第四节 平面及其方程
一、图形与方程
二、平面的点法式方程
三、平面的一般方程
四、两平面的夹角
在空间直角坐标系中，设曲面 S（或曲线 L)与
三元方程（或方程组） 0),,( ?zyxF 或
??
?
?
?
0),,(
0),,(
2
1
zyxF
zyxF
),,( zyx 都是
有下述关系,
（ 1）曲面 S（或曲线 L)上任意一点的坐标都满足
上述方程（或方程组）,
（ 2）满足上述方程（或方程组）的
曲面 S（或曲线 L)上的坐标,
那么，上述方程（或方程组）叫曲面 S（或曲线 L)的方程
，而曲面 S（或曲线 L)叫做上述方程（或方程组）的图形,
一,图形与方程
x
y
z
o
0M M 如果一非零向量垂直
于一平面，这向量就叫做
该平面的 法线向量,
法线向量的 特征, 垂直于平面内的任一向量,
已知 },,,{ CBAn ?? ),,,( 0000 zyxM
设平面上的任一点为 ),,( zyxM
nMM ??0必有 ? 00 ?? nMM ?
n?
二、平面的点法式方程
},,{ 0000 zzyyxxMM ?????
0)()()( 000 ??????? zzCyyBxxA
平面的点法式方程
平面上的点都满足上方程，不在平面上的
点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，
平面称为方程的图形,
其中法向量 },,,{ CBAn ?? 已知点 ).,,( 000 zyx
例 1 已知点 )4,1,2(1 ?M 和 )7,2,6(2M,求过点 1M
且与
?
21 MM 垂直的平面方程,
},6,4,3{211 ?? ?MMn?
所求平面的一个法向量为
,0)1(6)2(4)3(3 ?????? zyx
即,07643 ???? zyx
由点法式方程，得
解
例 2 求过三点 )4,1,2( ?A, )2,3,1( ??B 和
)3,2,0(C 的平面方程,
解 }6,4,3{ ???AB
}1,3,2{ ???AC
取 ACABn ??? },1,9,14{ ??
所求平面方程为,0)4()1(9)2(14 ?????? zyx
化简得,015914 ???? zyx
由平面的点法式方程
0)()()( 000 ?????? zzCyyBxxA
0)( 000 ??????? CzByAxCzByAx D?
0???? DCzByAx 平面的一般方程
法向量 }.,,{ CBAn ??
三、平面的一般方程
平面一般方程的几种特殊情况,
,0)1( ?D 平面通过坐标原点；
,0)2( ?A ??
?
?
?
,0
,0
D
D 平面通过 轴； x
平面平行于 轴； x
,0)3( ?? BA 平面平行于 坐标面； xoy
类似地可讨论 情形, 0,0 ???? CBCA
0,0 ?? CB类似地可讨论 情形,
例 3 一平面过点 )2,3,4( ?? 和 )1,1,4( ? 且平行
于 x 轴，求其方程,
,0??? DCzBy
从而所求平面为：解得,4,3 DCDB ???
解
所以设平面方程为,
所求平面平行于 x 轴，可知,?? ? in ),,( CBAn ??设
，0?A则
将已知两点代入得 ??
?
???
????
0
023
DCB
DCB
0143043 ?????? zyDDzDy 即，
例 4 设平面与 zyx,,三轴分别交于 )0,0,( aP,
)0,,0( bQ, ),0,0( cR （其中 0?a, 0?b, 0?c ），
求此平面方程,
设平面为,0???? DCzByAx
将三点坐标代入得 ?
?
?
?
?
??
??
??
,0
,0
,0
DcC
DbB
DaA
?,aDA ??,bDB ??,cDC ??
解
,aDA ??,bDB ??,cDC ??将
代入所设方程得
1??? czbyax 平面的截距式方程
x 轴上截距 y 轴上截距 z 轴上截距
定义
（通常取锐角）
1?
1n?
2?
2n? ?
两平面法向量之间的夹角称为两平面的
夹角,
,0,11111 ????? DzCyBxA
,0,22222 ????? DzCyBxA
},,,{ 1111 CBAn ??
},,,{ 2222 CBAn ??
四、两平面的夹角
按照两向量夹角余弦公式有
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121 ||co s
CBACBA
CCBBAA
?????
????
两平面夹角余弦公式
两平面位置特征,
21)1( ??? ;0212121 ????? CCBBAA
21)2( ??//,
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A ????
例 5
解法（ 1） )2,2,2(21 ??MM
垂直及 )3,2,1(21 ??? nMM所求平面的法向量与
求其方程.垂直于
且和一平面经过点
,0532
)5,1,4()3,1,2( 21
????
?
yyx
MM
)2,4,2(
222
321
21
?????
???
??
kji
MMn取为
0)3(2)1(4)2(2 ??????? zyx所求平面方程为：
072 ???? zyx即
)2(解法,),,( CBAn ?
?设所求平面法向量为
??
???
?
??
21
11
)3,2,1(
MMn
nnn ）（则
?
?
?
???
????
032
0222
CBA
CBA
CBCA 2,???得
：所求平面方程为?
0)3()1()2( ?????? zCyBxA
0)3()1(2)2( ?????? zyx：即
072 ???? zyx
例 6 设 ),,( 0000 zyxP 是平面 ByAx ? 0??? DCz
外一点，求 0P 到平面的距离,
??? ),,( 1111 zyxP
|Pr| 01 PPjd n?
?1P N
n?
0P?
00101Pr nPPPPj n ??
},,{ 10101001 zzyyxxPP ????
解
??
?
??
?
??????? 222222222
0,,
CBA
C
CBA
B
CBA
An
00101Pr nPPPPj n ???
222
10
222
10
222
10 )()()(
CBA
zzC
CBA
yyB
CBA
xxA
??
??
??
??
??
??
,)( 222 111000 CBA CzByAxCzByAx ?? ??????
0111 ???? DCzByAx? )( 1 ??P
?01Pr PPjn?,222 000 CBA DCzByAx ?? ???
.|| 222 000 CBA DCzByAxd ?? ?????
点到平面距离公式
一、图形与方程
二、平面的点法式方程
三、平面的一般方程
四、两平面的夹角
在空间直角坐标系中，设曲面 S（或曲线 L)与
三元方程（或方程组） 0),,( ?zyxF 或
??
?
?
?
0),,(
0),,(
2
1
zyxF
zyxF
),,( zyx 都是
有下述关系,
（ 1）曲面 S（或曲线 L)上任意一点的坐标都满足
上述方程（或方程组）,
（ 2）满足上述方程（或方程组）的
曲面 S（或曲线 L)上的坐标,
那么，上述方程（或方程组）叫曲面 S（或曲线 L)的方程
，而曲面 S（或曲线 L)叫做上述方程（或方程组）的图形,
一,图形与方程
x
y
z
o
0M M 如果一非零向量垂直
于一平面，这向量就叫做
该平面的 法线向量,
法线向量的 特征, 垂直于平面内的任一向量,
已知 },,,{ CBAn ?? ),,,( 0000 zyxM
设平面上的任一点为 ),,( zyxM
nMM ??0必有 ? 00 ?? nMM ?
n?
二、平面的点法式方程
},,{ 0000 zzyyxxMM ?????
0)()()( 000 ??????? zzCyyBxxA
平面的点法式方程
平面上的点都满足上方程，不在平面上的
点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，
平面称为方程的图形,
其中法向量 },,,{ CBAn ?? 已知点 ).,,( 000 zyx
例 1 已知点 )4,1,2(1 ?M 和 )7,2,6(2M,求过点 1M
且与
?
21 MM 垂直的平面方程,
},6,4,3{211 ?? ?MMn?
所求平面的一个法向量为
,0)1(6)2(4)3(3 ?????? zyx
即,07643 ???? zyx
由点法式方程，得
解
例 2 求过三点 )4,1,2( ?A, )2,3,1( ??B 和
)3,2,0(C 的平面方程,
解 }6,4,3{ ???AB
}1,3,2{ ???AC
取 ACABn ??? },1,9,14{ ??
所求平面方程为,0)4()1(9)2(14 ?????? zyx
化简得,015914 ???? zyx
由平面的点法式方程
0)()()( 000 ?????? zzCyyBxxA
0)( 000 ??????? CzByAxCzByAx D?
0???? DCzByAx 平面的一般方程
法向量 }.,,{ CBAn ??
三、平面的一般方程
平面一般方程的几种特殊情况,
,0)1( ?D 平面通过坐标原点；
,0)2( ?A ??
?
?
?
,0
,0
D
D 平面通过 轴； x
平面平行于 轴； x
,0)3( ?? BA 平面平行于 坐标面； xoy
类似地可讨论 情形, 0,0 ???? CBCA
0,0 ?? CB类似地可讨论 情形,
例 3 一平面过点 )2,3,4( ?? 和 )1,1,4( ? 且平行
于 x 轴，求其方程,
,0??? DCzBy
从而所求平面为：解得,4,3 DCDB ???
解
所以设平面方程为,
所求平面平行于 x 轴，可知,?? ? in ),,( CBAn ??设
，0?A则
将已知两点代入得 ??
?
???
????
0
023
DCB
DCB
0143043 ?????? zyDDzDy 即，
例 4 设平面与 zyx,,三轴分别交于 )0,0,( aP,
)0,,0( bQ, ),0,0( cR （其中 0?a, 0?b, 0?c ），
求此平面方程,
设平面为,0???? DCzByAx
将三点坐标代入得 ?
?
?
?
?
??
??
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,0
,0
,0
DcC
DbB
DaA
?,aDA ??,bDB ??,cDC ??
解
,aDA ??,bDB ??,cDC ??将
代入所设方程得
1??? czbyax 平面的截距式方程
x 轴上截距 y 轴上截距 z 轴上截距
定义
（通常取锐角）
1?
1n?
2?
2n? ?
两平面法向量之间的夹角称为两平面的
夹角,
,0,11111 ????? DzCyBxA
,0,22222 ????? DzCyBxA
},,,{ 1111 CBAn ??
},,,{ 2222 CBAn ??
四、两平面的夹角
按照两向量夹角余弦公式有
2
2
2
2
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2
2
1
2
1
2
1
212121 ||co s
CBACBA
CCBBAA
?????
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两平面夹角余弦公式
两平面位置特征,
21)1( ??? ;0212121 ????? CCBBAA
21)2( ??//,
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A ????
例 5
解法（ 1） )2,2,2(21 ??MM
垂直及 )3,2,1(21 ??? nMM所求平面的法向量与
求其方程.垂直于
且和一平面经过点
,0532
)5,1,4()3,1,2( 21
????
?
yyx
MM
)2,4,2(
222
321
21
?????
???
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kji
MMn取为
0)3(2)1(4)2(2 ??????? zyx所求平面方程为：
072 ???? zyx即
)2(解法,),,( CBAn ?
?设所求平面法向量为
??
???
?
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21
11
)3,2,1(
MMn
nnn ）（则
?
?
?
???
????
032
0222
CBA
CBA
CBCA 2,???得
：所求平面方程为?
0)3()1()2( ?????? zCyBxA
0)3()1(2)2( ?????? zyx：即
072 ???? zyx
例 6 设 ),,( 0000 zyxP 是平面 ByAx ? 0??? DCz
外一点，求 0P 到平面的距离,
??? ),,( 1111 zyxP
|Pr| 01 PPjd n?
?1P N
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00101Pr nPPPPj n ??
},,{ 10101001 zzyyxxPP ????
解
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0,,
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C
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222
10
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,)( 222 111000 CBA CzByAxCzByAx ?? ??????
0111 ???? DCzByAx? )( 1 ??P
?01Pr PPjn?,222 000 CBA DCzByAx ?? ???
.|| 222 000 CBA DCzByAxd ?? ?????
点到平面距离公式
