一、无穷限的广义积分
二、无界函数的广义积分
第五节 广义积分
1,定义 1 设 )( xf 在 ),[ ??a 上连续，取 at ?,
如果极限 ?
???
t
at
dt)x(fl i m 存在，则称此极限为
)( xf 在无穷区间 ),[ ??a 上的广义积分，记作
?
??
a
dxxf )(,
这时称广义积分 收敛；若极限不存
在，称广义积分 发散,
? ?dxxfa? ??
? ?dxxfa? ??
????? bab dx)x(flim? ?dxxfa? ??
一、无穷限的广义积分
类似地，设函数 )( xf 在区间 ],( b?? 上连续，取
bt ?,如果极限 ?
???
b
tt
dx)x(flim 存在，则称此极
限为函数 )( xf 在无穷区间 ],( b?? 上的广义积
分，记作 ?
??
b
dxxf )(,
? ??b dxxf )(,dx)x(fli m btt ?????
这时称 收敛；若极限不存在，称
发散,
? ?dxxfb? ??
? ?dxxfb? ??
设 )( xf 在 ),( ???? 上连续,若 ?
??
0
)( dxxf 和
?
??
0
)( dxxf 都收敛，则称上述两广义积分之和为
)( xf 在 ),( ???? 上 的 广 义 积 分, 记 作
?
??
??
dxxf )(,即
? ???? dxxf )( ? ??? 0 )( dxxf ? ??? 0 )( dxxf
????? 0tt dx)x(flim,dx)x(flim tt ????? 0
两极限均存在称 收敛，两极限至少
有一个不存在称 发散,
? ?dxxf? ????
? ?dxxf? ????
上述各广义积分统称为无穷限的广义积分,
简称无穷积分,
2.说明
（ 1） 设,则 ? ? ? ?xfxF ??
? ?dxxfa? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?；aFFaFtFlimt ?????? ???
? ? ? ? ? ? ? ?；?????? ??? FbFtFlimbF t? ?dxxfb? ??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?.FF
tFlimtFlimdxxf
tt
??????
??
??????
??
???
? ? ? ?,dxxfl i mdxxf B
A
B
A ??
???
???
??
??
?
这里 A与 B是相互独立的,
（ 2）当 为奇函数时,不能按积
分区间关于原点对称的定积分处理为零。因为
? ?xf ? ?dxxf? ????
解, ? ? 100 ?? ????? xx edxe
3.例题
例 1 计算广义积分, dxex???0
这个广义积分值的几
???t
时，图 5－ 7中阴影部
其面积却有极限值 1,
分向左无限延伸，但
何意义是,当
y
xo
1
t
x
ey ?
图 5－ 7
解 ??? ???????? ?? 00 x d xs i nx d xs i ndxxs i n
? ? ? ?,xc osxc os ???? ???? 00极限不存在
dxxs in? ????? 是发散的
例 2 计算广义积分, dxxsi n? ????
若认为积分区间关于原点对称，被积函数为
奇函数，按定积分公式 ③ 计算就错了,
例 3 计算广义积分, x d xs ine x? ?? ?0
解 先计算定积分
x d xs ineA x? ?0
? ?xAA x edxs i nx dxs i ne ?? ?? ?? 00
? ? x d xc o sexs i ne A xAx ? ?? ???? 00
? ?xAA edxc o sAs i ne ?? ???? 0
? ? x dxs i nexc oseAs i ne A xAxA ? ??? ???? 00
x d xs i neAc o seAs i ne A xAA ? ??? ????? 01
? ?? ?Ac o sAsi nex d xsi ne AA x ???? ??? 1210
则 xd xs i nelimxd xs i ne A xAx ?? ????? ? ? 00 －
? ?? ? 21121 ???? ?
???
Ac o sAsi nelim A
A
,
,
? ? ? ?,dxxfl i mdxxf bt
at
b
a ?? ???即
二、无界函数的广义积分
1.定义 2 设 在 上连续，在点 的右邻
域内无界,取,若 存在，则称此极
限为 在 上的广义积分，记作
?? b,a
at ? ? ?dxxflim btat ???
? ?xf ?? b,a ? ?dxxfba?
? ?xf a
这时称广义积分 收敛；若极限不存在,
称广义积分 发散,
? ?dxxfba?
? ?dxxfba?
类似地，设 在 上连续，在点 的
左邻域内无界，取,若 存
在，则称此极限为 在 上的广义积分,
记作,即
? ?xf ?? b,a b
bt ? ? ?dxxfl i m ta
bt ???
? ?xf ?? b,a
? ?dxxfba?,
? ? ? ?dxxfl i mdxxf ta
bt
b
a ?? ???
这时称广义积分 收敛；若极限不存在,
称广义积分 发散,
? ?dxxfba?
? ?dxxfba?
设 在 上除点 外连续，在点 的
邻域内无界，若广义积分 和广义积分
都收敛，则称上述两广义积分之和为
在 上的广义积分，记为,
? ?xf ? ?b,a c c
? ?dxxfca?
? ?dxxfbc?
? ?xf ? ?b,a ? ?dxxfba?
? ? ? ?,dxxfl i mdxxfl i m bt
ct
t
act ?? ?? ?? ??
? ? ? ? ? ?dxxfdxxfdxxf bccaba ??? ??即
这时称广义积分 收敛，若上述两极限
至少有一个不存在，则称广义积分 发
散,
? ?dxxfba?
? ?dxxfba?
2.说明
（ 1）在定义 2中 在点 的邻域内都无
界，这些点均为 的无界间断点，也称为
的瑕点，故无界函数的广义积分也称为瑕积分,
? ?xf
c,b,a
? ?xf
? ?xf
? ? ? ?xfxF ??（ 2）设, 则
当 为 的瑕点时,ax? ? ?xf
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?；?
?
???? ?? aFbFtFlimbFdxxf
at
b
a
当 为 的瑕点时,bx? ? ?xf
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,aFbFaFtFlimdxxf
bt
b
a ???? ???
－
,
,
当 为 的瑕点时 cx? ? ?xf ? ?,bca ??? ? ? ? ? ?dxxfdxxfdxxf b
c
c
a
b
a ???
??
? ? ? ? ? ? ? ??? ???? cFcFaFbF
(3)若积分区间是有限的，必须先考察是定积分
还是瑕积分，如是瑕积分而按定积分计算就会出
现错误，即使是按定积分求得的结果与按瑕积分
求得的结果相同，前者的概念也是错误的,
(4)若积分区间是无穷区间，被积函数是无界函
数的广义积分，应把广义积分分拆成几项，使
每项是单纯的无穷积分或瑕积分，再按各自的
积分方法计算,
3.例题
例 4 计算广义积分, ? ?
a
xa
dx
0 22
.a rc t a nata rc t a nl i mxa dx
at
a
200 22
????
? ???
解, 是瑕点,?????
? 22
1
xal i max? ax ??
这个广义积分的几何意义是当 时,
图 5－ 8中阴影部分趋近于 的面积值,
?? at
ax?
y
xo t a
a
1
22
1
xa
y
?
?
图 5－ 8
例 5 计算广义积分, ? ? dxx?
2
0 21
1
－
解 因为,所以 是瑕点, ? ? ???
? 21 1
1
xlimx 1?x
? ? ? ? ? ? dxxdxxdxx ??? ????
2
1 2
1
0 2
2
0 2 1
1
1
1
1
1
－
而, ? ? ??????? ?
??
11 11 1
1
1
0 2 t
l i mdxx
t
所以 发散, ? ? dxx?
2
0 21
1
－
,
注, 若按定积分计算（不考虑 是瑕点 ),
就会导致以下的错误,
1?x
? ?,xdxx 21
1
1
1 2
0
2
0 2
???
?
?
??
?
?
??
－
例 6 考察广义积分 的敛散性, ? ?01
0 ??
?? pdx
x p
解 是瑕点，积分区间是无穷区间,0?x
? ???????? ??? ???? a,dxxdxxdxx a pa pp 0111 00
先考察 的敛散性, ? ?01
0 ?? pdxx
a
p
当 时,1?p ? ?0?a
?????
???
tlnl i malndxx
t
a
00
1
当 时,1?p ? ?0?a
? ?pp
t
a
p tal i mpdxx
??
?
???
??
11
00 1
11
??
?
?
?
???
??
??
?
1
10
1
1
p,
p,
p
a p
当 时收敛，当 时发散； dxx
a
p?? 0
1 10 ?? p 1?p
再考察 的敛散性, ? ?01 ??
?? pdx
xa p
当 时,1?p ? ?0?a
,alntlnlimdxx
ta
?????
???
??? 1
当 时,1?p ? ?0?a
? ?pp
ta p
atlimpdxx ??
???
?? ?
???
11
1
11
??
?
?
?
????
?
??
?
10
1
1
1
p,
p,
p
a p
dxxa p? ??? 1 1?p 10 ?? p 当 时收敛，当 时发散,
则广义积分 发散, dxx p? ??
0
1
二、无界函数的广义积分
第五节 广义积分
1,定义 1 设 )( xf 在 ),[ ??a 上连续，取 at ?,
如果极限 ?
???
t
at
dt)x(fl i m 存在，则称此极限为
)( xf 在无穷区间 ),[ ??a 上的广义积分，记作
?
??
a
dxxf )(,
这时称广义积分 收敛；若极限不存
在，称广义积分 发散,
? ?dxxfa? ??
? ?dxxfa? ??
????? bab dx)x(flim? ?dxxfa? ??
一、无穷限的广义积分
类似地，设函数 )( xf 在区间 ],( b?? 上连续，取
bt ?,如果极限 ?
???
b
tt
dx)x(flim 存在，则称此极
限为函数 )( xf 在无穷区间 ],( b?? 上的广义积
分，记作 ?
??
b
dxxf )(,
? ??b dxxf )(,dx)x(fli m btt ?????
这时称 收敛；若极限不存在，称
发散,
? ?dxxfb? ??
? ?dxxfb? ??
设 )( xf 在 ),( ???? 上连续,若 ?
??
0
)( dxxf 和
?
??
0
)( dxxf 都收敛，则称上述两广义积分之和为
)( xf 在 ),( ???? 上 的 广 义 积 分, 记 作
?
??
??
dxxf )(,即
? ???? dxxf )( ? ??? 0 )( dxxf ? ??? 0 )( dxxf
????? 0tt dx)x(flim,dx)x(flim tt ????? 0
两极限均存在称 收敛，两极限至少
有一个不存在称 发散,
? ?dxxf? ????
? ?dxxf? ????
上述各广义积分统称为无穷限的广义积分,
简称无穷积分,
2.说明
（ 1） 设,则 ? ? ? ?xfxF ??
? ?dxxfa? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?；aFFaFtFlimt ?????? ???
? ? ? ? ? ? ? ?；?????? ??? FbFtFlimbF t? ?dxxfb? ??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?.FF
tFlimtFlimdxxf
tt
??????
??
??????
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???
? ? ? ?,dxxfl i mdxxf B
A
B
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???
???
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这里 A与 B是相互独立的,
（ 2）当 为奇函数时,不能按积
分区间关于原点对称的定积分处理为零。因为
? ?xf ? ?dxxf? ????
解, ? ? 100 ?? ????? xx edxe
3.例题
例 1 计算广义积分, dxex???0
这个广义积分值的几
???t
时，图 5－ 7中阴影部
其面积却有极限值 1,
分向左无限延伸，但
何意义是,当
y
xo
1
t
x
ey ?
图 5－ 7
解 ??? ???????? ?? 00 x d xs i nx d xs i ndxxs i n
? ? ? ?,xc osxc os ???? ???? 00极限不存在
dxxs in? ????? 是发散的
例 2 计算广义积分, dxxsi n? ????
若认为积分区间关于原点对称，被积函数为
奇函数，按定积分公式 ③ 计算就错了,
例 3 计算广义积分, x d xs ine x? ?? ?0
解 先计算定积分
x d xs ineA x? ?0
? ?xAA x edxs i nx dxs i ne ?? ?? ?? 00
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Ac o sAsi nelim A
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,
,
? ? ? ?,dxxfl i mdxxf bt
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二、无界函数的广义积分
1.定义 2 设 在 上连续，在点 的右邻
域内无界,取,若 存在，则称此极
限为 在 上的广义积分，记作
?? b,a
at ? ? ?dxxflim btat ???
? ?xf ?? b,a ? ?dxxfba?
? ?xf a
这时称广义积分 收敛；若极限不存在,
称广义积分 发散,
? ?dxxfba?
? ?dxxfba?
类似地，设 在 上连续，在点 的
左邻域内无界，取,若 存
在，则称此极限为 在 上的广义积分,
记作,即
? ?xf ?? b,a b
bt ? ? ?dxxfl i m ta
bt ???
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? ? ? ?dxxfl i mdxxf ta
bt
b
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这时称广义积分 收敛；若极限不存在,
称广义积分 发散,
? ?dxxfba?
? ?dxxfba?
设 在 上除点 外连续，在点 的
邻域内无界，若广义积分 和广义积分
都收敛，则称上述两广义积分之和为
在 上的广义积分，记为,
? ?xf ? ?b,a c c
? ?dxxfca?
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ct
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? ? ? ? ? ?dxxfdxxfdxxf bccaba ??? ??即
这时称广义积分 收敛，若上述两极限
至少有一个不存在，则称广义积分 发
散,
? ?dxxfba?
? ?dxxfba?
2.说明
（ 1）在定义 2中 在点 的邻域内都无
界，这些点均为 的无界间断点，也称为
的瑕点，故无界函数的广义积分也称为瑕积分,
? ?xf
c,b,a
? ?xf
? ?xf
? ? ? ?xfxF ??（ 2）设, 则
当 为 的瑕点时,ax? ? ?xf
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?；?
?
???? ?? aFbFtFlimbFdxxf
at
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当 为 的瑕点时,bx? ? ?xf
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－
,
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c
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b
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(3)若积分区间是有限的，必须先考察是定积分
还是瑕积分，如是瑕积分而按定积分计算就会出
现错误，即使是按定积分求得的结果与按瑕积分
求得的结果相同，前者的概念也是错误的,
(4)若积分区间是无穷区间，被积函数是无界函
数的广义积分，应把广义积分分拆成几项，使
每项是单纯的无穷积分或瑕积分，再按各自的
积分方法计算,
3.例题
例 4 计算广义积分, ? ?
a
xa
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0 22
.a rc t a nata rc t a nl i mxa dx
at
a
200 22
????
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解, 是瑕点,?????
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1
xal i max? ax ??
这个广义积分的几何意义是当 时,
图 5－ 8中阴影部分趋近于 的面积值,
?? at
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1
22
1
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图 5－ 8
例 5 计算广义积分, ? ? dxx?
2
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1
－
解 因为,所以 是瑕点, ? ? ???
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1
xlimx 1?x
? ? ? ? ? ? dxxdxxdxx ??? ????
2
1 2
1
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而, ? ? ??????? ?
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1
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t
所以 发散, ? ? dxx?
2
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1
－
,
注, 若按定积分计算（不考虑 是瑕点 ),
就会导致以下的错误,
1?x
? ?,xdxx 21
1
1
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－
例 6 考察广义积分 的敛散性, ? ?01
0 ??
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解 是瑕点，积分区间是无穷区间,0?x
? ???????? ??? ???? a,dxxdxxdxx a pa pp 0111 00
先考察 的敛散性, ? ?01
0 ?? pdxx
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再考察 的敛散性, ? ?01 ??
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??
?
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????
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10
1
1
1
p,
p,
p
a p
dxxa p? ??? 1 1?p 10 ?? p 当 时收敛，当 时发散,
则广义积分 发散, dxx p? ??
0
1
