第四节 多元复合函数求导法则
一 链式法则
二 全微分形式不变性
1 复合函数的中间变量为一元函数的情形
定理 1 如果函数 及 都在点 可
导，函数 在对应点 具有连续偏导
数，则复合函数 在对应点 可
导，且其导数可用下列公式计算,
dt
dv
v
z
dt
du
u
z
dt
dz ?
?
???
?
??
)(tu ?? )(tv ?? t
),( vufz ? ),( vu
)](),([ ttfz ???
证 获得增量 设 t t?
则 ),()( tttu ?? ????? )()( tttv ?? ?????
一、链式法则
,21 vuvvzuuzz ????????????? ??
t
v
t
u
t
v
v
z
t
u
u
z
t
z
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
?
21 ??
,dtdutu ???,dtdvtv ???
由于函数 在点 有连续偏导数 ),( vufz ?,( vu
当 时, 0,0 ???? vu 0,0 21 ?? ??
当 时,0,0 ???? vu0??t
.l i m
0 dt
dv
v
z
dt
du
u
z
t
z
dt
dz
t
???????????
??
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况,
如 dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz ?????????
u
v
w
tz
以上公式中的导数 称为 全导数, dtdz
) ],,(),,([ yxyxfz ???
2 复合函数的中间变量为多元函数的情形
定理 2
,
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
?
??
?
??
?
??
?
??
?
?
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
?
??
?
??
?
??
?
??
?
?
如果 及 都在点
具有对 和 的偏导数且函数 在对应
点 具有连续偏导数，则复合函数
在对应点 的两个偏
导数存在，且可用下列公式计算
),( yxu ?? ),( yxv ?? ),( yx
x y ),( vufz ?
),( vu
)],(),,([ yxyxfz ??? ),( yx
u
v
x
z
y
链式法则如图示
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
?
??
?
??
?
??
?
??
?
?
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
?
??
?
??
?
??
?
??
?
?
z
w
v
u
y
x
y
w
w
z
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
?
x
w
w
z
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
?
类似地再推广，设,,
都在点 具有对 和 的偏导数，复合
函数 在对应点
两个偏导数存在，且可用下列公式计算
),( yxu ?? ),( yxv ??
),( yxw ?? ),( yx x y
)],(),,(),,([ yxyxyxfz ???? ),( yx
,xfxuufxz ???????????,yfyuufyz ???????????
即 ],,),,([ yxyxfz ?? 令,xv ?,yw ?
,1???xv,0???xw,0???yv,1???yw
],),,( [ y x y x f z ? ? 把复合函数
中的 y 看作不变而对 x 的偏导数
把 ),,( y x u f z ?
中的 u 及 y 看作不
变而对 x 的偏导数
两者的区别
区
别
类
似
特殊地 ),( yxu ??其中 ),,( yxufz ?
解
1c o ssi n ???? veyve uu ),c o ssi n( vvye u ??
1c o ss i n ???? vexve uu ).c o ssi n( vvxe u ??
例 1 设, 而,
求 和, xz?? y
z
?
?
vez u s i n? xyu ? yxv ??
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
?
??
?
??
?
??
?
??
?
?
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
?
??
?
??
?
??
?
??
?
?
例 2 设 t uv z sin ? ?,而 t e u ?, t v cos ?,
求全导数 dt dz,
解
t
z
dt
dv
v
z
dt
du
u
z
dt
dz
?
???
?
???
?
??
ttuve t c o ss i n ???
ttete tt c o ss i nc o s ???
.cos)si n(c o s ttte t ???
解 令,zyxu ??? ;xyzv ?
记,),(1 u vuff ????,
),(2
12 vu
vuff
??
????
同理有,2f?,11f?,22f?
???xw xvvfxuuf ??????????? ;21 fyzf ????
例 3 设, 具有二阶
连续偏导数，求 和, xw?? 2
2
x
w
?
?
),( x y zzyxfw ??? f
???? zxw
2
)( 21 fyzfz ????? ;221 zfyzfyzf ? ?????? ???
?? ??zf1 zvvfzuuf ???? ??????? ?? 11 ;1211 fxyf ??????
?? ??zf2 zvvfzuuf ???? ??????? ?? 22 ;2221 fxyf ??????
于是 ???
?
zx
w2
1211 fxyf ????? 2fy ?? )( 2221 fxyfyz ??????
.)( 22221211 fyfzxyfzxyf ????????????
二、全微分形式不变性
设函数 具有连续偏导数，则有全微分; 当
时，有,
),( vufz ?
dvvzduuzdz ?????? ),,( yxu ?? ),,( yxv ??
dyyzdxxzdz ??????
全微分形式不变形的实质,
无论 是自变量 的函数或中间变
量 的函数，它的全微分形式是一样的,
z ),( vu
),( vu
dxxvvzxuuz ?
?
??
?
?
?
??
?
??
?
??
?
??
dyyzdxxzdz ??????
dy
y
v
v
z
y
u
u
z ?
?
??
?
?
?
??
?
??
?
??
?
??
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
?? dy
y
udx
x
u
u
z ?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
?? dy
y
vdx
x
v
v
z
duuz???,dvvz???
解,0)2( ???? zxy ezed?
,02)( ????? ? dzedzxyde zxy
)()2( y d xx d yedze xyz ??? ?
dyexedxeyedz z
xy
z
xy
)2()2( ????
??
x
z
?
?,
2??
?
z
xy
e
ye
y
z
?
?,
2??
?
z
xy
e
xe
例 4 已知,求 和, xz?? y
z
?
?
02 ???? zxy eze
一 链式法则
二 全微分形式不变性
1 复合函数的中间变量为一元函数的情形
定理 1 如果函数 及 都在点 可
导，函数 在对应点 具有连续偏导
数，则复合函数 在对应点 可
导，且其导数可用下列公式计算,
dt
dv
v
z
dt
du
u
z
dt
dz ?
?
???
?
??
)(tu ?? )(tv ?? t
),( vufz ? ),( vu
)](),([ ttfz ???
证 获得增量 设 t t?
则 ),()( tttu ?? ????? )()( tttv ?? ?????
一、链式法则
,21 vuvvzuuzz ????????????? ??
t
v
t
u
t
v
v
z
t
u
u
z
t
z
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
?
21 ??
,dtdutu ???,dtdvtv ???
由于函数 在点 有连续偏导数 ),( vufz ?,( vu
当 时, 0,0 ???? vu 0,0 21 ?? ??
当 时,0,0 ???? vu0??t
.l i m
0 dt
dv
v
z
dt
du
u
z
t
z
dt
dz
t
???????????
??
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况,
如 dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz ?????????
u
v
w
tz
以上公式中的导数 称为 全导数, dtdz
) ],,(),,([ yxyxfz ???
2 复合函数的中间变量为多元函数的情形
定理 2
,
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
?
??
?
??
?
??
?
??
?
?
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
?
??
?
??
?
??
?
??
?
?
如果 及 都在点
具有对 和 的偏导数且函数 在对应
点 具有连续偏导数，则复合函数
在对应点 的两个偏
导数存在，且可用下列公式计算
),( yxu ?? ),( yxv ?? ),( yx
x y ),( vufz ?
),( vu
)],(),,([ yxyxfz ??? ),( yx
u
v
x
z
y
链式法则如图示
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
?
??
?
??
?
??
?
??
?
?
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
?
??
?
??
?
??
?
??
?
?
z
w
v
u
y
x
y
w
w
z
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
?
x
w
w
z
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
?
类似地再推广，设,,
都在点 具有对 和 的偏导数，复合
函数 在对应点
两个偏导数存在，且可用下列公式计算
),( yxu ?? ),( yxv ??
),( yxw ?? ),( yx x y
)],(),,(),,([ yxyxyxfz ???? ),( yx
,xfxuufxz ???????????,yfyuufyz ???????????
即 ],,),,([ yxyxfz ?? 令,xv ?,yw ?
,1???xv,0???xw,0???yv,1???yw
],),,( [ y x y x f z ? ? 把复合函数
中的 y 看作不变而对 x 的偏导数
把 ),,( y x u f z ?
中的 u 及 y 看作不
变而对 x 的偏导数
两者的区别
区
别
类
似
特殊地 ),( yxu ??其中 ),,( yxufz ?
解
1c o ssi n ???? veyve uu ),c o ssi n( vvye u ??
1c o ss i n ???? vexve uu ).c o ssi n( vvxe u ??
例 1 设, 而,
求 和, xz?? y
z
?
?
vez u s i n? xyu ? yxv ??
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
?
??
?
??
?
??
?
??
?
?
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
?
??
?
??
?
??
?
??
?
?
例 2 设 t uv z sin ? ?,而 t e u ?, t v cos ?,
求全导数 dt dz,
解
t
z
dt
dv
v
z
dt
du
u
z
dt
dz
?
???
?
???
?
??
ttuve t c o ss i n ???
ttete tt c o ss i nc o s ???
.cos)si n(c o s ttte t ???
解 令,zyxu ??? ;xyzv ?
记,),(1 u vuff ????,
),(2
12 vu
vuff
??
????
同理有,2f?,11f?,22f?
???xw xvvfxuuf ??????????? ;21 fyzf ????
例 3 设, 具有二阶
连续偏导数，求 和, xw?? 2
2
x
w
?
?
),( x y zzyxfw ??? f
???? zxw
2
)( 21 fyzfz ????? ;221 zfyzfyzf ? ?????? ???
?? ??zf1 zvvfzuuf ???? ??????? ?? 11 ;1211 fxyf ??????
?? ??zf2 zvvfzuuf ???? ??????? ?? 22 ;2221 fxyf ??????
于是 ???
?
zx
w2
1211 fxyf ????? 2fy ?? )( 2221 fxyfyz ??????
.)( 22221211 fyfzxyfzxyf ????????????
二、全微分形式不变性
设函数 具有连续偏导数，则有全微分; 当
时，有,
),( vufz ?
dvvzduuzdz ?????? ),,( yxu ?? ),,( yxv ??
dyyzdxxzdz ??????
全微分形式不变形的实质,
无论 是自变量 的函数或中间变
量 的函数，它的全微分形式是一样的,
z ),( vu
),( vu
dxxvvzxuuz ?
?
??
?
?
?
??
?
??
?
??
?
??
dyyzdxxzdz ??????
dy
y
v
v
z
y
u
u
z ?
?
??
?
?
?
??
?
??
?
??
?
??
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
?? dy
y
udx
x
u
u
z ?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
?? dy
y
vdx
x
v
v
z
duuz???,dvvz???
解,0)2( ???? zxy ezed?
,02)( ????? ? dzedzxyde zxy
)()2( y d xx d yedze xyz ??? ?
dyexedxeyedz z
xy
z
xy
)2()2( ????
??
x
z
?
?,
2??
?
z
xy
e
ye
y
z
?
?,
2??
?
z
xy
e
xe
例 4 已知,求 和, xz?? y
z
?
?
02 ???? zxy eze
