二 图形描绘的步骤
一 曲线的渐近线
第六节 函数图形的描绘
X
Y
0
12
2
2
2
?? byax
xaby ?
xaby ??
xaby ??
双曲线
12
2
2
2
?? byax
向无限远处延伸时，与直线
无限逼近,
一、曲线的渐近线
1,铅直渐近线
.轴的渐近线也就是垂直于 x
,)(
)(l i m)(l i m
0
00
的一条铅直渐近线是则称那么
或如果
xfyxx
xfxf
xxxx
??
????
?? ??
例如
,
2
1
?
?
x
y
有铅直渐近线,
2??x
-3 -2 -1 1
-40
-20
20
40
2,水平渐近线
.轴的渐近线也就是平行于 x
.)(
)()(lim)(lim
的一条水平渐近线就是那么
为常数或如果
xfyby
bbxfbxf
xx
??
??
??????
例如
,2xey ??
有水平渐近线,
.0?y
3.斜渐近线
.)(
),0(0)]()([lim
的一条斜渐近线就是那么
为常数如果
xfybkxy
bkbkxxf
x
???
????
???
斜渐近线求法,
,)(l i m kxxf
x
?
??
.])([lim bkxxfx ????
),( ???????? xxx 或可以是其中
例 1,
)1()( 2
3
的渐近线求 ?? x xxf
解 ).,1()1,(,???? ?D
??? )(lim 1 xfx?,1 是曲线的铅直渐近线?? x
?
?? x
xf
x
)(lim?又
2
3
)1(l i m ??? xx
x
x
])1([l i m])([l i m 2
3
xx xkxxf
xx
????
????
再由
bx xxx
x
??? ???
??
2)1( )1(lim 2
23
.2 是曲线的一条斜渐近线??? xy
2
2
)1(lim ?? ?? x
x
x
1?
-20 -10 10 20
-20
20
40
60
.
)1(
)( 2
3
的图形
?
?
x
xxf
利用函数特性描绘函数图形，一般遵循下列步骤,
（ 2）
确定函数 )( xfy ? 的定义域,对函数进行奇
偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论,
求出函数的一阶导数 )(' xf 和二阶导数 )(" xf ;
求出方程 0)(' ?xf 和 0)(" ?xf 在 函 数 定 义
域 内 的 全 部 实 根,用 这 些 根 同 函 数 的 间 断 点 或 导 数 不
存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间,
（ 1）
二、图形描绘的步骤
（ 3）
确定在这些部分区间内 )(' xf 和 )(" xf 的符
号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹
凸与拐点 （ 可列表进行讨论）；
（ 4） 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐
近线以及其他变化趋势 ;
（ 5）
描出与方程 0)(' ?xf 和 0)(" ?xf 的根对
应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综
合前四步讨论的结果画出函数的图形,
例 2
.)1( )1()( 2
3
的图形作函数 ??? xxxf
解
,1,??xD 非奇非偶函数,且无对称性,
,)1( )5()1()( 3
2
?
????
x
xxxf,
)1(
)1(24)(
4?
????
x
xxf
,0)( ?? xf令 5,1 ??? xx得驻点
,0)( ??? xf令,1?x得点
.1,)(lim 1 为铅直渐近线所以 ?????? xxfx?
无水平渐近线
kxx xx xf
xx
?????
????
1)1( )1(lim)(lim 2
3
?又
.5??? xy得斜渐近线
列表得到函数增减区间和凹凸区间及拐点和极值点,（如下）
x )5,( ??? ),1( ??)1,5( ??5? )1,1(?
)(xf?
)(xf
? ?
?
不存在
?)(xf ??
1? 1
?
?
? ??
0
拐点 极大值
-13.5
间
断
点 )0,1(
bx xxxkxxf
xx
???? ?????
????
5)1( )1()1(lim])([lim 2
23
0
不存在 0
:补充点
作图
x
y
o
5?
11?5? A
? ?10,A
例 3,21)( 2
2
的图形作函数
x
ex ????
解 ),,(,????D 偶函数,图形关于 y轴对称,
,0)( ??? x令,0?x得驻点
,0)( ?? ?? x令,1,1 ??? xx得特殊点
,2)( 2
2x
exx ????? ?,2 )1)(1()( 2
2x
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2
2
2
1lim)(lim x
xx
ex ?
???? ?
???,0?
.0?y得水平渐近线
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)(x??
)(x?
? ?
?
0
0)(x???
0 1
?
?
?
? ?
拐点 极大值
?2
1)21,1( e??
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点,
0
拐点
)21,1( e?
x
y
o 11?
21
2
2
2
1)( xex ?
???
概率曲线
.1)( 23 的图形作函数 ???? xxxxf
),,(,????D 无奇偶性及周期性,
),1)(13()( ???? xxxf ).13(2)( ???? xxf
,0)( ?? xf令,1,31 ??? xx得驻点
,0)( ??? xf令,31?x得特殊点
:补充点 ),0,1(?A ),1,0(B ).85,23(C
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点,
例 4
解
x
y
o
)85,23(C)1,0(B
)0,1(?A1?
31? 31 1
x
)(xf?
)(xf ??
)(xf
)31,( ???
?
?
3
1?
0
27
32极大值
)31,31(?
?
?
)2716,31(
拐点
3
1
?
?
)1,31( 1
0
0
极小值
?
?
),1( ??
一 曲线的渐近线
第六节 函数图形的描绘
X
Y
0
12
2
2
2
?? byax
xaby ?
xaby ??
xaby ??
双曲线
12
2
2
2
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向无限远处延伸时，与直线
无限逼近,
一、曲线的渐近线
1,铅直渐近线
.轴的渐近线也就是垂直于 x
,)(
)(l i m)(l i m
0
00
的一条铅直渐近线是则称那么
或如果
xfyxx
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例如
,
2
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有铅直渐近线,
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-3 -2 -1 1
-40
-20
20
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2,水平渐近线
.轴的渐近线也就是平行于 x
.)(
)()(lim)(lim
的一条水平渐近线就是那么
为常数或如果
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xx
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??
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例如
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有水平渐近线,
.0?y
3.斜渐近线
.)(
),0(0)]()([lim
的一条斜渐近线就是那么
为常数如果
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x
???
????
???
斜渐近线求法,
,)(l i m kxxf
x
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??
.])([lim bkxxfx ????
),( ???????? xxx 或可以是其中
例 1,
)1()( 2
3
的渐近线求 ?? x xxf
解 ).,1()1,(,???? ?D
??? )(lim 1 xfx?,1 是曲线的铅直渐近线?? x
?
?? x
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x
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2
3
)1(l i m ??? xx
x
x
])1([l i m])([l i m 2
3
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xx
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再由
bx xxx
x
??? ???
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2)1( )1(lim 2
23
.2 是曲线的一条斜渐近线??? xy
2
2
)1(lim ?? ?? x
x
x
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-20 -10 10 20
-20
20
40
60
.
)1(
)( 2
3
的图形
?
?
x
xxf
利用函数特性描绘函数图形，一般遵循下列步骤,
（ 2）
确定函数 )( xfy ? 的定义域,对函数进行奇
偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论,
求出函数的一阶导数 )(' xf 和二阶导数 )(" xf ;
求出方程 0)(' ?xf 和 0)(" ?xf 在 函 数 定 义
域 内 的 全 部 实 根,用 这 些 根 同 函 数 的 间 断 点 或 导 数 不
存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间,
（ 1）
二、图形描绘的步骤
（ 3）
确定在这些部分区间内 )(' xf 和 )(" xf 的符
号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹
凸与拐点 （ 可列表进行讨论）；
（ 4） 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐
近线以及其他变化趋势 ;
（ 5）
描出与方程 0)(' ?xf 和 0)(" ?xf 的根对
应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综
合前四步讨论的结果画出函数的图形,
例 2
.)1( )1()( 2
3
的图形作函数 ??? xxxf
解
,1,??xD 非奇非偶函数,且无对称性,
,)1( )5()1()( 3
2
?
????
x
xxxf,
)1(
)1(24)(
4?
????
x
xxf
,0)( ?? xf令 5,1 ??? xx得驻点
,0)( ??? xf令,1?x得点
.1,)(lim 1 为铅直渐近线所以 ?????? xxfx?
无水平渐近线
kxx xx xf
xx
?????
????
1)1( )1(lim)(lim 2
3
?又
.5??? xy得斜渐近线
列表得到函数增减区间和凹凸区间及拐点和极值点,（如下）
x )5,( ??? ),1( ??)1,5( ??5? )1,1(?
)(xf?
)(xf
? ?
?
不存在
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1? 1
?
?
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0
拐点 极大值
-13.5
间
断
点 )0,1(
bx xxxkxxf
xx
???? ?????
????
5)1( )1()1(lim])([lim 2
23
0
不存在 0
:补充点
作图
x
y
o
5?
11?5? A
? ?10,A
例 3,21)( 2
2
的图形作函数
x
ex ????
解 ),,(,????D 偶函数,图形关于 y轴对称,
,0)( ??? x令,0?x得驻点
,0)( ?? ?? x令,1,1 ??? xx得特殊点
,2)( 2
2x
exx ????? ?,2 )1)(1()( 2
2x
exxx ?? ????? ??
2
2
2
1lim)(lim x
xx
ex ?
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.0?y得水平渐近线
x )1,( ??? ),1( ??)0,1(?1? )1,0(
)(x??
)(x?
? ?
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0
0)(x???
0 1
?
?
?
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拐点 极大值
?2
1)21,1( e??
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点,
0
拐点
)21,1( e?
x
y
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21
2
2
2
1)( xex ?
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概率曲线
.1)( 23 的图形作函数 ???? xxxxf
),,(,????D 无奇偶性及周期性,
),1)(13()( ???? xxxf ).13(2)( ???? xxf
,0)( ?? xf令,1,31 ??? xx得驻点
,0)( ??? xf令,31?x得特殊点
:补充点 ),0,1(?A ),1,0(B ).85,23(C
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点,
例 4
解
x
y
o
)85,23(C)1,0(B
)0,1(?A1?
31? 31 1
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)(xf ??
)(xf
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27
32极大值
)31,31(?
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)2716,31(
拐点
3
1
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0
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极小值
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