一、多元函数的极值
二、条件极值、拉格朗日乘数法
第八节 多元函数的极值与最值
一、多元函数的极值
极大值、极小值统称为极值,
使函数取得极值的点称为极值点,
1 二元函数极值的定义
设函数 在点 的某邻域内
有定义，对于该邻域内异于 的点
若满足不等式,则称函数
在 有极大值；若满足不等式
，则称函数在 有极
小值；
),( yxfz ? ),( 00 yx
),( 00 yx ),( yx
),(),( 00 yxfyxf ?
),( 00 yx
),(),( 00 yxfyxf ? ),( 00 yx
(1)
(2)
(3)
例 1 函数 22 43 yxz ??
处有极小值,在 )0,0(
例２ 函数
处有极大值,在 )0,0(
22 yxz ???
在
例３
处无极值,在
函数
)0,0(
xyz ?
2 多元函数取得极值的条件
定理 1 （必要条件）
设函数 在点 具有偏导数，且
在点 处有极值，则它在该点的偏导数必
然为零：,,
),( yxfz ? ),( 00 yx
),( 00 yx
0),( 00 ?yxf x 0),( 00 ?yxf y
证 ),( 00 yx不妨设 在点 处有极大值,
则对于 的某邻域内任意
都有,
),( yxfz ?
),( 00 yx
),(),( 00 yxyx ? ),(),( 00 yxfyxf ?
故当 时,有 00,xxyy ?? ),(),( 000 yxfyxf ?
说明一元函数 在 处有极大值,),( 0yxf 0xx ?
必有 ; 0),( 00 ?yxf x
类似地可证, 0),( 00 ?yxf y
推广 如果三元函数 在点
具有偏导数，则它在 有极值的必要条
件为
),,( zyxfu ? ),,( 000 zyxP
),,( 000 zyxP
,
,; 0),,( 000 ?zyxf x 0),,( 000 ?zyxf y
0),,( 000 ?zyxf z
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零
的点，均称为函数的驻点,
问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
驻点 极值点 注意,
定理 2 （充分条件）
设函数 在点 的某邻域内连续,
有一阶及二阶连续偏导数,
),( yxfz ? ),( 00 yx
,例如 点 是函数 的驻点,但不是极值点xyz ?)0,0(
又, 0),( 00 ?yxf x 0),( 00 ?yxf y
Ayxf xx ?),( 00 Byxf xy ?),( 00 令,,
,Cyxf yy ?),( 00
则 在点 处是否取得极值的条件如下,),( yxf ),( 00 yx
（ 1 ） 时具有极值,02 ?? BAC
当 时有极大值,当 时有极小值； 0?A 0?A
（ 3） 时可能有极值,也可能没有极值,
还需另作讨论,
02 ?? BAC
（ 2） 时没有极值； 02 ?? BAC
求函数 ),( y x f z ? 极值的一般步骤,
第一步 解方程组,0),( ?yxf x 0),( ?yxf y
求出实数解，得驻点,
第二步 对于每一个驻点 ),( 0 0 y x,
求出二阶偏导数的值 A, B, C,
第三步 定出 2 B AC ? 的符号，再判定是否是极值,
例 4 求函数 的极值,333 yxxyz ???
解
?
?
?
???
???
033),(
033),(
2
2
yyyxf
xyyxf
y
x
求得驻点 )0,0( )1,1(,
在 点处 )0,0(
06)0,0( )0,0( ???? xfA xx
3)0,0( ?? xyfB
06)0,0( )0,0( ???? yfA yy
092 ????? ACB
所以，在 处函数没有极值,)0,0(
在 点处 )1,1(
66)1,1( )1,1( ????? xfA xx
3)1,1( ?? xyfB
66)1,1( )1,1( ????? yfA yy
0272 ?????? ACB 又 06 ???A
所以，在 处函数有极大值．且 )1,1( 1)1,1( ?f
求最值的一般方法,
1）将函数在 D内的所有驻点处的函数值
2）求 D的边界上的最大值和最小值
3）相互比较函数值的大小，其中最大者
即为最大值，最小者即为最小值,
与一元函数相类似，我们可以利用函数的
极值来求函数的最大值和最小值,
3 多元函数的最值
解
先求函数在 D 内的驻点,
x
y
o
6?? yx
D
D
如图,
例 5 求二元函数
在直线, 轴和 轴所围成的闭区域
上的最大值与最小值,
)4(),( 2 yxyxyxfz ????
6?? yx x y D
解方程组
?
?
?
??????
??????
0)4(),(
0)4(2),(
22
2
yxyxxyxf
yxyxxyyxf
y
x
再求 在 边界上的最值,D),( yxf
得区域 内唯一驻点,且 D 4)1,2( ?f)1,2(
在边界 和 上,0?x 0?y 0),( ?yxf
x
y
o
6?? yx
D
在边界 上,即 6?? yx xy ?? 6
于是,)6)(2(),( 2 xxyxfz ????
由,02)6(4 2 ???? xxxf x
得 4,0 21 ?? xx 26 4 ???? ?xxy
64)2,4( ??f
比较后可知 为最大值,
为最小值,
4)1,2( ?f
64)2,4( ??f
,0)1( )(2)1( 222
22
??? ????? yx yxyyxz y
,0)1( )(2)1( 222
22
??? ????? yx yxxyxz x解 由
例 6 求 的最大值和最小值, 122 ??
??
yx
yxz
得驻点 和,)2
1,
2
1( )
2
1,
2
1( ??
即边界上的值为零,
,21)21,21( ?z,21)21,21( ????z
无条件极值, 对自变量除了限制在定义域内外，
并无其他条件,
因为 01lim 22 ???
?
??
?? yx
yx
y
x
所以最大值为, 最小值为 21 21?
例 7 某厂要用铁板做成一个体积为 2的有盖长方
体水箱，问长宽高各取怎样的尺寸时，才能
使用料最省？
此水箱的用料面积
0)y0,(x )
22
(2
)
22
(2
?????
?????
yx
xy
xy
x
xy
yxyA
解,设水箱的长为 x,宽为 y,则其高为 xy2
33 2,2 ??? yx
33 2,2 ?? yx 时,A取得最小值,
根据题意可知，水箱所用材料的面积的最小值一
定存在，并在开区域 D(x>0,y>0)内取得。又函数
在 D内只有唯一的驻点，因此可断定当
就是说，当水箱的长、宽、高均为
333 2,2,2时,水箱所用的材料最省。
0)
2
(2
0)
2
(2
2
2
???
???
y
xA
x
yA
y
x
实例,小王有 200元钱，他决定用来购买两
种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他
购买 张磁盘,盒录音磁带达到最佳效果，
效果函数为
设每张磁盘 8元，每盒磁带 10元，问他如何
分配这 200元以达到最佳效果,
x y
yxyxU lnln),( ??
问题的实质：求
在条件 下的极值点,
yxyxU lnln),( ??
2 0 0108 ?? yx
二、条件极值、拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法
条件极值, 对自变量有附加条件的极值,
无条件极值,对自变量除有定义域限制外，
无任何其它条件限制的极值,
要找函数 在条件 下的
可能极值点,
),( yxfz ? 0),( ?yx?
其中 为某一常数，可由
先构造函数 ),(),(),( yxyxfyxF ????
?
?
?
?
?
?
?
??
??
0),(
0),(),(
0),(),(
yx
yxyxf
yxyxf
yy
xx
?
??
??
解出, 其中 就是可能的极值点的坐标, ?,,yx yx,
拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况,
要找函数 在条件
,
下的极值,
),,,( tzyxfu ?
0),,,( ?tzyx? 0),,,( ?tzyx?
先构造函数
),,,(),,,(
),,,(),,,(
21 tzyxtzyx
tzyxftzyxF
???? ?
??
其中 均为常数，可由 偏导数为零及条件解出
，即得极值点的坐标, tzyx,,,
21,??
例 8 将正数 12 分成三个正数 z y x,,之和 使得
z y x u 2 3 ? 为最大,
解 令 )12(),,( 23 ????? zyxzyxzyxF ?,
?
?
?
?
?
?
?
???
????
????
????
12
0
02
03
23
3
22
zyx
yxF
yzxF
zyxF
z
y
x
?
?
?
解得唯一驻点 ) 2,4,6 (,
则
.69 12246 23m a x ????u故最大值为
解 设 为椭球面上一点,),,( 000 zyxP
例 9 在第一卦限内作椭球面 的
切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体
体积最小，求切点坐标,
12
2
2
2
2
2
??? czbyax
令,1),,(
2
2
2
2
2
2
???? czbyaxzyxF
则,, 2 0
2
a
xF
Px ? 2
02
b
yF
Py ? 2
02
c
zF
Pz ?
过 的切平面方程为 ),,( 000 zyxP
该切平面在三个轴上的截距各为
0)()()( 020020020 ?????? zzczyybyxxax
化简为,12 02 02 0 ?????? c zzb yya xx
0
2
x
ax ?
0
2
y
by ?
0
2
z
cz ?
所围四面体的体积,
000
222
66
1
zyx
cbax y zV ??
在条件 下求 的最小值,12
2
0
2
2
0
2
2
0 ???
c
z
b
y
a
x
V
令 000 lnlnln zyxu ???
,
),,( 000 zyxG
)1(lnlnln 2
2
0
2
2
0
2
2
0
000 ??????? c
z
b
y
a
xzyx ?
由 ?
?
?
?
?
????
???
01
,0,0,0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
000
c
z
b
y
a
x
GGG zyx
可得 即
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
??
??
??
01
0
21
0
21
0
21
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
0
0
2
0
0
2
0
0
c
z
b
y
a
x
c
z
z
b
y
y
a
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
3
3
0
0
0
c
z
b
y
a
x
当切点坐标为 时 )3,3,3( cba
四面体的体积最小, abcV 2
3
m i n ?
二、条件极值、拉格朗日乘数法
第八节 多元函数的极值与最值
一、多元函数的极值
极大值、极小值统称为极值,
使函数取得极值的点称为极值点,
1 二元函数极值的定义
设函数 在点 的某邻域内
有定义，对于该邻域内异于 的点
若满足不等式,则称函数
在 有极大值；若满足不等式
，则称函数在 有极
小值；
),( yxfz ? ),( 00 yx
),( 00 yx ),( yx
),(),( 00 yxfyxf ?
),( 00 yx
),(),( 00 yxfyxf ? ),( 00 yx
(1)
(2)
(3)
例 1 函数 22 43 yxz ??
处有极小值,在 )0,0(
例２ 函数
处有极大值,在 )0,0(
22 yxz ???
在
例３
处无极值,在
函数
)0,0(
xyz ?
2 多元函数取得极值的条件
定理 1 （必要条件）
设函数 在点 具有偏导数，且
在点 处有极值，则它在该点的偏导数必
然为零：,,
),( yxfz ? ),( 00 yx
),( 00 yx
0),( 00 ?yxf x 0),( 00 ?yxf y
证 ),( 00 yx不妨设 在点 处有极大值,
则对于 的某邻域内任意
都有,
),( yxfz ?
),( 00 yx
),(),( 00 yxyx ? ),(),( 00 yxfyxf ?
故当 时,有 00,xxyy ?? ),(),( 000 yxfyxf ?
说明一元函数 在 处有极大值,),( 0yxf 0xx ?
必有 ; 0),( 00 ?yxf x
类似地可证, 0),( 00 ?yxf y
推广 如果三元函数 在点
具有偏导数，则它在 有极值的必要条
件为
),,( zyxfu ? ),,( 000 zyxP
),,( 000 zyxP
,
,; 0),,( 000 ?zyxf x 0),,( 000 ?zyxf y
0),,( 000 ?zyxf z
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零
的点，均称为函数的驻点,
问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
驻点 极值点 注意,
定理 2 （充分条件）
设函数 在点 的某邻域内连续,
有一阶及二阶连续偏导数,
),( yxfz ? ),( 00 yx
,例如 点 是函数 的驻点,但不是极值点xyz ?)0,0(
又, 0),( 00 ?yxf x 0),( 00 ?yxf y
Ayxf xx ?),( 00 Byxf xy ?),( 00 令,,
,Cyxf yy ?),( 00
则 在点 处是否取得极值的条件如下,),( yxf ),( 00 yx
（ 1 ） 时具有极值,02 ?? BAC
当 时有极大值,当 时有极小值； 0?A 0?A
（ 3） 时可能有极值,也可能没有极值,
还需另作讨论,
02 ?? BAC
（ 2） 时没有极值； 02 ?? BAC
求函数 ),( y x f z ? 极值的一般步骤,
第一步 解方程组,0),( ?yxf x 0),( ?yxf y
求出实数解，得驻点,
第二步 对于每一个驻点 ),( 0 0 y x,
求出二阶偏导数的值 A, B, C,
第三步 定出 2 B AC ? 的符号，再判定是否是极值,
例 4 求函数 的极值,333 yxxyz ???
解
?
?
?
???
???
033),(
033),(
2
2
yyyxf
xyyxf
y
x
求得驻点 )0,0( )1,1(,
在 点处 )0,0(
06)0,0( )0,0( ???? xfA xx
3)0,0( ?? xyfB
06)0,0( )0,0( ???? yfA yy
092 ????? ACB
所以，在 处函数没有极值,)0,0(
在 点处 )1,1(
66)1,1( )1,1( ????? xfA xx
3)1,1( ?? xyfB
66)1,1( )1,1( ????? yfA yy
0272 ?????? ACB 又 06 ???A
所以，在 处函数有极大值．且 )1,1( 1)1,1( ?f
求最值的一般方法,
1）将函数在 D内的所有驻点处的函数值
2）求 D的边界上的最大值和最小值
3）相互比较函数值的大小，其中最大者
即为最大值，最小者即为最小值,
与一元函数相类似，我们可以利用函数的
极值来求函数的最大值和最小值,
3 多元函数的最值
解
先求函数在 D 内的驻点,
x
y
o
6?? yx
D
D
如图,
例 5 求二元函数
在直线, 轴和 轴所围成的闭区域
上的最大值与最小值,
)4(),( 2 yxyxyxfz ????
6?? yx x y D
解方程组
?
?
?
??????
??????
0)4(),(
0)4(2),(
22
2
yxyxxyxf
yxyxxyyxf
y
x
再求 在 边界上的最值,D),( yxf
得区域 内唯一驻点,且 D 4)1,2( ?f)1,2(
在边界 和 上,0?x 0?y 0),( ?yxf
x
y
o
6?? yx
D
在边界 上,即 6?? yx xy ?? 6
于是,)6)(2(),( 2 xxyxfz ????
由,02)6(4 2 ???? xxxf x
得 4,0 21 ?? xx 26 4 ???? ?xxy
64)2,4( ??f
比较后可知 为最大值,
为最小值,
4)1,2( ?f
64)2,4( ??f
,0)1( )(2)1( 222
22
??? ????? yx yxyyxz y
,0)1( )(2)1( 222
22
??? ????? yx yxxyxz x解 由
例 6 求 的最大值和最小值, 122 ??
??
yx
yxz
得驻点 和,)2
1,
2
1( )
2
1,
2
1( ??
即边界上的值为零,
,21)21,21( ?z,21)21,21( ????z
无条件极值, 对自变量除了限制在定义域内外，
并无其他条件,
因为 01lim 22 ???
?
??
?? yx
yx
y
x
所以最大值为, 最小值为 21 21?
例 7 某厂要用铁板做成一个体积为 2的有盖长方
体水箱，问长宽高各取怎样的尺寸时，才能
使用料最省？
此水箱的用料面积
0)y0,(x )
22
(2
)
22
(2
?????
?????
yx
xy
xy
x
xy
yxyA
解,设水箱的长为 x,宽为 y,则其高为 xy2
33 2,2 ??? yx
33 2,2 ?? yx 时,A取得最小值,
根据题意可知，水箱所用材料的面积的最小值一
定存在，并在开区域 D(x>0,y>0)内取得。又函数
在 D内只有唯一的驻点，因此可断定当
就是说，当水箱的长、宽、高均为
333 2,2,2时,水箱所用的材料最省。
0)
2
(2
0)
2
(2
2
2
???
???
y
xA
x
yA
y
x
实例,小王有 200元钱，他决定用来购买两
种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他
购买 张磁盘,盒录音磁带达到最佳效果，
效果函数为
设每张磁盘 8元，每盒磁带 10元，问他如何
分配这 200元以达到最佳效果,
x y
yxyxU lnln),( ??
问题的实质：求
在条件 下的极值点,
yxyxU lnln),( ??
2 0 0108 ?? yx
二、条件极值、拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法
条件极值, 对自变量有附加条件的极值,
无条件极值,对自变量除有定义域限制外，
无任何其它条件限制的极值,
要找函数 在条件 下的
可能极值点,
),( yxfz ? 0),( ?yx?
其中 为某一常数，可由
先构造函数 ),(),(),( yxyxfyxF ????
?
?
?
?
?
?
?
??
??
0),(
0),(),(
0),(),(
yx
yxyxf
yxyxf
yy
xx
?
??
??
解出, 其中 就是可能的极值点的坐标, ?,,yx yx,
拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况,
要找函数 在条件
,
下的极值,
),,,( tzyxfu ?
0),,,( ?tzyx? 0),,,( ?tzyx?
先构造函数
),,,(),,,(
),,,(),,,(
21 tzyxtzyx
tzyxftzyxF
???? ?
??
其中 均为常数，可由 偏导数为零及条件解出
，即得极值点的坐标, tzyx,,,
21,??
例 8 将正数 12 分成三个正数 z y x,,之和 使得
z y x u 2 3 ? 为最大,
解 令 )12(),,( 23 ????? zyxzyxzyxF ?,
?
?
?
?
?
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???
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12
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03
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zyx
yxF
yzxF
zyxF
z
y
x
?
?
?
解得唯一驻点 ) 2,4,6 (,
则
.69 12246 23m a x ????u故最大值为
解 设 为椭球面上一点,),,( 000 zyxP
例 9 在第一卦限内作椭球面 的
切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体
体积最小，求切点坐标,
12
2
2
2
2
2
??? czbyax
令,1),,(
2
2
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2
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???? czbyaxzyxF
则,, 2 0
2
a
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b
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Py ? 2
02
c
zF
Pz ?
过 的切平面方程为 ),,( 000 zyxP
该切平面在三个轴上的截距各为
0)()()( 020020020 ?????? zzczyybyxxax
化简为,12 02 02 0 ?????? c zzb yya xx
0
2
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所围四面体的体积,
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66
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在条件 下求 的最小值,12
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四面体的体积最小, abcV 2
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