第二节 向量及其线性运算
一、向量的概念
二、向量的加减法
三、数与向量的乘积
四、向量的坐标
向量,既有大小又有方向的量,
向量表示,
以 1M 为起点,2M 为终点的有向线段,
1M
2M
?
?
a? 21MM
模长为 1的向量, 21MM 00a
零向量,模长为 0的向量, 0?
||a? 21MM| | 向量的模,向量的大小,
单位向量,或
或
或
一、向量的概念
自由向量,不考虑起点位置的向量,
相等向量,大小相等且方向相同的向量,
负向量,大小相等但方向相反的向量, a??
向径,
a? b?
a?? a?
空间直角坐标系中任一点 与原点
构成的向量, OM
M
[1] 加法,cba ??? ??
a?
b? c?
（平行四边形法则）
特殊地：若 a?‖ b?
a?
b? c? |||||| bac ??? ??
分为同向和反向
b?
a? c
?
|||||| bac ??? ??
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
二、向量的加减法
向量的加法符合下列运算规律,
（ 1）交换律,.abba ???? ???
（ 2）结合律,cbacba ?????? ????? )( ).( cba ?? ???
（ 3）,0)( ??? ??? aa
[2] 减法 )( baba ???? ???? a?b
?
b?? b??c?
ba
bac
??
???
??
??? )(ba ???
ba ???a?
b?
设 ? 是一个数，向量 a? 与 ? 的乘积 a?? 规定为
,0)1( ?? a?? 与 a? 同向,|||| aa ?? ?? ?
,0)2( ?? 0???a?
,0)3( ?? a?? 与 a? 反向,|||||| aa ?? ?? ??
a? a?2 a?
2
1?
三、向量与数的乘法
数与向量的乘积符合下列运算规律,
（ 1）结合律,)()( aa ?? ???? ? a?)(???
（ 2）分配律,aaa ??? ???? ??? )(
baba ???? ??? ??? )(
.
0
ab
aba
??
???
?? ?
?
，使一的实数分必要条件是：存在唯
的充平行于，那末向量设向量定理
两个向量的平行关系
证 充分性显然；
必要性 a?‖ b?设,a
b
?
?
??取
取正值，同向时与当 ?ab ??
取负值，反向时与当 ?ab ??,ab ?? ??即有
.同向与此时 ab ??? ?aa ?? ?? ?且 aa
b ?
?
?
?,b??
.的唯一性?,设 ab ?? ??,又设 ab ?? ??
两式相减，得,0)( ?? ?? a??,即 0?? a???
，0?a??,故 0?? ??,?? ?即
同方向的单位向量，表示与非零向量设 aa ?? 0
按照向量与数的乘积的规定,
0|| aaa ??? ?,|| 0aa
a ??? ?
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是
一个与原向量同方向的单位向量,
例 1 试用向量方法证明：对角线互相平分的
四边形必是平行四边形,
证 AM MC?
BM MD?
AD ? AM ? MD MC? ? BM BC?
AD 与 平行且相等,BC 结论得证,
?
?
A B
CD
M
a?b?
例 2 用向量方法证明：连结三角形两边中点
的线段平行于第三边，且等于第三边的一半,
证 A
B C
M N
则的中点为设,、,ACABNM
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
BCACBA
ACBA
ANMAMN
2
1
)(
2
1
2
1
2
1
.21 // BCMNBCMN ?? 且
1.向径的坐标表达式
以 ??? kji,,分别表示沿 zyx,,轴的单位向量
?????? ixOPiOP 平行与向量
???? ixOPPx 轴上的点
???? jyOQPy 轴上的点
???? kzORRz 轴上的点
四、向量的坐标
),,( zyxM?
x
y
z
o
)0,0,( xP
)0,,0( yQ
),0,0( zR
)0,,( yxA
),,0( zyB
),,( zoxC
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
kzjyix
OROQOP
NMPNOP
OMr
??????? kzjyixr 称为向量的坐标分解式,
??? kzjyix,,称为向量 ?
r 沿三个坐标轴方向的分向量
? ? ),,(1111 zyxkzjyixrM ?????????空间的点
向量的坐标式),,( zyxr ??
222|||| zyxOMr ???? ??
2.任意向量的坐标表达式
则向径设,?? ? 21 MMa
?????
???? kzjyixOMr 11111
?????
???? kzjyixOMr 22222
?????? ?????
121221 rrOMOMMMa而
）＝
??????
????? kzjyixkzjyix 111222 ()(
???
????? kzzjyyixx )()()( 121212＝
x
y
z
o
?1M
P N Q
R ?
2M
i? j
?
k?
kajaiaa zyx ???? ???
12 xxa x ??
12 yya y ?? 12 zza z ??
kzzjyyixxMM ??? )()()( 12121221 ??????
kzzjyyixxMM ??? )()()( 12121221 ??????
按基本单位向量的 坐标分解式,
在三个坐标轴上的 分向量,,,,kajaia zyx ???
向量的 坐标,,,,zyx aaa
向量的 坐标表达式, },,{ zyx aaaa ??
},,{ 12121221 zzyyxxMM ????
特殊地,},,{ zyxOM ?
3.向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式
},,,{ zyx aaaa ?? },,,{ zyx bbbb ??
},,{ zzyyxx babababa ????? ??
},,{ zzyyxx babababa ????? ??
},,{ zyx aaaa ???? ??;)()()( kbajbaiba zzyyxx ??? ??????;)()()( kbajbaiba zzyyxx ??? ??????
.)()()( kajaia zyx ??? ??????
由题意知,MBAM ??
},,{ 111 zzyyxx ??? },,,{ 222 zzyyxx ???? ?
1xx ? )( 2 xx ?? ?
1yy ? )( 2 yy ?? ?
1zz ? )( 2 zz ?? ?
,1 21 ?????? xxx
,1 21 ?????? yyy
,1 21 ?????? zzz
M 为有向线段 AB 的 定比分点,M 为中点时，
,2 21 xxx ??,2 21 yyy ??,2 21 zzz ??
解
},,{ 111 zzyyxxAM ????
},,{ 222 zzyyxxMB ????
设 ),,( zyxM 为直线上的点,
例 3 设 ),,(
111
zyxA 和 ),,(
222
zyxB 为两已知
点，而在 AB 直线上的点 M 分有向线段 AB 为
两部分 AM, MB,使它们的值的比等于某数
)1( ????,即 ??
MB
AM
，求分点的坐 标,
A
B
M
x
y
z
o