第四章 不定积分
第一节 不定积分的概念与性质
第二节 不定积分的计算
第三节 几类特殊函数的积分
第一节 不定积分的概念与性质
一 原函数与不定积分的概念
二 不定积分的性质
三 基本积分表
四 小结
一、原函数与不定积分的概念
,
,，
)(xF
即对
那么函数 就称为
如果在区间 内,定义 1 可导函数 的
都有
或
导函数为
或 在区间 内的一个 原函数
)(xF
)(xf Ix?? )()(' xfxF ?
dxxfxdF )()( ? )(xf
dxxf )(
I
I
问题,(1)原函数是否唯一？
(2)若不唯一它们之间有什么关系?
,
,
? ? xCx c o ss i n ???
（ 为任意常数） C
例 xx c o s)( si n ' ?
原函数存在定理,
简言之：连续函数一定有原函数,
如果函数 在区间 内连续,那么在区间
对,都有
内存在可导函数
)(xf I I
)(xF
Ix?? )()(' xfxF ?
关于原函数的说明
C
,
证 ? ? )()()()( xGxFxGxF ???????
0)()( ??? xfxf
CxGxF ??? )()( （ 为任意常数） C
则
（ 2）若 和 都是 的原函数,)(xF )(xG )(xf
CxGxF ?? )()( （ 为任意常数）
（ 1）若,则对于任意常数, )()( xfxF ??
都是 的原函数 )(xfCxF ?)(
C
积
分
变
量
的函数族, 包括了
C CxF ?)(
)(xf
这样, 当 为任意常数时, 形如
的全体原函数,
在区间 内，
的原函数,称为 或 在区间 内的
? dxxf )(
不定积分，记为
定义 2 函数 的带有任意 常数 项)(xfI
)(xf dxxf )( I
任
意
常
数
被
积
表
达
式
积
分
号
积
分
变
量
? ?? CxFdxxf )()(
例 1 求
解
例 2 求
解
例 3 求
解
dxx? 23
2'3 3)( xx ?? Cxdxx ??? ? 323
? xdxco s
xx c o s)( si n ' ?? ? ??? Cxxdx s i nco s
dxx? 1
? ? xx 1ln ??? Cxdxx ??? ? ln1
例 4 设曲线通过点（ 2,5），且其上任一点处的
切线斜率等于该点横坐标的两倍，求此曲线方程,
,
,2 2? ?? Cxxdx?
解 设曲线方程为 ),( xfy ?
根据题意知,2 xdxdy ?
即 ) ( x f 是 的一个原函数
,)( 2 Cxxf ??
? 必 某个常数 使 C?
x2
,
由曲线通过点（ 2,5）,1?c
所求曲线方程为,12 ?? xy
代入上式，得
函数 的原函数的图形称为 的 积分曲线
显然，求不定积分得到一积分曲线族,
)(xf )(xf
由不定积分的定义，可知
? ? ),()( xfdxxfdxd ??,)(])([ dxxfdxxfd ??
,)()(? ??? CxFdxxF,)()(? ?? CxFxdF
结论,微分运算与求不定积分的运算是 互逆 的,
二、不定积分的性质
? ?? kCkxkdx ()1( 是常数 ; );1(
1)2(
1
?????
?
? ??
?
? Cxdxx;ln)3( ? ?? Cxxdx
三、基本积分表 1
??? dxx 21 1)4( ;ar c ta n Cx ?
??? dxx 21 1)5( ;ar c s i n Cx ?
? ?xdxco s)6( ;s in Cx ?
? ?x d xs i n)7( ;c o s Cx ??
)
?? xdx 2c o s)8( ? ?x d x2s ec ;ta n Cx ?
?? xdx 2si n)9( ? ?x d x2cs c ;c o t Cx ??
? ?x d xx t a ns ec)10( ;s e c Cx ?
? ?x d xx co tcsc)11( ;c s c C??
?? dxe x)12( ;Ce x ?
?? dxa x)13( ;ln Caa
x
?
例 5 求
解
例 6 求
解
dxx? 41
CxCxdxxdxx ????????
??
???
3
14
4
4 3
1
14
1
C
x
dxxdxxxdxxx ?
?
????
?
???
1
2
11
1
2
11
2
11
2
1
55
CxxCx ???? 62
13
13
2
13
2
dxxx? 5
例 7 求
解
dxe xx 22 ??
Ceedxedxe
x
xxx ???
?
?
?? ??
)2l n(
)2()2(2
2
2
22
Ce
xx
???
?
22ln
2 2
基本积分表 (1)
不定积分的性质,
原函数的概念,)()( xfxF ??
不定积分的概念,? ?? CxFdxxf )()(
求微分与求积分的互逆关系
四,小结
第一节 不定积分的概念与性质
第二节 不定积分的计算
第三节 几类特殊函数的积分
第一节 不定积分的概念与性质
一 原函数与不定积分的概念
二 不定积分的性质
三 基本积分表
四 小结
一、原函数与不定积分的概念
,
,，
)(xF
即对
那么函数 就称为
如果在区间 内,定义 1 可导函数 的
都有
或
导函数为
或 在区间 内的一个 原函数
)(xF
)(xf Ix?? )()(' xfxF ?
dxxfxdF )()( ? )(xf
dxxf )(
I
I
问题,(1)原函数是否唯一？
(2)若不唯一它们之间有什么关系?
,
,
? ? xCx c o ss i n ???
（ 为任意常数） C
例 xx c o s)( si n ' ?
原函数存在定理,
简言之：连续函数一定有原函数,
如果函数 在区间 内连续,那么在区间
对,都有
内存在可导函数
)(xf I I
)(xF
Ix?? )()(' xfxF ?
关于原函数的说明
C
,
证 ? ? )()()()( xGxFxGxF ???????
0)()( ??? xfxf
CxGxF ??? )()( （ 为任意常数） C
则
（ 2）若 和 都是 的原函数,)(xF )(xG )(xf
CxGxF ?? )()( （ 为任意常数）
（ 1）若,则对于任意常数, )()( xfxF ??
都是 的原函数 )(xfCxF ?)(
C
积
分
变
量
的函数族, 包括了
C CxF ?)(
)(xf
这样, 当 为任意常数时, 形如
的全体原函数,
在区间 内，
的原函数,称为 或 在区间 内的
? dxxf )(
不定积分，记为
定义 2 函数 的带有任意 常数 项)(xfI
)(xf dxxf )( I
任
意
常
数
被
积
表
达
式
积
分
号
积
分
变
量
? ?? CxFdxxf )()(
例 1 求
解
例 2 求
解
例 3 求
解
dxx? 23
2'3 3)( xx ?? Cxdxx ??? ? 323
? xdxco s
xx c o s)( si n ' ?? ? ??? Cxxdx s i nco s
dxx? 1
? ? xx 1ln ??? Cxdxx ??? ? ln1
例 4 设曲线通过点（ 2,5），且其上任一点处的
切线斜率等于该点横坐标的两倍，求此曲线方程,
,
,2 2? ?? Cxxdx?
解 设曲线方程为 ),( xfy ?
根据题意知,2 xdxdy ?
即 ) ( x f 是 的一个原函数
,)( 2 Cxxf ??
? 必 某个常数 使 C?
x2
,
由曲线通过点（ 2,5）,1?c
所求曲线方程为,12 ?? xy
代入上式，得
函数 的原函数的图形称为 的 积分曲线
显然，求不定积分得到一积分曲线族,
)(xf )(xf
由不定积分的定义，可知
? ? ),()( xfdxxfdxd ??,)(])([ dxxfdxxfd ??
,)()(? ??? CxFdxxF,)()(? ?? CxFxdF
结论,微分运算与求不定积分的运算是 互逆 的,
二、不定积分的性质
? ?? kCkxkdx ()1( 是常数 ; );1(
1)2(
1
?????
?
? ??
?
? Cxdxx;ln)3( ? ?? Cxxdx
三、基本积分表 1
??? dxx 21 1)4( ;ar c ta n Cx ?
??? dxx 21 1)5( ;ar c s i n Cx ?
? ?xdxco s)6( ;s in Cx ?
? ?x d xs i n)7( ;c o s Cx ??
)
?? xdx 2c o s)8( ? ?x d x2s ec ;ta n Cx ?
?? xdx 2si n)9( ? ?x d x2cs c ;c o t Cx ??
? ?x d xx t a ns ec)10( ;s e c Cx ?
? ?x d xx co tcsc)11( ;c s c C??
?? dxe x)12( ;Ce x ?
?? dxa x)13( ;ln Caa
x
?
例 5 求
解
例 6 求
解
dxx? 41
CxCxdxxdxx ????????
??
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3
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4 3
1
14
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C
x
dxxdxxxdxxx ?
?
????
?
???
1
2
11
1
2
11
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1
55
CxxCx ???? 62
13
13
2
13
2
dxxx? 5
例 7 求
解
dxe xx 22 ??
Ceedxedxe
x
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?
?
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)2l n(
)2()2(2
2
2
22
Ce
xx
???
?
22ln
2 2
基本积分表 (1)
不定积分的性质,
原函数的概念,)()( xfxF ??
不定积分的概念,? ?? CxFdxxf )()(
求微分与求积分的互逆关系
四,小结
