一、罗尔 (Rolle)定理
二、拉格朗日 (Lagrange)中值定理
三、柯西 (Cauchy)中值定理
第一节 微分中值定理
四、泰勒 (Taylor)中值定理
1 费马（ Fermat)引理
一、罗尔 (Rolle)定理
几何解释,
.0率为
显然有水平切线，其斜
曲线在最高点和最低点
x
y
o
)(xfy ?
1? 2? ba
0
00
0
?? )x(fx)x(f
x)b,a()x(f
可微，则在点且
取得最值，内一点在若函数
证明, 达到最大值证明。在只就
0)( xxf
),()(
,),()(
00
00
xfxxf
baxxxxf
??
?
?
?
就有
内在达到最大值，所以只要在由于
,0)()( 00 ??? xfxxf ?即;0,0 )()( 00 时当从而 ???? xx xfxxf ???;0,0 )()( 00 时当 ???? xx xfxxf ???
0 )()( l i m0)( 00
0x0
??????
?? x
xfxxfxf
?
?
?
这样
.0 )()( lim0)( 00
0x0
??????
?? x
xfxxfxf
?
?
?
0)( 0 ?? xf所以
几何解释,
.,的在该点处的切线是水平上至少有一点在曲线弧 CAB
2 罗尔 (Rolle)定理
罗尔 （ R o l l e ）定理 如果函数 )( xf 在闭区间 ],[ ba
上连续,在开区间 ),( ba 内可导,且在区间端点的函数
值相等，即 )()( bfaf ?,那末在 ),( ba 内至少有一点
)( ba ????,使得函数 )( xf 在该点的导数等于零，
即 0)(
'
??f
C
a b1? 2? x
y
o
)(xfy ?
证,],[)( 连续在 baxf?,mM 和最小值必有最大值
.)1( mM ?若,)( Mxf ?则
.0)( ?? xf由此得 ),,( ba???,0)( ???f都有
.)2( mM ?若 ),()( bfaf ??
.取得最值不可能同时在端点?
),( afM ?设
.)(),( Mfba ??? 使内至少存在一点则在
由费马引理可知,.)(f 0?? ?
注 1:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其
结论可能不成立,
例如,];1,1[,??? xxy
注 2:若罗尔定理的条件仅
是充分条件，不是必要的,
例如,
?
?
?
?
??
?
1 0
11-
)(
2
x
xx
xf
0)0( ??f
X
Y
-1 1 0
例 1,015 有且仅有一个正实根证明方程 ??? xx
2）唯一性
,),1,0( 011 xxx ??设另有,0)( 1 ?xf使
,,)( 10 条件之间满足罗尔定理的在 xxxf?
使得之间在至少存在一个 ),,( 10 xx??,0)( ???f
015)( 4 ???? xxf但 ))1,0(( ?x 矛盾,.为唯一实根?
,1)( 5 ??? xxxf设,]1,0[)( 连续在则 xf
.1)1(,1)0( ??? ff且 由零点定理
.0)(),1,0( 00 ??? xfx 使即为方程的正实根,
证,1）存在性
拉格朗日（ Lagrange ）中值定理 如果函数 f ( x ) 在
闭区间 ],[ ba 上连续,在开区间 ),( ba 内可导,那末在
),( ba 内至少有一点 )( ba ????,使等式
))(()()(
'
abfafbf ???? 成立,
).()()( ????? fab afbf结论亦可写成
二、拉格朗日 (Lagrange)中值定理
得到将罗尔定理条件中去掉 ),b(f)a(f ?
几何解释,
.AB
,C
AB
线平行于弦
在该点处的切一点
上至少有在曲线弧
a b1? 2?x xo
y
)(xfy ?
A
BC
DN
M
证 分析, ).()( bfaf ?条件中与罗尔定理相差
弦 AB方程为 ).()()()( axab afbfafy ?????
,)( ABxf 减去弦曲线
.,两端点的函数值相等所得曲线 ba
化
归
证
明
法
作辅助函数
)].()()()([)()( axab afbfafxfxF ??????
,)( 满足罗尔定理的条件xF
.0)(,),( ???? Fba 使得内至少存在一点则在
0)()()( ?????? ab afbff即
).)(()()( abfafbf ?????或 拉格朗日中值公式
注意,拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的
增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系,
).10()()()( 000 ????????????? xxxfxfxxf
).10()( 0 ??????????? xxxfy也可写成
拉格朗日中值公式又称 有限增量公式,
推论 1
.)(
,)(
上是一个常数在区间那末
上的导数恒为零在区间如果函数
Ixf
Ixf
拉格朗日中值公式另外的表达方式,
),(,2121 xxxxI ?上任取两点证明：在
)( ))(()()( 211212 xxxxfxfxf ?????? ??则
0)()(,0)( 12 ????? xfxff ?? )()( 12 xfxf ?即
.)(,21 上是常数在的任意性，所以由于 Ixfxx
例 2,)1l n (1,0 xxxxx ????? 时证明当
证 ),1l n ()( xxf ??设
,],0[)( 上满足拉氏定理的条件在 xxf
)0(),0)(()0()( xxffxf ?????????
,1 1)(,0)0( xxff ????? 由上式得,1)1l n ( ???? xx
x???0?又 x????? 111,11 11 1 ????? x
,11 xxxx ??????,)1l n (1 xxxx ????即
柯西（ Cauchy ）中值定理 如果函数 )( xf 及 )( xF
在闭区间 ],[ ba 上连续,在开区间 ),( ba 内可导,且 )(
'
xF
在 ),( ba 内每一点处均不为零，那末在 ),( ba 内至少
有一点 )( ba ????,使等式
)(
)(
)()(
)()(
'
'
?
?
?
?
?
F
f
bFaF
bfaf
成立,
三、柯西 (Cauchy)中值定理
几何解释,
)( 1?F )( 2?F xo
y ??? ?? )( )(xfY xFX
)(aF
A
)(bF
BC
D
)(xF
N
M
.
)),(),((
AB
fFC
AB
弦
该点处的切线平行于
在一点
上至少有在曲线弧
??
证 作辅助函数
) ],()([)()( )()()()()( aFxFaFbF afbfafxfx ???????
,)( 满足罗尔定理的条件x?
.0)(,),( ??? ?? 使得内至少存在一点则在 ba
,0)()()( )()()( ????????? FaFbF afbff即
.)( )()()( )()( ?? ?????? FfaFbF afbf
.)(,)b,a( 0?? ??? 使得内至少存在一点则在
,)( xxF ?当,1)(,)()( ????? xFabaFbF
)(
)(
)()(
)()(
??
???
?
?
F
f
aFbF
afbf ).()()( ???
?
? f
ab
afbf
) ],0()1([2)(),1,0(
:,)1,0(,]1,0[)(
fff
xf
???? ??? 使至少存在一点
证明内可导在上连续在设函数
?
???
?
?
2
)(
01
)0()1( fff,
)(
(
2 ???
??
xx
xf
,)( 2xxg ?设
,]1,0[)(),( 条件上满足柯西中值定理的在则 xgxf
有内至少存在一点在,)1,0( ??
?
???
?
?
2
)(
01
)0()1( fff
)].0()1([2)( fff ?????即
例 3
证 分析,结论可变形为
1 问题的提出
2,设 )( xf 在 0x 处可导,则有
1,设 )( xf 在 0x 处连续,则有 )()( 0xfxf ?
))(()()( 000 xxxfxfxf ????
])()([ 0 ??? xfxf关系，有根据极限与无穷小量的
))((
)()()(
00
00
xxxf
xxfxfxfdyy
???
???????
四、泰勒 (Taylor)中值定理
)xx(O)xx)(x(f)x(f)x(f 0000 ??????
不
足
问
题
寻找函数 )( xP,使得 )()( xPxf ?
误差 )()()( xPxfxR ?? 可估计
1、精确度不高；
2、误差不能估计。
设函数 )( xf 在含有 0x 的开区间 ),( ba 内具有直到
)1( ?n 阶导数,)( xP 为多项式函数
误差 )()()( xPxfxR nn ??
xxxexxx x ?????? )1l n (,1,s i n,0
nnn xxoxxaxxaaxf )()()()( 00010 ???????? ?
)(xPn )(xRn
2 nP 和 nR 的确定
0x
)( xfy ?
o x
y
分析,
)()( 00 xfxP n ?
)()( 00 xfxP n ?????
)()( 00 xfxP n ???
????
2.若有相同的切线
3.若弯曲方向相同
近
似
程
度
越
来
越
好
1.若在 点相交 0x
假设 nkxfxP kkn,,2,1)()( 0)(0)( ???
代入 )( xP n 中得
n
n
n
xx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxP
)(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000
??
??
??
????? ?得 ),,2,1,0()(!
1
0
)( nkxf
ka
k
k ???
),( 00 xfa ? ),(1 01 xfa ??? )(!2 02 xfa ????
,?? )(! 0)( xfan nn ??
3 泰勒 (Taylor)中值定理
泰勒 ( T a y l o r ) 中值定理 如果函数 )( xf 在含有
0
x 的某个开区间 ),( ba 内具有直到 )1( ?n 阶的导数,
则当 x 在 ),( ba 内时,)( xf 可以表示为 )(
0
xx ? 的
一个 n 次多项式与一个余项 )( xR
n
之和,
)()(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000
xRxx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxf
n
n
n
????
?
??
?????
?
其中 10
)1(
)(
)!1(
)(
)( ?
?
?
?
? n
n
n xxn
f
xR
?
( ? 在 0x 与 x 之间 ),
证明, 由假设,)( xR n 在 ),( ba 内具有直到 )1( ?n 阶
导数,且
两函数 )( xR n 及 10 )( ?? nxx 在以 0x 及 x 为端点的
区间上满足柯西中值定理的条件,得
)())(1( )( 0
01
1 之间与在 xx
xn
R
n
n ?
?
?
??
??
0)(
)()(
)(
)(
1
0
0
1
0 ??
??
? ?? n
nn
n
n
xx
xRxR
xx
xR
0)()()()( 0)(000 ???????? xRxRxRxR nnnnn ?
如此下去,经过 )1( ?n 次后,得
两函数 )( xR
n
? 及 nxxn ))(1(
0
?? 在以
0
x 及
1
? 为端点
的区间上满足柯西中值定理的条件,得
0))(1(
)()(
))(1(
)(
01
01
01
1
???
????
??
?
n
nn
n
n
xn
xRR
xn
R
?
?
?
?
? ? !1
)(
)(
)(
)1(
1
0 ?
?
?
?
?
n
R
xx
xR
n
n
n
n ?
( 之间与在 nx ?? 0,也在 0x 与 x 之间 )
)())(1( )( 1021
02
2 之间与在 ??
?
? x
xnn
R
n
n
???
???
?
?
??
n
k
k
k
n xx
k
xf
xP
0
0
0
)(
)(
!
)(
)(
称为 )( xf 按 )( 0xx ? 的幂展开的 n 次近似多项式?
?
???
n
k
n
k
k
xRxx
k
xf
xf
0
0
0
)(
)()(
!
)(
)(
称为 )( xf 按 )( 0xx ? 的幂展开的 n 阶泰勒公式
? ? )()(!1
)()(
0
1
0
)1(
之间与在 xxxxnfxR n
n
n ?
? ?? ?
??
则由上式得
,0)()1( ?? xP nn? )()( )1()1( xfxR nnn ?? ??
定理 1 （带 lagrange余项的泰勒定理）
如果 f(x)在 点邻域内有 n+1 阶导数，则 x
0
)()(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000
xRxx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxf
n
n
n
????
?
??
?????
?
其中 10
)1(
)(
)!1(
)()( ?? ?
?
? n
n
n xxn
fxR ? ( ? 在
0x 与 x 之间 ),
拉格朗日形式的余项
? ? ? ?
1
0
1
0
)1(
)(
!1
)(
!1
)(
)( ??
?
?
?
??
?
? nn
n
n xxn
M
xx
n
f
xR
?皮亚诺形式的余项
0)( )(lim
00
??
? n
n
xx xx
xR及
].)[()( 0 nn xxoxR ??即
定理 2 （带 peano余项的泰勒定理）
如果 f(x)在 点邻域内有 n+1 阶导数，则 x
0
))(()(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
00
0
)(
2
0
0
000
nn
n
xxoxx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxf
????
??
??
????? ?
1,当 0?n 时,泰勒公式变成拉氏中值公式
)())(()()( 000 之间与在 xxxxfxfxf ?? ????
2,取 0
0
?x,
? 在 0 与 x 之间,令 )10( ??? ??? x
则余项
1
)1(
)!1(
)(
)(
?
?
?
?
n
n
n
x
n
xf
xR
?
几点说明,
n
n
xnfxfxffxf ! )0(!2 )0()0()0()(
)(
2 ???????? ?
1
)1(
)!1(
)( ??
?
? n
n
x
n
f ?
)1,0(??
（ 3） 00 ?x （麦克劳林公式）
4 常用 n阶泰勒公式及其简单应用
例 4 求 xexf ?)( 的 n 阶麦克劳林公式,
解,)()()( )( xn exfxfxf ??????? ??
1)0()0()0()0( )( ????????? nffff ?
xn exf ?? ?? )()1(注意到
).10()!1(!!21 1
2
????????? ? ?
?
n
xn
x x
n
e
n
xxxe ?
).10()!1()!1()( 1 ?????? ? ?
?
n
xx
n xn
e
n
exR
!!21
2
n
xxxe nx ????? ?
!
1
!2
111,1
nex ?????? ?取
.)!1( 3?? n )!1( ?? n eR n
)
2
s i n ()()( ?nxxf n ??解：
)
2
s i n ()0(
1)0(,0)0(,1)0(,0)0(
)( ?n
ffff
f
n
?
???????????
R m
m
m
xxxxxx
2
12753
)!12(!7!5!3
s i n ?
?
??????
?
?
12
2 )!12(
]
2
)12(s i n [
?
?
??
? mm x
m
mx
R
?
?
10 ?? ?
例 5 求 的 n 阶麦克劳林公式, xxf s in)( ?
xxm ?? s i n,1
3
!3
1s i n,2 xxxm ???
53
!5
1
!3
1s i n,3 xxxxm ????
0 1 2 3 4
0
0, 5
1
t r a c e 1
s i n ( )x
x
xy s in?
xy ?
xxy 3!31??
xxxy 53 !51!31 ???
例 6 计算 4
0
3co s2
lim
2
x
xe x
x
??
?
,
)(!211 4422 xoxxe x ?????
)(!4!21c o s 5
42
xoxxx ????
)()!412!21(3c o s2 442 xoxxe x ???????
12
7)(12
7
lim 4
44
0
?
?
?
? x
xox
x
原式
解
其它函数的麦克劳林公式
)(
)!12(
)1(
!5!3
s in
22
1253
?
?
?
?
??????
n
n
n
xo
n
xxx
xx ?
)(
)!2(
)1(
!6!4!2
1c o s
2
2642
n
n
n
xo
n
xxxx
x ???????? ?
)(
1
)1(
32
)1ln (
1
132
?
?
?
?
???????
n
n
n
xo
n
xxx
xx ?
)(1
1
1
2 nn
xoxxx
x
??????
?
?
)(
!
)1()1(
!2
)1(
1)1(
2
nn
m
xox
n
nmmm
x
mm
mxx
?
???
?
?
?
????
?
?
二、拉格朗日 (Lagrange)中值定理
三、柯西 (Cauchy)中值定理
第一节 微分中值定理
四、泰勒 (Taylor)中值定理
1 费马（ Fermat)引理
一、罗尔 (Rolle)定理
几何解释,
.0率为
显然有水平切线，其斜
曲线在最高点和最低点
x
y
o
)(xfy ?
1? 2? ba
0
00
0
?? )x(fx)x(f
x)b,a()x(f
可微，则在点且
取得最值，内一点在若函数
证明, 达到最大值证明。在只就
0)( xxf
),()(
,),()(
00
00
xfxxf
baxxxxf
??
?
?
?
就有
内在达到最大值，所以只要在由于
,0)()( 00 ??? xfxxf ?即;0,0 )()( 00 时当从而 ???? xx xfxxf ???;0,0 )()( 00 时当 ???? xx xfxxf ???
0 )()( l i m0)( 00
0x0
??????
?? x
xfxxfxf
?
?
?
这样
.0 )()( lim0)( 00
0x0
??????
?? x
xfxxfxf
?
?
?
0)( 0 ?? xf所以
几何解释,
.,的在该点处的切线是水平上至少有一点在曲线弧 CAB
2 罗尔 (Rolle)定理
罗尔 （ R o l l e ）定理 如果函数 )( xf 在闭区间 ],[ ba
上连续,在开区间 ),( ba 内可导,且在区间端点的函数
值相等，即 )()( bfaf ?,那末在 ),( ba 内至少有一点
)( ba ????,使得函数 )( xf 在该点的导数等于零，
即 0)(
'
??f
C
a b1? 2? x
y
o
)(xfy ?
证,],[)( 连续在 baxf?,mM 和最小值必有最大值
.)1( mM ?若,)( Mxf ?则
.0)( ?? xf由此得 ),,( ba???,0)( ???f都有
.)2( mM ?若 ),()( bfaf ??
.取得最值不可能同时在端点?
),( afM ?设
.)(),( Mfba ??? 使内至少存在一点则在
由费马引理可知,.)(f 0?? ?
注 1:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其
结论可能不成立,
例如,];1,1[,??? xxy
注 2:若罗尔定理的条件仅
是充分条件，不是必要的,
例如,
?
?
?
?
??
?
1 0
11-
)(
2
x
xx
xf
0)0( ??f
X
Y
-1 1 0
例 1,015 有且仅有一个正实根证明方程 ??? xx
2）唯一性
,),1,0( 011 xxx ??设另有,0)( 1 ?xf使
,,)( 10 条件之间满足罗尔定理的在 xxxf?
使得之间在至少存在一个 ),,( 10 xx??,0)( ???f
015)( 4 ???? xxf但 ))1,0(( ?x 矛盾,.为唯一实根?
,1)( 5 ??? xxxf设,]1,0[)( 连续在则 xf
.1)1(,1)0( ??? ff且 由零点定理
.0)(),1,0( 00 ??? xfx 使即为方程的正实根,
证,1）存在性
拉格朗日（ Lagrange ）中值定理 如果函数 f ( x ) 在
闭区间 ],[ ba 上连续,在开区间 ),( ba 内可导,那末在
),( ba 内至少有一点 )( ba ????,使等式
))(()()(
'
abfafbf ???? 成立,
).()()( ????? fab afbf结论亦可写成
二、拉格朗日 (Lagrange)中值定理
得到将罗尔定理条件中去掉 ),b(f)a(f ?
几何解释,
.AB
,C
AB
线平行于弦
在该点处的切一点
上至少有在曲线弧
a b1? 2?x xo
y
)(xfy ?
A
BC
DN
M
证 分析, ).()( bfaf ?条件中与罗尔定理相差
弦 AB方程为 ).()()()( axab afbfafy ?????
,)( ABxf 减去弦曲线
.,两端点的函数值相等所得曲线 ba
化
归
证
明
法
作辅助函数
)].()()()([)()( axab afbfafxfxF ??????
,)( 满足罗尔定理的条件xF
.0)(,),( ???? Fba 使得内至少存在一点则在
0)()()( ?????? ab afbff即
).)(()()( abfafbf ?????或 拉格朗日中值公式
注意,拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的
增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系,
).10()()()( 000 ????????????? xxxfxfxxf
).10()( 0 ??????????? xxxfy也可写成
拉格朗日中值公式又称 有限增量公式,
推论 1
.)(
,)(
上是一个常数在区间那末
上的导数恒为零在区间如果函数
Ixf
Ixf
拉格朗日中值公式另外的表达方式,
),(,2121 xxxxI ?上任取两点证明：在
)( ))(()()( 211212 xxxxfxfxf ?????? ??则
0)()(,0)( 12 ????? xfxff ?? )()( 12 xfxf ?即
.)(,21 上是常数在的任意性，所以由于 Ixfxx
例 2,)1l n (1,0 xxxxx ????? 时证明当
证 ),1l n ()( xxf ??设
,],0[)( 上满足拉氏定理的条件在 xxf
)0(),0)(()0()( xxffxf ?????????
,1 1)(,0)0( xxff ????? 由上式得,1)1l n ( ???? xx
x???0?又 x????? 111,11 11 1 ????? x
,11 xxxx ??????,)1l n (1 xxxx ????即
柯西（ Cauchy ）中值定理 如果函数 )( xf 及 )( xF
在闭区间 ],[ ba 上连续,在开区间 ),( ba 内可导,且 )(
'
xF
在 ),( ba 内每一点处均不为零，那末在 ),( ba 内至少
有一点 )( ba ????,使等式
)(
)(
)()(
)()(
'
'
?
?
?
?
?
F
f
bFaF
bfaf
成立,
三、柯西 (Cauchy)中值定理
几何解释,
)( 1?F )( 2?F xo
y ??? ?? )( )(xfY xFX
)(aF
A
)(bF
BC
D
)(xF
N
M
.
)),(),((
AB
fFC
AB
弦
该点处的切线平行于
在一点
上至少有在曲线弧
??
证 作辅助函数
) ],()([)()( )()()()()( aFxFaFbF afbfafxfx ???????
,)( 满足罗尔定理的条件x?
.0)(,),( ??? ?? 使得内至少存在一点则在 ba
,0)()()( )()()( ????????? FaFbF afbff即
.)( )()()( )()( ?? ?????? FfaFbF afbf
.)(,)b,a( 0?? ??? 使得内至少存在一点则在
,)( xxF ?当,1)(,)()( ????? xFabaFbF
)(
)(
)()(
)()(
??
???
?
?
F
f
aFbF
afbf ).()()( ???
?
? f
ab
afbf
) ],0()1([2)(),1,0(
:,)1,0(,]1,0[)(
fff
xf
???? ??? 使至少存在一点
证明内可导在上连续在设函数
?
???
?
?
2
)(
01
)0()1( fff,
)(
(
2 ???
??
xx
xf
,)( 2xxg ?设
,]1,0[)(),( 条件上满足柯西中值定理的在则 xgxf
有内至少存在一点在,)1,0( ??
?
???
?
?
2
)(
01
)0()1( fff
)].0()1([2)( fff ?????即
例 3
证 分析,结论可变形为
1 问题的提出
2,设 )( xf 在 0x 处可导,则有
1,设 )( xf 在 0x 处连续,则有 )()( 0xfxf ?
))(()()( 000 xxxfxfxf ????
])()([ 0 ??? xfxf关系，有根据极限与无穷小量的
))((
)()()(
00
00
xxxf
xxfxfxfdyy
???
???????
四、泰勒 (Taylor)中值定理
)xx(O)xx)(x(f)x(f)x(f 0000 ??????
不
足
问
题
寻找函数 )( xP,使得 )()( xPxf ?
误差 )()()( xPxfxR ?? 可估计
1、精确度不高；
2、误差不能估计。
设函数 )( xf 在含有 0x 的开区间 ),( ba 内具有直到
)1( ?n 阶导数,)( xP 为多项式函数
误差 )()()( xPxfxR nn ??
xxxexxx x ?????? )1l n (,1,s i n,0
nnn xxoxxaxxaaxf )()()()( 00010 ???????? ?
)(xPn )(xRn
2 nP 和 nR 的确定
0x
)( xfy ?
o x
y
分析,
)()( 00 xfxP n ?
)()( 00 xfxP n ?????
)()( 00 xfxP n ???
????
2.若有相同的切线
3.若弯曲方向相同
近
似
程
度
越
来
越
好
1.若在 点相交 0x
假设 nkxfxP kkn,,2,1)()( 0)(0)( ???
代入 )( xP n 中得
n
n
n
xx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxP
)(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000
??
??
??
????? ?得 ),,2,1,0()(!
1
0
)( nkxf
ka
k
k ???
),( 00 xfa ? ),(1 01 xfa ??? )(!2 02 xfa ????
,?? )(! 0)( xfan nn ??
3 泰勒 (Taylor)中值定理
泰勒 ( T a y l o r ) 中值定理 如果函数 )( xf 在含有
0
x 的某个开区间 ),( ba 内具有直到 )1( ?n 阶的导数,
则当 x 在 ),( ba 内时,)( xf 可以表示为 )(
0
xx ? 的
一个 n 次多项式与一个余项 )( xR
n
之和,
)()(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000
xRxx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxf
n
n
n
????
?
??
?????
?
其中 10
)1(
)(
)!1(
)(
)( ?
?
?
?
? n
n
n xxn
f
xR
?
( ? 在 0x 与 x 之间 ),
证明, 由假设,)( xR n 在 ),( ba 内具有直到 )1( ?n 阶
导数,且
两函数 )( xR n 及 10 )( ?? nxx 在以 0x 及 x 为端点的
区间上满足柯西中值定理的条件,得
)())(1( )( 0
01
1 之间与在 xx
xn
R
n
n ?
?
?
??
??
0)(
)()(
)(
)(
1
0
0
1
0 ??
??
? ?? n
nn
n
n
xx
xRxR
xx
xR
0)()()()( 0)(000 ???????? xRxRxRxR nnnnn ?
如此下去,经过 )1( ?n 次后,得
两函数 )( xR
n
? 及 nxxn ))(1(
0
?? 在以
0
x 及
1
? 为端点
的区间上满足柯西中值定理的条件,得
0))(1(
)()(
))(1(
)(
01
01
01
1
???
????
??
?
n
nn
n
n
xn
xRR
xn
R
?
?
?
?
? ? !1
)(
)(
)(
)1(
1
0 ?
?
?
?
?
n
R
xx
xR
n
n
n
n ?
( 之间与在 nx ?? 0,也在 0x 与 x 之间 )
)())(1( )( 1021
02
2 之间与在 ??
?
? x
xnn
R
n
n
???
???
?
?
??
n
k
k
k
n xx
k
xf
xP
0
0
0
)(
)(
!
)(
)(
称为 )( xf 按 )( 0xx ? 的幂展开的 n 次近似多项式?
?
???
n
k
n
k
k
xRxx
k
xf
xf
0
0
0
)(
)()(
!
)(
)(
称为 )( xf 按 )( 0xx ? 的幂展开的 n 阶泰勒公式
? ? )()(!1
)()(
0
1
0
)1(
之间与在 xxxxnfxR n
n
n ?
? ?? ?
??
则由上式得
,0)()1( ?? xP nn? )()( )1()1( xfxR nnn ?? ??
定理 1 （带 lagrange余项的泰勒定理）
如果 f(x)在 点邻域内有 n+1 阶导数，则 x
0
)()(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000
xRxx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxf
n
n
n
????
?
??
?????
?
其中 10
)1(
)(
)!1(
)()( ?? ?
?
? n
n
n xxn
fxR ? ( ? 在
0x 与 x 之间 ),
拉格朗日形式的余项
? ? ? ?
1
0
1
0
)1(
)(
!1
)(
!1
)(
)( ??
?
?
?
??
?
? nn
n
n xxn
M
xx
n
f
xR
?皮亚诺形式的余项
0)( )(lim
00
??
? n
n
xx xx
xR及
].)[()( 0 nn xxoxR ??即
定理 2 （带 peano余项的泰勒定理）
如果 f(x)在 点邻域内有 n+1 阶导数，则 x
0
))(()(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
00
0
)(
2
0
0
000
nn
n
xxoxx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxf
????
??
??
????? ?
1,当 0?n 时,泰勒公式变成拉氏中值公式
)())(()()( 000 之间与在 xxxxfxfxf ?? ????
2,取 0
0
?x,
? 在 0 与 x 之间,令 )10( ??? ??? x
则余项
1
)1(
)!1(
)(
)(
?
?
?
?
n
n
n
x
n
xf
xR
?
几点说明,
n
n
xnfxfxffxf ! )0(!2 )0()0()0()(
)(
2 ???????? ?
1
)1(
)!1(
)( ??
?
? n
n
x
n
f ?
)1,0(??
（ 3） 00 ?x （麦克劳林公式）
4 常用 n阶泰勒公式及其简单应用
例 4 求 xexf ?)( 的 n 阶麦克劳林公式,
解,)()()( )( xn exfxfxf ??????? ??
1)0()0()0()0( )( ????????? nffff ?
xn exf ?? ?? )()1(注意到
).10()!1(!!21 1
2
????????? ? ?
?
n
xn
x x
n
e
n
xxxe ?
).10()!1()!1()( 1 ?????? ? ?
?
n
xx
n xn
e
n
exR
!!21
2
n
xxxe nx ????? ?
!
1
!2
111,1
nex ?????? ?取
.)!1( 3?? n )!1( ?? n eR n
)
2
s i n ()()( ?nxxf n ??解：
)
2
s i n ()0(
1)0(,0)0(,1)0(,0)0(
)( ?n
ffff
f
n
?
???????????
R m
m
m
xxxxxx
2
12753
)!12(!7!5!3
s i n ?
?
??????
?
?
12
2 )!12(
]
2
)12(s i n [
?
?
??
? mm x
m
mx
R
?
?
10 ?? ?
例 5 求 的 n 阶麦克劳林公式, xxf s in)( ?
xxm ?? s i n,1
3
!3
1s i n,2 xxxm ???
53
!5
1
!3
1s i n,3 xxxxm ????
0 1 2 3 4
0
0, 5
1
t r a c e 1
s i n ( )x
x
xy s in?
xy ?
xxy 3!31??
xxxy 53 !51!31 ???
例 6 计算 4
0
3co s2
lim
2
x
xe x
x
??
?
,
)(!211 4422 xoxxe x ?????
)(!4!21c o s 5
42
xoxxx ????
)()!412!21(3c o s2 442 xoxxe x ???????
12
7)(12
7
lim 4
44
0
?
?
?
? x
xox
x
原式
解
其它函数的麦克劳林公式
)(
)!12(
)1(
!5!3
s in
22
1253
?
?
?
?
??????
n
n
n
xo
n
xxx
xx ?
)(
)!2(
)1(
!6!4!2
1c o s
2
2642
n
n
n
xo
n
xxxx
x ???????? ?
)(
1
)1(
32
)1ln (
1
132
?
?
?
?
???????
n
n
n
xo
n
xxx
xx ?
)(1
1
1
2 nn
xoxxx
x
??????
?
?
)(
!
)1()1(
!2
)1(
1)1(
2
nn
m
xox
n
nmmm
x
mm
mxx
?
???
?
?
?
????
?
?
