第十二讲 第三章 误差和分析数据和得理 12-1
5-4 有效数字及其应用
在科学实验中, 为了得到准确的测量结果, 不
仅要准确地测定各种数据, 而是还要正确地记录和
计算 。 分析结果的数值不仅表示试样中被测成分含
量的多少, 而且还反映了测定的准确程度 。 所以,
记录实验数据和计算结果应保留几位数字是一件很
重要的事, 不能随便增加或减少位数 。 例如用重量
法测定硅酸盐中的 SiO2时, 若称取试样重为 0.4538
克, 经过一系列处理后, 灼烧得到 SiO2 沉淀重
0.1374克, 则其百分含量为,
SiO2 % =(0.1374/0.4538)× 100%＝ 30.277655354%
第十二讲 第三章 误差和分析数据和得理 12-2
上述分析结果共有 11位数字, 从运算来讲, 并
无错误, 但实际上用这样多位数的数字来表示上述
分析结果是错误的, 它没有反映客观事实, 因为所
用的分析方法和测量仪器不可能准确到这种程度 。
那么在分析实验中记录和计算时, 究竟要准确到什
么程度, 才符合客观事实呢？ 这就必须了解, 有效
数字, 的意义 。
一, 有效数字的意义及位数
有效数字是指在分析工作中实际上能测量到的
数字。记录数据和计算结果时究竟应该保留几位数
字，须根据测定方法和使用仪器的准确程度来决定。
在记录数据和计算结果时，所保留的有效数字中，
只有最后一位是可疑的数字。
第十二讲 第三章 误差和分析数据和得理 12-3
例如,坩埚重 18.5734克 六位有效数字
标准溶液体积 24.41毫升 四位有效数字
由于万分之一的分析天平能称准至 ± 0.0001克,
滴定管的读数能读准至 ± 0.01毫升, 故上述坩埚重
应是 18.5734± 0.0001 克, 标 准溶液的 体积应 是
24.41± 0.01毫升, 因此这些数值的最后一位都是可
疑的, 这一位数字称为, 不定数字, 。 在分析工作
中应当使测定的数值, 只有最后一位是可疑的 。
有效数字的位数, 直接与测定的相对误差有关 。
例如称得某物重为 0.5180克, 它表示该物实际重量
是 0.5180± 0.0001克, 其相对误差为,
(± 0.0001/0.5180)× 100%＝ ± 0.02%
第十二讲 第三章 误差和分析数据和得理 12-4
如果少取一位有效数字, 则表示该物实际重
量是 0.518± 0.001克, 其相对误差为,
(± 0.001/0.518)× 100%＝ ± 0.2%
表明测量的准确度后者比前者低 10倍 。 所以在测
量准确度的范围内, 有效数字位数越多, 测量也
越准确 。 但超过测量准确度的范围, 过多的位数
是毫无意义的 。
必须指出, 如果数据中有, 0”时, 应分析具
体情况, 然后才能肯定哪些数据中的, 0”是有效
数字, 哪些数据中的, 0”不是有效数字 。
x
第十二讲 第三章 误差和分析数据和得理 12-5
例如,
1.0005 五位有效数字
0.5000； 31.05% ； 6.023× 102 四位有效数字
0.0540； 1.86× 10-5 三位有效数字
0.0054； 0.40% 两位有效数字
0.5 ； 0.002% 一位有效数字
在 1.0005克中的三个, 0”,0.5000克中的后
三个, 0”,都是有效数字；在 0.0054克中的, 0”只
起定位作用, 不是有效数；在 0.0540克中, 前面的
,0”起定位作用, 最后一位, 0”是有效数字 。 同
样, 这些数值的最后一位数字, 都是不定数字 。
第十二讲 第三章 误差和分析数据和得理 12-6
因此, 在记录测量数据和计算结果时, 应根据
所使用的仪器的准确度, 必须使所保留的有效数字
中, 只有最后一位数是, 不定数字, 。 例如, 用感
量为百分之一克的台秤称物体的重量, 由于仪器本
身能准确称到 ± 0.0l克, 所以物体的重量如果是
10.4克, 就应写成 10.40克, 不能写成 10.4克 。
分析化学中还经常遇到 pH,pC,lgK等对数
值，其有效数字的位数仅取决于小数部分数字的位
数，因整数部分只说明该数的方次。例如,pH＝
12.68，即 [H+]＝ 2.1× l0-13mol/L，其有效数字为两
位，而不是四位。
第十二讲 第三章 误差和分析数据和得理 12-7
对于非测量所得的数字，如倍数、分数,π、
e等等，它们没有不确定性，其有效数字可视为无
限多位，根据具体情况来确定。
另外, 如果有效数字位数最少的因数的首位
数是, 8”或, 9”,则有效数字可认为比这个因数
多取一位 。
二, 数字修约规则
,四舍六入五留双”。
具体的做法是，当尾数 ≤4时将其舍去；尾数
≥6时就进一位；如果尾数为 5而后面的数为 0时则
看前方：前方为奇数就进位，前方为偶数则舍去；
当,5”后面还有不是 0的任何数时，都须向前进一
位，无论前方是奇还是偶数，,0”则以偶数论。
第十二讲 第三章 误差和分析数据和得理 12-8
0.53664→0.5366 0.58346→0.5835 10.2750→10.28
16.4050→16.40 27.1850→27.18 18.06501→18.07
必须注意：进行数字修约时只能一次修约到指
定的位数, 不能数次修约, 否则会得出名正错误的
结果 。
三, 有效数字的运算规则
(一 )加减法
当几个数据相加或相减时, 它们的和或差的有
效数字的保留, 应以 小数点后位效最少, 即绝对误
差最大 的的数据为依据 。 例如 0.0121,25.64及
1.05782三数相加, 若各数最后一位为可疑数字, 则
25.64中的 4已是可疑数字 。 因此, 三数相加后, 第
二位小数已属可疑, 其余两个数据可按规则进行修
约, 整理到只保留两位小数 。
第十二讲 第三章 误差和分析数据和得理 12-9
因此, 0.0121应写成 0.01； 1.05782应写成 1.06；
三者之和为,
0.01+25.64+1.06＝ 26.71
在大量数据的运算中 。 为使误差不迅速积累,
对参加运算的所有数据, 可以多保留一位可疑数字
(多保留的这一位数字叫, 安全数字, )。 如计算
5.2727,0.075,3.7及 2.12的总和时, 根据上述规则,
只应保留一位小数 。 但在运算中可以多保留一位,
故 5.2727应写成 5.27； 0.075应写成 0.08； 2.12应写成
2.12。 因此其和为,
5.27+0.08+3.7+2.12＝ 11.17
然后, 再根据修约规则把 11.17整化成 11.2。
第十二讲 第三章 误差和分析数据和得理 12-10
(二 )乘除法
几个数据相乘除时, 积或商的有效数字的保留,
应以其中 相对误差最大 的那个数, 即有效数字位数
最少的那个数为依据 。
例如求 0.0121,25.64和 1.05782三数相乘之积 。
设此三数的最后一位数字为可疑数字, 且最后一位
数字都有 ± 1的绝对误差, 则它们的相对误差分别
为,0.0121,± 1/121× 1000‰ ＝ ± 8‰
25.64,± 1/2564× 1000‰ ＝ ± 0.4‰
1.05782,± 1/105782× 1000‰ ＝ ± 0.009‰
第一个数是三位有效数字, 其相对误差最大,
以此数据为依据, 确定其他数据的位数, 即按规则
将各数都保留三位有效数字然后相乘,
第十二讲 第三章 误差和分析数据和得理 12-11
0.0121× 25.6× 1.06 = 0.328
若是多保留一位可疑数字时, 则
0.0121× 25.64× 1.058 = 0.3282
然后再按, 四舍六入五留双, 规则, 将 0.3282，
改写成 0.328。
四, 有效数字的运算规则在分析化学实验中的应用
1．根据分析仪器和分析方法的准确度正确读
出和记录测定值，且只保留一位可疑数字。
2．在计算结果之前，先根据运算方法确定欲保
留的位数，然后按照数字修约规则对各测定值进行
修约，先修约，后计算。
第十二讲 第三章 误差和分析数据和得理 12-12
3.分析化学中的计算主要有两大类 。 一类是各
种化学平衡中有关浓度的计算 。
另一类是计算测定结果, 确定其有效数字位数
与待测组分在试样中的相对含量有关, 一般具体要
求如下：对于高含量组分 （ 10%） 的测定, 四位有
效数字；对中含量组分 （ 1%-10%）, 三位有效数
字；微量组分 （ <1%）, 两位有效数字 。
3-6 提高分析结果准确度的方法
一、选择适当的分析方法
第十二讲 第三章 误差和分析数据和得理 12-13
在生产实践和一般科研工作中, 对测定结果
要求的准确度常与试样的组成, 性质和待测组分
的相对含量有关 。 化学分析的灵敏度虽然不高,
但对于常量组分的测定能得到较准确的结果, 一
般相对误差不越过千分之几 。 仪器分析具有较高
的灵敏度, 用于微量或痕量组分含量的测定, 对
测定结果允许有较大的相对误差 。
二, 减小测量的相对误差
仪器和量器的测量误差也是产生系统误差的
因素之一 。 分析天平一般的绝对误差为 ± 0.0002g，
如人欲称量的相对误差不大于 0.1%,那么应称量
的最小质量不小于 0.2g。
第十二讲 第三章 误差和分析数据和得理 12-14
在 滴定分析中, 滴定管的读数误差一般为
± 0.02ml。 为使读数的相对误差不大于 0.1%,那么
滴剂的体积就应不小于 20ml。
称量的准确度还与分析方法的准确度一致 。 如
光度法的误差为 2%,若称取 0.5g试样, 那么就不必
要像滴定分析法和重量法那样强调将试样称准到
± 0.0001g。 称准至 ± 0.001g比较适宜 。
三, 检验和消除系统误差
（ 一 ） 对照试验
对照实验用于检验和消除方法误差 。 用待检验
的分析方法测定某标准试样或纯物质, 并将结果与
标准值或纯物质的理论值相对照 。
第十二讲 第三章 误差和分析数据和得理 12-15
（二）空白试验
空白实验是在不加试样的情况下, 按照与试样
测定完全相同的条件和操作方法进行试验, 所得的
结果称为 空白值, 从试样测定结果中扣除空白值就
起到了校正误差的作用 。 空白试验的作用是检验和
消除由试剂, 溶剂和和分析仪器中某些杂质引起的
系统误差 。
（ 三 ） 校准仪器和量器
允许测定结果的相对误差大于 0.1%时, 一般不
必校准仪器 。
第十二讲 第三章 误差和分析数据和得理 12-16
四, 适当增加平行测定次数, 减小随机误差
一般定量分析的测定次数为 3-4次 。
五, 正确表示分析结果
为了正确的表示分析结果, 不仅要表明其数值
的大小, 还应该反映出测定的准确度, 精密度以及
为此进行的测定次数 。 因此最基本的参数为样本的
平均值, 样本的标准偏差和测定次数 。 也可以采用
置信区间表示分析结果 。
