第二节 不定积分的计算
一 分项积分法
二 凑微分法（第一类换元积分法）
三 换元积分法
四 分部积分法
五 小结
一, 分项积分法
)(1 xf )(2 xf
1k 2k
定理 1 设函数 与 的原函数存
在,,为非零常数，则
?? ??? 2112211 )()]()([ kdxxfkdxxfkxfk dxxf )(2?
—— （ 1 ）
证明, '22
11 ])()([ dxxfkdxxfk ?? ?
'22'11 ])([])([ dxxfkdxxfk ?? ??
'22'11 ])([])([ dxxfkdxxfk ?? ??
)()( 211 xfkxfk ??
这表示, （ 1） 式右端是 的
原函数, 且含有一个任意常数, 因此 （ 1） 式右
端是 的不定积分,
)()( 211 xfkxfk ?
)()( 211 xfkxfk ?
例 1 求积分
解
dxxx )1 21 3( 22 ????
dxxx )1 21 3( 22 ????
dxxdxx? ? ???? 22 1 121 13
Cxx ??? a r c si n2a r c t a n3
例 2 求积分
dxxx x? ?? )1( 12 22
2
解 dxxx x? ?? )1( 12 22
2
dxxdxx ?? ??? 111 22
dxxx xx? ???? )1( )1( 22
22
Cxx ???? a r c t a n1
例 3 求 dxx
x?
? )1( 2
4
解 dxx
x?
? )1( 2
4
dxxdxx xx ?? ??? ??? 111 )1)(1( 22
22
Cxxx ???? a r c t a n31 3
例 4 求
解
xdx? 2t a n
dxx )1( s ec 2 ?? ?
xdx? 2t a n
?? ?? dxxdx2s ec
Cxx ??? t a n
例 5 求 dxxxx )2si n2( c o s2si n ??
解 dxxxx )
2si n2( c o s2si n ??
dxxx )2c o s1si n21( ??? ?
??? ??? xdxdxxdx c o s2121si n21
Cxxx ????? )si nc o s(21
例 6 求 dxxx? 22 c o ssi n
1
解 dxxx
xxdx
xx ??
??
22
22
22 c o ssi n
c o ssi n
c o ssi n
1
dxxdxx ?? ?? 22 si n 1c o s1
Cxx ??? c o tt a n
说明,以上几例的被积函数都需要进行恒等变形,
才能把所求的积分化为基本积分表中已有的形式,
再分项积分求出不定积分,
二、凑微分法（第一类换元积分法）
设 ),()( ufuF ?? 则,)()(? ?? CuFduuf
如果 )( xu ?? （可微）
dxxxfxdF )()]([)]([ ??? ???
? ???? CxFdxxxf )]([)()]([ ???
? ?? )(])([ xuduuf ?
由此可得
)(uF
（ 2）
? ? CxFxdxfdxxxf ???? ? )]([][)([)()]([ ' ?????
)(])([ xuCuF ????
)(])([ xuduuf ????
设 )( uf 具有原函数, 可导,
则有以下公式
定理 2 )( xu ??
说明,使用公式 （ 2） 的关键在于将
化为,
进而化为,
这种计算不定积分的方法称为凑微分法,
也称第一类换元法,
? dxxg )(
? dxxxf )()]([ '??
? )()]([ xdxf ??
dxxe x? 22例 7 求
解 被积函数中的一个因子为, ；
剩下的因子 恰好是中间变量 的导数,
于是有
ux ee ?2
2xu ?x2
2xu ?
2222 dxedxxe xx ?? ?
2222 dxedxxe xx ?? ??
Ce x ?? 2
例 8 求 dxx? ? 23 1
解
Cu ?? ln21
dxx? ? 23 1
,)23(23 12123 1 'xxx ??????
dxxx? ???? ')23(23 121
xu 23 ??
.)23l n (21 Cx ???
duu? 121
例 9 求,2s in? x d x
解 （一） ? xdx2s in ?? )2(2si n21 xxd;2co s21 Cx ???
解 （二） ? xdx2s in ?? xdxx co ss i n2
?? )( s i ns i n2 xxd? ? ;s i n 2 Cx ??
解 （三） ? xdx2s in ?? xdxx co ss i n2
??? )( co sco s2 xxd? ?,c o s 2 Cx ???
一般地，对于积分
总可以取, 使之化为
? ?? )0()( adxbaxf
baxu ??
? ? ???? )()()( baxdbaxfdxbaxf
baxuduufa ???? ])([
1
例 10 求
解
dxxx? ? 41
'2
44 )(1
1
2
1
1 xxx
x ?
????
duudxxxdxxx ??? ????? 2'2224 1 121)()(1 1211
CxCu ???? 2a r c t a n21a r c t a n21
一般地，对于积分
总可以取, 使之化为
? ?? )0()( 2 axdxbaxf
baxu ?? 2
? ? ???? baxuduufaxdxbaxf 2])([2 1)( 2
例 11 求,)ln51(
1 dx
xx? ?
解 dxxx? ? )ln51(
1 )( l n
ln51
1 xd
x? ??
)ln51(ln51 151 xdx ??? ?
? duu151 Cu ?? ln51,)ln51l n (51 Cx ???xu ln51 ??
熟练以后就不需要进行 转化了 )( xu ??
例 12 求
解
类似地,
? xdxta n
dxx xdxxxx d x ??? ???? c o ssi nc o ssi nt a n
Cxx xd ????? ? c o slnc o sc o s
Cxdx ???? s i nlnco t
例 13 求,
1
22 dxxa? ?
解 dxxa? ? 22 1
dx
a
xa ?
?
? 2
2
2
1
11
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
? ?
a
x
d
a
xa
2
1
11
.a r c t a n1 Caxa ??
例 14 求
解
)0(22 ??? axa dx
2
22
)(1
1
a
x
dx
axa
dx
?
??
? ??
C
a
x
a
x
a
x
d
??
?
? ? a rcs i n
)(1
)(
2
例 15 求
解
)0(22 ??? aax dx
dxaxaxaax dx )11(2 122 ?????? ??
dxaxadxaxa ?? ???? 12 112 1
Caxaaxa ???? ln2 1ln2 1?
Cax axa ???ln21?
?? ?????? ax axdaax axda )(2 1)(2 1
例 16 求,1 1 dxe x? ?
解法一 dxe x? ?1 1
dx
e
e
x
x
? ?????? ??? 11 dxeedx x
x
?? ??? 1
)1(1 1 xx ededx ???? ??
.)1l n( Cex x ????
dxe ee x
xx
? ? ??? 11
解法二 dxe x? ?1
1 dx
e
edx
ee x
x
xx ?? ?
?
? ???? 1)1(
1
x
xx
x
deexdee ???
?
?? ??????? 1 1)(1
)1(1 1 xx ede ?? ???? ?
.)1l n( Ce x ???? ?
例 17 求,)
11( 1
2 dxex
xx? ??
解,
111
2xxx ??
?
?
?
??
?
? ??
dxex xx? ???
1
2 )
11(
)1(
1
xxde
xx ?? ? ?,1 Ce xx ?? ?
例 18 求,cs c? xdx
解 （一） ?? dxxsi n1? xdxcs c ?
? dx
xx
2
co s
2
s in2
1
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
2
co s
2
t a n
1
2
x
d
xx? ??
?
?
?
??
2
t a n
2
t a n
1 x
d
x
Cx ?? 2t a nln,c o tc s cln Cxx ???
（使用了三角函数恒等变形）
? xdxcs c
类似地可推出,t a ns eclns ec? ??? Cxxxdx
解（二） ?? dxxsi n1 ?? dx
x
x
2s in
s in
? ??? )( c o sc o s1 1 2 xdxxu c o s?
? ??? duu 21 1 Cuu ???? 11ln21
.c o s1 c o s1ln21 Cxx ???? （应用例 15的结论）
例 19 求 xdxx 35 s ect a n?
解 xdxx 35 s ect a n?
x d xxxx t a ns ecs ect a n 24??
? ? ???? )()()( baxdbaxfdxbaxf
xdxxx s ec)s ecs ec2( s ec 246 ??? ?
x7s ec71? 31sec52 5 ?? xx3sec C?
例 20 求,co ss i n 52? ? xdxx
说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇
次项去凑微分,
解 ? ? x d xx 52 co ss i n
? ??? )( s i n)s i n1(s i n 222 xdxx
? ??? )( s i n)s i ns i n2( s i n 642 xdxxx
.si n71si n52si n31 753 Cxxx ????
? ?? )( s i nco ss i n 42 xxdx
例 12 求,2co s3co s? xdxx
解 )],c o s ()[ c o s (21c o sc o s BABABA ????
),5c o s( c o s212c o s3c o s xxxx ??
?? ?? dxxxxdxx )5c o s( c o s212c o s3c o s
.5si n101si n21 Cxx ???
三, 换元积分法
? dxxf )(
凑微分法是通过中间变量 将积分
化成,下面要介绍
的换元积分法是通过变量代换 将积分
化为积分
)( xu ??
? dxxxf )()]([ '?? ? duuf )(
)(tx ??
? dtttf )()]([ '??
证 设 为 的原函数,)(t? )()]([ ttf ?? ?
令 )]([)( xxF ???
则 dxdtdtdxF ???? )( )()]([ ttf ?? ??,)(1t???
设
,其中 是 的反函数
是单调的、可导的函数,
? ?
)(
)()]([)(
xt
dtttfdxxf
?
??
???
??则有换元公式
并且, 又设 具有原函数,
定理 2 )(tx ??
0)(' ?t? )()]([ ' ttf ??
)(tx ??)(t?
第二类积分换元公式
? ??? CxFdxxf )()(,)]([ Cx ??? ?
? ?
)(
)()]([)(
xt
dtttfdxxf
?
??
???
??
,
)]([ tf ?? ).( xf?
说明 为 的原函数 )(xf)(xF
t
22 xa ?
xa
1 三角代换
例 22 求 ).0(22 ??? adxxa
解 22,si n ?? ???? ttax td tadx c o s??
tataaxa c o ssi n 22222 ????
?? ??? t d tatadxxa c o sc o s22
dttat d ta ?? ??? 2 2c o s1c o s 222
Cttata ??? c o ssi n22
22
Cxaxaxa ??? 22
2
2
1a r c si n
2
a
xt ar c s in?
例 23 求 ).0(1 22 ??? adxax
令
t
a
x22 ax ?
解 tax t a n? td tadx 2s e c??
??? dxax 221 td tata 2secsec1 ??
?? tdts ec Ctt ??? )ta nl n (se c
.ln
22
C
a
ax
a
x ?
???
?
???
? ???
?????? ?? 2,2 ??t
1
22ln Caxx ????
aCC ln1 ??其中
例 14 求 ).0(
1
22 ??? adxax
令
t
a
x
22 ax ?
解 tax s ec? ??????? 2,0
?t td ttadx t a nse c?
??? dxax 221 dtta tta? ?t a nt a nse c
?? tdts ec Ctt ??? )ta nl n (se c
.ln
22
C
a
ax
a
x ?
??
?
?
??
?
? ?
??
1
22ln Caxx ????
aCC ln1 ??其中
说明 以上几例所使用的均为 三角代换,
三角代换的 目的 是化掉根式,
一般规律如下：当被积函数中含有
22)1( xa ? 可令 ;s in tax ?
22)2( xa ?可令 ;t a n tax ?
22)3( ax ?可令,s ec tax ?
)(xu )(xv
四, 分部积分法
定理 4 设, 具有连续导数, 则
（ 4）
或 （ 5）
— 分部积分公式
vd xuuvdxuv ?? ?? ''
?? ?? vd uuvu d v
证明,由乘积的求导公式
''')( uvvuuv ??
?'uv得
故
或写成
vuuv '')( ?
vd xuuvdxuv ?? ?? ''
?? ?? vd uuvu d v
例 25 求积分,co s? x d xx
如果令,c o s xu ? dvdxxdx ?? 221
? x d xx co s ??? x d xxxx si n2c o s2
22
显然,选择不当，积分更难进行, vu ?,
解 令,xu ?
dvxdx d x ?? si nc o s
? x d xx co s ?? xxd s i n ??? x d xxx s i ns i n
.c o ssi n Cxxx ???
,则, dxdu ? xv si n?
） （
） （
容易积出, 要比
要容易求得；
2
1
?vdu?udv
v
一般要考虑下面两点,和 选取 u dv
例 26 求积分,2? dxex x
? dxex x2
解,2xu ?,dvdedxe xx ??
??? dxxeex xx 22
.)(22 Cexeex xxx ????
（再次使用分部积分法）,xu ? dvdxe x ?
总结 若被积函数是幂函数和正 (余 )弦函数或幂
函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为,使
其降幂一次 (假定幂指数是正整数 )
u
xu ln? )41( 43 xddxxdv ??
,
例 27 求
解 设,,则
dxxx? ln3
dxxdu 1? 441 xv ?
dxxx? ln3 ??? xdxxx ln41ln41 34
Cxxx ??? 44 161ln41
例 28 求
解 设,,
则,
dxx? a rct a n
xu a r c t a n? dxdv ?
dxxdu 21 1?? xv ?
dxx? a rct a n dxxxxx ? ??? 21a r c t a n
? ???? 2
2
1
)1(
2
1a r c t a n
x
xdxx
Cxxx ???? )1l n (21a r c t a n 2
当分部积分公式比较熟练之后, 就不必再把 和
写出来了, 只要把被积表达式凑成 的形
式, 便可使用分部积分法,
u dv
)()( xdx ??
例 29 求 dxxx? a rcco s2
解 dxxx? a rcco s2 3a r c c o s31 dxx??
dxxxxx ? ??? 2
3
3
13
1a rcc o s
3
1
)1(1 1161a rc co s31 22
2
3 xd
x
xxx ?
?
???? ?
)1(161a r c c o s31 223 xdxxx ???? ?? ??? 2
2
1
)1(
6
1
x
xd
Cxxxx ?????? 22
3
23 1
3
1)1(
9
1a r c c o s
3
1
总结 如果被积函数是幂函数与对数函数的乘积或幂
函数与反三角函数的乘积, 可设 为对数函数或反三
角函数,
u
u
例 30 求
解 （一）
dxxe x? co s2
dxxe x? co s2
? ???? dxxexexde xxx 222 s i n2s i ns i n
??? xdexe xx co s2s i n 22
4c o s2s i n 22 ??? xexe xx dxxe x? co s2
? dxxe x? co s2 Cxxe x ??? )c o s2( si n51 2
dxxe x? co s2（二） xdex 2c o s21 ??
??? xdxexe xx si n21c o s21 22
??? xx xdexe 22 si n41c o s21
???? xdxexexe xxx c o s41si n41c o s21 222
? dxxe x? co s2 Cxxe x ??? )c o s2( si n51 2
总结 若被积函数是指数函数与反三角函数的乘积,
则 可任选, 但应注意接连几次应用分部积分公式
时所选 的应为同类型函数,
u
u
u
例 31 求积分 ? xdx3s ec
解 ? xdx3s ec ?? xxd t a ns ec
??? x d xxxx 2t a ns ect a ns ec
? ??? dxxxxx )1( s ecs ect a ns ec 2
?? ??? x d xx d xxx s ecs ect a ns ec 3
xxx d xxx t a ns eclns ect a ns ec 3 ???? ?
? xdx3s ec Cxxxx ???? t a nse clnt a n( se c21;co slnt a n)14( ? ??? Cxx d x;s i nlnco t)15( ? ?? Cxx d x;)t a nl n ( s ecs ec)16( ? ??? Cxxxdx;)co tl n ( csccsc)17( ? ??? Cxxxdx;a r c t a n11)18( 22 Caxadxxa ????
基
本
积
分
表;a r c si n1)20( 22 Caxdxxa ????
.)l n(1)21( 2222 Caxxdxax ??????;ln2 11)19( 22 Cax axadxax ??????
例 32 求积分 ? ?? dxxx 221 1
解 ?
?? dxxx 221
1
? ?? ?? 2)1(2 )1( xxd
公式 20 Cx ??
2
1a rcsi n
例 33 求积分 ? ? 94 2xdx
解 ? ? 94 2xdx
? ?? 22 3)2( )2(21 x xd
公式 21 Cxx ??? )942l n (
2
1 2
例 34 求积分 ? ?? 12 24 xx dx
解 ? ?? 12 24 xx
dx?
??
?
2)1( 22x
dx
? ?? ?? 222
2
)2()1(
)1(
2
1
x
xd
公式 21 Cxx ????? 2222 )2()1(1ln
2
1
Cxxx ?????? 121ln21 242
五, 小结
分项积分法
凑微分法
换元积分法
分部积分法
基本积分表 (2)
一 分项积分法
二 凑微分法（第一类换元积分法）
三 换元积分法
四 分部积分法
五 小结
一, 分项积分法
)(1 xf )(2 xf
1k 2k
定理 1 设函数 与 的原函数存
在,,为非零常数，则
?? ??? 2112211 )()]()([ kdxxfkdxxfkxfk dxxf )(2?
—— （ 1 ）
证明, '22
11 ])()([ dxxfkdxxfk ?? ?
'22'11 ])([])([ dxxfkdxxfk ?? ??
'22'11 ])([])([ dxxfkdxxfk ?? ??
)()( 211 xfkxfk ??
这表示, （ 1） 式右端是 的
原函数, 且含有一个任意常数, 因此 （ 1） 式右
端是 的不定积分,
)()( 211 xfkxfk ?
)()( 211 xfkxfk ?
例 1 求积分
解
dxxx )1 21 3( 22 ????
dxxx )1 21 3( 22 ????
dxxdxx? ? ???? 22 1 121 13
Cxx ??? a r c si n2a r c t a n3
例 2 求积分
dxxx x? ?? )1( 12 22
2
解 dxxx x? ?? )1( 12 22
2
dxxdxx ?? ??? 111 22
dxxx xx? ???? )1( )1( 22
22
Cxx ???? a r c t a n1
例 3 求 dxx
x?
? )1( 2
4
解 dxx
x?
? )1( 2
4
dxxdxx xx ?? ??? ??? 111 )1)(1( 22
22
Cxxx ???? a r c t a n31 3
例 4 求
解
xdx? 2t a n
dxx )1( s ec 2 ?? ?
xdx? 2t a n
?? ?? dxxdx2s ec
Cxx ??? t a n
例 5 求 dxxxx )2si n2( c o s2si n ??
解 dxxxx )
2si n2( c o s2si n ??
dxxx )2c o s1si n21( ??? ?
??? ??? xdxdxxdx c o s2121si n21
Cxxx ????? )si nc o s(21
例 6 求 dxxx? 22 c o ssi n
1
解 dxxx
xxdx
xx ??
??
22
22
22 c o ssi n
c o ssi n
c o ssi n
1
dxxdxx ?? ?? 22 si n 1c o s1
Cxx ??? c o tt a n
说明,以上几例的被积函数都需要进行恒等变形,
才能把所求的积分化为基本积分表中已有的形式,
再分项积分求出不定积分,
二、凑微分法（第一类换元积分法）
设 ),()( ufuF ?? 则,)()(? ?? CuFduuf
如果 )( xu ?? （可微）
dxxxfxdF )()]([)]([ ??? ???
? ???? CxFdxxxf )]([)()]([ ???
? ?? )(])([ xuduuf ?
由此可得
)(uF
（ 2）
? ? CxFxdxfdxxxf ???? ? )]([][)([)()]([ ' ?????
)(])([ xuCuF ????
)(])([ xuduuf ????
设 )( uf 具有原函数, 可导,
则有以下公式
定理 2 )( xu ??
说明,使用公式 （ 2） 的关键在于将
化为,
进而化为,
这种计算不定积分的方法称为凑微分法,
也称第一类换元法,
? dxxg )(
? dxxxf )()]([ '??
? )()]([ xdxf ??
dxxe x? 22例 7 求
解 被积函数中的一个因子为, ；
剩下的因子 恰好是中间变量 的导数,
于是有
ux ee ?2
2xu ?x2
2xu ?
2222 dxedxxe xx ?? ?
2222 dxedxxe xx ?? ??
Ce x ?? 2
例 8 求 dxx? ? 23 1
解
Cu ?? ln21
dxx? ? 23 1
,)23(23 12123 1 'xxx ??????
dxxx? ???? ')23(23 121
xu 23 ??
.)23l n (21 Cx ???
duu? 121
例 9 求,2s in? x d x
解 （一） ? xdx2s in ?? )2(2si n21 xxd;2co s21 Cx ???
解 （二） ? xdx2s in ?? xdxx co ss i n2
?? )( s i ns i n2 xxd? ? ;s i n 2 Cx ??
解 （三） ? xdx2s in ?? xdxx co ss i n2
??? )( co sco s2 xxd? ?,c o s 2 Cx ???
一般地，对于积分
总可以取, 使之化为
? ?? )0()( adxbaxf
baxu ??
? ? ???? )()()( baxdbaxfdxbaxf
baxuduufa ???? ])([
1
例 10 求
解
dxxx? ? 41
'2
44 )(1
1
2
1
1 xxx
x ?
????
duudxxxdxxx ??? ????? 2'2224 1 121)()(1 1211
CxCu ???? 2a r c t a n21a r c t a n21
一般地，对于积分
总可以取, 使之化为
? ?? )0()( 2 axdxbaxf
baxu ?? 2
? ? ???? baxuduufaxdxbaxf 2])([2 1)( 2
例 11 求,)ln51(
1 dx
xx? ?
解 dxxx? ? )ln51(
1 )( l n
ln51
1 xd
x? ??
)ln51(ln51 151 xdx ??? ?
? duu151 Cu ?? ln51,)ln51l n (51 Cx ???xu ln51 ??
熟练以后就不需要进行 转化了 )( xu ??
例 12 求
解
类似地,
? xdxta n
dxx xdxxxx d x ??? ???? c o ssi nc o ssi nt a n
Cxx xd ????? ? c o slnc o sc o s
Cxdx ???? s i nlnco t
例 13 求,
1
22 dxxa? ?
解 dxxa? ? 22 1
dx
a
xa ?
?
? 2
2
2
1
11
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
? ?
a
x
d
a
xa
2
1
11
.a r c t a n1 Caxa ??
例 14 求
解
)0(22 ??? axa dx
2
22
)(1
1
a
x
dx
axa
dx
?
??
? ??
C
a
x
a
x
a
x
d
??
?
? ? a rcs i n
)(1
)(
2
例 15 求
解
)0(22 ??? aax dx
dxaxaxaax dx )11(2 122 ?????? ??
dxaxadxaxa ?? ???? 12 112 1
Caxaaxa ???? ln2 1ln2 1?
Cax axa ???ln21?
?? ?????? ax axdaax axda )(2 1)(2 1
例 16 求,1 1 dxe x? ?
解法一 dxe x? ?1 1
dx
e
e
x
x
? ?????? ??? 11 dxeedx x
x
?? ??? 1
)1(1 1 xx ededx ???? ??
.)1l n( Cex x ????
dxe ee x
xx
? ? ??? 11
解法二 dxe x? ?1
1 dx
e
edx
ee x
x
xx ?? ?
?
? ???? 1)1(
1
x
xx
x
deexdee ???
?
?? ??????? 1 1)(1
)1(1 1 xx ede ?? ???? ?
.)1l n( Ce x ???? ?
例 17 求,)
11( 1
2 dxex
xx? ??
解,
111
2xxx ??
?
?
?
??
?
? ??
dxex xx? ???
1
2 )
11(
)1(
1
xxde
xx ?? ? ?,1 Ce xx ?? ?
例 18 求,cs c? xdx
解 （一） ?? dxxsi n1? xdxcs c ?
? dx
xx
2
co s
2
s in2
1
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
2
co s
2
t a n
1
2
x
d
xx? ??
?
?
?
??
2
t a n
2
t a n
1 x
d
x
Cx ?? 2t a nln,c o tc s cln Cxx ???
（使用了三角函数恒等变形）
? xdxcs c
类似地可推出,t a ns eclns ec? ??? Cxxxdx
解（二） ?? dxxsi n1 ?? dx
x
x
2s in
s in
? ??? )( c o sc o s1 1 2 xdxxu c o s?
? ??? duu 21 1 Cuu ???? 11ln21
.c o s1 c o s1ln21 Cxx ???? （应用例 15的结论）
例 19 求 xdxx 35 s ect a n?
解 xdxx 35 s ect a n?
x d xxxx t a ns ecs ect a n 24??
? ? ???? )()()( baxdbaxfdxbaxf
xdxxx s ec)s ecs ec2( s ec 246 ??? ?
x7s ec71? 31sec52 5 ?? xx3sec C?
例 20 求,co ss i n 52? ? xdxx
说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇
次项去凑微分,
解 ? ? x d xx 52 co ss i n
? ??? )( s i n)s i n1(s i n 222 xdxx
? ??? )( s i n)s i ns i n2( s i n 642 xdxxx
.si n71si n52si n31 753 Cxxx ????
? ?? )( s i nco ss i n 42 xxdx
例 12 求,2co s3co s? xdxx
解 )],c o s ()[ c o s (21c o sc o s BABABA ????
),5c o s( c o s212c o s3c o s xxxx ??
?? ?? dxxxxdxx )5c o s( c o s212c o s3c o s
.5si n101si n21 Cxx ???
三, 换元积分法
? dxxf )(
凑微分法是通过中间变量 将积分
化成,下面要介绍
的换元积分法是通过变量代换 将积分
化为积分
)( xu ??
? dxxxf )()]([ '?? ? duuf )(
)(tx ??
? dtttf )()]([ '??
证 设 为 的原函数,)(t? )()]([ ttf ?? ?
令 )]([)( xxF ???
则 dxdtdtdxF ???? )( )()]([ ttf ?? ??,)(1t???
设
,其中 是 的反函数
是单调的、可导的函数,
? ?
)(
)()]([)(
xt
dtttfdxxf
?
??
???
??则有换元公式
并且, 又设 具有原函数,
定理 2 )(tx ??
0)(' ?t? )()]([ ' ttf ??
)(tx ??)(t?
第二类积分换元公式
? ??? CxFdxxf )()(,)]([ Cx ??? ?
? ?
)(
)()]([)(
xt
dtttfdxxf
?
??
???
??
,
)]([ tf ?? ).( xf?
说明 为 的原函数 )(xf)(xF
t
22 xa ?
xa
1 三角代换
例 22 求 ).0(22 ??? adxxa
解 22,si n ?? ???? ttax td tadx c o s??
tataaxa c o ssi n 22222 ????
?? ??? t d tatadxxa c o sc o s22
dttat d ta ?? ??? 2 2c o s1c o s 222
Cttata ??? c o ssi n22
22
Cxaxaxa ??? 22
2
2
1a r c si n
2
a
xt ar c s in?
例 23 求 ).0(1 22 ??? adxax
令
t
a
x22 ax ?
解 tax t a n? td tadx 2s e c??
??? dxax 221 td tata 2secsec1 ??
?? tdts ec Ctt ??? )ta nl n (se c
.ln
22
C
a
ax
a
x ?
???
?
???
? ???
?????? ?? 2,2 ??t
1
22ln Caxx ????
aCC ln1 ??其中
例 14 求 ).0(
1
22 ??? adxax
令
t
a
x
22 ax ?
解 tax s ec? ??????? 2,0
?t td ttadx t a nse c?
??? dxax 221 dtta tta? ?t a nt a nse c
?? tdts ec Ctt ??? )ta nl n (se c
.ln
22
C
a
ax
a
x ?
??
?
?
??
?
? ?
??
1
22ln Caxx ????
aCC ln1 ??其中
说明 以上几例所使用的均为 三角代换,
三角代换的 目的 是化掉根式,
一般规律如下：当被积函数中含有
22)1( xa ? 可令 ;s in tax ?
22)2( xa ?可令 ;t a n tax ?
22)3( ax ?可令,s ec tax ?
)(xu )(xv
四, 分部积分法
定理 4 设, 具有连续导数, 则
（ 4）
或 （ 5）
— 分部积分公式
vd xuuvdxuv ?? ?? ''
?? ?? vd uuvu d v
证明,由乘积的求导公式
''')( uvvuuv ??
?'uv得
故
或写成
vuuv '')( ?
vd xuuvdxuv ?? ?? ''
?? ?? vd uuvu d v
例 25 求积分,co s? x d xx
如果令,c o s xu ? dvdxxdx ?? 221
? x d xx co s ??? x d xxxx si n2c o s2
22
显然,选择不当，积分更难进行, vu ?,
解 令,xu ?
dvxdx d x ?? si nc o s
? x d xx co s ?? xxd s i n ??? x d xxx s i ns i n
.c o ssi n Cxxx ???
,则, dxdu ? xv si n?
） （
） （
容易积出, 要比
要容易求得；
2
1
?vdu?udv
v
一般要考虑下面两点,和 选取 u dv
例 26 求积分,2? dxex x
? dxex x2
解,2xu ?,dvdedxe xx ??
??? dxxeex xx 22
.)(22 Cexeex xxx ????
（再次使用分部积分法）,xu ? dvdxe x ?
总结 若被积函数是幂函数和正 (余 )弦函数或幂
函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为,使
其降幂一次 (假定幂指数是正整数 )
u
xu ln? )41( 43 xddxxdv ??
,
例 27 求
解 设,,则
dxxx? ln3
dxxdu 1? 441 xv ?
dxxx? ln3 ??? xdxxx ln41ln41 34
Cxxx ??? 44 161ln41
例 28 求
解 设,,
则,
dxx? a rct a n
xu a r c t a n? dxdv ?
dxxdu 21 1?? xv ?
dxx? a rct a n dxxxxx ? ??? 21a r c t a n
? ???? 2
2
1
)1(
2
1a r c t a n
x
xdxx
Cxxx ???? )1l n (21a r c t a n 2
当分部积分公式比较熟练之后, 就不必再把 和
写出来了, 只要把被积表达式凑成 的形
式, 便可使用分部积分法,
u dv
)()( xdx ??
例 29 求 dxxx? a rcco s2
解 dxxx? a rcco s2 3a r c c o s31 dxx??
dxxxxx ? ??? 2
3
3
13
1a rcc o s
3
1
)1(1 1161a rc co s31 22
2
3 xd
x
xxx ?
?
???? ?
)1(161a r c c o s31 223 xdxxx ???? ?? ??? 2
2
1
)1(
6
1
x
xd
Cxxxx ?????? 22
3
23 1
3
1)1(
9
1a r c c o s
3
1
总结 如果被积函数是幂函数与对数函数的乘积或幂
函数与反三角函数的乘积, 可设 为对数函数或反三
角函数,
u
u
例 30 求
解 （一）
dxxe x? co s2
dxxe x? co s2
? ???? dxxexexde xxx 222 s i n2s i ns i n
??? xdexe xx co s2s i n 22
4c o s2s i n 22 ??? xexe xx dxxe x? co s2
? dxxe x? co s2 Cxxe x ??? )c o s2( si n51 2
dxxe x? co s2（二） xdex 2c o s21 ??
??? xdxexe xx si n21c o s21 22
??? xx xdexe 22 si n41c o s21
???? xdxexexe xxx c o s41si n41c o s21 222
? dxxe x? co s2 Cxxe x ??? )c o s2( si n51 2
总结 若被积函数是指数函数与反三角函数的乘积,
则 可任选, 但应注意接连几次应用分部积分公式
时所选 的应为同类型函数,
u
u
u
例 31 求积分 ? xdx3s ec
解 ? xdx3s ec ?? xxd t a ns ec
??? x d xxxx 2t a ns ect a ns ec
? ??? dxxxxx )1( s ecs ect a ns ec 2
?? ??? x d xx d xxx s ecs ect a ns ec 3
xxx d xxx t a ns eclns ect a ns ec 3 ???? ?
? xdx3s ec Cxxxx ???? t a nse clnt a n( se c21;co slnt a n)14( ? ??? Cxx d x;s i nlnco t)15( ? ?? Cxx d x;)t a nl n ( s ecs ec)16( ? ??? Cxxxdx;)co tl n ( csccsc)17( ? ??? Cxxxdx;a r c t a n11)18( 22 Caxadxxa ????
基
本
积
分
表;a r c si n1)20( 22 Caxdxxa ????
.)l n(1)21( 2222 Caxxdxax ??????;ln2 11)19( 22 Cax axadxax ??????
例 32 求积分 ? ?? dxxx 221 1
解 ?
?? dxxx 221
1
? ?? ?? 2)1(2 )1( xxd
公式 20 Cx ??
2
1a rcsi n
例 33 求积分 ? ? 94 2xdx
解 ? ? 94 2xdx
? ?? 22 3)2( )2(21 x xd
公式 21 Cxx ??? )942l n (
2
1 2
例 34 求积分 ? ?? 12 24 xx dx
解 ? ?? 12 24 xx
dx?
??
?
2)1( 22x
dx
? ?? ?? 222
2
)2()1(
)1(
2
1
x
xd
公式 21 Cxx ????? 2222 )2()1(1ln
2
1
Cxxx ?????? 121ln21 242
五, 小结
分项积分法
凑微分法
换元积分法
分部积分法
基本积分表 (2)
