第三节 几类特殊函数的积分
一, 有理函数的积分
二, 三角函数有理数的积分
三, 简单无理函数的积分
四, 小结
,
一 有理函数的积分
mm
mm
nn
nn
bxbxbxb
axaxaxa
xQ
xP
????
?????
?
?
?
?
1
1
10
1
1
10
)(
)(
?
?
两个多项式的商表示的函数, 有理函数的定义,
其中 都是非负整数； 及
都是实数，并且 0,0 ?? ba
nm,naaa ?,,10
mbbb ?,,10
假定分子与分母之间没有公因式
,)1( mn ? 这有理函数是真分式 ；
,)2( mn ? 这有理函数是假分式；
有理函数有以下性质,
1）利用多项式除法,假分式可以化成一
个多项式和一个真分式之和,
例如，我们可将
化为多项式与真分式之和
1
1
2
3
?
??
x
xx
1
1
2 ?? xx
其中 都是待定的常数,
042 ?? qpk 为正整数，
qpaBA,,,,
kax
A
)( ?
2）在实数范围内真分式总可以分解成几个最简式之和
最简分式是下面两种形式的分式
kqpxx
BAx
)( 2 ??
?
,
特殊地：,1?k 分解后为 ;axA?
,)()( 121 ax Aax Aax A kkk ?????? ? ?
3）有理函数化为部分分式之和的一般规律,
其中 都是待定的常数
（ 1）分母中若有因式,则分解后为 kax )( ?
kAAA ?,2,1
（ 2）分母中若有因式, 其中 kqpxx )( 2 ??
则分解后为 042 ?? qp
qpxx
NxM
qpxx
NxM
qpxx
NxM kk
kk ??
???
??
??
??
?
? 212
22
2
11
)()( ?
其中 i i N M,都是待定的常数 ),,2,1 ( k i ? ?,
特殊地：,1?k 分解后为 ;2 qpxx
NMx
??
?
例 1 )5)(2(
32
103
32
2 ??
??
??
?
xx
x
xx
x
52 ???? x
B
x
A
)5)(2(
)2()5(
??
????
xx
xBxA
方法一 （ 比较系数法 )
? )2()5(32 ????? xBxAx
)25()(32 BABAx ??????
? ??
?
??
??
325
2
BA
BA
? ??
?
?
?
1
1
B
A；
方法二 （ 赋值法 ）
)2()5(32 ????? xBxAx
? 令 得 2?x 1?A ； 令 5??x 得 1?B
两种方法都能得到
5
1
2
1
)5)(2(
32
103
32
2 ??????
??
??
?
xxxx
x
xx
x
?
?
?
?
?
??
??
??
,1
,02
,02
CA
CB
BA
,51,52,54 ????? CBA
.
1
5
1
5
2
21
5
4
2x
x
x ?
??
?
?
?
)1)(21(
1
2xx ???
)1)(21(
1
2xx ??
),21)(()1(1 2 xCBxxA ?????
,)2()2(1 2 ACxCBxBA ??????
,121 2x CBxxA ? ????例 2
例 3 求积分,)1)(21(
1
2? ?? dxxx
解 dxx
x
dx
x ?? ?
??
?
?
? 2
1
5
1
5
2
21
5
4
? ?? dxxx ))(21( 1 2
dxxdxxxx ?? ?????? 22 1 1511 251)21l n (52
.a r c t a n51)1l n (51)21l n (52 2 Cxxx ??????
有理真分式的积分归结为求下面四种类型的部分
分式的积分,
(1)
dxax
A?
?
；
(2) ； dxax
A
n? ? )( )1( ?n
(3) )04( 2 ?? qp dxqpxx
CBx?
??
?
22 )(,
(4) dxqpxx
CBx
n? ??
?
)( 2 04( 2 ?? qp )1?n,
下面逐一给出他们的求法,
;
(1) CaxAdxax
A ???
?? ln;
(2)
CaxnAax adAdxax A nnn ???????? ?? )( 11)( )-x)( （
当 1?n 时,
(3) 042 ?? qp当 时,
dxqpxx BpCBpBxdxqpxx CBx ?? ?? ?????? ? 22 2221
dxqpxxBpCdxqpxx pxB ?? ?????? ?? 22 12222
? ?? ??? qpxx qpxxdB 2
2 )(
2 dx
pqp
x
BpC
? ?
??
?
?
2
2
2 )
2
4
()
2
(
1
2
2
C
pq
px
pq
BpCqpxxB ?
?
?
?
?????
22
2
4
2a rc t a n
4
2)l n (
2
(4) 042 ?? qp 1?n当 时,且
dxqpxx BpCBpBxdxqpxx CBx nn ?? ?? ?????? ? )( 2221)( 22
?? ?????? ?? nn qpxx dxBpCdxqpxx pxB )(22)( 22 22
duauBpCqpxxnB nn ? ???????? ? )( 122)( 1)1(2 2212
这里,2
pxu ??
2
4 2pqa ??
,
记 duauI nn ? ?? )(
1
22则,
? ? ?? nau auuda )( )(2 1 22
22
2
duau uauaI nn ? ? ??? )(1 22
222
2
??? ? ? 1222 )(1 nau dua duau ua n? ? )(1 22
2
2
12
1
?? nIa
12
1
?? nIa ])(1
1[
2
1 122
2
nauud
na
?? ?
??
12
1
?? nIa
nauu
na
??
??
122
2 )([)1(2
1 ]
)( 122? ??? nau
du
12
1
?? nIa ]([)1(2
1
11222 ?? ???? nn Iau
u
na ）
])32(([)1(2 1 11222 ?? ????? nn Inau una ）
?nI ])32(([)1(2
1
11222 ?? ???? nn Inau
u
na ）
)1( ?n
即
CauaduauI ???? ? a r c t a n11 221而
结论 有理函数的原函数都是初等函数,
虽然从理论上讲, 有理函数总可以分解为部分分式然
后再积分, 但是实际上, 不能机械地套用这个原理, 而
要根据情况, 把积分尽量简化,
例 4 dxx
x?
? 1 0 0
3
)1(求
解 dxx
x?
? 1 0 0
3
)1( dxx
x?
?
???
10 0
3
)1(
]1)1[(
dxdxx? ?? 97)1(
1[
98)1(
3
?? x 99)1(
3
?? x ])1(
1
100?? x
96)1(96
1
??? x 97)1(97
3
?? x 98)1(98
3
?? x
Cx ??? 99)1(99 1
例 5 求 ? ? )2( 10xx
dx
? ? )2( 10xx dx解 dxx xx )21(1 10
9
??? ?
xln21? ? ??? 2 )2(201 10
10
x
xd
xln21? Cx ??? )2l n (
20
1 10
Cx x ??? )2(ln201 10
10
例 6 求 ? ?? 22
2
)22( xx
dxx
? ?? 22
2
)22( xx
dxx
解 dxxx
xxx?
??
?????
22
2
)22(
)22()22(
? ??? 22 )22( xx dx? ?? ?? 22 )22( )22( xx dxx
? ?? ?? 1)1( )1( 2x xd ? ?? ??? 22
2
)22(
)22(
xx
xxd
Cxxx ?????? 221)1a r c t a n ( 2
三角有理式的定义,
由三角函数和常数经过有限次四则运算
构成的函数称之．一般记为 )c o s,( s in xxR
2c o s2si n2si n
xxx ??
2
s ec
2
t a n2
2 x
x
?,
2
t a n1
2
t a n2
2 x
x
?
?
,2si n2c o sc o s 22 xxx ??
二、三角函数有理式的积分
? ?dxxxR )co s,( s i n,1
2
1
1,
1
2
22
2
2 duuu
u
u
uR
???
??
?
?
?
?
??
2
s ec
2
t a n1
co s
2
2
x
x
x
?
?,
2
t a n1
2
t a n1
2
2
x
x
?
?
?
令 2t a n xu ? ux a r c t a n2? （万能置换公式）
,1 2si n 2uux ??,11c o s 2
2
u
ux
?
?? du
udx 21
2
??
解,1 2si n 2uux ??
2
2
1
1c o s
u
ux
?
??,
1
2
2 duudx ??
由万能置换公式
例 7 求积分 ? ?? dxxx x )c o s1(si n si n1
? ?? dxxx x )c o s1(si n si n1
Cuuu ???? )ln22(21
2
C
xx
x
????
2
t a nln
2
1
2
t a n
4
2
t a n 2
duu uu? ??? 1221
2
例 8 求积分,s i n14? dxx
解（一）,2t a n xu ?,1 2si n 2uux ??,1 2 2 duudx ??
? dxx4s in1 duu uuu? ???? 4
642
8
331
Cuuuu ?????? ]3333 1[81
3
3,
2
t a n
24
1
2
t a n
8
3
2
t a n8
3
2
t a n24
1
3
3 C
xx
xx
??
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
??
令 解（二） 修改万能置换公式,xu ta n?
,1si n 2uux ??,1 1 2 duudx ??
? dxx4s in1
du
u
u
u
? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
24
2
1
1
1
1
duu u? ?? 4
21
Cuu ???? 13 1 3,c o tc o t31 3 Cxx ????
解（三） 可以不用万能置换公式,
? dxx4s in1 dxxx )co t1(cs c 22? ??
x d xxx d x 222 c scc o tc sc? ??? )( c o t xd?
.c o t31c o t 3 Cxx ????
结论 比较以上三种解法,便知万能置换不一定是
最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其
它手段,不得已才用万能置换,
例 9 求 dxxx
xx?
?
?
c o s2si n
c o ssi n
解
')c o s2( si n)c o s2( si nc o ssi n xxbxxaxx ?????
xbaxbaxx c o s)2(s i n)2(c o ss i n ?????
设
即
?
?
?
???
??
12
12
ba
ba
??
?
?
?
?
??
??
5
3
5
1
b
a
dxxx xx? ?? c o s2si n c o ssi n?
dxxx xx? ????? )]c o s2si n si n2c o s(5351[
x51?? 53? ? ?? xx xxd c o s2si n )c o s2( si n
x51?? Cxx ?? c o s2s i nln53?
例 10 求 dxxx? ? 22 c o s5si n
1
xu t a n? ux a r c t a n?,
解 令,则 duudx 21 1??
,1si n 2
2
2
u
ux
??,1
1c o s
2
2
ux ??于是
? ?? 52u du dxxx? ? 22 c o ssi n 1
Cu ?? )5a r ct a n (51 Cx ?? )5t a na rc t a n (51
首先讨论类型 ),,( n baxxR ? ),,( n ecx baxxR ??
解决方法 作代换去掉根号,
例 11 求积分 ? ? dxx xx 11
tx x ??1解 令,1 2tx x ???
三、简单无理函数的积分
,112 ?? tx ? ?,
1
2
22 ??? t
td tdx
? ? dxx xx 11 ? ? ? ? dtt
ttt?
?
??? 2
2
2
1
21?
??? 12 2
2
t
dtt
dtt? ?
?
??
?
?
???? 1
112
2 Ct
tt ?
?
????
1
1ln2
.11ln12
2
C
x
xx
x
x ?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
? ??????
例 12 求积分 dxx? ?? 3 21 1
23 ?? xt解 令,3 2 dxdtt ??
dxx? ?? 3 21 1 dtttdttt ?? ? ????? 1 1131 3
22
Cttt ????? )1ln2(3
2
Cxxx ???????? )12l n (323)2(23 333 2
例 13 求,1
1 dx
e x? ?
令
dxe x? ?1 1 dt
t? ?? 1
2
2 dttt? ??
??
?
?
???? 1
1
1
1
Ctt ???? 11ln ? ?,11ln2 Cxe x ?????
解 xet ?? 1,12 ??? te x
,122 dtt tdx ??? ?,1ln 2 ?? tx
接着讨论形如 的积分,
dxcbxaxxR ),( 2 ??
例 14 求 ?
?? 2
3
2 )102( xx
dx
xx t a n31 ?? txx 22 s e c9102 ???
?
?? 2
3
2 )102( xx
dx
解 ?
??
?
2
3
2 ]9)1[( x
dx
则,令,
td tdx 2s e c3?
?? ???? Ctt d tdttt si n91c o s91se c27 se c3 3
2
?
?? 2
3
2 )102( xx
dx
Cxx x ??? ?? 1029 12
对于某些含有二次根式的不定积分, 还可以用, 倒代
换, 的方法来做,
例 15 求 ? ? 22 1 xx
dx
tx
1?解
设,，dttdx 21??
? ? 22 1 xx dx
dt
t
t
dt
t
t
t
?? ????
?
?
1
)
1
(
1
1
22
2
2
当 时,有
0?x
? ? 22 1 xx dx dtt t? ??? 12 )1(1121 22 ???? ? tdt
Cx xCt ????????
2
2 11
当 时也有同样结果,
0?x
当被积函数含有两种或两种以上的根式
时，可采用令 （其中 为各根指数的 最小公
倍数 ）
lk xx,,?
ntx ? n
例 16 求,)1(
1
3 dxxx? ?
解 令 6tx ?,6 5 dttdx ??
dxxx? ? )1( 1 3?
?? dttt
t
)1(
6
23
5
? ?? dttt 2
2
1
6
? ? ??? dttt 2
2
1
116
? ?????? ??? dtt 21 116
Ctt ??? ]a r c ta n[6
.]a r c t a n[6 66 Cxx ???
例 17 求 dxxx
x?
??? 1213
dxxx x? ??? 1213解
dxxx xxx? ??? ???? )12(13 )1213(
dxx? ?? 13 dxx? ?? 12
)13(1331 ??? ? xdx )12(1221 ??? ? xdx
Cxx ????? 2
3
2
3
)12(31)13(92
有理式分解成部分分式之和的积分,
(注意,必须化成真分式 )
三角有理式的积分,(万能置换公式 )
(注意,万能公式并不万能 )
简单无理式的积分,
四, 小结
一, 有理函数的积分
二, 三角函数有理数的积分
三, 简单无理函数的积分
四, 小结
,
一 有理函数的积分
mm
mm
nn
nn
bxbxbxb
axaxaxa
xQ
xP
????
?????
?
?
?
?
1
1
10
1
1
10
)(
)(
?
?
两个多项式的商表示的函数, 有理函数的定义,
其中 都是非负整数； 及
都是实数，并且 0,0 ?? ba
nm,naaa ?,,10
mbbb ?,,10
假定分子与分母之间没有公因式
,)1( mn ? 这有理函数是真分式 ；
,)2( mn ? 这有理函数是假分式；
有理函数有以下性质,
1）利用多项式除法,假分式可以化成一
个多项式和一个真分式之和,
例如，我们可将
化为多项式与真分式之和
1
1
2
3
?
??
x
xx
1
1
2 ?? xx
其中 都是待定的常数,
042 ?? qpk 为正整数，
qpaBA,,,,
kax
A
)( ?
2）在实数范围内真分式总可以分解成几个最简式之和
最简分式是下面两种形式的分式
kqpxx
BAx
)( 2 ??
?
,
特殊地：,1?k 分解后为 ;axA?
,)()( 121 ax Aax Aax A kkk ?????? ? ?
3）有理函数化为部分分式之和的一般规律,
其中 都是待定的常数
（ 1）分母中若有因式,则分解后为 kax )( ?
kAAA ?,2,1
（ 2）分母中若有因式, 其中 kqpxx )( 2 ??
则分解后为 042 ?? qp
qpxx
NxM
qpxx
NxM
qpxx
NxM kk
kk ??
???
??
??
??
?
? 212
22
2
11
)()( ?
其中 i i N M,都是待定的常数 ),,2,1 ( k i ? ?,
特殊地：,1?k 分解后为 ;2 qpxx
NMx
??
?
例 1 )5)(2(
32
103
32
2 ??
??
??
?
xx
x
xx
x
52 ???? x
B
x
A
)5)(2(
)2()5(
??
????
xx
xBxA
方法一 （ 比较系数法 )
? )2()5(32 ????? xBxAx
)25()(32 BABAx ??????
? ??
?
??
??
325
2
BA
BA
? ??
?
?
?
1
1
B
A；
方法二 （ 赋值法 ）
)2()5(32 ????? xBxAx
? 令 得 2?x 1?A ； 令 5??x 得 1?B
两种方法都能得到
5
1
2
1
)5)(2(
32
103
32
2 ??????
??
??
?
xxxx
x
xx
x
?
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?
?
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??
,1
,02
,02
CA
CB
BA
,51,52,54 ????? CBA
.
1
5
1
5
2
21
5
4
2x
x
x ?
??
?
?
?
)1)(21(
1
2xx ???
)1)(21(
1
2xx ??
),21)(()1(1 2 xCBxxA ?????
,)2()2(1 2 ACxCBxBA ??????
,121 2x CBxxA ? ????例 2
例 3 求积分,)1)(21(
1
2? ?? dxxx
解 dxx
x
dx
x ?? ?
??
?
?
? 2
1
5
1
5
2
21
5
4
? ?? dxxx ))(21( 1 2
dxxdxxxx ?? ?????? 22 1 1511 251)21l n (52
.a r c t a n51)1l n (51)21l n (52 2 Cxxx ??????
有理真分式的积分归结为求下面四种类型的部分
分式的积分,
(1)
dxax
A?
?
；
(2) ； dxax
A
n? ? )( )1( ?n
(3) )04( 2 ?? qp dxqpxx
CBx?
??
?
22 )(,
(4) dxqpxx
CBx
n? ??
?
)( 2 04( 2 ?? qp )1?n,
下面逐一给出他们的求法,
;
(1) CaxAdxax
A ???
?? ln;
(2)
CaxnAax adAdxax A nnn ???????? ?? )( 11)( )-x)( （
当 1?n 时,
(3) 042 ?? qp当 时,
dxqpxx BpCBpBxdxqpxx CBx ?? ?? ?????? ? 22 2221
dxqpxxBpCdxqpxx pxB ?? ?????? ?? 22 12222
? ?? ??? qpxx qpxxdB 2
2 )(
2 dx
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x
BpC
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??
?
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2
2
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2
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()
2
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2
2
C
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px
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?
?
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?????
22
2
4
2a rc t a n
4
2)l n (
2
(4) 042 ?? qp 1?n当 时,且
dxqpxx BpCBpBxdxqpxx CBx nn ?? ?? ?????? ? )( 2221)( 22
?? ?????? ?? nn qpxx dxBpCdxqpxx pxB )(22)( 22 22
duauBpCqpxxnB nn ? ???????? ? )( 122)( 1)1(2 2212
这里,2
pxu ??
2
4 2pqa ??
,
记 duauI nn ? ?? )(
1
22则,
? ? ?? nau auuda )( )(2 1 22
22
2
duau uauaI nn ? ? ??? )(1 22
222
2
??? ? ? 1222 )(1 nau dua duau ua n? ? )(1 22
2
2
12
1
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1[
2
1 122
2
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1 ]
)( 122? ??? nau
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1
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1
11222 ?? ???? nn Iau
u
na ）
])32(([)1(2 1 11222 ?? ????? nn Inau una ）
?nI ])32(([)1(2
1
11222 ?? ???? nn Inau
u
na ）
)1( ?n
即
CauaduauI ???? ? a r c t a n11 221而
结论 有理函数的原函数都是初等函数,
虽然从理论上讲, 有理函数总可以分解为部分分式然
后再积分, 但是实际上, 不能机械地套用这个原理, 而
要根据情况, 把积分尽量简化,
例 4 dxx
x?
? 1 0 0
3
)1(求
解 dxx
x?
? 1 0 0
3
)1( dxx
x?
?
???
10 0
3
)1(
]1)1[(
dxdxx? ?? 97)1(
1[
98)1(
3
?? x 99)1(
3
?? x ])1(
1
100?? x
96)1(96
1
??? x 97)1(97
3
?? x 98)1(98
3
?? x
Cx ??? 99)1(99 1
例 5 求 ? ? )2( 10xx
dx
? ? )2( 10xx dx解 dxx xx )21(1 10
9
??? ?
xln21? ? ??? 2 )2(201 10
10
x
xd
xln21? Cx ??? )2l n (
20
1 10
Cx x ??? )2(ln201 10
10
例 6 求 ? ?? 22
2
)22( xx
dxx
? ?? 22
2
)22( xx
dxx
解 dxxx
xxx?
??
?????
22
2
)22(
)22()22(
? ??? 22 )22( xx dx? ?? ?? 22 )22( )22( xx dxx
? ?? ?? 1)1( )1( 2x xd ? ?? ??? 22
2
)22(
)22(
xx
xxd
Cxxx ?????? 221)1a r c t a n ( 2
三角有理式的定义,
由三角函数和常数经过有限次四则运算
构成的函数称之．一般记为 )c o s,( s in xxR
2c o s2si n2si n
xxx ??
2
s ec
2
t a n2
2 x
x
?,
2
t a n1
2
t a n2
2 x
x
?
?
,2si n2c o sc o s 22 xxx ??
二、三角函数有理式的积分
? ?dxxxR )co s,( s i n,1
2
1
1,
1
2
22
2
2 duuu
u
u
uR
???
??
?
?
?
?
??
2
s ec
2
t a n1
co s
2
2
x
x
x
?
?,
2
t a n1
2
t a n1
2
2
x
x
?
?
?
令 2t a n xu ? ux a r c t a n2? （万能置换公式）
,1 2si n 2uux ??,11c o s 2
2
u
ux
?
?? du
udx 21
2
??
解,1 2si n 2uux ??
2
2
1
1c o s
u
ux
?
??,
1
2
2 duudx ??
由万能置换公式
例 7 求积分 ? ?? dxxx x )c o s1(si n si n1
? ?? dxxx x )c o s1(si n si n1
Cuuu ???? )ln22(21
2
C
xx
x
????
2
t a nln
2
1
2
t a n
4
2
t a n 2
duu uu? ??? 1221
2
例 8 求积分,s i n14? dxx
解（一）,2t a n xu ?,1 2si n 2uux ??,1 2 2 duudx ??
? dxx4s in1 duu uuu? ???? 4
642
8
331
Cuuuu ?????? ]3333 1[81
3
3,
2
t a n
24
1
2
t a n
8
3
2
t a n8
3
2
t a n24
1
3
3 C
xx
xx
??
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
??
令 解（二） 修改万能置换公式,xu ta n?
,1si n 2uux ??,1 1 2 duudx ??
? dxx4s in1
du
u
u
u
? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
24
2
1
1
1
1
duu u? ?? 4
21
Cuu ???? 13 1 3,c o tc o t31 3 Cxx ????
解（三） 可以不用万能置换公式,
? dxx4s in1 dxxx )co t1(cs c 22? ??
x d xxx d x 222 c scc o tc sc? ??? )( c o t xd?
.c o t31c o t 3 Cxx ????
结论 比较以上三种解法,便知万能置换不一定是
最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其
它手段,不得已才用万能置换,
例 9 求 dxxx
xx?
?
?
c o s2si n
c o ssi n
解
')c o s2( si n)c o s2( si nc o ssi n xxbxxaxx ?????
xbaxbaxx c o s)2(s i n)2(c o ss i n ?????
设
即
?
?
?
???
??
12
12
ba
ba
??
?
?
?
?
??
??
5
3
5
1
b
a
dxxx xx? ?? c o s2si n c o ssi n?
dxxx xx? ????? )]c o s2si n si n2c o s(5351[
x51?? 53? ? ?? xx xxd c o s2si n )c o s2( si n
x51?? Cxx ?? c o s2s i nln53?
例 10 求 dxxx? ? 22 c o s5si n
1
xu t a n? ux a r c t a n?,
解 令,则 duudx 21 1??
,1si n 2
2
2
u
ux
??,1
1c o s
2
2
ux ??于是
? ?? 52u du dxxx? ? 22 c o ssi n 1
Cu ?? )5a r ct a n (51 Cx ?? )5t a na rc t a n (51
首先讨论类型 ),,( n baxxR ? ),,( n ecx baxxR ??
解决方法 作代换去掉根号,
例 11 求积分 ? ? dxx xx 11
tx x ??1解 令,1 2tx x ???
三、简单无理函数的积分
,112 ?? tx ? ?,
1
2
22 ??? t
td tdx
? ? dxx xx 11 ? ? ? ? dtt
ttt?
?
??? 2
2
2
1
21?
??? 12 2
2
t
dtt
dtt? ?
?
??
?
?
???? 1
112
2 Ct
tt ?
?
????
1
1ln2
.11ln12
2
C
x
xx
x
x ?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
? ??????
例 12 求积分 dxx? ?? 3 21 1
23 ?? xt解 令,3 2 dxdtt ??
dxx? ?? 3 21 1 dtttdttt ?? ? ????? 1 1131 3
22
Cttt ????? )1ln2(3
2
Cxxx ???????? )12l n (323)2(23 333 2
例 13 求,1
1 dx
e x? ?
令
dxe x? ?1 1 dt
t? ?? 1
2
2 dttt? ??
??
?
?
???? 1
1
1
1
Ctt ???? 11ln ? ?,11ln2 Cxe x ?????
解 xet ?? 1,12 ??? te x
,122 dtt tdx ??? ?,1ln 2 ?? tx
接着讨论形如 的积分,
dxcbxaxxR ),( 2 ??
例 14 求 ?
?? 2
3
2 )102( xx
dx
xx t a n31 ?? txx 22 s e c9102 ???
?
?? 2
3
2 )102( xx
dx
解 ?
??
?
2
3
2 ]9)1[( x
dx
则,令,
td tdx 2s e c3?
?? ???? Ctt d tdttt si n91c o s91se c27 se c3 3
2
?
?? 2
3
2 )102( xx
dx
Cxx x ??? ?? 1029 12
对于某些含有二次根式的不定积分, 还可以用, 倒代
换, 的方法来做,
例 15 求 ? ? 22 1 xx
dx
tx
1?解
设,，dttdx 21??
? ? 22 1 xx dx
dt
t
t
dt
t
t
t
?? ????
?
?
1
)
1
(
1
1
22
2
2
当 时,有
0?x
? ? 22 1 xx dx dtt t? ??? 12 )1(1121 22 ???? ? tdt
Cx xCt ????????
2
2 11
当 时也有同样结果,
0?x
当被积函数含有两种或两种以上的根式
时，可采用令 （其中 为各根指数的 最小公
倍数 ）
lk xx,,?
ntx ? n
例 16 求,)1(
1
3 dxxx? ?
解 令 6tx ?,6 5 dttdx ??
dxxx? ? )1( 1 3?
?? dttt
t
)1(
6
23
5
? ?? dttt 2
2
1
6
? ? ??? dttt 2
2
1
116
? ?????? ??? dtt 21 116
Ctt ??? ]a r c ta n[6
.]a r c t a n[6 66 Cxx ???
例 17 求 dxxx
x?
??? 1213
dxxx x? ??? 1213解
dxxx xxx? ??? ???? )12(13 )1213(
dxx? ?? 13 dxx? ?? 12
)13(1331 ??? ? xdx )12(1221 ??? ? xdx
Cxx ????? 2
3
2
3
)12(31)13(92
有理式分解成部分分式之和的积分,
(注意,必须化成真分式 )
三角有理式的积分,(万能置换公式 )
(注意,万能公式并不万能 )
简单无理式的积分,
四, 小结
