第五节 隐函数的求导法则
一、一个方程的情形
二、方程组的情形
三、由方程组确定的反函数的求导
公式
0),(.1 ?yxF
隐函数存在定理 1 设函数 在点 的
某一邻域内具有连续的偏导数，且
则方程 在点 的
某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续
导数的函数 ) ( x f y ?, 它满足条件 并
有, 隐函数的求导公式
),( yxF ),( 00 yxP
0),( 00 ?yxF
,0),( 00 ?yxF y 0),( ?yxF ),( 00 yxP
),( 00 xfy ?
y
x
F
F
dx
dy ??
一、一个方程的情形
解 令 1),( 22 ??? yxyxF
则,2 xF x ?,2 yF y ?
,0)1,0( ?F,02)1,0( ??yF
例１ 验证方程 在点 的某邻
域内能唯一确定一个单值可导、且 时
的隐函数,并求这函数的一阶和二阶导
数在 的值,
0122 ??? yx )1,0(
0?x 1?y
0?x
)( xfy ?
依定理知方程 在点 的某邻域
内能唯一确定一个单值可导、且 时 的
函数,
0122 ??? yx )1,0(
0?x 1?y
)( xfy ?
函数的一阶和二阶导数为
y
x
F
F
dx
dy ??,
y
x??,0
0
?
?xdx
dy
22
2
y
yxy
dx
yd ????
2y
y
x
xy ?
?
?
?
?
?
??
??,1
3y??
.1
0
2
2
??
?xdx
yd
,
解 令,a r c t a nln),( 22 xyyxyxF ???
则,),( 22 yx
yxyxF
x ?
??,),(
22 yx
xyyxF
y ?
??
y
x
F
F
dx
dy ??,
xy
yx
?
???
例 2 已知 求,a r c t a nln 22 xyyx ??dxdy
0),,(.2 ?zyxF
隐函数存在定理 2
设函数 在点 的
某一邻域内具有连续的偏导数，且
则方程 在点
的 某一邻域内恒能唯一确定一个
,它满足条件
),,( zyxF ),,( 000 zyxP
0),,( 000 ?zyxF
,0),,( 000 ?zyxF z 0),,( 000 ?zyxF
),,( 000 zyxP
单值连续且具有连续偏导数的函数 ),( yxfz ?
),( 000 yxfz ? 并有,
z
x
F
F
x
z ??
?
?
z
y
F
F
y
z ??
?
?
解 令,4),,( 222 zzyxzyxF ????
则,2 xF x ?,42 ?? zF z,2 z
x
F
F
x
z
z
x
?????
?
2
2
x
z
?
?
2)2(
)2(
z
x
z
xz
?
?
?
??
? 2
)2(
2
)2(
z
z
x
xz
?
?
???
?
.)2( )2( 3
22
z
xz
?
???
, 例 3 设,求 2
2
x
z
?
? 04
222 ???? zzyx
解 令,zyxu ???,xyzv ?
则 ),,( vufz ?
思路,把 z 看成 y x,的函数对 x 求偏导数得, xz??
把 x 看成 y z,的函数对 y 求偏导数得, y
x
?
?
把 y 看成 z x,的函数对 z 求偏导数得, zy??
例 4 设,求,,, xz?? y
x
?
?
z
y
?
? ),( x y zzyxfz ???
把 z 看成 y x,的函数对 x 求偏导数得
x
z
?
? )1(
x
zf
u ?
???? ),(
x
zxyyzf
v ?
????
整理得 x
z
?
?,
1 vu
vu
x y ff
yzff
??
??
把 x 看成 y z,的函数对 y 求偏导数得
)1(0 ????? yxf u ),( yxyzxzf v ?????
整理得,
vu
vu
yzff
x z ff
?
???
y
x
?
?
把 y 看成 z x,的函数对 z 求偏导数得
)1(1 ????? zyf u ),( zyxzxyf v ?????
整理得 zy??,
1
vu
vu
x z ff
x yff
?
???
?
?
?
?
?
0),,,(
0),,,(
vuyxG
vuyxF
隐函数存在定理 3 设 在
点 的某一邻域内有对各个变量的连续
偏导数，且
,
,且偏导数所组成的函数行列式 （ 或称雅可比式）
),,,( vuyxF ),,,( vuyxG
),,,( 0000 vuyxP
0),,,( 0000 ?vuyxF,0),,,( 0000 ?vuyxG
v
G
u
G
v
F
u
F
vu
GF
J
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
),(
),(
二、方程组的情形
,
),(
),(1
vu
vu
vx
vx
GG
FF
GG
FF
vx
GF
Jx
u
??
?
?
??
?
?
在点 不等于零，则方程组
在点 的某一邻域内恒能唯一确定一
组单值连续且具有连续偏导数的函数,
,它们满足条件,
,并有
),,,( 0000 vuyxP
?
?
?
?
?
0),,,(
0),,,(
vuyxG
vuyxF
),,,( 0000 vuyxP
),( yxuu ?
),( yxvv ? ),( 000 yxuu ?
),( 000 yxvv ?
vu
vu
xu
xu
GG
FF
GG
FF
xu
GF
Jx
v ??
?
???
?
?
),(
),(1
,
),(
),(1
vu
vu
vy
vy
GG
FF
GG
FF
vy
GF
Jy
u ??
?
???
?
?
.
),(
),(1
vu
vu
yu
yu
GG
FF
GG
FF
yu
GF
Jy
v ??
?
???
?
?
解 1 直接代入公式；
解 2 运用公式推导的方法,
求,, 和, xu?? y
u
?
?
x
v
?
?
x
v
?
?
例 5 设,, 0?? yvxu 1?? xvyu
将所给方程的两边对 求导并移项 x,
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
v
x
v
x
x
u
y
u
x
v
y
x
u
x
,22 yx ?? xy
yxJ ??
将所给方程的两边对 求导，用同样方法得 y
,22 yx yuxvyu ?????,22 yx yvxuyv ??????
在 的条件下,0?J
xy
yx
xv
yu
x
u
?
?
??
?
?
?
,22 yx yvxu ????,22 yx xvyu ???
xy
yx
vy
ux
x
v
?
?
?
?
?
?
定理 4 设函数, 在点 ),( vuxx ? ),( vuyy ?
),( 00 vu 的 某邻域内连续且有连续的偏导数，又
),( 000 vuxx ? ),( 000 vuyy ?,0),(
),(
),( 00 ??
?
vuvu
yx
,
则该方程组在 的某一邻域内唯一确定 ),( 00 yx
一组单值连续且有连续偏导数的反函数
),( yxuu ? ),( yxvv ?
三、由方程组确定的反函数的求导公式
且有
v
y
Jx
u
?
??
?
? 1
u
y
Jx
v
?
???
?
? 1
v
x
Jy
u
?
???
?
? 1
u
x
Jy
u
?
??
?
? 1
其中 ),( ),( vu yxJ ???
例 6 设 veyvex uu s i n,c o s ??,求
x
v
x
u
?
?
?
?,
解
?
?
?
?
?
vey
vex
u
u
s i n
co s
两边对 求导，得 x
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
??
x
v
ve
x
u
ve
x
v
ve
x
u
ve
uu
uu
co ss i n0
s i nco s1
由于 0?? ueJ
所以
v
ve
ve
Jx
u
u
u
co s
co s0
s i n11 ???
?
?
v
ve
ve
Jx
v
u
u
s i n
0s i n
1co s1 ???
?
?