第三节 数量积 向量积 混合积
一、两向量的数量积
二、两向量的向量积
三、两向量的混合积
一物体在常力 F
?
作用下沿直线从点 1M 移动
到点 2M,以 s
?
表示位移，则力 F
?
所作的功为
?c o s|||| sFW ??? ( 其中 ? 为 F? 与 s? 的夹角 )
启示
向量 a? 与 b? 的 数量积 为 ba ?? ?
?c o s|||| baba ???? ?? ( 其中 ? 为 a? 与 b? 的夹角 )
实例
两向量作这样的运算,结果是一个数量,
1.定义
数量积也称为“点积”、“内积”,
一、两向量的数量积
关于数量积的说明,
0)2( ?? ba ?? ??,ba ???
)(?,0??ba ???,0|| ?a?,0|| ?b?
,0c o s ?? ?,ba ????
.||)1( 2aaa ??? ??
)(?,ba ??? ?,0c o s ?? ?
.0co s|||| ??? ?baba ????
,0???,||c o s|||| 2aaaaa ????? ???? ?证
证
??,2?
,2????
b? a? ),co s (||)3(
?
???
bab这个数叫做向量 在向量 上的投影,
即记作,
?
? barjP
),co s (||
?
????
? babbP
arj
＝
??
?
??????
?????? bPabababa
arj
||),co s (||||
????
??? aPbba
brj
||
结论：两向量的数量积等于其中一个向量的模和另
一个向量在这向量方向上的投影的乘积,
，
?
?
?
?
?
?
?
kzajyaixaa对于
,,c o s(|| ）
?
??
? xaaa x由于
),,c o s(||
?
??
? yaaa y
),co s (||
?
??
? zaaa z
),,( zyx aaa 在 所以 ?a 的坐标 正是向量 ?a zyx,,轴上的投影 。
（ 4）基本向量的数量积公式
1,1,1 ?????? ?????? kkjjii
0,0,0 ?????? ?????? kjkiji
2.数量积符合下列运算规律,
（ 1）交换律, ;abba ???? ???
（ 2）分配律, ;)( cbcacba ??????? ??????
（ 3）若 为数, ? ),()()( bababa ?????? ????? ???
若, 为数, ? ? ).()()( baba ???? ??? ????
,kajaiaa zyx ???? ??? kbjbibb zyx ??? ???设
??ba ?? )( kajaia zyx ??? ?? )( kbjbib zyx ??? ???
,kji ???? ??,0??????? ikkjji ??????
,1|||||| ??? kji ????
.1??????? kkjjii ??????
zzyyxx babababa ????
??
3.数量积的坐标表达式
?co s|||| baba ???? ??,||||co s ba
ba ?? ?? ????
222222co s
zyxzyx
zzyyxx
bbbaaa
bababa
????
??
??
两向量夹角余弦的坐标表示式
??? ba ?? 0??? zzyyxx bababa
由此可知两向量垂直的充要条件为
4.两向量夹角余弦及向量方向余弦的坐标表示式
x
y
z
o
?1M
? 2M?
??
由图分析可知
?c o s|| aa x ??
?c o s|| aa y ??
?c o s|| aa z ??
向
量
的
方
向
余
弦 方向余弦通常用来表示向量的方向,
xzyx aaaaia ???? )0,0,1(),,(
??
P Q
R
，,?c o s|| aa y ??同理 ?c o s|| aa z ??
向量 a? 与三坐标轴的夹角 ???,,
称为向量 a? 的方向角
0222 ??? zyx aaa当 时,
,co s 222
zyx
x
aaa
a
??
??
,co s 222
zyx
y
aaa
a
??
??
.c o s 222
zyx
z
aaa
a
??
??
向量方向余弦的坐标表示式
1co sco sco s 222 ??? ???
方向余弦的特征
0a
||a
a???
}.cos,cos,{ co s ????
特殊地：单位向量的方向余弦为
例 1 已知三点 )0,0,1(A, )1,1,3(B,
)1,0,2(C,求 （ 1 ）
?
BC 与
?
CA 的夹角；
（ 2 ）
?
BC 的方向余弦、方向角；
（ 3 ）
?
BC 的单位向量；
（ 4 ）向量
?
CA 在
?
BC 上的投影,
解 （ 1） )1,0,1(),0,1,1( ?????? ?? CABC
2||,2|| ?? ?? CABC
1)1(00)1()1()1( ???????????? ?? CABC
2
1
||||
co s ?
?
?
? ??
??
CABC
CABC
?
)0,1,1( ????BC?（ 2）
0c o s,21c o s,21c o s ????? ???
.2,43 ????? ???方向角
||
0
?
?
?
BC
BC
a设
（ 3）
例 2 证明平行四边形的对角线的平方和等于各
边的平方和,
证,
)0,21,21(0 ???a则
（ 4）
2
1
2
1
2
c o s||
???
?
??
?
?CACAP
BC
rj
O A
CB
??
??
?
?
?
?
?
?
mOC
nBA
bOB
aOA
?????? ???? bamban,则
????
??????
???????
???
?????
??????
baba
bbbaaa
babannn
2||||
2
)()(||
22
2
＝
＝
于是
22
2
||2||
)()(||
????
???????
????
??????
bbaa
babammm
2222 ||2||2|||| ???? ???? banm
设 O 为一根杠杆 L 的支点，有一力 F
?
作用
于这杠杆上 P 点处．力 F
?
与 OP 的夹角为 ?,力
F
?
对支点 O 的力矩是一向量 M
?
，它的模
|||||| FOQM ?? ?
?sin|||| FOP ??M? 的方向垂直于 OP 与 F? 所决
定的平面,指向符合右手系,
实例
L
F?
P
QO
?
二、两向量的向量积
向量 a? 与 b? 的 向量积 为 bac ??? ??
?si n|||||| bac ??? ? ( 其中 ? 为 a? 与 b? 的夹角 )
1.定义
c? 的方向既垂直于 a?,又垂直于 b
?
，指向符合
右手系,
关于向量积的说明,
.0)1( ??? ?? aa )0s i n0( ??? ???
ba ??)2( // ??,0??? ?? ba )0,0( ???? ?? ba
向量积也称为,叉积,、,外积,,
2.向量积符合下列运算规律,
（ 1）,abba ???? ????
（ 2） 分配律,.)( cbcacba ??????? ??????
（ 3） 若 为数,? ).()()( bababa ?????? ????? ???
)(?,0???? ?? ba,0|| ?a?,0|| ?b?
,0s in ?? ? 0??
)(? 0si n ?? ?
.0si n|||||| ??? ?baba ????
证
ba ??//
ba ??? // 或0?? ? ?
,kajaiaa zyx ???? ??? kbjbibb zyx ??? ???设
??ba ?? )( kajaia zyx ??? ?? )( kbjbib zyx ??? ???
,kji ???? ??
,0???????? ?????? kkjjii
,jik ??? ??,ij ?? ??
,kij ??? ???,jki ??? ???,ijk ??? ???
kbabajbabaibaba xyyxzxxzyzzy ??? )()()( ??????
向量积的坐标表达式
3.向量积的坐标表达式
向量积还可用三阶行列式表示
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
ba
???
??
??
ba ??// ??
z
z
y
y
x
x
b
a
b
a
b
a ??
由上式可推出
z
zyx
b
aaa ??
00 0,0 ??? yx aa
补充
|| ba
??
? 表示以 a? 和 b
?
为邻边
的平行四边形的面积,
xb, yb, zb 不能同时为零，但允许两个为零,
例如,
a?
b?
bac ??? ??
例 3 设 )1,3,2( ??a?, )3,2,1(?b?,求 ba ?? ?,
解
( 1 1,- 7,1 )
711
321
132
?
?????? kji
kji
ba
???
???
??
例 4 在顶点为 )2,1,1( ?A, )2,6,5( ?B 和
)1,3,1( ?C 的三角形中,求 AC 边上的高 BD,
A
B
C
解
D
}3,4,0{ ??AC
}0,5,4{ ??AB
三角形 ABC的面积为
||21 ABACS ?? 222 16121521 ???,225?
|| AC,5)3(4 22 ???? ||21 BDS ?? || AC
||521225 BD???,5|| ?? BD
定义
设已知三个向量 a
?
,b
?
,c
?
，数量 cba
??? ?? )(
称为这三个向量的 混合积,记为 ][ cba
???
.
][ cba ??? cba ??? ??? )(
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
?
,kajaiaa zyx ???? ???,kbjbibb zyx ???? ???设
,kcjcicc zyx ???? ???
混合积的坐标表达式
三、向量的混合积
（ 1）向量混合积的几何意义,
向量的混合积
][ cba
???
cba
???
??? )( 是这样
的一个数，它的绝对值
表示以向量 a
?
,b
?
,c
?
为
棱的平行六面体的体积,
a?
c?
b?
ba ???
关于混合积的说明,
][)2( cba ??? cba ??? ??? )( acb ??? ??? )(,)( bac ??? ???
（ 3 ）三向量 a?, b?, c? 共面 ??,0][ ?cba ???
已知 2][ ?cba ?
??
,
计算 )()]()[( accbba ???
???
?????,
解 )()]()[( accbba ?????? ?????
)()][ accbbbcaba ?????????? ??????????
ccbcccacba ??????????? ??????????? )(0)()(
acbaacaaba ??????????? ??????????? )(0)()(
0? 0?
0? 0? cba ??? ??? )(
cba ??? ??? )(2 ][2 cba ????,4?
例 5
例 6 已知空间内不在一平面上的四点
),,( 111 zyxA, ),,( 222 zyxB, ),,( 333 zyxC,
),,( 444 zyxD,求四面体的体积,
解
由立体几何知，四面体的体积等于以向量 AB,
AC, AD 为棱的平行六面体的体积的六分之一,
][61 ADACABV ?
},,{ 121212 zzyyxxAB ?????
},,{ 131313 zzyyxxAC ????
},,{ 141414 zzyyxxAD ????
141414
131313
121212
6
1
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
V
???
???
???
???
式中正负号的选择必须和行列式的符号一致,
一、两向量的数量积
二、两向量的向量积
三、两向量的混合积
一物体在常力 F
?
作用下沿直线从点 1M 移动
到点 2M,以 s
?
表示位移，则力 F
?
所作的功为
?c o s|||| sFW ??? ( 其中 ? 为 F? 与 s? 的夹角 )
启示
向量 a? 与 b? 的 数量积 为 ba ?? ?
?c o s|||| baba ???? ?? ( 其中 ? 为 a? 与 b? 的夹角 )
实例
两向量作这样的运算,结果是一个数量,
1.定义
数量积也称为“点积”、“内积”,
一、两向量的数量积
关于数量积的说明,
0)2( ?? ba ?? ??,ba ???
)(?,0??ba ???,0|| ?a?,0|| ?b?
,0c o s ?? ?,ba ????
.||)1( 2aaa ??? ??
)(?,ba ??? ?,0c o s ?? ?
.0co s|||| ??? ?baba ????
,0???,||c o s|||| 2aaaaa ????? ???? ?证
证
??,2?
,2????
b? a? ),co s (||)3(
?
???
bab这个数叫做向量 在向量 上的投影,
即记作,
?
? barjP
),co s (||
?
????
? babbP
arj
＝
??
?
??????
?????? bPabababa
arj
||),co s (||||
????
??? aPbba
brj
||
结论：两向量的数量积等于其中一个向量的模和另
一个向量在这向量方向上的投影的乘积,
，
?
?
?
?
?
?
?
kzajyaixaa对于
,,c o s(|| ）
?
??
? xaaa x由于
),,c o s(||
?
??
? yaaa y
),co s (||
?
??
? zaaa z
),,( zyx aaa 在 所以 ?a 的坐标 正是向量 ?a zyx,,轴上的投影 。
（ 4）基本向量的数量积公式
1,1,1 ?????? ?????? kkjjii
0,0,0 ?????? ?????? kjkiji
2.数量积符合下列运算规律,
（ 1）交换律, ;abba ???? ???
（ 2）分配律, ;)( cbcacba ??????? ??????
（ 3）若 为数, ? ),()()( bababa ?????? ????? ???
若, 为数, ? ? ).()()( baba ???? ??? ????
,kajaiaa zyx ???? ??? kbjbibb zyx ??? ???设
??ba ?? )( kajaia zyx ??? ?? )( kbjbib zyx ??? ???
,kji ???? ??,0??????? ikkjji ??????
,1|||||| ??? kji ????
.1??????? kkjjii ??????
zzyyxx babababa ????
??
3.数量积的坐标表达式
?co s|||| baba ???? ??,||||co s ba
ba ?? ?? ????
222222co s
zyxzyx
zzyyxx
bbbaaa
bababa
????
??
??
两向量夹角余弦的坐标表示式
??? ba ?? 0??? zzyyxx bababa
由此可知两向量垂直的充要条件为
4.两向量夹角余弦及向量方向余弦的坐标表示式
x
y
z
o
?1M
? 2M?
??
由图分析可知
?c o s|| aa x ??
?c o s|| aa y ??
?c o s|| aa z ??
向
量
的
方
向
余
弦 方向余弦通常用来表示向量的方向,
xzyx aaaaia ???? )0,0,1(),,(
??
P Q
R
，,?c o s|| aa y ??同理 ?c o s|| aa z ??
向量 a? 与三坐标轴的夹角 ???,,
称为向量 a? 的方向角
0222 ??? zyx aaa当 时,
,co s 222
zyx
x
aaa
a
??
??
,co s 222
zyx
y
aaa
a
??
??
.c o s 222
zyx
z
aaa
a
??
??
向量方向余弦的坐标表示式
1co sco sco s 222 ??? ???
方向余弦的特征
0a
||a
a???
}.cos,cos,{ co s ????
特殊地：单位向量的方向余弦为
例 1 已知三点 )0,0,1(A, )1,1,3(B,
)1,0,2(C,求 （ 1 ）
?
BC 与
?
CA 的夹角；
（ 2 ）
?
BC 的方向余弦、方向角；
（ 3 ）
?
BC 的单位向量；
（ 4 ）向量
?
CA 在
?
BC 上的投影,
解 （ 1） )1,0,1(),0,1,1( ?????? ?? CABC
2||,2|| ?? ?? CABC
1)1(00)1()1()1( ???????????? ?? CABC
2
1
||||
co s ?
?
?
? ??
??
CABC
CABC
?
)0,1,1( ????BC?（ 2）
0c o s,21c o s,21c o s ????? ???
.2,43 ????? ???方向角
||
0
?
?
?
BC
BC
a设
（ 3）
例 2 证明平行四边形的对角线的平方和等于各
边的平方和,
证,
)0,21,21(0 ???a则
（ 4）
2
1
2
1
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???
?
??
?
?CACAP
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??
?
?
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?????? ???? bamban,则
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2||||
2
)()(||
22
2
＝
＝
于是
22
2
||2||
)()(||
????
???????
????
??????
bbaa
babammm
2222 ||2||2|||| ???? ???? banm
设 O 为一根杠杆 L 的支点，有一力 F
?
作用
于这杠杆上 P 点处．力 F
?
与 OP 的夹角为 ?,力
F
?
对支点 O 的力矩是一向量 M
?
，它的模
|||||| FOQM ?? ?
?sin|||| FOP ??M? 的方向垂直于 OP 与 F? 所决
定的平面,指向符合右手系,
实例
L
F?
P
QO
?
二、两向量的向量积
向量 a? 与 b? 的 向量积 为 bac ??? ??
?si n|||||| bac ??? ? ( 其中 ? 为 a? 与 b? 的夹角 )
1.定义
c? 的方向既垂直于 a?,又垂直于 b
?
，指向符合
右手系,
关于向量积的说明,
.0)1( ??? ?? aa )0s i n0( ??? ???
ba ??)2( // ??,0??? ?? ba )0,0( ???? ?? ba
向量积也称为,叉积,、,外积,,
2.向量积符合下列运算规律,
（ 1）,abba ???? ????
（ 2） 分配律,.)( cbcacba ??????? ??????
（ 3） 若 为数,? ).()()( bababa ?????? ????? ???
)(?,0???? ?? ba,0|| ?a?,0|| ?b?
,0s in ?? ? 0??
)(? 0si n ?? ?
.0si n|||||| ??? ?baba ????
证
ba ??//
ba ??? // 或0?? ? ?
,kajaiaa zyx ???? ??? kbjbibb zyx ??? ???设
??ba ?? )( kajaia zyx ??? ?? )( kbjbib zyx ??? ???
,kji ???? ??
,0???????? ?????? kkjjii
,jik ??? ??,ij ?? ??
,kij ??? ???,jki ??? ???,ijk ??? ???
kbabajbabaibaba xyyxzxxzyzzy ??? )()()( ??????
向量积的坐标表达式
3.向量积的坐标表达式
向量积还可用三阶行列式表示
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
ba
???
??
??
ba ??// ??
z
z
y
y
x
x
b
a
b
a
b
a ??
由上式可推出
z
zyx
b
aaa ??
00 0,0 ??? yx aa
补充
|| ba
??
? 表示以 a? 和 b
?
为邻边
的平行四边形的面积,
xb, yb, zb 不能同时为零，但允许两个为零,
例如,
a?
b?
bac ??? ??
例 3 设 )1,3,2( ??a?, )3,2,1(?b?,求 ba ?? ?,
解
( 1 1,- 7,1 )
711
321
132
?
?????? kji
kji
ba
???
???
??
例 4 在顶点为 )2,1,1( ?A, )2,6,5( ?B 和
)1,3,1( ?C 的三角形中,求 AC 边上的高 BD,
A
B
C
解
D
}3,4,0{ ??AC
}0,5,4{ ??AB
三角形 ABC的面积为
||21 ABACS ?? 222 16121521 ???,225?
|| AC,5)3(4 22 ???? ||21 BDS ?? || AC
||521225 BD???,5|| ?? BD
定义
设已知三个向量 a
?
,b
?
,c
?
，数量 cba
??? ?? )(
称为这三个向量的 混合积,记为 ][ cba
???
.
][ cba ??? cba ??? ??? )(
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
?
,kajaiaa zyx ???? ???,kbjbibb zyx ???? ???设
,kcjcicc zyx ???? ???
混合积的坐标表达式
三、向量的混合积
（ 1）向量混合积的几何意义,
向量的混合积
][ cba
???
cba
???
??? )( 是这样
的一个数，它的绝对值
表示以向量 a
?
,b
?
,c
?
为
棱的平行六面体的体积,
a?
c?
b?
ba ???
关于混合积的说明,
][)2( cba ??? cba ??? ??? )( acb ??? ??? )(,)( bac ??? ???
（ 3 ）三向量 a?, b?, c? 共面 ??,0][ ?cba ???
已知 2][ ?cba ?
??
,
计算 )()]()[( accbba ???
???
?????,
解 )()]()[( accbba ?????? ?????
)()][ accbbbcaba ?????????? ??????????
ccbcccacba ??????????? ??????????? )(0)()(
acbaacaaba ??????????? ??????????? )(0)()(
0? 0?
0? 0? cba ??? ??? )(
cba ??? ??? )(2 ][2 cba ????,4?
例 5
例 6 已知空间内不在一平面上的四点
),,( 111 zyxA, ),,( 222 zyxB, ),,( 333 zyxC,
),,( 444 zyxD,求四面体的体积,
解
由立体几何知，四面体的体积等于以向量 AB,
AC, AD 为棱的平行六面体的体积的六分之一,
][61 ADACABV ?
},,{ 121212 zzyyxxAB ?????
},,{ 131313 zzyyxxAC ????
},,{ 141414 zzyyxxAD ????
141414
131313
121212
6
1
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
V
???
???
???
???
式中正负号的选择必须和行列式的符号一致,
