二 函数的极值
一 函数的单调性
第三节 函数的单调性与极值
x
y
o
)(xfy ?
x
y
o
)(xfy ?
a b
A
B
0)( ?? xf
a b
B
A
若 在区间（ a,b)上单调上升 )( xfy ?
若 在区间（ a,b)上单调下降 )( xfy ? 0)( ?? xf
一、函数的单调性
0?? )x(f 0?? )x(f
定理 1
.],[
)(0)(),()2(
],[
)(0)(),(1
.),(],[)(
上单调减少在
，那末函数内如果在
上单调增加；在
，那末函数内如果在）（
内可导上连续，在在设函数
ba
xfyxfba
ba
xfyxfba
babaxfy
???
???
?
1 单调性的判别法
证 ),,(,21 baxx ??,21 xx ?且 应用拉氏定理,得
)())(()()( 211212 xxxxfxfxf ?????? ??
,012 ?? xx?
,0)(),( ?? xfba 内，若在,0)( ?? ?f则
).()( 12 xfxf ??,],[)( 上单调增加在 baxfy ??
,0)(),( ?? xfba 内，若在,0)( ?? ?f则
).()( 12 xfxf ??,],[)( 上单调减少在 baxfy ??
函数在 内单调增加, ? ???,0?
解 函数的定义域为, ? ???,0
，01 ??? xy?
例 1 判断函数 的单调性, xlny ?
xy ln?
y
xo 1
例 2, 的单调性判断函数 xey
x ??
函数单调减少；?
,),0( 内在 ??,0??y,函数单调增加?
注 1:要用导数在区间上的符号来判定，而不能用
一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,
解,1??? xey?
,)0,( 内在 ??,0??y
).,(,????D?又
-3 -2 -1 1 2 3
2
3
4
5
注 2：函数在定义区间上不是单调的，但在各
个部分区间上单调,
1、单调区间定义,若函数在其定义域的某个区
间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间,
导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间
的分界点,
2、单调区间的划分
2 单调区间的求法
.
,)x(f
)x(f)x(f
数的符号
然后判断区间内导的定义区间来划分函数
不存在的点的根及用方程 ??? 0
例 3
.312
92)( 23
的单调区间
确定函数
??
??
x
xxxf
解 ).,(,????D?
12186)( 2 ???? xxxf )2)(1(6 ?? xx
得，解方程 0)( ?? xf,2,1 21 ?? xx
时，当 1???? x,0)( ??f 上单调增加；在 ]1,( ???
时，当 21 ?? x,0)( ?? xf 上单调减少；在 ]2,1[?
时，当 ???? x2,0)( ?? xf 上单调增加；在 ),2[ ???
单调区间为,]1,(??,]2,1[ ).,2[ ??
例 4,)( 3 2 的单调区间确定函数 xxf ?
解 ).,( ????函数的定义域为?
)0(,3 2)( 3 ??? xxxf
.,0 导数不存在时当 ?x
,0)( ?? xf 上单调增加；在 ),0[ ??? 时，当 ???? x0
时，当 0???? x,0)( ?? xf 上单调减少；在 ]0,( ???
单调区间为,]0,(?? ).,0[ ??
3 2xy ?
3 单调性的应用
例 5
.132,1 成立试证时当 xxx ???
)1(111)( 22 ????? xxxxxxf则
,0)(),1(,),1[)( ?????? xfxf 可导，且上连续在
上单调增加；故在 ),1[ ??,0)1( ?f?
证
xxxf
132)( ???设
时，当 1?? x 0)( ?xf
.132,1 成立时当 xxx ???
31292)( 23 ???? xxxxf
上单调增加；在 ]1,( ??
上单调减少；在 ]2,1[
上单调增加；在 ),2[ ??
二、函数的极值
是函数的分界点21 21 ?? x,x;)(f)x(f,x
x
均成立邻域内的任何点
去心的一个去心邻域，对此因此，存在着点
1
1
?
?;)(f)x(f,x
x
均成立的任何点
去心邻域内的一个去心邻域，对此存在着点
2
2
?
?
o x
y
a b
)(xfy ?
1x 2x 3x 4x 5x 6x
o x
y
o x
y
0x 0x
一般地
1,函数极值的定义
.)( )(
,)()(,,
,;)( )(
,)()(,,
,
,),(
,),()(
0
00
0
0
00
0
0
的一个极小值是函数
就称均成立外除了点任何点
对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点
的一个极大值是函数
就称均成立外除了点任何点
对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点
内的一个点
是内有定义在区间设函数
xfxf
xfxfxx
x
xfxf
xfxfxx
x
ba
xbaxf
?
?
定义
函数的极大值与极小值统称为极值,
使函数取得极值的点称为极值点,
31292)( 23 ???? xxxxf函数
的极值点。是函数点
和极小值有极大值
)(2,1
,1)2(2)1(
xfxx
ff
??
??
注 1：极值是函数的局部性概念，与最值不同；
注 2：极大值可能小于极小值,极小值可能大于
极大值,
设 )( xf 在点 0x 处具有导数,
且在 0x 处取得极值,那末必定 0)( 0' ?xf,
定理 1(必要条件 )
例如,,3xy ?,00 ?? ?xy,0 不是极值点但 ?x
由费马引理易得函数取得极值的必要条件,
.
,)(
是极值点但函数的驻点却不一定
点的极值点必定是它的驻可导函数 xf注 2,
2,函数极值的求法
注 1,
的驻点.f ( x )做函数
的实根) 叫0( x )f程使导数为零的点( 即方 ??
(1) 如果 ),,(
00
xxx ??? 有 ;0)(
'
?xf 而 ),(
00
??? xxx,
有 0)(
'
?xf,则 )( xf 在
0
x 处取得极大值,
(2) 如果 ),,(
00
xxx ??? 有 ;0)(
'
?xf 而 ),(
00
??? xxx
有 0)(
'
?xf,则 )( xf 在
0
x 处取得极小值,
(3) 如果当 ),(
00
xxx ??? 及 ),(
00
??? xxx 时,)(
'
xf
符号相同,则 )( xf 在
0
x 处无极值,
定理 2 (第一充分条件 )
x
y
o x
y
o0x 0x
0)( ?? xf 0)( ?? xf 0)( ?? xf
0)( ?? xf
x
y
o x
y
o0x 0x
0)( ?? xf
0)( ?? xf
0)( ?? xf
0)( ?? xf
求极值的步骤,
);()1( xf ?求出导数;0)()()2( 的根的全部驻点，即方程求出 ?? xfxf;,)()3( 判断极值点在驻点左右的正负号考察 xf ?
.)4( 值求出各极值点处的函数
(不是极值点情形 )
例 6
.593)( 23 的极值求函数 ???? xxxxf
解 )3)(1(3963)()1(
2 ??????? xxxxxf
，令 0)()2( ?? xf,3,1 21 ??? xx得驻点
极
大
值
x )1,( ??? ),3( ??)3,1(?1? 3
)(xf?
)(xf
0? 0? 0?0
0
极
小
值
)3(
593)( 23 ???? xxxxf 图形如下
)3(f极小值,22??)1()4( ?f极大值,10?
M
N
定理 3(第二充分条件 )
异号，与故 xxfxxf ?????? )()( 00
时，当 0?? x )()( 00 xfxxf ?????有,0?
时，当 0?? x )()( 00 xfxxf ?????有,?
所以,函数 )( xf 在 0x 处取得极大值
证 )1( x xfxxfxf
x ?
????????
??
)()(lim)( 00
00?,0?
设 ) ( x f 在 0 x 处具有二阶导数,
且 0 ) ( 0 ' ? x f,0 ) ( 0 ' ' x f,那末
(1) 当 0 ) ( 0 ' ' ? x f 时,函数 ) ( x f 在 0 x 处取得极大值 ;
(2) 当 0 ) ( 0 ' ' ? x f 时,函数 ) ( x f 在 0 x 处取得极小值,
?
（ 2）同理可以证明当 0)(
0 ??? xf
函数 )( xf 在 0x 处取得极小值
时
得寸进尺,
0)( 0 ??? xf
？？？
解
例 7,1)1()(
32 的极值求出函数 ??? xxf
22 )1(6)()1( ??? xxxf
，令 0)()2( ?? xf,1,0,1 321 ???? xxx得驻点
)15)(1(6)()3( 22 ????? xxxf
06)0()4( ????f? 0)0( ?f故极小值
? ? 第二充分条件失效。????????,)(f)(f 0115 ?;)x(fx 01 ??? 左侧邻近的值时，取当;)x(fx 01 ??? 右侧邻近的值时，取当
点没有极值。在故 1??x)x(f
点也没有极值。在同理 1?x)x(f
.1)1()( 32 的图形如下函数 ??? xxf
-2 -1 1 2
0.5
1
1.5
2
2.5
解
例 8,)2(1)( 32 的极值求出函数 ??? xxf
3
1
)2(32)(2 ?????? xxfx 时，当
.)(,2 不存在时当 xfx ??
时，当 2?x ;0)( ?? xf
时，当 2?x,0)( ?? xf
.)(1)2( 的极大值为 xff ??
注 3:函数的不可导点,也可能是函数的极值点,
M