第二节 二重积分的计算法
一 问题的提出
二 直角坐标计算二重积分利用
三 利用极坐标计算二重积分
四 小结
??
D
dyxf ?),( ii
n
i
if ???? ?? ?
??
),(l i m
10
,
按定义,二重积分是一个特定乘积和式极限
然而，用定义来计算二重积分，一般情况
下是非常麻烦的,
那么，有没有简便的计算方法呢?这就是我
们今天所要研究的课题。下面介绍,
一、问题的提出
二、利用直角坐标计算二重积分
二重积分仅与被积函数及积分域有
关,为此,先介绍,
1、积分域 D,
如果积分区域为：,bxa ?? ).()( 21 xyx ?? ??
［ X－型］
)(2 xy ??
a b
D
)(1 xy ??
D
ba
)(2 xy ??
)(1 xy ??
X型区域的特点, a、平行于 y轴且穿过区域的直线
与区域边界的交点不多于两个； b,).()( 21 xx ?? ?
（ 1） X-型域
（ 2） Y-型域：,dyc ??
［ Y－型］
)(2 yx ??)(1 yx ?? Dc
d
c
d
)(2 yx ??
)(1 yx ?? D
Y型区域的特点, a、穿过区域且平行于 x轴的直
线与区域边界的交点不多于两个。 b,).()( 21 yy ?? ?
).()( 21 yxy ?? ??
a x b
z
y
x
)(xA
),( yxfz ?
)(1 xy ??)(2 xy ??
2,X-型域下二重积分的
计算,
由几何意义，若
此为平行截面面积为已知的立体的体积,截面为曲
边梯形面积为,
?? ?
D
Vd x d yyxf ),(
(曲顶柱体的体积 )
0),( ?yxf
则
y
Z
)(x1? )(x2?
),( yxfz ?
?? )( )( ),()( xx dyyxfxA 21??
?? ??
D
b
a
A ( x ) d xf ( x,y ) d x d y
所以：
dxdy.yf ( xb
a
( x )
( x )
])[ 2
1? ?
? ?
?
dy.yf(xdxb
a
( x )
( x )
)2
1? ?
?
?
? 注, 若 ?(x,y)≤0 仍然适用。
注意, 1）上式说明, 二重积分可化为二次定
积分计算 ;
2）积分次序, X-型域 先 Y后 X;
3）积分限确定法, 域中一线插,内限定上下,
域边两线夹，外限依靠 它。
为方便，上式也常记为,
3,Y-型域下二重积分的计算,
同理,［ Y－型域下］
?? )( )(2
1
),()( yy dxyxfyB ??
于是
?? ? ??
D
d
c
y
y dyyxfdyxf ]),([),(
)(
)(
2
1
?
??
面积为：
为曲边梯形，常数截立体，其截面也用y
知的立体体积.亦为平行截面面积为已
?
1）积分次序, Y-型域,先 x后 Y;
2）积分限确定法,
,域中一线插,,须用平行于 X轴的射线
穿插区域 。
dxyxfdy
D
d
c
y
y ),(:
)(
)(
2
1?? ? ?
? ??也可记为
注意,
注意：二重积分转化为二次定积分时，关键
在于正确确定积分限,一定要做到熟练、准确。
4、利用直系计算二重积分的步骤
（ 1）画出积分区域的图形,求出边界曲线交点坐标；
（ 3）确定积分限，化为二次定积分；
（ 2）根据积分域类型,确定积分次序；
（ 4）计算两次定积分，即可得出结果,
例 1 求 ?? ?
D
dx dyyx )( 2,其中 D 是由抛物线
2xy ? 和 2yx ? 所围平面闭区域,
解,
两曲线的交点
),1,1(,)0,0(2
2
?
??
?
?
?
yx
xy
2xy ?
2yx ?
2xy ?
2yx ?
［ X－型］
?
?
?
??
??
xyx
x
2
10
?? ?
D
d x d yyx )( 2 dxdyyxx
x ])([? ? ??
1
0 2
2
dxxxxxx )](21)([ 4210 2 ???? ?
.14033?
2xy ?
2yx ?
［ Y－型］
??
???
??
??
yxy
y
2
10
?? ?
D
d x d yyx )( 2 dydxyxy
y? ? ??
1
0 2
2
])([
.14033?
D
例 2
解,
围成．
由其中计算 2,
1
,.2
2
????? x
x
yxyDd
y
x
D
?
X-型
???? ? x
xD
dyyxdxdyx 1 2
22
12
2
?
? ??
?
?
?
?
??
2
1 1
2
dx
y
x
x
x
? ?? 21 3 )( dxxx,49?
.21,1,???? xxyxD
），左边交点坐标为（ 11
所围成的闭区域。
及是由抛物线其中计算
2
,2
??
???
xy
xyDx y d
D
?
例 3
解, （ 如图）将 D作 Y型
???? ??? 22 1 2yy
D
x ydxdyx yd ?
dyyyy
dyy
x
y
y
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
2
1
52
2
2
1
2
])2([
2
1
2 2
8
55]
623
4
4[2
1 2
1
6
23
4
????? ?yyyy
? ?2,4
-1
2
2yx?
2?? yx
? ?1,1?
x
y)( yx后先
5、若区域为组
合域，如图则,
3D
2D
1D
.
321
???????? ???
DDDD
0
6、如果积分区域既是 X－型,
又是 [Y－型 ],则有
?? ? ??
D
b
a
x
x dxf d ydyxf
)(
)(
2
1
][),( ??? ? ?? dc yy dyf dx)( )(2
1
][ ??
例 4 改变积分 ? ???
?
?
y y
dxyxfdydxyxfdy
2
0
3
0
3
1
1
0
),(),( 的
积分次序,
??
?
?
x
x
dyyxfdx
3
2
1
2
0
),(
,
解,积分区域如图
x
y
o
2
3
1
yx ?? 3
yx 2?
yxy 20,10 ????
yxy ????? 30,31
xyxx ?????? 321,20
原式
例 5 改变积分 )0(),(
2
0
2
2 2
?? ?
?
adyyxfdx
a ax
xax
的次序,
axy 2?解,
= ? ? ??a yaa
a
y dxyxfdy0
2
22
2 ),( 原式
? ? ??? a a yaa dxyxfdy0 2 22 ),(,),(2 22 2? ?? aa aay dxyxfdy
22 xaxy ??
22 yaax ???? a2a
a2
a
例 6
解,
.10,11:.2 ???????? yxDdxy
D
其中计算 ?
1D 2D
3D
先去掉绝对值符号，如图
??
?
dxydyx
dxy
DDD
D
????
??
????
?
? 321
)()( 22
2
???? ???? ?? 1 21 10 21 1 22 )()( xx dyxydxdyyxdx,1511?
例 7 计算积分 ???
y
x
y
dxedyI
2
1
2
1
4
1 ??
?
y
y
x
y
dxedy
1
2
1
,
解 ? dxe x
y
? 不能用初等函数表示
? 先改变积分次序,
原式 ????
x
x
x
y
dyedxI
2
2
1
1
? ?? 121 )( dxeex x,2183 ee ??
2xy?
xy?
二重积分在直角坐标下的计算公式
（在积分中要正确选择 积分次序 ）
.),(),( )(
)(
2
1
?? ? ??
D
b
a
x
x
dyyxfdxdyxf ?
?
?
.),(),( )(
)(
2
1
?? ? ??
D
d
c
y
y
dxyxfdydyxf ?
?
?［ Y－型］
［ X－型］
7.小结
三 利用极坐标系计算二重积分
当一些二重积分的积分区域 D用极坐标表示比
较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标
系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑
其计算问题。
等例 ??????
??????
?? ??
222222222
22 )co s (,)s i n (,2222
ayxayxayx
yx d x d yyxd x d yyxd x d ye
Ao
D
i??
irr?
ii rrr ???
ii ??? ???
i???
iiii rrr ??????? )2(2
1
ii
iii rrrr ????????
2
)(
,iii rr ??????
.)s i n,c o s()s i n,c o s(lim
),(lim),(
0
0
???
???
??????
??
?
?
Di
iiiiiii
i
iii
D
r d r drrfrrrrf
fd x d yyxf
??????
???
?
?
1 直系与极系下的二重积分关系（如图）
iiiii rrr ?? ????????
22
2
1)(
2
1i??
（ 1）面积元素变换为极系下,
（ 2）二重积分转换公式,
.)s i n,cos(),( ???? ?
DD
r d r drrfd x d yyxf ???
（ 3）注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下
的二重积分需要进行“三换”,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
r d r dd x d y
DD
ry
rx
rxy
s i n
c o s
2 极系下的二重积分化为二次积分
的上下限关键是定出 ?,r
的上下限：定 ?
用两条过极点的射线夹平面区域,
由两射线的倾角得到其上下限
的上下限：定 r
任意作过极点的半射线与平面区域相交,
由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。
将直系下的二重积分化为极系后，极系下的
二重积分仍然需要化为二次积分来计算 。
.)si n,cos()( )(2
1??
? ?? ???? ??? rd rrrfd
??
A
D
o
)(1 ???r
)(2 ???r
??
D
rd rdrrf ??? )si n,c o s(
（ 1）区域如图 1
,??? ??
).()( 21 ???? ?? r
具体地（如图）
图 1
（ 2）区域如图 2
,??? ??
).()( 21 ???? ?? r
.)si n,cos()( )(2
1??
? ?? ???? ??? rdrrrfd
??
D
rd rdrrf ??? )si n,c o s(
??
Ao
D
)(2 ???r)(1 ???r
图 2
Ao
D
.)si n,cos()(0??? ???? ??? rd rrrfd
（ 3）区域如图 3
,??? ??
).(0 ???? r
??
D
rd rdrrf ??? )si n,c o s(
??
)(???r
图 3
??
D
rd rdrrf ??? )si n,c o s(
.)si n,cos()(020 ??? ??? ??? rd rrrfd
（ 4）区域如图 4
).(0 ???? r
D
o A
,2????0
)(???r
图 4
例 1 计算 dxdye
D
yx?? ?? 22,其中 D 是由中心在
原点，半径为 R 的圆周所围成的闭区域,
解 在极坐标系下
D, Rr ??0, ???? 20,
d x d ye
D
yx?? ?? 22
?? ?? R r rd red 020 2? ?
).1( 2Re ??? ?? ??? ? ?20 )1(21 2 de R
例 2 求广义积分 ? ? ?0 2 dxe x,
解 }|),{( 2221 RyxyxD ???
}2|),{( 2222 RyxyxD ???
}0,0{ ?? yx
}0,0|),{( RyRxyxS ?????
显然有 21 DSD ??
,022 ??? yxe?
? ?? ??
1
22
D
yx d x d ye?? ???
S
yx d x d ye 22,
2
22?? ???
D
yx d x d ye
1D
2DS
S
2D
R R2
又 ?? ???
S
yx d x d yeI 22?
?? ??? R yR x dyedxe 00 22 ;)( 20 2? ?? R x dxe
?1I ?? ??
1
22
D
yx d x d ye
?? ?? ?? R r rdred 00 22 );1(4 2Re ????
同理 ?2I ?? ??
2
22
D
yx dxdye);1(
4
22 Re ????
当 ??R 时,,41 ??I,42 ??I
故当 ??R 时,,4??I 即 ??
? ? 2
0
)( 2 dxe x 4?,
所求广义积分 ??
? ?
0
2 dxe x
2
?,
,21 III ???
);1(4)()1(4 222 220 RR xR edxee ??? ??????? ?
例 3 求 双纽 线 )(2)( 222222 yxayx ???
和 222 ayx ?? 所围成的图形的面积,
解 根据对称性有 14 DD ?
在极坐标系下
)(2)( 222222 yxayx ???,2c o s2 ?ar ??
,222 arayx ????
1D
由
?
?
?
?
?
ar
ar ?2co s2
,得交点 )
6,(
?? aA,
所求面积 ???
D
dxdy????
1
4
D
d x d y
?? ?? ?? 2c o s20 64 aa r d rd
).33(2 ??? a
解
)0,( ?yx
倍，限部分立体体积的
为第一卦由对称性，所求体积
4
V
axyxD 2,22 ??
d x d yyxaV
D
?? ??? 22244
.,2 a cos 20D ??? ???? r，0：
在极系下,
（如图）
.
)(2)( 4例 2222222
所围成图形的面积
和求双纽线 ayxyxayx ?????
?c o s2 ar ?
o 2a
D
?
dxdyyxaV
D
?? ??? 22244从而
r d rrad a? ? ?? 20 c o s20 2244
? ?
?
? ?? 20 33 )s i n1(332
?
?? da
)322(332 3 ?? ?a
例 5 写出积分 ??
?
?
21
1
1
0
),(
x
x
dyyxfdx 的极坐标二
次积分形式
1??yx
122 ?? yx
解 如图：在极坐标系下
??
?
?
?
?
?
s i n
co s
ry
rx
圆方程为 1?r,
直线方程为 ?? co ss i n 1??r,
??
D
d x d yyxf ),(,)si n,cos(20 1
c o ssi n
1? ?
?
?
?
??
??? rd rrrfd
20
?? ??
计算二重积分应该注意以下几点,
先要考虑积分区域的形状，
看其边界曲线用直系方程表示简单还是极系方
程表示简单，其次要看被积函数的特点，看使
用极坐标后函数表达式能否简化并易于积分。
首先，选择坐标系。
其次，化二重积分为二次积分。 根据区域形状和
类型确定积分次序，从而穿线确定内限，夹线确
定外限。
最后，计算二次积分。 由内向外逐层计算，内层
积分计算时，外层积分变量看做常量。
四、小结
一 问题的提出
二 直角坐标计算二重积分利用
三 利用极坐标计算二重积分
四 小结
??
D
dyxf ?),( ii
n
i
if ???? ?? ?
??
),(l i m
10
,
按定义,二重积分是一个特定乘积和式极限
然而，用定义来计算二重积分，一般情况
下是非常麻烦的,
那么，有没有简便的计算方法呢?这就是我
们今天所要研究的课题。下面介绍,
一、问题的提出
二、利用直角坐标计算二重积分
二重积分仅与被积函数及积分域有
关,为此,先介绍,
1、积分域 D,
如果积分区域为：,bxa ?? ).()( 21 xyx ?? ??
［ X－型］
)(2 xy ??
a b
D
)(1 xy ??
D
ba
)(2 xy ??
)(1 xy ??
X型区域的特点, a、平行于 y轴且穿过区域的直线
与区域边界的交点不多于两个； b,).()( 21 xx ?? ?
（ 1） X-型域
（ 2） Y-型域：,dyc ??
［ Y－型］
)(2 yx ??)(1 yx ?? Dc
d
c
d
)(2 yx ??
)(1 yx ?? D
Y型区域的特点, a、穿过区域且平行于 x轴的直
线与区域边界的交点不多于两个。 b,).()( 21 yy ?? ?
).()( 21 yxy ?? ??
a x b
z
y
x
)(xA
),( yxfz ?
)(1 xy ??)(2 xy ??
2,X-型域下二重积分的
计算,
由几何意义，若
此为平行截面面积为已知的立体的体积,截面为曲
边梯形面积为,
?? ?
D
Vd x d yyxf ),(
(曲顶柱体的体积 )
0),( ?yxf
则
y
Z
)(x1? )(x2?
),( yxfz ?
?? )( )( ),()( xx dyyxfxA 21??
?? ??
D
b
a
A ( x ) d xf ( x,y ) d x d y
所以：
dxdy.yf ( xb
a
( x )
( x )
])[ 2
1? ?
? ?
?
dy.yf(xdxb
a
( x )
( x )
)2
1? ?
?
?
? 注, 若 ?(x,y)≤0 仍然适用。
注意, 1）上式说明, 二重积分可化为二次定
积分计算 ;
2）积分次序, X-型域 先 Y后 X;
3）积分限确定法, 域中一线插,内限定上下,
域边两线夹，外限依靠 它。
为方便，上式也常记为,
3,Y-型域下二重积分的计算,
同理,［ Y－型域下］
?? )( )(2
1
),()( yy dxyxfyB ??
于是
?? ? ??
D
d
c
y
y dyyxfdyxf ]),([),(
)(
)(
2
1
?
??
面积为：
为曲边梯形，常数截立体，其截面也用y
知的立体体积.亦为平行截面面积为已
?
1）积分次序, Y-型域,先 x后 Y;
2）积分限确定法,
,域中一线插,,须用平行于 X轴的射线
穿插区域 。
dxyxfdy
D
d
c
y
y ),(:
)(
)(
2
1?? ? ?
? ??也可记为
注意,
注意：二重积分转化为二次定积分时，关键
在于正确确定积分限,一定要做到熟练、准确。
4、利用直系计算二重积分的步骤
（ 1）画出积分区域的图形,求出边界曲线交点坐标；
（ 3）确定积分限，化为二次定积分；
（ 2）根据积分域类型,确定积分次序；
（ 4）计算两次定积分，即可得出结果,
例 1 求 ?? ?
D
dx dyyx )( 2,其中 D 是由抛物线
2xy ? 和 2yx ? 所围平面闭区域,
解,
两曲线的交点
),1,1(,)0,0(2
2
?
??
?
?
?
yx
xy
2xy ?
2yx ?
2xy ?
2yx ?
［ X－型］
?
?
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x
2
10
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D
d x d yyx )( 2 dxdyyxx
x ])([? ? ??
1
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.14033?
2xy ?
2yx ?
［ Y－型］
??
???
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y
2
10
?? ?
D
d x d yyx )( 2 dydxyxy
y? ? ??
1
0 2
2
])([
.14033?
D
例 2
解,
围成．
由其中计算 2,
1
,.2
2
????? x
x
yxyDd
y
x
D
?
X-型
???? ? x
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dyyxdxdyx 1 2
22
12
2
?
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?
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2
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2
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y
x
x
x
? ?? 21 3 )( dxxx,49?
.21,1,???? xxyxD
），左边交点坐标为（ 11
所围成的闭区域。
及是由抛物线其中计算
2
,2
??
???
xy
xyDx y d
D
?
例 3
解, （ 如图）将 D作 Y型
???? ??? 22 1 2yy
D
x ydxdyx yd ?
dyyyy
dyy
x
y
y
?
?
?
?
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???
?
?
?
?
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1
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623
4
4[2
1 2
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6
23
4
????? ?yyyy
? ?2,4
-1
2
2yx?
2?? yx
? ?1,1?
x
y)( yx后先
5、若区域为组
合域，如图则,
3D
2D
1D
.
321
???????? ???
DDDD
0
6、如果积分区域既是 X－型,
又是 [Y－型 ],则有
?? ? ??
D
b
a
x
x dxf d ydyxf
)(
)(
2
1
][),( ??? ? ?? dc yy dyf dx)( )(2
1
][ ??
例 4 改变积分 ? ???
?
?
y y
dxyxfdydxyxfdy
2
0
3
0
3
1
1
0
),(),( 的
积分次序,
??
?
?
x
x
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3
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),(
,
解,积分区域如图
x
y
o
2
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yx ?? 3
yx 2?
yxy 20,10 ????
yxy ????? 30,31
xyxx ?????? 321,20
原式
例 5 改变积分 )0(),(
2
0
2
2 2
?? ?
?
adyyxfdx
a ax
xax
的次序,
axy 2?解,
= ? ? ??a yaa
a
y dxyxfdy0
2
22
2 ),( 原式
? ? ??? a a yaa dxyxfdy0 2 22 ),(,),(2 22 2? ?? aa aay dxyxfdy
22 xaxy ??
22 yaax ???? a2a
a2
a
例 6
解,
.10,11:.2 ???????? yxDdxy
D
其中计算 ?
1D 2D
3D
先去掉绝对值符号，如图
??
?
dxydyx
dxy
DDD
D
????
??
????
?
? 321
)()( 22
2
???? ???? ?? 1 21 10 21 1 22 )()( xx dyxydxdyyxdx,1511?
例 7 计算积分 ???
y
x
y
dxedyI
2
1
2
1
4
1 ??
?
y
y
x
y
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1
2
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解 ? dxe x
y
? 不能用初等函数表示
? 先改变积分次序,
原式 ????
x
x
x
y
dyedxI
2
2
1
1
? ?? 121 )( dxeex x,2183 ee ??
2xy?
xy?
二重积分在直角坐标下的计算公式
（在积分中要正确选择 积分次序 ）
.),(),( )(
)(
2
1
?? ? ??
D
b
a
x
x
dyyxfdxdyxf ?
?
?
.),(),( )(
)(
2
1
?? ? ??
D
d
c
y
y
dxyxfdydyxf ?
?
?［ Y－型］
［ X－型］
7.小结
三 利用极坐标系计算二重积分
当一些二重积分的积分区域 D用极坐标表示比
较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标
系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑
其计算问题。
等例 ??????
??????
?? ??
222222222
22 )co s (,)s i n (,2222
ayxayxayx
yx d x d yyxd x d yyxd x d ye
Ao
D
i??
irr?
ii rrr ???
ii ??? ???
i???
iiii rrr ??????? )2(2
1
ii
iii rrrr ????????
2
)(
,iii rr ??????
.)s i n,c o s()s i n,c o s(lim
),(lim),(
0
0
???
???
??????
??
?
?
Di
iiiiiii
i
iii
D
r d r drrfrrrrf
fd x d yyxf
??????
???
?
?
1 直系与极系下的二重积分关系（如图）
iiiii rrr ?? ????????
22
2
1)(
2
1i??
（ 1）面积元素变换为极系下,
（ 2）二重积分转换公式,
.)s i n,cos(),( ???? ?
DD
r d r drrfd x d yyxf ???
（ 3）注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下
的二重积分需要进行“三换”,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
r d r dd x d y
DD
ry
rx
rxy
s i n
c o s
2 极系下的二重积分化为二次积分
的上下限关键是定出 ?,r
的上下限：定 ?
用两条过极点的射线夹平面区域,
由两射线的倾角得到其上下限
的上下限：定 r
任意作过极点的半射线与平面区域相交,
由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。
将直系下的二重积分化为极系后，极系下的
二重积分仍然需要化为二次积分来计算 。
.)si n,cos()( )(2
1??
? ?? ???? ??? rd rrrfd
??
A
D
o
)(1 ???r
)(2 ???r
??
D
rd rdrrf ??? )si n,c o s(
（ 1）区域如图 1
,??? ??
).()( 21 ???? ?? r
具体地（如图）
图 1
（ 2）区域如图 2
,??? ??
).()( 21 ???? ?? r
.)si n,cos()( )(2
1??
? ?? ???? ??? rdrrrfd
??
D
rd rdrrf ??? )si n,c o s(
??
Ao
D
)(2 ???r)(1 ???r
图 2
Ao
D
.)si n,cos()(0??? ???? ??? rd rrrfd
（ 3）区域如图 3
,??? ??
).(0 ???? r
??
D
rd rdrrf ??? )si n,c o s(
??
)(???r
图 3
??
D
rd rdrrf ??? )si n,c o s(
.)si n,cos()(020 ??? ??? ??? rd rrrfd
（ 4）区域如图 4
).(0 ???? r
D
o A
,2????0
)(???r
图 4
例 1 计算 dxdye
D
yx?? ?? 22,其中 D 是由中心在
原点，半径为 R 的圆周所围成的闭区域,
解 在极坐标系下
D, Rr ??0, ???? 20,
d x d ye
D
yx?? ?? 22
?? ?? R r rd red 020 2? ?
).1( 2Re ??? ?? ??? ? ?20 )1(21 2 de R
例 2 求广义积分 ? ? ?0 2 dxe x,
解 }|),{( 2221 RyxyxD ???
}2|),{( 2222 RyxyxD ???
}0,0{ ?? yx
}0,0|),{( RyRxyxS ?????
显然有 21 DSD ??
,022 ??? yxe?
? ?? ??
1
22
D
yx d x d ye?? ???
S
yx d x d ye 22,
2
22?? ???
D
yx d x d ye
1D
2DS
S
2D
R R2
又 ?? ???
S
yx d x d yeI 22?
?? ??? R yR x dyedxe 00 22 ;)( 20 2? ?? R x dxe
?1I ?? ??
1
22
D
yx d x d ye
?? ?? ?? R r rdred 00 22 );1(4 2Re ????
同理 ?2I ?? ??
2
22
D
yx dxdye);1(
4
22 Re ????
当 ??R 时,,41 ??I,42 ??I
故当 ??R 时,,4??I 即 ??
? ? 2
0
)( 2 dxe x 4?,
所求广义积分 ??
? ?
0
2 dxe x
2
?,
,21 III ???
);1(4)()1(4 222 220 RR xR edxee ??? ??????? ?
例 3 求 双纽 线 )(2)( 222222 yxayx ???
和 222 ayx ?? 所围成的图形的面积,
解 根据对称性有 14 DD ?
在极坐标系下
)(2)( 222222 yxayx ???,2c o s2 ?ar ??
,222 arayx ????
1D
由
?
?
?
?
?
ar
ar ?2co s2
,得交点 )
6,(
?? aA,
所求面积 ???
D
dxdy????
1
4
D
d x d y
?? ?? ?? 2c o s20 64 aa r d rd
).33(2 ??? a
解
)0,( ?yx
倍，限部分立体体积的
为第一卦由对称性，所求体积
4
V
axyxD 2,22 ??
d x d yyxaV
D
?? ??? 22244
.,2 a cos 20D ??? ???? r，0：
在极系下,
（如图）
.
)(2)( 4例 2222222
所围成图形的面积
和求双纽线 ayxyxayx ?????
?c o s2 ar ?
o 2a
D
?
dxdyyxaV
D
?? ??? 22244从而
r d rrad a? ? ?? 20 c o s20 2244
? ?
?
? ?? 20 33 )s i n1(332
?
?? da
)322(332 3 ?? ?a
例 5 写出积分 ??
?
?
21
1
1
0
),(
x
x
dyyxfdx 的极坐标二
次积分形式
1??yx
122 ?? yx
解 如图：在极坐标系下
??
?
?
?
?
?
s i n
co s
ry
rx
圆方程为 1?r,
直线方程为 ?? co ss i n 1??r,
??
D
d x d yyxf ),(,)si n,cos(20 1
c o ssi n
1? ?
?
?
?
??
??? rd rrrfd
20
?? ??
计算二重积分应该注意以下几点,
先要考虑积分区域的形状，
看其边界曲线用直系方程表示简单还是极系方
程表示简单，其次要看被积函数的特点，看使
用极坐标后函数表达式能否简化并易于积分。
首先，选择坐标系。
其次，化二重积分为二次积分。 根据区域形状和
类型确定积分次序，从而穿线确定内限，夹线确
定外限。
最后，计算二次积分。 由内向外逐层计算，内层
积分计算时，外层积分变量看做常量。
四、小结
