第二节 定积分在几何上的应用
一 平面图形的面积
二 空间立体的体积
三 平面曲线的弧长
四 小结
x
y
o
)( xfy ?
a b x
y
o )(1 xfy ?
)(2 xfy ?
a bx xx?? x?
曲边梯形的面积
?? ba dxxfA )(
穿针法或微元素法
曲边梯形的面积
? ?? ba dxxfxfA )]()([ 12
被积函数上 -下、右 -左
一、平面图形的面积
1 直角坐标系情形
例 1 计算由两条抛物线 xy ?2 和 2xy ? 所围
成的图形的面积,
2xy?
2yx?解 两曲线的交点,
)1,1()0,0(
面积元素 dxxxdA )( 2??
选 为积分变量 x ]1,0[?x
dxxxA )( 210 ?? ?
1
0
3
33
2
2
3
??
?
??
? ?? xx
.31?
??
?
?
?
2
2
xy
xy解方程组
注 被积函数为上 -下，上为 下为 xy ?2 2xy ?
例 2 计算由曲线 xy 22 ? 和直线 4?? xy 所
围成的图形的面积,
解 两曲线的交点
).4,8(),2,2( ??
?
?
?
??
?
4
22
xy
xy
选 为积分变量 y ]4,2[??y
.18244 2
2
?? ?????? ??? ? dyyyA
xy 22?
4??xy
注 被积函数为“右 -左”
右为直线，左为抛物线
如果曲边梯形的曲边为参数方程
??
?
?
?
)(
)(
ty
tx
?
?
曲边梯形的面积,)()(2
1?
?? tt dtttA ??
（其中 1t 和 2t 对应曲线起点与终点的参数值）
在 [ 1t,2t ] （或 [ 2t,1t ] ）上 )( tx ?? 具有连续
导数,)( ty ?? 连续,
例 3 求椭圆 12
2
2
2
?? byax 的面积,
解 椭圆的参数方程
??
?
?
?
tby
tax
s i n
co s
由对称性知总面积等于 4倍第一象限部分面积,
?? a yd xA 04 ??? 0
2
)cos(si n4 tatdb
dttab ? ?? 20 2s i n4,ab??
设由曲线 )(???r 及射线
?? ?, ?? ? 围成一曲边扇
形，求其面积．这里,)(??
在 ],[ ?? 上连续，且 0)( ???,
xo
?? ?
?d
?? ? ?
?? d?
面积元素 ??? ddA 2)]([
2
1?
曲边扇形的面积,)]([21 2 ????
? dA ??
)(???r
2,极坐标系情形
例 4 求阿基米德螺线 ?ar ? )0( ?a 上相
应于 ? 从 0 到 ?2 的弧与极轴所围成的图形的
面积,
?d?? dadA )(
2
1 22?
解
]2,0[ ?? ??
?? ? ??20 2221 daA
于是
322
0
2
3
4]
3[2
1 ?? ? aa ??
例 5 求心形线 )co s1( ??? ar 所围平面图
形的面积 )0( ?a,
?d解 ?? dadA 22 )c o s1(
2
1 ??
利用对称性知
.23 2a??
?? d2)c o s1( ? ? ??? 02212 aA
??? d)c o sc o s21( 2????? 02a
??
?
??
? ??? ??? 2s i n
4
1s i n2
2
32a ?
0
例 6 求双纽线 ?? 2c o s22 a? 所围平面图
形的面积,
解 由对称性知总面积 =4倍第
一象限部分面积
14 AA ?
??? daA 2co s214 40 2??,2a?
xy?
?? 2cos22 a?
1A
圆柱 圆锥 圆台
二 空间立体的体积
旋转体就是由一个平面图形绕这平面内
一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做
旋转轴,
1 旋转体的体积
旋转体可以看作是由连续曲线 )( xfy ?,直
线 ax ?, bx ? 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x
轴旋转一周而成的立体，现在我们考虑用定
积分来计算这种旋转体的体积。
dxxfdV 2)]([??
x dxx? x
y
o
旋转体的体积为 dxxfV b
a
2)]([? ??
)(xfy ?
取积分变量为 x
相应于 ],[ ba 上的任一小区
间 ],[ dxxx ?,窄边梯形绕
x 轴
旋转而成的薄片的体积近似的于以 )( xf 为底半
径,dx 为高的扁圆柱体的体积，即体积元素
变化范围 ],[ ba
y
例 7 连接坐标原点 O 及点 ),( rhP 的直线、直
线 hx ? 及 x 轴围成一个直角三角形．将它绕
x 轴旋转构成一个底半径为 r,高为 h 的圆
锥体，计算圆锥体的体积,
r
h
P
xo
解
xhry ?
取积分变量为 x, ],0[ h它的变化区间为圆锥体中相应于 ],0[ h 上任一小区间 ],[ dxxx ? 的薄片
直线方程为
),( rhp过原点 及点 o
的体积近似于底半径为 xh
r
、高为 dx 的扁圆柱体的体
积即体积元素
dxxhrdV
2
??
?
??
???
于是所求圆锥体的体积为
dxxhrV h
2
0 ??
??
?
??? ?
hx
h
r
0
3
2
2
3 ??
?
??
???
.3
2hr?
?
y
r
h
P
xo
用与上面类似地方 法可以推出：由曲线
)( yx ??,直线 cy ?, dy ? )( dc ? 与 y 轴所
围成的曲边梯形，绕 y 轴旋转一周而成的旋转
体的体积为
x
y
o
)( yx ??
c
d
dyy 2)]([?? ?? dcV
例 8 计算摆线 )s i n( ttax ??, )c o s1( tay ??
的一拱与 0?y 所围成的图形分别绕 x 轴,y 轴
旋转构成旋转体的体 积,
解 绕 x 轴旋转的旋转体体积
dxxyV ax )(220? ? ??
? ? ????? 20 22 )co s1()co s1( dttata
? ? ????? 20 323 )coscos3cos31( dtttta,5 32a??
a?2a?
)(xy
绕 y 轴旋转的旋转体体积
可看作平面图 O A B C 与 O B C
分别绕 y 轴旋转构成旋转体的体积之差,o
y
xa?2 A
BCa2 )(2 yxx ?
)(1 yxx ?
dtyxV ay )(220 2? ?? dtyxa )(220 1? ??
? ?? ???? 2 22 si n)si n( td tatta
? ? ???? 0 22 si n)si n( td tatta
? ? ??? 20 23 si n)si n( tdttta,6 33a??
用与上面类似地方法可以推出另一个计算旋转
体的体积公式,
由连续曲线 0)( ?? xfy,直线 ax ?,
bx ? 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一
周而成的立体，体积为
dxxfxV bay )(2 ?? ?
dxxx ?
x
f x )
) ( ) ( 2 2
?
? ? ?
dx
x f x x f dx x dV
( 2
) (
?
? ?
证明,如图，体积元素
dxxfxV bay )(2 ??? ?
y
)(xf
dxxfxV bay )(2 ?? ?
利用公式,
dxxfxV ay |)(|2 20? ???
? ? ?????? 20 )]si n([)co s1()si n(2 ttadtatta
? ? ???? 20 23 )cos1)(si n(2 dtttta,6 33a??
可知上例中
xo a b
2、平行截面面积为已知的立体的体积
x dxx?
从计算旋转体体积的过程可以看出：如果一个
立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一
定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积
也可用定积分来计算,
,)( dxxAdV ?
如图,)( xA 表
示过点 x 且垂直
于 x 轴的截面面
积,
)( xA 为 x 的已知连续函数，体积元素
.)(?? ba dxxAV立体体积
例 9 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中
心，并与底面交成角 ?,计算这平面截圆柱体
所得立体的体积,
R
R?
x
yo
解 ?
建立坐标系,底圆方程为
x
222 Ryx ?? 垂直于 x 轴的截面为直角三角形
截面面积,t a n)(21)( 22 ?xRxA ??
立体体积 dxxRV R
R ?ta n)(2
1 22 ?? ?
?,tan3
2 3 ?R?
取平面与圆柱体的交
线为 轴，底面上过
圆心、且垂直于 轴
的直线为 轴
x
y
x
例 10 求以半径为 R 的圆为底、平行且等于底圆半
径的线段为顶、高为 h 的正劈锥体的体积,
解
建立坐标系, 底圆方程为
,222 Ryx ??
x
y
o Rx
垂直于 x 轴的截面为等腰三角形
截面面积 22)( xRhyhxA ????
立体体积 dxxRhV R
R?? ??
22.21 2 hR??
正劈锥的顶平行。
轴与为原点，并使圆心
面，取底圆所在的平面为
xo
x o y
xo
y
0MA?
nMB?1M
2M 1?nM
设 A, B 是曲线弧 AB 上
的两个端点，在弧上插入
分点
BMM
MMMA
nn
i
?
?
?,,
,,,
1
10
?
?
并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目无
限增加且每个小弧段 ii MM 1? 都缩向一点时,此折线的长 ||
1
1?
?
?
n
i
ii MM 的极限存在，则称此极限为
曲线弧 AB 的弧长,
三 平面曲线的弧长
1、平面曲线弧长的概念
定理 光滑曲线弧是可求长的,
简介 光滑曲线
当曲线上每一点处都具有切线，且切线
随切点的移动而连续转动，这样的曲线称为
光滑曲线。
就是一条光滑曲线。如 2xy ?
-2 -1 1 2
1
2
3
4
-6 -4 -2 2 4 6
-1
-0.5
0.5
1
2xy ? xy s in?
设曲线弧为 )( xfy ?
)( bxa ??,其中 )( xf
在 ],[ ba 上有一阶连续导数
xo
y
a bx dxx?
?dy
小切线段的长
22 )()( dydx ? dxy 21 ???
就是弧长元素
dxyds 21 ???
弧长,1 2 dxys ba? ???
由第三章的弧微分公式知
dxyds 21 ???
2 直角坐标情形
例 1 1 计算曲线 2
3
3
2
xy ? 上相应于 x 从 a 到 b
的一段弧的长度,
解 x 2,1 y ? 因为
( 1 dx x ds 2 ) 1 2 ? ? 从而弧长元素,1 dxx??
所以弧长为
dxxs ba? ?? 1 ].)1()1[(32 2323 ab ????
0.5 1 1.5 2
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
设曲线弧为,
)(
)(
??
?
?
?
ty
tx
?
? )( ?? ?? t
其中 )(),( tt ?? 在 ],[ ?? 上具有连续导数,
22 )()( dydxds ?? 222 )) ] (()([ dttt ?? ????
dttt )()( 22 ?? ????
弧长,)()( 22 dttts ? ???? ?? ??
3 参数方程情形
解
)0()c o s1( ),s i n( ?
??
?
??
?? a
tay
ttax例 11 计算曲线 的一拱的长度,
).20(
2
s i n2
)]([)]([
s i n)(),c o s1()(
22
????
????
?????
tdt
t
a
dttytxds
tatytatx
于是
.8
2
co s4
2
s i n2 20
2
0
atadttas ???? ? ?
?
所以
a?2a?
)( x
曲线弧为 )( ??? ??)(?rr ?
其中 )( ?r 在 ],[ ?? 上具有连续导数,
?
?
?
?
?
??
??
s i n)(
c o s)(
ry
rx
由 )( ??? ??
22 )()( dydxds ??得到,)()(
22 ??? drr ???
弧长,)()( 22 ????? drrs ? ???
4 极坐标情形
从
例 13 求阿基米德螺线 ? a r ? ) 0 ( ? a 上相应
于 ? 0 到 ? 2 的弧长,
解
????? drrs ? ??? )()( 22
? ?.)412l n (4122 22 ????????? a
? ?? 20 ?? daa 222 ? ? ?? 20a ?? d12 ?
1 求在直角坐标系下、参数方程形式下、极
坐标系下平面图形的面积,
2 旋转体的体积
直角坐标系下
参数方程情形下
极坐标系下
3 弧长的公式 ?
?
?
?
?
绕 轴旋转一周 x
绕 轴旋转一周 y
四 小结
一 平面图形的面积
二 空间立体的体积
三 平面曲线的弧长
四 小结
x
y
o
)( xfy ?
a b x
y
o )(1 xfy ?
)(2 xfy ?
a bx xx?? x?
曲边梯形的面积
?? ba dxxfA )(
穿针法或微元素法
曲边梯形的面积
? ?? ba dxxfxfA )]()([ 12
被积函数上 -下、右 -左
一、平面图形的面积
1 直角坐标系情形
例 1 计算由两条抛物线 xy ?2 和 2xy ? 所围
成的图形的面积,
2xy?
2yx?解 两曲线的交点,
)1,1()0,0(
面积元素 dxxxdA )( 2??
选 为积分变量 x ]1,0[?x
dxxxA )( 210 ?? ?
1
0
3
33
2
2
3
??
?
??
? ?? xx
.31?
??
?
?
?
2
2
xy
xy解方程组
注 被积函数为上 -下，上为 下为 xy ?2 2xy ?
例 2 计算由曲线 xy 22 ? 和直线 4?? xy 所
围成的图形的面积,
解 两曲线的交点
).4,8(),2,2( ??
?
?
?
??
?
4
22
xy
xy
选 为积分变量 y ]4,2[??y
.18244 2
2
?? ?????? ??? ? dyyyA
xy 22?
4??xy
注 被积函数为“右 -左”
右为直线，左为抛物线
如果曲边梯形的曲边为参数方程
??
?
?
?
)(
)(
ty
tx
?
?
曲边梯形的面积,)()(2
1?
?? tt dtttA ??
（其中 1t 和 2t 对应曲线起点与终点的参数值）
在 [ 1t,2t ] （或 [ 2t,1t ] ）上 )( tx ?? 具有连续
导数,)( ty ?? 连续,
例 3 求椭圆 12
2
2
2
?? byax 的面积,
解 椭圆的参数方程
??
?
?
?
tby
tax
s i n
co s
由对称性知总面积等于 4倍第一象限部分面积,
?? a yd xA 04 ??? 0
2
)cos(si n4 tatdb
dttab ? ?? 20 2s i n4,ab??
设由曲线 )(???r 及射线
?? ?, ?? ? 围成一曲边扇
形，求其面积．这里,)(??
在 ],[ ?? 上连续，且 0)( ???,
xo
?? ?
?d
?? ? ?
?? d?
面积元素 ??? ddA 2)]([
2
1?
曲边扇形的面积,)]([21 2 ????
? dA ??
)(???r
2,极坐标系情形
例 4 求阿基米德螺线 ?ar ? )0( ?a 上相
应于 ? 从 0 到 ?2 的弧与极轴所围成的图形的
面积,
?d?? dadA )(
2
1 22?
解
]2,0[ ?? ??
?? ? ??20 2221 daA
于是
322
0
2
3
4]
3[2
1 ?? ? aa ??
例 5 求心形线 )co s1( ??? ar 所围平面图
形的面积 )0( ?a,
?d解 ?? dadA 22 )c o s1(
2
1 ??
利用对称性知
.23 2a??
?? d2)c o s1( ? ? ??? 02212 aA
??? d)c o sc o s21( 2????? 02a
??
?
??
? ??? ??? 2s i n
4
1s i n2
2
32a ?
0
例 6 求双纽线 ?? 2c o s22 a? 所围平面图
形的面积,
解 由对称性知总面积 =4倍第
一象限部分面积
14 AA ?
??? daA 2co s214 40 2??,2a?
xy?
?? 2cos22 a?
1A
圆柱 圆锥 圆台
二 空间立体的体积
旋转体就是由一个平面图形绕这平面内
一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做
旋转轴,
1 旋转体的体积
旋转体可以看作是由连续曲线 )( xfy ?,直
线 ax ?, bx ? 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x
轴旋转一周而成的立体，现在我们考虑用定
积分来计算这种旋转体的体积。
dxxfdV 2)]([??
x dxx? x
y
o
旋转体的体积为 dxxfV b
a
2)]([? ??
)(xfy ?
取积分变量为 x
相应于 ],[ ba 上的任一小区
间 ],[ dxxx ?,窄边梯形绕
x 轴
旋转而成的薄片的体积近似的于以 )( xf 为底半
径,dx 为高的扁圆柱体的体积，即体积元素
变化范围 ],[ ba
y
例 7 连接坐标原点 O 及点 ),( rhP 的直线、直
线 hx ? 及 x 轴围成一个直角三角形．将它绕
x 轴旋转构成一个底半径为 r,高为 h 的圆
锥体，计算圆锥体的体积,
r
h
P
xo
解
xhry ?
取积分变量为 x, ],0[ h它的变化区间为圆锥体中相应于 ],0[ h 上任一小区间 ],[ dxxx ? 的薄片
直线方程为
),( rhp过原点 及点 o
的体积近似于底半径为 xh
r
、高为 dx 的扁圆柱体的体
积即体积元素
dxxhrdV
2
??
?
??
???
于是所求圆锥体的体积为
dxxhrV h
2
0 ??
??
?
??? ?
hx
h
r
0
3
2
2
3 ??
?
??
???
.3
2hr?
?
y
r
h
P
xo
用与上面类似地方 法可以推出：由曲线
)( yx ??,直线 cy ?, dy ? )( dc ? 与 y 轴所
围成的曲边梯形，绕 y 轴旋转一周而成的旋转
体的体积为
x
y
o
)( yx ??
c
d
dyy 2)]([?? ?? dcV
例 8 计算摆线 )s i n( ttax ??, )c o s1( tay ??
的一拱与 0?y 所围成的图形分别绕 x 轴,y 轴
旋转构成旋转体的体 积,
解 绕 x 轴旋转的旋转体体积
dxxyV ax )(220? ? ??
? ? ????? 20 22 )co s1()co s1( dttata
? ? ????? 20 323 )coscos3cos31( dtttta,5 32a??
a?2a?
)(xy
绕 y 轴旋转的旋转体体积
可看作平面图 O A B C 与 O B C
分别绕 y 轴旋转构成旋转体的体积之差,o
y
xa?2 A
BCa2 )(2 yxx ?
)(1 yxx ?
dtyxV ay )(220 2? ?? dtyxa )(220 1? ??
? ?? ???? 2 22 si n)si n( td tatta
? ? ???? 0 22 si n)si n( td tatta
? ? ??? 20 23 si n)si n( tdttta,6 33a??
用与上面类似地方法可以推出另一个计算旋转
体的体积公式,
由连续曲线 0)( ?? xfy,直线 ax ?,
bx ? 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一
周而成的立体，体积为
dxxfxV bay )(2 ?? ?
dxxx ?
x
f x )
) ( ) ( 2 2
?
? ? ?
dx
x f x x f dx x dV
( 2
) (
?
? ?
证明,如图，体积元素
dxxfxV bay )(2 ??? ?
y
)(xf
dxxfxV bay )(2 ?? ?
利用公式,
dxxfxV ay |)(|2 20? ???
? ? ?????? 20 )]si n([)co s1()si n(2 ttadtatta
? ? ???? 20 23 )cos1)(si n(2 dtttta,6 33a??
可知上例中
xo a b
2、平行截面面积为已知的立体的体积
x dxx?
从计算旋转体体积的过程可以看出：如果一个
立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一
定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积
也可用定积分来计算,
,)( dxxAdV ?
如图,)( xA 表
示过点 x 且垂直
于 x 轴的截面面
积,
)( xA 为 x 的已知连续函数，体积元素
.)(?? ba dxxAV立体体积
例 9 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中
心，并与底面交成角 ?,计算这平面截圆柱体
所得立体的体积,
R
R?
x
yo
解 ?
建立坐标系,底圆方程为
x
222 Ryx ?? 垂直于 x 轴的截面为直角三角形
截面面积,t a n)(21)( 22 ?xRxA ??
立体体积 dxxRV R
R ?ta n)(2
1 22 ?? ?
?,tan3
2 3 ?R?
取平面与圆柱体的交
线为 轴，底面上过
圆心、且垂直于 轴
的直线为 轴
x
y
x
例 10 求以半径为 R 的圆为底、平行且等于底圆半
径的线段为顶、高为 h 的正劈锥体的体积,
解
建立坐标系, 底圆方程为
,222 Ryx ??
x
y
o Rx
垂直于 x 轴的截面为等腰三角形
截面面积 22)( xRhyhxA ????
立体体积 dxxRhV R
R?? ??
22.21 2 hR??
正劈锥的顶平行。
轴与为原点，并使圆心
面，取底圆所在的平面为
xo
x o y
xo
y
0MA?
nMB?1M
2M 1?nM
设 A, B 是曲线弧 AB 上
的两个端点，在弧上插入
分点
BMM
MMMA
nn
i
?
?
?,,
,,,
1
10
?
?
并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目无
限增加且每个小弧段 ii MM 1? 都缩向一点时,此折线的长 ||
1
1?
?
?
n
i
ii MM 的极限存在，则称此极限为
曲线弧 AB 的弧长,
三 平面曲线的弧长
1、平面曲线弧长的概念
定理 光滑曲线弧是可求长的,
简介 光滑曲线
当曲线上每一点处都具有切线，且切线
随切点的移动而连续转动，这样的曲线称为
光滑曲线。
就是一条光滑曲线。如 2xy ?
-2 -1 1 2
1
2
3
4
-6 -4 -2 2 4 6
-1
-0.5
0.5
1
2xy ? xy s in?
设曲线弧为 )( xfy ?
)( bxa ??,其中 )( xf
在 ],[ ba 上有一阶连续导数
xo
y
a bx dxx?
?dy
小切线段的长
22 )()( dydx ? dxy 21 ???
就是弧长元素
dxyds 21 ???
弧长,1 2 dxys ba? ???
由第三章的弧微分公式知
dxyds 21 ???
2 直角坐标情形
例 1 1 计算曲线 2
3
3
2
xy ? 上相应于 x 从 a 到 b
的一段弧的长度,
解 x 2,1 y ? 因为
( 1 dx x ds 2 ) 1 2 ? ? 从而弧长元素,1 dxx??
所以弧长为
dxxs ba? ?? 1 ].)1()1[(32 2323 ab ????
0.5 1 1.5 2
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
设曲线弧为,
)(
)(
??
?
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ty
tx
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? )( ?? ?? t
其中 )(),( tt ?? 在 ],[ ?? 上具有连续导数,
22 )()( dydxds ?? 222 )) ] (()([ dttt ?? ????
dttt )()( 22 ?? ????
弧长,)()( 22 dttts ? ???? ?? ??
3 参数方程情形
解
)0()c o s1( ),s i n( ?
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?? a
tay
ttax例 11 计算曲线 的一拱的长度,
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2
s i n2
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22
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?????
tdt
t
a
dttytxds
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于是
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2
co s4
2
s i n2 20
2
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atadttas ???? ? ?
?
所以
a?2a?
)( x
曲线弧为 )( ??? ??)(?rr ?
其中 )( ?r 在 ],[ ?? 上具有连续导数,
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ry
rx
由 )( ??? ??
22 )()( dydxds ??得到,)()(
22 ??? drr ???
弧长,)()( 22 ????? drrs ? ???
4 极坐标情形
从
例 13 求阿基米德螺线 ? a r ? ) 0 ( ? a 上相应
于 ? 0 到 ? 2 的弧长,
解
????? drrs ? ??? )()( 22
? ?.)412l n (4122 22 ????????? a
? ?? 20 ?? daa 222 ? ? ?? 20a ?? d12 ?
1 求在直角坐标系下、参数方程形式下、极
坐标系下平面图形的面积,
2 旋转体的体积
直角坐标系下
参数方程情形下
极坐标系下
3 弧长的公式 ?
?
?
?
?
绕 轴旋转一周 x
绕 轴旋转一周 y
四 小结
