第六节 方向导数与梯度
一 问题的提出
二 方向导数的定义
三 方向导数的计算
四 梯度的概念
实例, 一块长方形的金属板，四个顶点的坐
标是 (1,1),(5,1),(1,3),(5,3)．在坐标
原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定
板上任意一点处的温度与该点到原点的距离
成反比．在 (3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂
蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的
地点？
问题的实质, 应沿由热变冷变化最骤烈的方
向（即梯度方向）爬行,
一、问题的提出
讨论函数 在一点 P沿某一方向
的变化率问题,
),( yxfz ?
o
y
x
?
l
P??
x?
y??
P?
（如图）
,引射线 内有定义，自点
的某一邻域
在点 设函数
l P
P U y x P ) ( ),(
),( yxfz ?
),(,
),( p U P l
y y x x P
l x
? + ? +
上的另一点且 为
并设 为
的转角 轴正向到射线 设
?
?
二,方向导数的定义
??? || PP?,)()( 22 yx ?+??
当 沿着 趋于 时,P? Pl
??
),(),(l i m
0
yxfyyxxf ??+?+
? 是否存在？
且 ),(),( yxfyyxxfz ??+?+??
考虑 ?
z?
} 0,1 { 1 ? e ? 依定义，函数 ),( y x f 在点 P 沿着 x 轴正向,
y 轴正向 } 1,0 { 2 ? e ? 的方向导数分别为 y x f f,；
沿着 x 轴负向,y轴负向的方向导数是 y x f f ? ?,,
.),(),(lim
0 ??
yxfyyxxf
l
f ??+?+?
?
?
?
的方向导数,沿方向 则称这极限为函数在点
在,时，如果此比的极限存 趋于 沿着 当
之比值,两点间的距离
与 函数的增量 定义
l P
P l P
y x P P
? + ? ? 2 2 ) ( ) ( ?
记为
),(),( yxfyyxxf ??+?+
证明 由于函数可微，则增量可表示为
)(),(),( ?oy
y
fx
x
fyxfyyxxf +?
?
?+?
?
????+?+
两边同除以,? 得到
三、方向导数的计算
定理 如果函数 ),( y x f z ? 在点 ),( y x P 是可微分
的，那末函数在该点沿任意方向 L 的 方向导数都
存在，且有,
其中 ? 为 x 轴到方向 L 的转角,
?? si nc o s yfxflf ??+?????
?cos ?sin
?
?
???
)(),(),( oy
y
fx
x
fyxfyyxxf +??
?
?+??
?
????+?+
故有方向导数
??
),(),(l i m
0
yxfyyxxf ??+?+
?
.si nc o s ??
y
f
x
f
?
?+
?
??
?
?
?
l
f
例 1 求函数 y xe z 2 ? 在点 ) 0,1 ( P 处沿从点
) 0,1 ( P 到点 ) 1,2 ( ? Q 的方向的方向导数,
解
故 x 轴到方向 l ? 的转角 4 p ? ? ?,;1
)0,1(
2
)0,1(
???? yexz?,22 )0,1(2
)0,1(
??
?
? yxe
y
z
所求方向导数
)4si n (2)4c o s( pp ?+????lz,22??
这里方向 l ? 即为 } 1,1 { ? ? PQ
?? si n)1,1(c o s)1,1(
)1,1(
yx ffl
f +?
?
?
解 由方向导数的计算公式知
,si n)2(c o s)2( )1,1()1,1( ?? xyyx ?+??
例 2 求函数 在点
沿与 x 轴方向夹角为 ? 的方向射线 l ? 的方向导数,并
问在怎样的方向上此方向导数有
（ 1 ）最大值； （ 2 ）最小值； （ 3 ）等于零？
22),( yxyxyxf +??)1,1(
?? s i nc o s +? ),4si n (2 p? +?
故 （ 1 ） 当
4
p ? ? 时,方向导数达到最大值 2 ;
（ 3 ） 当 4 3 p ? ? 和 4 7 p ? ? 时,方向导数等于 0,
（ 2 ） 当
4
5 p ? ? 时,方向导数达到最小值 - 2
对于三元函数 ),,( z y x f u ?,它在空间一点
),,( z y x P 沿着方向 L 的方向导数,可定义
为
,),,(),,(lim
0 ??
zyxfzzyyxxf
l
f ??+?+?+?
?
?
?
推广可得三元函数方向导数的定义
222 )()()( zyx ?+?+???其中
同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点
沿任意方向 L 的方向导数都存在，且有
.c o sc o sc o s ???
z
f
y
f
x
f
l
f
?
?+
?
?+
?
??
?
?
设方向 L 的方向角为 ? ? ?,,
,c o s ???? x,c o s ???? y,c o s ???? z
例 3 设 n ? 是曲面 6 3 2 2 2 2 ? + + z y x 在点
) 1,1,1 ( P 处的指向外侧的法向量，求函数
2
1
2 2 ) 8 6 ( 1 y x
z u + ? 在此处沿方向 n
? 的方向
导数,
解 令,632),,( 222 ?++? zyxzyxF
,44 ??? PPx xF,66 ??? PPy yF,22 ??? PPz zF
故 ? ?zyx FFFn ????,,? ? ?,2,6,4?
,142264 222 ?++?n? 方向余弦为
,142co s ??,
14
3co s ??,
14
1co s ??
PP yxz
x
x
u
22 86
6
+??
?;146?
PP yxz
y
y
u
22 86
8
+??
?;148?
PP z
yx
z
u
2
22 86 +
????,14??
PP z
u
y
u
x
u
n
u )c o sc o sc o s( ???
?
?+
?
?+
?
??
?
?
?,711?故
例 4 求 沿椭圆 在 22 23 yxz +? 164
22
?+ yx
处求,),( yxP
（ 1）外法线方向的方向导数
（ 2）内法线方向的方向导数
解 164),(
22
?+? yxyxF?
2
xF
x ?? 3
yF
y ??
??
?
??
??
3,2
yxn
外 ??
?
??
??
3,2
yxn －－
内,
94
2co s
22 yx
x
+
??
94
3c o s
22 yx
y
+
??
,
又 xxz 2??? yy
z 3?
?
?
,
94
33
94
22
2222 yx
y
y
yx
x
x
n
z
+
+
+
?
?
?
?
外
94
22
22
yx
yx
+
+
?
94
33
94
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2222 yx
y
y
yx
x
x
n
z
+
?
+
+
?
?
?
?
?
外
94
22
22
yx
yx
+
+
??
, 最快 沿哪一方向增加的速度 函数在点 问题 P
定义 设函数 ),( y x f z ? 在 平面区域 D 内具有
一阶连续偏导数，则对于每一点 D y x P ),(,
都可定出一个向量, 这向量称为函数
),( y x f z ? 在点 ),( y x P 的梯度，记为
? ),( y x gradf,
jyfixf ?? ??+??
?
jyfixf ?? ??+??
四、梯度的概念
?? si nc o s yfxflf ??+????? }si n,{ c o s},{ ???????? yfxf
eyxg ra d f ??? ),(,c o s|),(| ?yxg ra d f?
其中 ) ),( (,e y x gradf ? ? ?
设 j i e ? ? ? ? ? sin cos + ? 是方向 l ? 上的单位向量,
由方向导数公式知
当 1 ) ),,( cos( ? e y x gradf ? 时,有最大值, l
f
?
?
函数在某点的梯度是这样一个向量，它的
方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为
方向导数的最大值．梯度的模为
结论
gradf
gradf?
P
22
),( ?
?
?
?
?
?
?
?+
?
?
?
?
?
?
?
??
y
f
x
fyxg ra d f
x 轴到梯度的转角的正切为,
x
f
y
f
?
?
?
?
??tan当 不为零时,xf??
),( yxfz ?在几何上 表示一个曲面
曲面被平面 所截得 cz ?,
),(
?
?
?
?
?
cz
yxfz
所得曲线在 xoy面上投影如图
o
y
x
2),( cyxf ?
1),( cyxf ?
cyxf ?),( 等高线
),( yxg ra d f
梯度为等高线上的法向量 P
梯度与等高线的关系,
向导数,
的方 于函数在这个法线方向
模等 高的等高线，而梯度的
值较 值较低的等高线指向数
从数 线的一个方向相同，且
在这点的法 高线
的等 的梯度的方向与点
在点 函数
c y x f
P
y x P y x f z
?
?
),(
),( ),(
.),,( k
z
fj
y
fi
x
fzyxg ra d f ???
?
?+
?
?+
?
??
类似于二元函数，此梯度也是一个向量，
其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模
为方向导数的最大值,
梯度的概念可以推广到三元函数
三元函数 ),,( z y x f u ? 在空间区域 G 内具有
一阶连续偏导数，则对于每一点 G z y x P ),,(,
都可定义一个向量 (梯度 )
?
类似地,设曲面 c z y x f ? ),,( 为函数 ),,( z y x f u ?
的等量面，此函数在点 ),,( z y x P 的梯度的方向与
过点 P 的等量面 c z y x f ? ),,( 在这点的法线的一
个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较
高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方
向的方向导数,
例 5 求函数 y x z y x u 2 3 3 2 2 2 2 ? + + + ? 在点
) 2,1,1 ( 处的梯度，并问在 哪些点处梯度为零？
解 由梯度计算公式得
k
z
uj
y
ui
x
uzyxg ra d u ???
?
?+
?
?+
?
??),,(
,6)24()32( kzjyix ??? +?++?
故,1225)2,1,1( kjig ra d u ??? ++?
在 ) 0,2 1,2 3 ( 0 ? P 处梯度为 0,
一 问题的提出
二 方向导数的定义
三 方向导数的计算
四 梯度的概念
实例, 一块长方形的金属板，四个顶点的坐
标是 (1,1),(5,1),(1,3),(5,3)．在坐标
原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定
板上任意一点处的温度与该点到原点的距离
成反比．在 (3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂
蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的
地点？
问题的实质, 应沿由热变冷变化最骤烈的方
向（即梯度方向）爬行,
一、问题的提出
讨论函数 在一点 P沿某一方向
的变化率问题,
),( yxfz ?
o
y
x
?
l
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x?
y??
P?
（如图）
,引射线 内有定义，自点
的某一邻域
在点 设函数
l P
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),( yxfz ?
),(,
),( p U P l
y y x x P
l x
? + ? +
上的另一点且 为
并设 为
的转角 轴正向到射线 设
?
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二,方向导数的定义
??? || PP?,)()( 22 yx ?+??
当 沿着 趋于 时,P? Pl
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? 是否存在？
且 ),(),( yxfyyxxfz ??+?+??
考虑 ?
z?
} 0,1 { 1 ? e ? 依定义，函数 ),( y x f 在点 P 沿着 x 轴正向,
y 轴正向 } 1,0 { 2 ? e ? 的方向导数分别为 y x f f,；
沿着 x 轴负向,y轴负向的方向导数是 y x f f ? ?,,
.),(),(lim
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l
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?
的方向导数,沿方向 则称这极限为函数在点
在,时，如果此比的极限存 趋于 沿着 当
之比值,两点间的距离
与 函数的增量 定义
l P
P l P
y x P P
? + ? ? 2 2 ) ( ) ( ?
记为
),(),( yxfyyxxf ??+?+
证明 由于函数可微，则增量可表示为
)(),(),( ?oy
y
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?
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两边同除以,? 得到
三、方向导数的计算
定理 如果函数 ),( y x f z ? 在点 ),( y x P 是可微分
的，那末函数在该点沿任意方向 L 的 方向导数都
存在，且有,
其中 ? 为 x 轴到方向 L 的转角,
?? si nc o s yfxflf ??+?????
?cos ?sin
?
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例 1 求函数 y xe z 2 ? 在点 ) 0,1 ( P 处沿从点
) 0,1 ( P 到点 ) 1,2 ( ? Q 的方向的方向导数,
解
故 x 轴到方向 l ? 的转角 4 p ? ? ?,;1
)0,1(
2
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所求方向导数
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这里方向 l ? 即为 } 1,1 { ? ? PQ
?? si n)1,1(c o s)1,1(
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解 由方向导数的计算公式知
,si n)2(c o s)2( )1,1()1,1( ?? xyyx ?+??
例 2 求函数 在点
沿与 x 轴方向夹角为 ? 的方向射线 l ? 的方向导数,并
问在怎样的方向上此方向导数有
（ 1 ）最大值； （ 2 ）最小值； （ 3 ）等于零？
22),( yxyxyxf +??)1,1(
?? s i nc o s +? ),4si n (2 p? +?
故 （ 1 ） 当
4
p ? ? 时,方向导数达到最大值 2 ;
（ 3 ） 当 4 3 p ? ? 和 4 7 p ? ? 时,方向导数等于 0,
（ 2 ） 当
4
5 p ? ? 时,方向导数达到最小值 - 2
对于三元函数 ),,( z y x f u ?,它在空间一点
),,( z y x P 沿着方向 L 的方向导数,可定义
为
,),,(),,(lim
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?
推广可得三元函数方向导数的定义
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同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点
沿任意方向 L 的方向导数都存在，且有
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,c o s ???? x,c o s ???? y,c o s ???? z
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) 1,1,1 ( P 处的指向外侧的法向量，求函数
2
1
2 2 ) 8 6 ( 1 y x
z u + ? 在此处沿方向 n
? 的方向
导数,
解 令,632),,( 222 ?++? zyxzyxF
,44 ??? PPx xF,66 ??? PPy yF,22 ??? PPz zF
故 ? ?zyx FFFn ????,,? ? ?,2,6,4?
,142264 222 ?++?n? 方向余弦为
,142co s ??,
14
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?,711?故
例 4 求 沿椭圆 在 22 23 yxz +? 164
22
?+ yx
处求,),( yxP
（ 1）外法线方向的方向导数
（ 2）内法线方向的方向导数
解 164),(
22
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2
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定义 设函数 ),( y x f z ? 在 平面区域 D 内具有
一阶连续偏导数，则对于每一点 D y x P ),(,
都可定出一个向量, 这向量称为函数
),( y x f z ? 在点 ),( y x P 的梯度，记为
? ),( y x gradf,
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?
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四、梯度的概念
?? si nc o s yfxflf ??+????? }si n,{ c o s},{ ???????? yfxf
eyxg ra d f ??? ),(,c o s|),(| ?yxg ra d f?
其中 ) ),( (,e y x gradf ? ? ?
设 j i e ? ? ? ? ? sin cos + ? 是方向 l ? 上的单位向量,
由方向导数公式知
当 1 ) ),,( cos( ? e y x gradf ? 时,有最大值, l
f
?
?
函数在某点的梯度是这样一个向量，它的
方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为
方向导数的最大值．梯度的模为
结论
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),(
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所得曲线在 xoy面上投影如图
o
y
x
2),( cyxf ?
1),( cyxf ?
cyxf ?),( 等高线
),( yxg ra d f
梯度为等高线上的法向量 P
梯度与等高线的关系,
向导数,
的方 于函数在这个法线方向
模等 高的等高线，而梯度的
值较 值较低的等高线指向数
从数 线的一个方向相同，且
在这点的法 高线
的等 的梯度的方向与点
在点 函数
c y x f
P
y x P y x f z
?
?
),(
),( ),(
.),,( k
z
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y
fi
x
fzyxg ra d f ???
?
?+
?
?+
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类似于二元函数，此梯度也是一个向量，
其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模
为方向导数的最大值,
梯度的概念可以推广到三元函数
三元函数 ),,( z y x f u ? 在空间区域 G 内具有
一阶连续偏导数，则对于每一点 G z y x P ),,(,
都可定义一个向量 (梯度 )
?
类似地,设曲面 c z y x f ? ),,( 为函数 ),,( z y x f u ?
的等量面，此函数在点 ),,( z y x P 的梯度的方向与
过点 P 的等量面 c z y x f ? ),,( 在这点的法线的一
个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较
高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方
向的方向导数,
例 5 求函数 y x z y x u 2 3 3 2 2 2 2 ? + + + ? 在点
) 2,1,1 ( 处的梯度，并问在 哪些点处梯度为零？
解 由梯度计算公式得
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,6)24()32( kzjyix ??? +?++?
故,1225)2,1,1( kjig ra d u ??? ++?
在 ) 0,2 1,2 3 ( 0 ? P 处梯度为 0,
