一 预备知识
二 多元函数的概念
三 多元函数的极限
四 多元函数的连续性
第一节 多元函数的极限及连续性
1.邻域
),( 0 ?PU ? ???? || 0PPP
? ?.)()(|),( 2020 ?????? yyxxyx 0P
??
设 是 平面上的一个点,是某
一正数，与点 距离小于 的点
的全体，称为点 的 邻域，记为,
xoy ),( 000 yxP ?
),( 000 yxP ? ),( yxP
0P ? ),( 0 ?PU
),(? 0 ?PU
的去心邻域 点 ? ????? ||0
0PPP0P
一、预备知识
2,内点
E
1P
?
,的内点 为 则称
的某一邻域 一个点．如果存在点
是平面上的 是平面上的一个点集,设
,的内点属于
E P
P EPU ?)(
P E E E
,为开集 则称
的点都是内点,如果点集 ?E
E
例如,即为开
集,
}41),{( 22 ??? yxyx
E
P?
3,边界
注,
0, 3 也可能不属于 的边界点可能属于 EEE
0 ; 2 的外点必定不属于 EE
1 0 ; 的内点必属于 EE
的边界点,为 ），则称 可以不属于
，也 本身可以属于 的点（点 也有不属于
的点,于 的任一个邻域内既有属 如果点
的边界,的边界点的全体称为 E E
P E
E E
E E
P
P
? ?
4,连通集
5,区域
连通的开集称为区域或开区域,
开集
且该折线上的点都属于
是连通的,
，则称
连结起来, 任何两点，都可用折线
内 是开集．如果对于 设 DD
D
D
x
y
o
开区域连同它的边界一起称为闭区域,
x
y
o
例如,}.94|),{( 22 ??? yxyx
例如,}.4|),{( 22 ?? yxyx
有界闭区域 ；
无界开区域,
x
y
o
6 有界点集、无界点集
无界点集,为有界点集，否则称 为 则称
即
,不超过 的距离 与 使任意的
,如果存在正数 的某一定点 对于点集
E
E E
A K
KA?EP AP
KAP ?
例如,}4|),{( 22 ?? yxyx
}0|),{( ?? yxyx
7 n维空间
.)()()(|| 2222211 nn xyxyxyPQ ??????? ?
),,,,( 21 nxxxP ? ),,,,( 21 nyyyQ ?设两点为
? ?nRPPPPPU ???,||),( 00 ??比如,
当 时，便为数轴、平面、空间两
点间的距离,
3,2,1?n
设 为取定的一个自然数，我们称 元数组
的全体为 维空间, 而每个 元数
组 称为 维空间中的一个点，数
称为该点的第 个坐标,
n n
n n
n
),,( 21 nxxx ???
),,( 21 nxxx ???
ix i
二、多元函数的概念
类似地可定义三元及三元以上函数,
),,,( 21 nxxxfu ??
设 D 是平面上的一个点集，如果对于每个点
D y x P ),(,变量 z 按照一定的法则总有确定的值
和它对应，则称 z 是变量 y x,的二元函数，记为
),( y x f z ? （或记为 )
?
(Pf?z
当 时, 元函数统称为多元函数, 2?n n
多元函数中同样有定义域、值域、自
变量、因变量等概念,
1 多元函数的定义
解 所求定义域为
解 所求定义域为
.122 ?? yx
0?? yx
例 1 求 的定义
域,
)l n (),( yxyxf ??
}.0|),{( ??? yxyxD
}.1|),{( 22 ??? yxyxD
例 2 求 的定义
域,
)a r c si n (),( 22 yxyxf ??
2 二元函数 的图形 ),( y x f z ?
设函数 ),( y x f z ? 的定义域为 D,对于任意
取定的 D y x P ),(,对应的函数值为
),( y x f z ?,这样，以 x 为横坐标, y 为纵坐
标,z 为竖坐标在空间就确定一点 ),,( z y x M,
当 ),( y x 取遍 D 上一切点时，得 到 一个空间点集
} ),( ),,( | ),,{( D y x y x f z z y x ?,这个点集称
为二元函数的图形,
?
?
说明：二元函数的图形通常是一张曲面,
如二元函数 的图形是以
原点为球心，半径为 的上半个球面；
222 yxaz ???
a
而 表示以坐标原点为顶点的上
半个锥面,
22 yxz ??
三、多元函数的极限
聚点
设 E 是平面上的一个点集, P 是平面上的
一个点，如果点 P 的任何一个邻域内总有无限
多个点属于点集 E, 则称 P 为 E 的聚点,
内点一定是聚点； 说明,
边界点可能是聚点,
}10|),{( 22 ??? yxyx例
(0,0)既是 边界点也是聚点,
定义 1 设函数 ),( y x f z ? 的定义域为
),(,0 0 0 y x P D 是其聚点, 如果对于任意给定的正
数 e, 总存在正数 ?, 使得对于适合不等式
? ? ? ? ? ? ? 2 0 2 0 0 ) ( ) ( | | 0 y y x x PP 的一切
点，都有 e ? ? | ),( | A y x f 成立，则称 A 为函数
),( y x f z ? 当 0 x x, 0 y y 时的极限,? ?
（ 或 ) 0 ( ),( r A y x f 这里 | | 0 PP ? r ）, ? ?
记为
Ayxf
yy
xx
?
?
?
),(lim
0
0
说明,
（ 1）定义中 的方式是任意的； 0PP ?
（ 2） 二元函数的极限也叫二重极限 );,(lim
0
0
yxf
yy
xx
?
?
（ 3） 二元函数的极限运算法则与一元函数类似,
证
例 1 求证 0
1s i n)(lim
22
22
0
0
?
?
?
?
? yx
yx
y
x
22
22
22 1s i n yx
yx
yx ??
?
??
0,0 ???? ?e 当
?????? 22 )0()0(0 yx
01s i n)( 2222 ?
?
?
yx
yx
时 e???? 0
1si n)(
22
22
yx
yx 原结论成立
证
例 2 求证
0lim 22
2
0
0
?
?
?
? yx
yx
y
x
022
2
?
? yx
yx
22
2
yx
yx
?
? y?
,0?? e,e? ??
当 时,?????? 22 )0()0(0 yx
22 yx ??
所以结论成
立,e??? 022
2
yx
yx
证
其值随 k的不同而变化,
故极限不存在,
例 3 证明 不存在,24
2
0
0
l i m
yx
yx
y
x ?
?
?
取 2kxy ?
24
2
0
0
l i m
yx
yx
y
x ?
?
? 424
22
0
2
l i m
xkx
kxx
kxy
x ?
??
?
? 21 k
k
??
（ 2 ） 令 ),( y x P 沿 kx y ? 趋向于 ),( 0 0 0 y x P, 若
极限值与 k 有关，则可断言极限不存在 ；
确定极限不存在的方法,
1 （ ） 找两种不同趋近方式，使 存在,
但两者不相等，此时也可断言 ),( y x f 在点
),( 0 0 0 y x P 处极限不存在,
),(l i m
0
0
yxf
y
x
?
?
设 n 元函数 ),()( yxfPf ? 的 定 义 域 为 点 集
),(,
000
yxPD
是其聚点且 DP ?
0
，如果
)()(lim
0
0
PfPf
PP
?
?
,则称 n 元 函 数 )( Pf 在点
0
P 处连续,
1 定义
上连续, 在 就称函数
的每一点都连续，那么 在 如果函数
D
D y x f
) y x f,(
),(
四、多元函数的连续性
例 4 讨论函数
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)0,0(),(,0
)0,0(),(,
1
s i n)(
),( 22
22
yx
yx
yx
yx
yxf
在 (0,0)处的连续性,
解 01si n)( 2222 ??? yxyx
22
22 1si n
yxyx ???? 22 yx ??
,0?? e,e? ??
当 时,?????? 22 )0()0(0 yx
故函数在 (0,0)处连续,
),0,0(),(lim )0,0(),( fyxfyx ??
01s i n)(lim 2222
0
0
???
?
? yx
yx
y
x
e???? 01si n)( 2222 yxyx
例 5 讨论函数
?
?
?
?
?
??
??
??
0,0
0,
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf
在 (0,0)的连续性,
解 取
kxy ?
22
0
0
l i m
yx
xy
y
x ?
?
?
222
2
0
3
lim
xkx
kx
kxy
x ?
?
?
?
21 k
k
??
其值随 k的不同而变化,极限不存在,
故函数在 (0,0)处不连续,
设 0 P 是函数 ) ( P f 的定义域的聚点，如果
) ( P f 在点 0 P 处不连续，则称 0 P 是函数 ) ( P f 的
间断点,
2 间断点
函数的间断点的判定（只要满足下列一条）,
（ 1）函数在此点处无定义 ；
（ 2）函数在此点处有定义，但无极限 ；
（ 3） 函数在此点处有定义，有极限，但极限
不等于函数值,
注意, （ 1）多元函数的间断点有可能是一点,
也可能形成一条曲线；
（ 2）多元初等函数在其定义区域内是
连续函数．定义区域是指包含在定
义域内的区域,
一般地，求 时,)(lim
0
PfPP ? 如果 是 )(Pf
初等函数，且 是 的定义域的内点．则 )(Pf0P
在点 处连续,)(Pf 0P 于是 )()(l i m 0
0
PfPfPP ??
解
例 6 求 22
2
0
0
2lim
yx
yx
y
x ?
?
?
?
函数 的定义域 22
22
),( yx yxyxf ???
}0),{( 22 ??? yxyxD
显然 D?)0,1(
故 22
2
0
0
2lim
yx
yx
y
x ?
?
?
? 2
1?
例７,
11l i m
0
0 xy
xy
y
x
??
?
?
求
解 )11(
11l i m
0
0 ??
???
?
? xyxy
xy
y
x
原式 111l m
0
0 ??
?
?
? xy
y
x
.21?
例 8
.)1(l i m
1
0
0
x
y
x
xy?
?
?
求
解
1)1(lim
1
0
0
???
?
?
y
xy
y
x
xy原式
3 闭区域上连续函数的性质
在有界闭区域 D上的多元连续函数，在 D
上至少取得它的最大值和最小值各一次,
在有界闭区域 D上的多元连续函数，如
果在 D上取得两个不同的函数值，则它在 D上
取得介于这两值之间的任何值至少一次,
（ 1）最大值和最小值定理
（ 2）介值定理
二 多元函数的概念
三 多元函数的极限
四 多元函数的连续性
第一节 多元函数的极限及连续性
1.邻域
),( 0 ?PU ? ???? || 0PPP
? ?.)()(|),( 2020 ?????? yyxxyx 0P
??
设 是 平面上的一个点,是某
一正数，与点 距离小于 的点
的全体，称为点 的 邻域，记为,
xoy ),( 000 yxP ?
),( 000 yxP ? ),( yxP
0P ? ),( 0 ?PU
),(? 0 ?PU
的去心邻域 点 ? ????? ||0
0PPP0P
一、预备知识
2,内点
E
1P
?
,的内点 为 则称
的某一邻域 一个点．如果存在点
是平面上的 是平面上的一个点集,设
,的内点属于
E P
P EPU ?)(
P E E E
,为开集 则称
的点都是内点,如果点集 ?E
E
例如,即为开
集,
}41),{( 22 ??? yxyx
E
P?
3,边界
注,
0, 3 也可能不属于 的边界点可能属于 EEE
0 ; 2 的外点必定不属于 EE
1 0 ; 的内点必属于 EE
的边界点,为 ），则称 可以不属于
，也 本身可以属于 的点（点 也有不属于
的点,于 的任一个邻域内既有属 如果点
的边界,的边界点的全体称为 E E
P E
E E
E E
P
P
? ?
4,连通集
5,区域
连通的开集称为区域或开区域,
开集
且该折线上的点都属于
是连通的,
，则称
连结起来, 任何两点，都可用折线
内 是开集．如果对于 设 DD
D
D
x
y
o
开区域连同它的边界一起称为闭区域,
x
y
o
例如,}.94|),{( 22 ??? yxyx
例如,}.4|),{( 22 ?? yxyx
有界闭区域 ；
无界开区域,
x
y
o
6 有界点集、无界点集
无界点集,为有界点集，否则称 为 则称
即
,不超过 的距离 与 使任意的
,如果存在正数 的某一定点 对于点集
E
E E
A K
KA?EP AP
KAP ?
例如,}4|),{( 22 ?? yxyx
}0|),{( ?? yxyx
7 n维空间
.)()()(|| 2222211 nn xyxyxyPQ ??????? ?
),,,,( 21 nxxxP ? ),,,,( 21 nyyyQ ?设两点为
? ?nRPPPPPU ???,||),( 00 ??比如,
当 时，便为数轴、平面、空间两
点间的距离,
3,2,1?n
设 为取定的一个自然数，我们称 元数组
的全体为 维空间, 而每个 元数
组 称为 维空间中的一个点，数
称为该点的第 个坐标,
n n
n n
n
),,( 21 nxxx ???
),,( 21 nxxx ???
ix i
二、多元函数的概念
类似地可定义三元及三元以上函数,
),,,( 21 nxxxfu ??
设 D 是平面上的一个点集，如果对于每个点
D y x P ),(,变量 z 按照一定的法则总有确定的值
和它对应，则称 z 是变量 y x,的二元函数，记为
),( y x f z ? （或记为 )
?
(Pf?z
当 时, 元函数统称为多元函数, 2?n n
多元函数中同样有定义域、值域、自
变量、因变量等概念,
1 多元函数的定义
解 所求定义域为
解 所求定义域为
.122 ?? yx
0?? yx
例 1 求 的定义
域,
)l n (),( yxyxf ??
}.0|),{( ??? yxyxD
}.1|),{( 22 ??? yxyxD
例 2 求 的定义
域,
)a r c si n (),( 22 yxyxf ??
2 二元函数 的图形 ),( y x f z ?
设函数 ),( y x f z ? 的定义域为 D,对于任意
取定的 D y x P ),(,对应的函数值为
),( y x f z ?,这样，以 x 为横坐标, y 为纵坐
标,z 为竖坐标在空间就确定一点 ),,( z y x M,
当 ),( y x 取遍 D 上一切点时，得 到 一个空间点集
} ),( ),,( | ),,{( D y x y x f z z y x ?,这个点集称
为二元函数的图形,
?
?
说明：二元函数的图形通常是一张曲面,
如二元函数 的图形是以
原点为球心，半径为 的上半个球面；
222 yxaz ???
a
而 表示以坐标原点为顶点的上
半个锥面,
22 yxz ??
三、多元函数的极限
聚点
设 E 是平面上的一个点集, P 是平面上的
一个点，如果点 P 的任何一个邻域内总有无限
多个点属于点集 E, 则称 P 为 E 的聚点,
内点一定是聚点； 说明,
边界点可能是聚点,
}10|),{( 22 ??? yxyx例
(0,0)既是 边界点也是聚点,
定义 1 设函数 ),( y x f z ? 的定义域为
),(,0 0 0 y x P D 是其聚点, 如果对于任意给定的正
数 e, 总存在正数 ?, 使得对于适合不等式
? ? ? ? ? ? ? 2 0 2 0 0 ) ( ) ( | | 0 y y x x PP 的一切
点，都有 e ? ? | ),( | A y x f 成立，则称 A 为函数
),( y x f z ? 当 0 x x, 0 y y 时的极限,? ?
（ 或 ) 0 ( ),( r A y x f 这里 | | 0 PP ? r ）, ? ?
记为
Ayxf
yy
xx
?
?
?
),(lim
0
0
说明,
（ 1）定义中 的方式是任意的； 0PP ?
（ 2） 二元函数的极限也叫二重极限 );,(lim
0
0
yxf
yy
xx
?
?
（ 3） 二元函数的极限运算法则与一元函数类似,
证
例 1 求证 0
1s i n)(lim
22
22
0
0
?
?
?
?
? yx
yx
y
x
22
22
22 1s i n yx
yx
yx ??
?
??
0,0 ???? ?e 当
?????? 22 )0()0(0 yx
01s i n)( 2222 ?
?
?
yx
yx
时 e???? 0
1si n)(
22
22
yx
yx 原结论成立
证
例 2 求证
0lim 22
2
0
0
?
?
?
? yx
yx
y
x
022
2
?
? yx
yx
22
2
yx
yx
?
? y?
,0?? e,e? ??
当 时,?????? 22 )0()0(0 yx
22 yx ??
所以结论成
立,e??? 022
2
yx
yx
证
其值随 k的不同而变化,
故极限不存在,
例 3 证明 不存在,24
2
0
0
l i m
yx
yx
y
x ?
?
?
取 2kxy ?
24
2
0
0
l i m
yx
yx
y
x ?
?
? 424
22
0
2
l i m
xkx
kxx
kxy
x ?
??
?
? 21 k
k
??
（ 2 ） 令 ),( y x P 沿 kx y ? 趋向于 ),( 0 0 0 y x P, 若
极限值与 k 有关，则可断言极限不存在 ；
确定极限不存在的方法,
1 （ ） 找两种不同趋近方式，使 存在,
但两者不相等，此时也可断言 ),( y x f 在点
),( 0 0 0 y x P 处极限不存在,
),(l i m
0
0
yxf
y
x
?
?
设 n 元函数 ),()( yxfPf ? 的 定 义 域 为 点 集
),(,
000
yxPD
是其聚点且 DP ?
0
，如果
)()(lim
0
0
PfPf
PP
?
?
,则称 n 元 函 数 )( Pf 在点
0
P 处连续,
1 定义
上连续, 在 就称函数
的每一点都连续，那么 在 如果函数
D
D y x f
) y x f,(
),(
四、多元函数的连续性
例 4 讨论函数
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)0,0(),(,0
)0,0(),(,
1
s i n)(
),( 22
22
yx
yx
yx
yx
yxf
在 (0,0)处的连续性,
解 01si n)( 2222 ??? yxyx
22
22 1si n
yxyx ???? 22 yx ??
,0?? e,e? ??
当 时,?????? 22 )0()0(0 yx
故函数在 (0,0)处连续,
),0,0(),(lim )0,0(),( fyxfyx ??
01s i n)(lim 2222
0
0
???
?
? yx
yx
y
x
e???? 01si n)( 2222 yxyx
例 5 讨论函数
?
?
?
?
?
??
??
??
0,0
0,
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf
在 (0,0)的连续性,
解 取
kxy ?
22
0
0
l i m
yx
xy
y
x ?
?
?
222
2
0
3
lim
xkx
kx
kxy
x ?
?
?
?
21 k
k
??
其值随 k的不同而变化,极限不存在,
故函数在 (0,0)处不连续,
设 0 P 是函数 ) ( P f 的定义域的聚点，如果
) ( P f 在点 0 P 处不连续，则称 0 P 是函数 ) ( P f 的
间断点,
2 间断点
函数的间断点的判定（只要满足下列一条）,
（ 1）函数在此点处无定义 ；
（ 2）函数在此点处有定义，但无极限 ；
（ 3） 函数在此点处有定义，有极限，但极限
不等于函数值,
注意, （ 1）多元函数的间断点有可能是一点,
也可能形成一条曲线；
（ 2）多元初等函数在其定义区域内是
连续函数．定义区域是指包含在定
义域内的区域,
一般地，求 时,)(lim
0
PfPP ? 如果 是 )(Pf
初等函数，且 是 的定义域的内点．则 )(Pf0P
在点 处连续,)(Pf 0P 于是 )()(l i m 0
0
PfPfPP ??
解
例 6 求 22
2
0
0
2lim
yx
yx
y
x ?
?
?
?
函数 的定义域 22
22
),( yx yxyxf ???
}0),{( 22 ??? yxyxD
显然 D?)0,1(
故 22
2
0
0
2lim
yx
yx
y
x ?
?
?
? 2
1?
例７,
11l i m
0
0 xy
xy
y
x
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?
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求
解 )11(
11l i m
0
0 ??
???
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xy
y
x
原式 111l m
0
0 ??
?
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y
x
.21?
例 8
.)1(l i m
1
0
0
x
y
x
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?
?
求
解
1)1(lim
1
0
0
???
?
?
y
xy
y
x
xy原式
3 闭区域上连续函数的性质
在有界闭区域 D上的多元连续函数，在 D
上至少取得它的最大值和最小值各一次,
在有界闭区域 D上的多元连续函数，如
果在 D上取得两个不同的函数值，则它在 D上
取得介于这两值之间的任何值至少一次,
（ 1）最大值和最小值定理
（ 2）介值定理
