一、积分上限函数及其导数
二、积分上限函数求导法则
三、微积分基本公式
第二节 微积分基本定理
1.积分上限函数 设 在区间 上连续,
且,则 存在，如积分上限
在 上任意变动，那么对于每一取定的 值,
均有唯一的数 与之对应，所以
是一个定义在 上的关于 的函数，记为
? ?tf ? ?ba,
? ?bax,? ? ?dttfxa? x
x
? ?dttfxa? ? ?dttfxa?
? ?ba,
? ? ? ?dttfx xa??? ? ?bxa ??
? ?ba,
x
一、积分上限函数及其导数
称 为积分上限函数, ? ?x?
? ?x?
? ?65－图
2.积分上限函数的几何意义 积分上限函数
在几何上表示为右端线可以变动的曲边
梯形的面积,
?a b x
y
o xx ??
)(x?
x
3.性质
证 ? ? ? ?dttfxx xxa? ??????
? ? ? ?xxx ??????? ＝ ? ?65－图
? ? ? ?dttfdttf xaxxa ?? ?? ??
? ?xf ? ?ba,
? ? ? ?dttfx xa??? ? ?ba,
? ? ? ?xfx ?? ? ? ?bxa ??
(1)定理 1 若 在 上连续，则积分
上限函数 在 上具有导
数，且它的导数,
? ??fx
xx 00
limlim
????
???? ? ??
? fx?? lim
? ?xf?
即,
? ? ? ? ? ?xfx
dx
xd ?? ???
? ? ? ? ? ???? ??? ?? xaxxxxa dttfdttfdttf
? ? ? ? xfdttfxxx ???? ? ?? ?
? ?xxx ???,?
另一方面也说明了定积分与原函数之间的关系,
从而可能用原函数来计算定积分,
此定理一方面说明了连续函数一定存在原函数,
(2)定理 2 若函数 在 上连续，则积
分上限函数 是 在区间
上的一个原函数,
? ? ? ?dttfx xa???
? ?ba,
? ?xf
? ?xf ? ?ba,
? ? ? ?xfdttfdxd xx ??
0
? ? ? ?xfdttfdxd xx ??? 0
1.法则 1 若 在 上连续,是
上的某一定点，则,有
? ?xf 0x
? ?ba,? ?bax,??
? ?ba,
二、积分上限函数求导法则
? ?x?
? ? ? ?bax,??
? ?? ? ? ?? ? ? ?xxfdttfdxd xx ??? ???
0
2.法则 2 若函数 在闭区间 上连续,
是 上的某一定点，函数 可微,
且,则有
? ?xf ? ?ba,
? ?ba,0x
证 令,, ? ? ? ?dttfu ux???
0
? ?xu ??
? ?? ? ? ?dttfdxddttfdxd uxxx ?? ?
00
?
? ? ? ? uufdtdudttfdud ux ?????? ?
0
? ?? ? ? ?xxf ?? ???
3.法则 3 若函数 在区间 上连续,
,,且 与
都可微，则有
? ?xf ? ?ba,
? ? ? ?bax,?? ? ? ? ?bax,?? ? ?x? ? ?x?
? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?xxfxxfdttfdxd xx ?????? ?????
证 ? ? ?bax,0 ?
? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? dttfdttfdttf xxx xxx ??? ?? ????
0
0
? ?? ? ? ?? ? dttfdttf xxxx ?? ?? ??
00
? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? dttfdxddttfdxddttfdxd xxxxxx ??? ?? ????
00
? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?xxfxxf ???? ????
例 1 求 ? ?dtttdxd x? ?
1 c o ssi n
解 由法则 1得
? ? ? ?xxdtttdxd x c o ssi nc o ssi n1 ?????
4.例题
例 2 求 dttdx
d x? 2
0 t a n
解 由法则 2得
? ? 2220 t a n2t a nt a n2 xxxxdttdxd x ?????
解 由法则 3得
例 3 求 dtt
x
x? ?
3
2 41
1
? ? ? ? ? ? ? ?
?
?
??
?
?
??
2
42
3
434 1
1
1
1
1
13
2 x
x
x
x
dt
tdx
d x
x
812
2
1
2
1
3
x
x
x
x
????
例 4 求 2
1
c o s
0
2
l i m
x
dte
x
t
x
? ?
?
解 这是一个 型未定式，可利用洛必达法
则计算，分子为
”,00
dtedte x tx t ?? ?? c os11c os 22 ＝－
由法则 2得
? ? ? ? ? ? xexedtedxd xxx t si nc o s 222 c o sc o sc o s1 ??????? ????
因此
ex
xe
x
dte x
x
x
t
x 2
1
2
si nlimlim 2
2
c o s
02
1
c o s
0
???
?
?
?
?
?
? ? ? ?dttfx xa???证 ? bxa ??
1.定理 3 若函数 是连续函数 在区
间 上的一个原函数，则
? ?xF ? ?xf
该公式叫微积分基本公式，也叫牛顿－莱布
尼茨公式,
? ?ba,
? ? ? ? ? ?aFbFdxxfba ???
三、微积分基本公式
? ? ? ? ? CxFx ??? ( 为常数 ),c
令, ? ? ? ? 0,???? ? dttfaax aa
? ? ? ? CaFa ???
? ? ?aFC ??
? ? ? ? ? ?aFbFdxxfba ???
令, ? ? ? ? ? ?dxxfdttfbbx baba ?? ????,
? ? ? ? CbFb ???
则,
2.说明
? ?dxxfba? ? ?ba,
? ?dttfxa? bx?
(2)微积分基本公式揭示了定积分与原函数之
间的关系,是它的任一原函数在
上的增量，也是函数 在 处的函
数值,
? ?xf ? ?ba,
(1)微积分基本公式使用的条件是，被积函数
在积分区间 上必须连续，若不满足
条件，不能使用公式,
(3)为方便起见，记, ? ? ? ? ? ?? ?baxFaFbF ??
? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?aFbFxFdxxf baba ????
例 6 求 dxx?
1
2
1－
－
解 ? ? 2ln2ln1lnln
1 1
2
1
2 ???????
?
?
?
?? xdxx
3.例题
例 5 求 ? ?dxx? ?10 2 1
解 ? ? 3
401
3
1
3
11 1
0
31
0
2 ???
?
??
?
? ??
??
?
??
? ???? xxdxx
例 7 设, 求
? ?
??
?
?
?
?
??
?
1,
2
1
1,1
2 xx
xx
xf
? ?dxxf?20
1
1 / 2
1 2 x
y
o
? ? dxxdxx ?? ??? 21 210 211
2
1
3
1
0
2
3
1
2
1
2
1
??
?
??
???
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?
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3
8
3
1
3
8
2
11
2
1 ??
?
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?
? ???
?
??
?
? ??
? ? ? ? ? ?dxxfdxxfdxxf ? ?? ?? 10 2120解
解 当 时,10 ?? x
? ? ? ? dttdttfx xx ?? ??? 0 20
3
0
3
3
1
3
1 xt x ?
??
?
??
??
? ? ? ?dttfx x??? 0求,在 上的表达式, ? ?2,0
例 8 设, ? ? ??
?
??
???
21,
10,2
xx
xxxf
dttdtt x?? ?? 110 2
6
1
2
1
2
1
3
1 2
1
2
1
0
3 ??
??
?
??
??
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?
??
?? xtt x
当 时,21 ?? x
? ? ? ?dttfx x??? 0
? ? ? ?dttfdttf x?? ?? 110
所以,
? ?
?
?
?
?
?
???
??
??
21,
6
1
2
1
,10,
3
1
2
3
xx
xx
x
例 9 求 dxx? ?20 2s i n1
?
? ? ? ?dxxxdxxx ?? ???? 2
4
4
0
co ss i ns i nco s
?
?
?
解 ? ? dxxxdxx ?? ??? 20 220 co ss i n2s i n1
??
dxxx? ?? 20 co ss i n?
? ? ? ? 2
4
4
0 si nc o sc o ssi n
?
?
?
xxxx ?????
? ?122 ??
由例 7,例 8,例 9可见, 若被积函数在积分区
间上存在有限个第一类间断点, 或在积分区间
上分段表示, 或带有绝对值, 应利用定积分在
积分区间的可加性分段积分, 以保证被积函数
在各积分区间上的连续性或非负性,
二、积分上限函数求导法则
三、微积分基本公式
第二节 微积分基本定理
1.积分上限函数 设 在区间 上连续,
且,则 存在，如积分上限
在 上任意变动，那么对于每一取定的 值,
均有唯一的数 与之对应，所以
是一个定义在 上的关于 的函数，记为
? ?tf ? ?ba,
? ?bax,? ? ?dttfxa? x
x
? ?dttfxa? ? ?dttfxa?
? ?ba,
? ? ? ?dttfx xa??? ? ?bxa ??
? ?ba,
x
一、积分上限函数及其导数
称 为积分上限函数, ? ?x?
? ?x?
? ?65－图
2.积分上限函数的几何意义 积分上限函数
在几何上表示为右端线可以变动的曲边
梯形的面积,
?a b x
y
o xx ??
)(x?
x
3.性质
证 ? ? ? ?dttfxx xxa? ??????
? ? ? ?xxx ??????? ＝ ? ?65－图
? ? ? ?dttfdttf xaxxa ?? ?? ??
? ?xf ? ?ba,
? ? ? ?dttfx xa??? ? ?ba,
? ? ? ?xfx ?? ? ? ?bxa ??
(1)定理 1 若 在 上连续，则积分
上限函数 在 上具有导
数，且它的导数,
? ??fx
xx 00
limlim
????
???? ? ??
? fx?? lim
? ?xf?
即,
? ? ? ? ? ?xfx
dx
xd ?? ???
? ? ? ? ? ???? ??? ?? xaxxxxa dttfdttfdttf
? ? ? ? xfdttfxxx ???? ? ?? ?
? ?xxx ???,?
另一方面也说明了定积分与原函数之间的关系,
从而可能用原函数来计算定积分,
此定理一方面说明了连续函数一定存在原函数,
(2)定理 2 若函数 在 上连续，则积
分上限函数 是 在区间
上的一个原函数,
? ? ? ?dttfx xa???
? ?ba,
? ?xf
? ?xf ? ?ba,
? ? ? ?xfdttfdxd xx ??
0
? ? ? ?xfdttfdxd xx ??? 0
1.法则 1 若 在 上连续,是
上的某一定点，则,有
? ?xf 0x
? ?ba,? ?bax,??
? ?ba,
二、积分上限函数求导法则
? ?x?
? ? ? ?bax,??
? ?? ? ? ?? ? ? ?xxfdttfdxd xx ??? ???
0
2.法则 2 若函数 在闭区间 上连续,
是 上的某一定点，函数 可微,
且,则有
? ?xf ? ?ba,
? ?ba,0x
证 令,, ? ? ? ?dttfu ux???
0
? ?xu ??
? ?? ? ? ?dttfdxddttfdxd uxxx ?? ?
00
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? ? ? ? uufdtdudttfdud ux ?????? ?
0
? ?? ? ? ?xxf ?? ???
3.法则 3 若函数 在区间 上连续,
,,且 与
都可微，则有
? ?xf ? ?ba,
? ? ? ?bax,?? ? ? ? ?bax,?? ? ?x? ? ?x?
? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?xxfxxfdttfdxd xx ?????? ?????
证 ? ? ?bax,0 ?
? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? dttfdttfdttf xxx xxx ??? ?? ????
0
0
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00
? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? dttfdxddttfdxddttfdxd xxxxxx ??? ?? ????
00
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例 1 求 ? ?dtttdxd x? ?
1 c o ssi n
解 由法则 1得
? ? ? ?xxdtttdxd x c o ssi nc o ssi n1 ?????
4.例题
例 2 求 dttdx
d x? 2
0 t a n
解 由法则 2得
? ? 2220 t a n2t a nt a n2 xxxxdttdxd x ?????
解 由法则 3得
例 3 求 dtt
x
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3
2 41
1
? ? ? ? ? ? ? ?
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例 4 求 2
1
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0
2
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解 这是一个 型未定式，可利用洛必达法
则计算，分子为
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由法则 2得
? ? ? ? ? ? xexedtedxd xxx t si nc o s 222 c o sc o sc o s1 ??????? ????
因此
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1.定理 3 若函数 是连续函数 在区
间 上的一个原函数，则
? ?xF ? ?xf
该公式叫微积分基本公式，也叫牛顿－莱布
尼茨公式,
? ?ba,
? ? ? ? ? ?aFbFdxxfba ???
三、微积分基本公式
? ? ? ? ? CxFx ??? ( 为常数 ),c
令, ? ? ? ? 0,???? ? dttfaax aa
? ? ? ? CaFa ???
? ? ?aFC ??
? ? ? ? ? ?aFbFdxxfba ???
令, ? ? ? ? ? ?dxxfdttfbbx baba ?? ????,
? ? ? ? CbFb ???
则,
2.说明
? ?dxxfba? ? ?ba,
? ?dttfxa? bx?
(2)微积分基本公式揭示了定积分与原函数之
间的关系,是它的任一原函数在
上的增量，也是函数 在 处的函
数值,
? ?xf ? ?ba,
(1)微积分基本公式使用的条件是，被积函数
在积分区间 上必须连续，若不满足
条件，不能使用公式,
(3)为方便起见，记, ? ? ? ? ? ?? ?baxFaFbF ??
? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?aFbFxFdxxf baba ????
例 6 求 dxx?
1
2
1－
－
解 ? ? 2ln2ln1lnln
1 1
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1
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3.例题
例 5 求 ? ?dxx? ?10 2 1
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0
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例 7 设, 求
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解 当 时,10 ?? x
? ? ? ? dttdttfx xx ?? ??? 0 20
3
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3
3
1
3
1 xt x ?
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? ? ? ?dttfx x??? 0求,在 上的表达式, ? ?2,0
例 8 设, ? ? ??
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10,2
xx
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例 9 求 dxx? ?20 2s i n1
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? ? ? ?dxxxdxxx ?? ???? 2
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解 ? ? dxxxdxx ?? ??? 20 220 co ss i n2s i n1
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xxxx ?????
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由例 7,例 8,例 9可见, 若被积函数在积分区
间上存在有限个第一类间断点, 或在积分区间
上分段表示, 或带有绝对值, 应利用定积分在
积分区间的可加性分段积分, 以保证被积函数
在各积分区间上的连续性或非负性,
