? ? ? ?,,,.,,,,,1211 bxxxxa n ?
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a b x
y
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图 5－ 2
)( xfy ?
(ii) 近似 在每个小区间 上任
取一点,以小区间 为底,为高
的窄矩形的面积来代替第 个窄曲边梯形的面
积,这样第 个窄曲边梯形面积 的近
似值为,
? ?ii xx,1?
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(iii) 作和 将 个窄矩形面积相加，就得
到所求曲边梯形面积 的近似值,
即,
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取上述和式的极限，便得曲边梯形面积的精确
值, ? ? i
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?
＝
? ???n
令 个小区间中长度最大值 （ iv)取极限
，当 时
(1)变速直线运动与匀速直线运动的差异
物体在 时间间隔中作匀速运动，其路程
＝速度×时间；物体在同一时间间隔作变速运
动时，各时刻运动速度是变化的，即,
其路程 速度×时间,
? ?21,TT
? ?tvv ?
?
(2) 计算变速直线运动路程的方法
（ i） 分割 在时间间隔 内任意插入 ? ?21,TT
2.变速直线运动的路程
个分点，,把区
间 分割成 个小区间
相应地各小区间的路程依次为,
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(ii)近似 在每一时间间隔 上任
取一时刻,用 时刻的速度 代替
上各时刻的速度,这样第 时间间隔内物体
is? ? ? iii tTvs ???所经过的路程 的近似值为,
S
(iii)作和 将 段时间间隔的路程的近
似值相加，就得到所求变速直线运动路程 的
近似值，即,
n
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1
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(iv)取极限 令,
当 时，取上述和式的极限，便得变速直
线运动路程的精确值,
? ? ? ? ? ?bxxxxa n,,.,,,,,1211 ?
112211,...,?????????? nn xbxxxxaxx
1.定义 设 是定义在区间 上的有界函
数，在 中任意插入 个分点，相应地把
区间 分成 个小区间
各小区间的长度依次为
,在每
个小区间 上任取一点,
? ?xf ? ?ba,
? ?ba,
n
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? ?ba,
? ?ii xx,1? ? ?iiii xx ??? ?? 1
二、定积分的定义
作函数值 与小区间长度 的乘积
,
并作出和式,
记,当 时和
式总趋于确定的极限,且 不依赖于 的
分法，也不依赖于 的选取，这时我们称 为
函数 在 上的定积分，记作
? ?if ? ix?
? ? ? ?nixf ii,...2,1???
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i,..2,1
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???
?
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)(lim
10
?
?
被
积
函
数
被
积
表
达
式
积
分
变
量
积分和
积分下限
积分上限
? ?dxxfba?,即
2.,” 语言叙述定义 有常数,,
, 可任意分割,在 可
??－ I 0???
0??? ? ?ba,i? ? ?ii xx,1?
?? ? ? ? ?? ????
?
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n
i
i
1
成立，称 是函数 在 上的定积分,
记作,
任意选取，当 时，总有
I ? ?xf ? ?ba,
? ?dxxfba?
3.说明
0??(1)定义中 是要求取极限时保证各小区
间均缩成一点； 虽然当 时，,
但当 时不能保证,故不能用
代替,
0?? ??n
??n 0??
??n 0??
i?? ?ba,
? ?xf ? ?ba,
? ? ii xf ?? ?? 0l i m
(2)定义中区间 的分割和各小区间上 的
取法都是任意的,若 在 上的定积分存
在，则 存在；若某特殊的和式的
极限存在，并不能保证函数的定积分存在,
? ?dxxfba?(3)定积分 仅与被积函数及积分区间
有关，与积分变量用什么字母表示无关，即
? ? ? ? ? ?duufdttfdxxf bababa ??? ??,
(4)当函数 在区间 上的定积
分存在时，称 在区间 上可积,
? ?dxxfba? ? ?ba,
? ?xf ? ?ba,
4.定积分的几何意义
a b x
y
o
?A
)( xfy ?
图 5－ 1
? ?ba,? ?xf
? ? 0?xf ? ? Adxxfba ??,? ?15－图
? ? 0?xf,? ? Adxxfba ??? ? ?35－图
在 上连续,
o
y
a b x
图 5－ 3
? ?xfy ?
A
既有正值又有负值时,
? ?xf
? ? 321 AAAdxxfba ???? ? ?45－图
图 5－ 4
y
x
? ?xfy ?
1
A
2
A
3
A
a o b c d
1,定理 1 在 上连续，则 在
上可积,
? ?xf ? ?ba,
? ?ba,
? ?xf
3.例题
两定理中的条件均为定积分存在的充分条件,
? ?xf
? ?xf
? ?ba,
? ?ba,
2,定理 2 在 上有界，且有有限个
间断点，则 在 上可积,
三、定积分存在的条件
例 1 利用定积分定义计算 dxex?10
? ? xexf ? xe? ?1,0
? ?1,0
? ?1,0 n
? ?1,.,,2,1,??? ninix i nxi 1??
ii x??取,, ix???
? ? nexexf n
i
n
i
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111
????? ???
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解, 由于 在 上连续，所以
在 上可积,
将 分成 等分，分点为
, ；
1
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为计算方便，我们作两点补充规定,
(1) 当 时, ；
(2) 当 时,,
ba? ? ? 0?? dxxfba
ba? ? ? ? ?dxxfdxxf b
a
b
a ?? ??
1.性质
下面讨论的各性质中所列的定积分都是存
在的，积分上下限的大小若不特别指明，均
不加以限制,
四、定积分的性质
性质 1 ? ? ? ?dxxfkdxxkf baba ?? ?? ?为常数k
证 ? ? ? ? i
n
i
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? ? ? ?dxxfkxfk bain
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性质 2 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?dxxgdxxfdxxgxf bababa ??? ???
性质 2的证明与性质 1的证明类似,
性质 2可推广为有限个函数的代数和,,
性质 3 设 bca ??
? ? ? ? ? ?dxxfdxxfdxxf bccaba ??? ??
证 分区间时使 为一个分点，那么 上的
积分和等于 上的积分和加上 上
的积分和，记为
c ? ?ba,
? ?ca,? ?bc,
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? ? ibc iica iiba i
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,,,
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令, 上式两端同时取极限, 得
0??
? ? ? ? ? ?dxxfdxxfdxxf bccaba ??? ??
这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性,
无论 的相对位置如何，性质 3总是成立的,
当 时,
cba,,
bca ??
? ? ? ? ? ?dxxfdxxfdxxf cbbaca ??? ??
? ? ? ? ? ?dxxfdxxfdxxf cbcaba ??? ??
? ? ? ?dxxfdxxf bcca ?? ??
性质 4 在 上, 且, 则 ? ?ba,? ? 0?xf ba?
? ? 0?? dxxfba
证 ? ? ? ? ?xgxf ?
? ? ? ? ? 0?? xgxf
又,因此 ? ?nixxx iii,...,2,101 ????? ?
? ? 0
1
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则, ? ? 0lim
10
???
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n
i
i xf ??
即, ? ? 0?? dxxfba
该性质称为定积分的保号性,
推论 1 在 上, 若, ? ?ba,? ? ? ?xgxf ?
? ? ? ?dxxgdxxf baba ?? ?则 ? ?ba ?
证 ?
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? ? ? ?xgxf ?
? ? ? ? 0?? xgxf
? ? ? ?? ? 0??? dxxgxfba
? ? ? ? 0?? ?? dxxgdxxf baba
? ? ? ?dxxgdxxf baba ?? ?则
推论 2 ? ? ? ?dxxfdxxf baba ?? ?? ?ba ?
证 ?
?
? ? ? ? ? ?xfxfxf ???
? ? ? ? ? ? dxxfdxxfdxxf bababa ??? ???
则
推论 1，推论 2仅限于积分下限小于积分上限,
? ? ? ?dxxfdxxf baba ?? ?
Mm,? ?xf性质 6 设 分别是函数 在区间上的最
小值和最大值，则
? ?ab?
由定积分的几何意义可知,表示为以
为底，以 为高的矩形面积,
dxkba?
k
? ?abkdxkba ???
? ?ba,? ? kxf ?
? ?为常数k
性质 5 在 上，,则
,
? ? ? ? ? ?abMdxxfabm ba ???? ?? ba ?
由性质 4的推论 1和性质 5可得上不等式,
性质 6的不等式称为积分估值公式,
证 ? ? ? ? ? ? ?abMdxxfabm ba ???? ?
? ?xf ? ?ba,
?
? ? ? ?? ?abfdxxfba ??? ?? ?ba ?? ?
? ?ba,
性质 7 若 在区间 上连续，则在积
分区间 上至少存在一点,使下式成立,
? ? ? Mdxxfabm ba ??? ?1
根据闭区间上连续函数的介值定理可知,
（ ）,? ? Mfm ?? ? ba ?? ?
? ? ? ?dxxfabf ba??? 1??
? ? ? ?? ?abfdxxfba ??? ?即
性质 7又称为定积分中值定理,此定理的几何意
义是，在闭区间 上至少存在一点,使得 ? ?ba,?
以 为底,为高的矩形面积，等于由
直线 及曲线 所围
曲边梯形的面积,
? ?ab? ? ??f
0,,??? ybxax ? ?xfy ?
? ?55－如图
)(?f
x
y
o a b?
图 5－ 5
例 2 证明, ? ? 5116 4
1
2 ??? ? dxx
2.例题
由性质 6得
? ?? ? ? ? ? ?? ?1441141 41 2 ????? ? fdxxf
即 ? ? 5116 41 2 ??? ? dxx
证 设,则 在 上连
续，, 在 上单增,
则
? ? 12 ?? xxf ? ?xf ? ?4,
? ? 02 ??? xxf ? ? ?xf ? ?4,1
? ? ? ? Mfxfm ????? 411 2
01l i m 2
1
0 ????? dxx
x n
n
例 3 证明,
? ?
? ? ??
??
?
? ??
?
?
??
0
2
1
11
2
1
0 n
ndx
x
x
n
n
?
?
? ? xxxf
n
?? 1证 设, 在 上连续,? ?xf ??
?
??
?
2
10，
上都至少存在一点,使得
? ?n?
??
?
??
?
2
10，
根据定积分中值定理，对于每一个 在 n
? 02 1l i m 1 ???? nn, 由夹逼准则
有 01l i m 2
1
0 ????? dxx
x n
n
而
? ?
? ?? ? 12
1
2
1
1
0 ???
?
? n
n
n
n
?
?
? 12
1
0 2
1
10 ???? ? n
n
dxxx
