第三节 全微分
一 全微分的定义
二 可微的条件
全增量的概念
如果函数 在点 的某邻域内
有定义，并设 为这邻域内的
任意一点，则称这两点的函数值之差
),( yxfz ? ),( yx
),( yyxxP ?????
即 ),(),( yxfyyxxfz ???????
为函数在点 对应于自变量增量 的全增
量，记为 z?
P yx ??,
),(),( yxfyyxxf ?????
一、全微分的定义
函数若在某区域 内各点处处可微分,
则称这函数在 内可微分, D
D
如果函数 在点 的全增量
可以表示为
,其中 B A,不依赖于
而仅与 有关，,
则称函数 在点 可微分,
称为函数 在点 的
全微分, 记为, 即,
),( yxfz ? ),(x
),(),( yxfyyxxfz ???????
)( ?oyBxAz ??????
yx ??,yx,22 )()( yx ?????
),( yxfz ? ),(x
yBxA ??? ),( yxfz ? ),(x
dz yBxAdz ????
),(lim
0
0
yyxxf
y
x
????
??
?? ]),([l i m 0 zyxf ??? ??
),( yxf?
二,可微的条件
如果函数 在点 可微分,则
函数在该点连续,
定理 1
),( yxfz ? ),(x
事实上 )( ?oyBxAz ??????
故函数 在点 处连续, ),( yxfz ?,( yx
定理 2 （ 必要条件） 如果函数 在点
可微分，则该函数在点 的偏导数,
必存在，且函数 在点 的全微分
为
x
z
?
?
y
z
?
?
yyzxxzdz ????????
),( yxfz ?
),( yxfz ?
),( yx ),( yx
),(x
证 如果函数 ),( y x f z ? 在点 ),( y x P 可微分,
属于 ? ? ? ? ),( y y x x P P 的某个邻域
)( ?oyBxAz ?????? 总成立,
当 0 ? ? y 时，上式仍成立,此时 | | x ? ? ?,
),(),( yxfyxxf ??? | ),(| xoxA ?????
Ax yxfyxxf
x
?? ???
??
),(),(lim
0
,xz???
同理可得,yzB ???
一元函数在某点的导数存在 微分存在,
多元函数的各偏导数存在 全微分存在,
例如,
.
00
0
),(
22
22
22
?
?
?
?
?
??
??
??
yx
yx
yx
xy
yxf
在点 ) 0,0 ( 处有
0 ) 0,0 ( ) 0,0 ( ? ? y x f f
])0,0()0,0([ yfxfz yx ???????,)()( 22 yx
yx
???
????
如果考虑点 ),( y x P ? ? 沿着直线 x y ? 趋近于 ) 0,0 (,
则 ?
22 )()( yx
yx
???
???
22 )()( xx
xx
???
????,
2
1?
说明它不能随着 0 趋于 ? 而趋于 0,0??当 时,
),(])0,0()0,0([ ?oyfxfz yx ????????
函数在点 ) 0,0 ( 处不可微,
说明, 多元函数的各偏导数存在并不能保证全
微分存在,
证 ),(),( yxfyyxxfz ???????
)],(),([ yyxfyyxxf ????????
)],,(),([ yxfyyxf ????
定理 3 （充分条件）如果函数 ),( y x f z ? 的偏
导数, 在点 ),( y x 连续，则该函数在点 ),( y x
可微分,
x
z
?
?
y
z
?
?
),(),( yyxfyyxxf ???????
xyyxxf x ?????? ),( 1? )10( 1 ?? ?
在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理
xxyxf x ???? 1),( ?（依偏导数的连续性）
其中 1 ? 为 y x ? ?,的函数,
且当 0,0 ? ? y x 时,0 1 ?, ? ? ?
xxyxf x ???? 1),( ? yyyxf y ???? 2),( ?z?
21
21 ??
?
?? ????? yx?
?,00??
故函数 ),( y x f z ? 在点 ),( y x 处可微,
同理 ),(),( yxfyyxf ???
,),( 2 yyyxf y ???? ?当 时，,0??y 02 ??
习惯上，记全微分为,dyy
zdx
x
zdz
?
??
?
??
全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
.dzzudyyudxxudu ?????????
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个
偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合 叠加
原理,
叠加原理也适用于二元以上函数的情况,
例 1 计算函数 xy e z ? 在点 ) 1,2 ( 处的全微分,
解,xyye
x
z ?
?
?,xyxe
y
z ?
?
?
,2
)1,2(
e
x
z ?
?
?,2 2
)1,2(
e
y
z ?
?
?
.2 22 dyedxedz ??所求全微分
例 2 求函数 ) 2 cos( y x y z ? ?,当 4 p ? x, p ? y,
4
p ? dx, p ? dy 时的全微分．,
解 ),2si n ( yxyxz ?????
),2si n (2)2c o s( yxyyxyz ??????
dy
y
zdx
x
zdz
),
4
(),4(
),
4
(
ppp
pp
p
?
??
?
??
).74(8 2 pp ??
例 3 计算函数 yz e y x u ? ? ? 2 sin 的全微分,
解,1???xu,2c o s2
1 yzzey
y
u ??
?
?
,yzye
z
u ?
?
?
所求全微分
.)2c o s21( dzyedyzeydxdu yzyz ????
例 4 试证函数
在点 ) 0,0 ( 连续且偏导数存在，但偏导数在点 ) 0,0 (
不连续，而 f 在点 ) 0,0 ( 可微, 思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分
)0,0(),( ?yx, )0,0(),( ?yx 讨论,
??
?
?
?
?
?
??
)0,0(),(0
)0,0(),(,
1
s i n
),( 22
yx
yx
yx
xy
yxf
证 令,c o s???x,s in ???y
则 22)0,0(),(
1si nlim
yx
xy
yx ??
?????
1s i nc o ss i nl i m 2
0
??
? 0? ),0,0(f?
故函数在点 ) 0,0 ( 连续,
?)0,0(xf x fxfx ? ???? )0,0()0,(lim 0,000lim 0 ???? ?? xx
同理,0)0,0( ?yf
?),( yxf x,1cos)(1si n 22322
2
22 yxyx
yx
yxy ????
当点 ),( y x P 沿直线 x y ? 趋于 ) 0,0 ( 时,
),(l i m )0,0(),( yxf xxx ?
,||2 1cos||22||2 1si nlim 3
3
0
?
?
??
?
? ??
? xx
x
xxx
不存在,
当 ) 0,0 ( ),( y x 时, ?
所以 ),( y x f x 在 ) 0,0 ( 不连续,
同理可证 ),( y x f y 在 ) 0,0 ( 不连续,
)0,0(),( fyxff ?????
22 )()(
1si n
yx
yx
???
?????
))()(( 22 yxo ????
故 ),( y x f 在点 ) 0,0 ( 可微,0)0,0( ?df
多元函数连续、可导、可微的关系
函数可微
函数连续
偏导数连续
函数可导